第10章 数的开方（同步练习.含解析）2025-2026学年八年级上册数学华东师大版（2024）
文档属性
| 名称 | 第10章 数的开方（同步练习.含解析）2025-2026学年八年级上册数学华东师大版（2024） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 455.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-30 00:00:00 | ||
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文档简介
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第10章 数的开方
一．选择题（共5小题）
1．（2025秋 宁波期中）下列说法：①10的平方根是；②负数和零没有立方根：③的相反数是；④16的算术平方根是4：⑤0.008的立方根是0.2，其中正确的有（ ）
A．①③④⑤ B．②④⑤ C．①③ D．①②③④⑤
2．（2025 三明二模）估计的值在（ ）
A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间
3．（2025春 济源期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（ ）
A． B． C．2 D．3
4．（2025秋 昆都仑区校级期中）下列说法：
①实数和数轴上的点是一一对应的；
②一个正数的算术平方根小于它本身；
③负数没有立方根；
④16的平方根是±4，用式子表示是；
⑤某数的绝对值、相反数、算术平方根都是它本身，则这个数是0，其中错误的有（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（2025秋 嵊州市期中）数，3.14，，，，0，203，﹣0.1010010001...（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1）中，无理数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共6小题）
6．（2025秋 海淀区校级期中）写出一个满足的整数x： ．
7．（2025春 瑶海区期中）的平方根是 ．
8．（2024秋 榕城区期末）将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上的“1cm”和“6cm”分别对应数轴上的数“x”和“”，则x的值为 ．
9．（2024秋 于洪区期末）一个正数的两个平方根分别是3与a+2，则a的值为 ．
10．（2025秋 嘉定区期中）已知，则214的立方根是 ．
11．（2025秋 包头期中）对于任意不相等的两个实数a，b，定义一种运算“※”如下：，则2※6＝ ．
三．解答题（共4小题）
12．（2025秋 徐州月考）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB于点D，延长AB至点F，使得∠BCF＝∠BCD．
（1）求证：CF与⊙O相切；
（2）若∠F＝30°，AB＝4，求阴影部分的周长．（结果保留π）
13．（2025秋 陕西期中）已知m+3的平方根是±2，2m+n﹣3的立方根是3，求﹣3m+n的算术平方根．
14．（2025秋 丹东校级期中）解方程：
（1）（x﹣1）2﹣9＝0；
（2）125x3+64＝0．
15．（2025春 兴宁区校级期末）数形结合是重要的数学思想．如图（1），把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为2dm2的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题：
（1）所得到的面积为2dm2的大正方形的边长就是原先边长为1dm的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为 dm；
（2）由此，我们得到了一种方法．能在数轴上画出无理数所对应的点，则图（2）中A、B两点表示的数分别为 ， ；
（3）通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形如图（3）所示进行裁剪并拼成一个正方形，则图中大正方形的边长为 ；
（4）若，求代数式|a+2|+|b|的值，并用（2）中相同的方法在图4的数轴上表示对应的点．（保留作图痕迹）
第10章 数的开方
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2025秋 宁波期中）下列说法：①10的平方根是；②负数和零没有立方根：③的相反数是；④16的算术平方根是4：⑤0.008的立方根是0.2，其中正确的有（ ）
A．①③④⑤ B．②④⑤ C．①③ D．①②③④⑤
【考点】立方根；平方根；算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的含义和求法，逐项判断即可．
【解答】解：①10的平方根是，正确，符合题意；
②负数和零有立方根，原说法错误，不符合题意；
③的相反数是，正确，符合题意；
④16的算术平方根是4，正确，符合题意；
⑤0.008的立方根是0.2，正确，符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了平方根、算术平方根、立方根的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．（2）一个正数或0只有一个算术平方根．（3）一个数的立方根只有一个．
2．（2025 三明二模）估计的值在（ ）
A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】直接利用估算无理数的方法得出接近无理数的整数进而得出答案．
【解答】解：∵，
∴56，
∴的值在5与6之间．
故选：B．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，思维方法：用有理数逼近无理数．
3．（2025春 济源期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（ ）
A． B． C．2 D．3
【考点】算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】根据所给出的程序列出代数式，由实数混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：由所给的程序可知，当输入64时，8，
∵8是有理数，
∴取其立方根可得到，2，
∵2是有理数，
∴取其算术平方根可得到，
∵是无理数，
∴y．
故选：A．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知有理数与无理数的概念是解答此题的关键．
4．（2025秋 昆都仑区校级期中）下列说法：
①实数和数轴上的点是一一对应的；
②一个正数的算术平方根小于它本身；
③负数没有立方根；
④16的平方根是±4，用式子表示是；
⑤某数的绝对值、相反数、算术平方根都是它本身，则这个数是0，其中错误的有（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】实数与数轴；平方根；算术平方根；立方根；实数的性质．
【答案】B
【分析】根据相关的定义逐个分析说法的正确性即可．
【解答】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，故说法①正确；
②一个正数的算术平方根不一定小于它本身，例如，当正数为1时，算术平方根等于1；当正数为0.25时，算术平方根0.5大于0.25，故原说法②错误；
③负数有立方根，如﹣8的立方根为﹣2，故原说法③错误；
④16的平方根是±4，用式子表示是，故原说法④错误；
⑤某数的绝对值、相反数、算术平方根都是它本身，则这个数是0，故说法⑤正确．
故选：B．
【点评】本题考查实数与数轴的关系、平方根、立方根、绝对值、相反数、算术平方根的定义，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
5．（2025秋 嵊州市期中）数，3.14，，，，0，203，﹣0.1010010001...（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1）中，无理数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】无理数．
【专题】实数；数感．
【答案】C
【分析】无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可．
【解答】解：3.14是有限小数，是分数，4，0，203是整数，它们不是无理数，
，，﹣0.1010010001...（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1）是无限不循环小数，它们是无理数，共3个，
故选：C．
【点评】本题考查无理数，熟练掌握其定义是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
6．（2025秋 海淀区校级期中）写出一个满足的整数x： ﹣1（不唯一） ．
【考点】估算无理数的大小．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】﹣1（不唯一）．
【分析】利用无理数的估算解答．
【解答】解：∵，1.414，1.732，
∴符合题意的x是﹣1、0、1，
故答案为：﹣1（不唯一）．
【点评】本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握无理数的估算．
7．（2025春 瑶海区期中）的平方根是 ±2 ．
【考点】算术平方根；平方根．
【专题】实数；数感；运算能力．
【答案】±2．
【分析】根据平方根、算术平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：由于4，
所以的平方根是±2，
故答案为：±2．
【点评】本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的前提．
8．（2024秋 榕城区期末）将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上的“1cm”和“6cm”分别对应数轴上的数“x”和“”，则x的值为 ．
【考点】实数与数轴；算术平方根．
【答案】见试题解答内容
【分析】观察数轴可知：数轴上对应数“x”和“”的两点间的距离为6﹣1＝5，然后根据数轴上两点距离计算公式列出算式，进行求解即可．
【解答】解：6﹣1＝5，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了数轴上两点距离计算，实数和数轴，解题关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式．
9．（2024秋 于洪区期末）一个正数的两个平方根分别是3与a+2，则a的值为 ﹣5 ．
【考点】平方根．
【专题】实数；数感；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据“一个正数的两个平方根互为相反数”进行计算即可．
【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是3与a+2，
∴a+2＝﹣3，
解得a＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查平方根，掌握“一个正数的两个平方根互为相反数”是正确解答的关键．
10．（2025秋 嘉定区期中）已知，则214的立方根是 5.981 ．
【考点】立方根；算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】5.981．
【分析】根据立方根的性质：被开立方数的小数点向左（或向右）移动三位，那么其立方根的小数点向左（或向右）移动一位即可求得答案．
【解答】解：∵0.5981，
∴214的立方根，即5.981，
故答案为：5.981．
【点评】本题考查立方根，算术平方根，熟练掌握其性质是解题的关键．
11．（2025秋 包头期中）对于任意不相等的两个实数a，b，定义一种运算“※”如下：，则2※6＝ ．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】．
【分析】根据新定义的运算，结合二次根式的乘除混合运算法则计算即可．
【解答】解：根据新定义的运算，结合二次根式的乘除混合运算法则可得：
．
故答案为：．
【点评】本题考查新定义的实数运算，二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是关键．
三．解答题（共4小题）
12．（2025秋 徐州月考）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB于点D，延长AB至点F，使得∠BCF＝∠BCD．
（1）求证：CF与⊙O相切；
（2）若∠F＝30°，AB＝4，求阴影部分的周长．（结果保留π）
【考点】切线的判定与性质；圆周角定理；直线与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；几何直观；推理能力．
【答案】（1）如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠BCF，
∴∠ACO＝∠BCF，
∵∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠BCF+∠OCB＝∠OCF＝90°，
∴OC⊥CF，
又∵OC是半径，
∴CF与⊙O相切；
（2）．
【分析】（1）连接OC，利用等腰三角形性质得到∠A＝∠ACO，再根据直径所对圆周角是直角和直角三角形两锐角互余，结合已知条件推出∠ACO＝∠3，进而得到∠OCF＝90°，从而证明CF与⊙O相切；
（2）先根据∠F＝30°，∠OCF＝90°，求出∠COF＝60°，再根据半径相等得到BC＝OB最后根据弧长公式求出的长，加上BC和OC的长，得到阴影部分的周长．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠BCF，
∴∠ACO＝∠BCF，
∵∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠BCF+∠OCB＝∠OCF＝90°，
∴OC⊥CF，
又∵OC是半径，
∴CF与⊙O相切；
（2）解：∵∠F＝30°，∠OCF＝90°，
∴∠COF＝60°，
∵OC＝OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴，
∵，
∴阴影部分的周长为．
【点评】本题主要考查切线的判定与性质，圆周角定理，直线与圆的位置关系，解答本题的关键是熟练掌握切线的性质．
13．（2025秋 陕西期中）已知m+3的平方根是±2，2m+n﹣3的立方根是3，求﹣3m+n的算术平方根．
【考点】立方根；平方根；算术平方根．
【专题】整式；运算能力．
【答案】5．
【分析】根据平方根的定义，立方根的定义求出m＝1，n＝28，代入﹣3m+n求值，再求其算术平方根即可．
【解答】解：∵m+3的平方根是±2，2m+n﹣3的立方根是3，
∴m+3＝4，
解得：m＝1，
由条件可知2m+n﹣3＝27，
∴2×1+n﹣3＝27，所以n＝28，
∴﹣3m+n＝﹣3+28＝25，
∴﹣3m+n的算术平方根是5．
【点评】本题考查了平方根，立方根，算术平方根，掌握相应的定义是关键．
14．（2025秋 丹东校级期中）解方程：
（1）（x﹣1）2﹣9＝0；
（2）125x3+64＝0．
【考点】立方根；平方根．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）x＝4或x＝﹣2；（2）．
【分析】（1）先移项，再运用平方根的定义求解即可；
（2）移项，系数化为1，再运用立方根的定义求解即可．
【解答】解：（1）（x﹣1）2﹣9＝0，
（x﹣1）2＝9，
x﹣1＝±3，
x＝±3+1，
解得：x＝4或x＝﹣2；
（2）125x3+64＝0，
125x3＝﹣64，
，
解得：．
【点评】本题考查了立方根，平方根，掌握平方根，立方根的定义是关键．
15．（2025春 兴宁区校级期末）数形结合是重要的数学思想．如图（1），把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为2dm2的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题：
（1）所得到的面积为2dm2的大正方形的边长就是原先边长为1dm的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为 dm；
（2）由此，我们得到了一种方法．能在数轴上画出无理数所对应的点，则图（2）中A、B两点表示的数分别为 1 ， 1 ；
（3）通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形如图（3）所示进行裁剪并拼成一个正方形，则图中大正方形的边长为 ；
（4）若，求代数式|a+2|+|b|的值，并用（2）中相同的方法在图4的数轴上表示对应的点．（保留作图痕迹）
【考点】实数与数轴；无理数．
【专题】实数；数感；运算能力．
【答案】（1）；
（2）1，1；
（3）；
（4）1，在数轴表示详见解答．
【分析】（1）根据勾股定理进行计算即可；
（2）根据正方形的对角线的长为，再根据数轴表示数的方法进行计算即可；
（3）面积为5的正方形的边长为即可；
（4）化简|a+2|+|b|代入计算结果为1，再在数轴上表示即可．
【解答】解：（1）边长为1dm的小正方形的对角线长为（dm），
故答案为：；
（2）由题意得，点A所表示的数为1，点B所表示的数为1，
故答案为：1，1；
（3）由题意可知，正方形的面积为5，因此边长为，
故答案为：；
（4）∵a＝﹣3，b，∴|a+2|+|b|＝a+2+b＝﹣321，
在数轴表示1如图所示：
【点评】本题考查实数与数轴，掌握数轴表示数的方法是正确解答的关键．
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第10章 数的开方
一．选择题（共5小题）
1．（2025秋 宁波期中）下列说法：①10的平方根是；②负数和零没有立方根：③的相反数是；④16的算术平方根是4：⑤0.008的立方根是0.2，其中正确的有（ ）
A．①③④⑤ B．②④⑤ C．①③ D．①②③④⑤
2．（2025 三明二模）估计的值在（ ）
A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间
3．（2025春 济源期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（ ）
A． B． C．2 D．3
4．（2025秋 昆都仑区校级期中）下列说法：
①实数和数轴上的点是一一对应的；
②一个正数的算术平方根小于它本身；
③负数没有立方根；
④16的平方根是±4，用式子表示是；
⑤某数的绝对值、相反数、算术平方根都是它本身，则这个数是0，其中错误的有（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（2025秋 嵊州市期中）数，3.14，，，，0，203，﹣0.1010010001...（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1）中，无理数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共6小题）
6．（2025秋 海淀区校级期中）写出一个满足的整数x： ．
7．（2025春 瑶海区期中）的平方根是 ．
8．（2024秋 榕城区期末）将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上的“1cm”和“6cm”分别对应数轴上的数“x”和“”，则x的值为 ．
9．（2024秋 于洪区期末）一个正数的两个平方根分别是3与a+2，则a的值为 ．
10．（2025秋 嘉定区期中）已知，则214的立方根是 ．
11．（2025秋 包头期中）对于任意不相等的两个实数a，b，定义一种运算“※”如下：，则2※6＝ ．
三．解答题（共4小题）
12．（2025秋 徐州月考）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB于点D，延长AB至点F，使得∠BCF＝∠BCD．
（1）求证：CF与⊙O相切；
（2）若∠F＝30°，AB＝4，求阴影部分的周长．（结果保留π）
13．（2025秋 陕西期中）已知m+3的平方根是±2，2m+n﹣3的立方根是3，求﹣3m+n的算术平方根．
14．（2025秋 丹东校级期中）解方程：
（1）（x﹣1）2﹣9＝0；
（2）125x3+64＝0．
15．（2025春 兴宁区校级期末）数形结合是重要的数学思想．如图（1），把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为2dm2的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题：
（1）所得到的面积为2dm2的大正方形的边长就是原先边长为1dm的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为 dm；
（2）由此，我们得到了一种方法．能在数轴上画出无理数所对应的点，则图（2）中A、B两点表示的数分别为 ， ；
（3）通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形如图（3）所示进行裁剪并拼成一个正方形，则图中大正方形的边长为 ；
（4）若，求代数式|a+2|+|b|的值，并用（2）中相同的方法在图4的数轴上表示对应的点．（保留作图痕迹）
第10章 数的开方
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2025秋 宁波期中）下列说法：①10的平方根是；②负数和零没有立方根：③的相反数是；④16的算术平方根是4：⑤0.008的立方根是0.2，其中正确的有（ ）
A．①③④⑤ B．②④⑤ C．①③ D．①②③④⑤
【考点】立方根；平方根；算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的含义和求法，逐项判断即可．
【解答】解：①10的平方根是，正确，符合题意；
②负数和零有立方根，原说法错误，不符合题意；
③的相反数是，正确，符合题意；
④16的算术平方根是4，正确，符合题意；
⑤0.008的立方根是0.2，正确，符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了平方根、算术平方根、立方根的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．（2）一个正数或0只有一个算术平方根．（3）一个数的立方根只有一个．
2．（2025 三明二模）估计的值在（ ）
A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】直接利用估算无理数的方法得出接近无理数的整数进而得出答案．
【解答】解：∵，
∴56，
∴的值在5与6之间．
故选：B．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，思维方法：用有理数逼近无理数．
3．（2025春 济源期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（ ）
A． B． C．2 D．3
【考点】算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】根据所给出的程序列出代数式，由实数混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：由所给的程序可知，当输入64时，8，
∵8是有理数，
∴取其立方根可得到，2，
∵2是有理数，
∴取其算术平方根可得到，
∵是无理数，
∴y．
故选：A．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知有理数与无理数的概念是解答此题的关键．
4．（2025秋 昆都仑区校级期中）下列说法：
①实数和数轴上的点是一一对应的；
②一个正数的算术平方根小于它本身；
③负数没有立方根；
④16的平方根是±4，用式子表示是；
⑤某数的绝对值、相反数、算术平方根都是它本身，则这个数是0，其中错误的有（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】实数与数轴；平方根；算术平方根；立方根；实数的性质．
【答案】B
【分析】根据相关的定义逐个分析说法的正确性即可．
【解答】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，故说法①正确；
②一个正数的算术平方根不一定小于它本身，例如，当正数为1时，算术平方根等于1；当正数为0.25时，算术平方根0.5大于0.25，故原说法②错误；
③负数有立方根，如﹣8的立方根为﹣2，故原说法③错误；
④16的平方根是±4，用式子表示是，故原说法④错误；
⑤某数的绝对值、相反数、算术平方根都是它本身，则这个数是0，故说法⑤正确．
故选：B．
【点评】本题考查实数与数轴的关系、平方根、立方根、绝对值、相反数、算术平方根的定义，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
5．（2025秋 嵊州市期中）数，3.14，，，，0，203，﹣0.1010010001...（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1）中，无理数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】无理数．
【专题】实数；数感．
【答案】C
【分析】无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可．
【解答】解：3.14是有限小数，是分数，4，0，203是整数，它们不是无理数，
，，﹣0.1010010001...（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1）是无限不循环小数，它们是无理数，共3个，
故选：C．
【点评】本题考查无理数，熟练掌握其定义是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
6．（2025秋 海淀区校级期中）写出一个满足的整数x： ﹣1（不唯一） ．
【考点】估算无理数的大小．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】﹣1（不唯一）．
【分析】利用无理数的估算解答．
【解答】解：∵，1.414，1.732，
∴符合题意的x是﹣1、0、1，
故答案为：﹣1（不唯一）．
【点评】本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握无理数的估算．
7．（2025春 瑶海区期中）的平方根是 ±2 ．
【考点】算术平方根；平方根．
【专题】实数；数感；运算能力．
【答案】±2．
【分析】根据平方根、算术平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：由于4，
所以的平方根是±2，
故答案为：±2．
【点评】本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的前提．
8．（2024秋 榕城区期末）将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上的“1cm”和“6cm”分别对应数轴上的数“x”和“”，则x的值为 ．
【考点】实数与数轴；算术平方根．
【答案】见试题解答内容
【分析】观察数轴可知：数轴上对应数“x”和“”的两点间的距离为6﹣1＝5，然后根据数轴上两点距离计算公式列出算式，进行求解即可．
【解答】解：6﹣1＝5，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了数轴上两点距离计算，实数和数轴，解题关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式．
9．（2024秋 于洪区期末）一个正数的两个平方根分别是3与a+2，则a的值为 ﹣5 ．
【考点】平方根．
【专题】实数；数感；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据“一个正数的两个平方根互为相反数”进行计算即可．
【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是3与a+2，
∴a+2＝﹣3，
解得a＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查平方根，掌握“一个正数的两个平方根互为相反数”是正确解答的关键．
10．（2025秋 嘉定区期中）已知，则214的立方根是 5.981 ．
【考点】立方根；算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】5.981．
【分析】根据立方根的性质：被开立方数的小数点向左（或向右）移动三位，那么其立方根的小数点向左（或向右）移动一位即可求得答案．
【解答】解：∵0.5981，
∴214的立方根，即5.981，
故答案为：5.981．
【点评】本题考查立方根，算术平方根，熟练掌握其性质是解题的关键．
11．（2025秋 包头期中）对于任意不相等的两个实数a，b，定义一种运算“※”如下：，则2※6＝ ．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】．
【分析】根据新定义的运算，结合二次根式的乘除混合运算法则计算即可．
【解答】解：根据新定义的运算，结合二次根式的乘除混合运算法则可得：
．
故答案为：．
【点评】本题考查新定义的实数运算，二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是关键．
三．解答题（共4小题）
12．（2025秋 徐州月考）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB于点D，延长AB至点F，使得∠BCF＝∠BCD．
（1）求证：CF与⊙O相切；
（2）若∠F＝30°，AB＝4，求阴影部分的周长．（结果保留π）
【考点】切线的判定与性质；圆周角定理；直线与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；几何直观；推理能力．
【答案】（1）如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠BCF，
∴∠ACO＝∠BCF，
∵∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠BCF+∠OCB＝∠OCF＝90°，
∴OC⊥CF，
又∵OC是半径，
∴CF与⊙O相切；
（2）．
【分析】（1）连接OC，利用等腰三角形性质得到∠A＝∠ACO，再根据直径所对圆周角是直角和直角三角形两锐角互余，结合已知条件推出∠ACO＝∠3，进而得到∠OCF＝90°，从而证明CF与⊙O相切；
（2）先根据∠F＝30°，∠OCF＝90°，求出∠COF＝60°，再根据半径相等得到BC＝OB最后根据弧长公式求出的长，加上BC和OC的长，得到阴影部分的周长．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠BCF，
∴∠ACO＝∠BCF，
∵∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠BCF+∠OCB＝∠OCF＝90°，
∴OC⊥CF，
又∵OC是半径，
∴CF与⊙O相切；
（2）解：∵∠F＝30°，∠OCF＝90°，
∴∠COF＝60°，
∵OC＝OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴，
∵，
∴阴影部分的周长为．
【点评】本题主要考查切线的判定与性质，圆周角定理，直线与圆的位置关系，解答本题的关键是熟练掌握切线的性质．
13．（2025秋 陕西期中）已知m+3的平方根是±2，2m+n﹣3的立方根是3，求﹣3m+n的算术平方根．
【考点】立方根；平方根；算术平方根．
【专题】整式；运算能力．
【答案】5．
【分析】根据平方根的定义，立方根的定义求出m＝1，n＝28，代入﹣3m+n求值，再求其算术平方根即可．
【解答】解：∵m+3的平方根是±2，2m+n﹣3的立方根是3，
∴m+3＝4，
解得：m＝1，
由条件可知2m+n﹣3＝27，
∴2×1+n﹣3＝27，所以n＝28，
∴﹣3m+n＝﹣3+28＝25，
∴﹣3m+n的算术平方根是5．
【点评】本题考查了平方根，立方根，算术平方根，掌握相应的定义是关键．
14．（2025秋 丹东校级期中）解方程：
（1）（x﹣1）2﹣9＝0；
（2）125x3+64＝0．
【考点】立方根；平方根．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）x＝4或x＝﹣2；（2）．
【分析】（1）先移项，再运用平方根的定义求解即可；
（2）移项，系数化为1，再运用立方根的定义求解即可．
【解答】解：（1）（x﹣1）2﹣9＝0，
（x﹣1）2＝9，
x﹣1＝±3，
x＝±3+1，
解得：x＝4或x＝﹣2；
（2）125x3+64＝0，
125x3＝﹣64，
，
解得：．
【点评】本题考查了立方根，平方根，掌握平方根，立方根的定义是关键．
15．（2025春 兴宁区校级期末）数形结合是重要的数学思想．如图（1），把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为2dm2的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题：
（1）所得到的面积为2dm2的大正方形的边长就是原先边长为1dm的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为 dm；
（2）由此，我们得到了一种方法．能在数轴上画出无理数所对应的点，则图（2）中A、B两点表示的数分别为 1 ， 1 ；
（3）通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形如图（3）所示进行裁剪并拼成一个正方形，则图中大正方形的边长为 ；
（4）若，求代数式|a+2|+|b|的值，并用（2）中相同的方法在图4的数轴上表示对应的点．（保留作图痕迹）
【考点】实数与数轴；无理数．
【专题】实数；数感；运算能力．
【答案】（1）；
（2）1，1；
（3）；
（4）1，在数轴表示详见解答．
【分析】（1）根据勾股定理进行计算即可；
（2）根据正方形的对角线的长为，再根据数轴表示数的方法进行计算即可；
（3）面积为5的正方形的边长为即可；
（4）化简|a+2|+|b|代入计算结果为1，再在数轴上表示即可．
【解答】解：（1）边长为1dm的小正方形的对角线长为（dm），
故答案为：；
（2）由题意得，点A所表示的数为1，点B所表示的数为1，
故答案为：1，1；
（3）由题意可知，正方形的面积为5，因此边长为，
故答案为：；
（4）∵a＝﹣3，b，∴|a+2|+|b|＝a+2+b＝﹣321，
在数轴表示1如图所示：
【点评】本题考查实数与数轴，掌握数轴表示数的方法是正确解答的关键．
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