第12章 全等三角形（同步练习.含解析）2025-2026学年八年级上册数学华东师大版（2024）

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第12章 全等三角形
一．选择题（共8小题）
1．（2025秋 北京期中）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为23，BE＝3，则△ABD的周长为（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
2．（2025秋 山阴县期中）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝60°，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，则∠DEC的度数为（　　）
A．60° B．120° C．130° D．150°
3．（2025秋 惠城区校级期中）已知△ABC三边长a，b，c，且满足（a﹣2）2+|b﹣2|+|c﹣3|＝0，则此三角形一定是（　　）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形
D．三边都不相等的三角形
4．（2025秋 广东期中）如图，在△ABC和△CDA中，已知∠BAC＝∠DCA，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△CDA，只需再添加的一个条件不可以是（　　）
A．AB＝CD B．BC＝DA C．∠B＝∠D D．AD∥BC
5．（2024秋 江汉区期末）如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PC的中垂线上．若∠ABC＝80°，则∠APC的度数为（　　）
A．120° B．125° C．130° D．135°
6．（2025春 周村区期末）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（　　）
A．20 B．30 C．50 D．100
7．（2025秋 同江市期中）如图，∠AOB是一角度为10°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：EF、FG、GH…，且OE＝EF＝FG＝GH…，在OA、OB足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为（　　）
A．7根 B．8根 C．9根 D．无数根
8．（2025秋 瑞安市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，则∠AFB的度数是（　　）
A．105° B．115° C．125° D．130°
二．填空题（共4小题）
9．（2025秋 西城区校级期中）如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别交于点A，B，点C在线b上，且CA＝CB．若∠1＝α，则∠2＝　 　 （用含α的式子表示）．
10．（2025秋 重庆校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，△BCE的周长为15，BC＝6，则AB的长为　 　 ．
11．（2025秋 海淀区校级期中）在△ABC中，∠B＝57°，点D，E分别在AC，BC上，且BE＝AE＝AD，DE＝CD，则∠C＝　 　 ．
12．（2025秋 鞍山期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝5，连接BD，BD⊥CD，垂足是D，且∠ADB＝∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是　 　 ．
三．解答题（共3小题）
13．（2025秋 富顺县期中）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）试判断点F是否在边AB的垂直平分线上，并说明理由．
14．（2025 西安校级一模）如图，在△ABC中，延长AC至点D，使AD＝BC，过点D作DE∥CB，连接AE交BC于点F，若∠DAE＝∠B．求证：△ABC≌△EAD．
15．（2025秋 临河区期中）已知：如图，△ABC中，∠ABC＝45°，DH垂直平分BC交AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F．
（1）求证：BF＝AC；
（2）求证：BF＝2CE．
第12章 全等三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025秋 北京期中）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为23，BE＝3，则△ABD的周长为（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】D
【分析】由线段垂直平分线的性质可得BC＝2BE＝6，BD＝CD，再由△ABC的周长为23，求出AB+AC＝17，由此即可得解．
【解答】解：∵DE垂直平分BC，
∴BC＝2BE＝6，BD＝CD，
∵△ABC的周长为23，
∴AB+BC+AC＝23，
∴AB+AC＝17，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+CD+AD＝AB+AC＝17，
故选：D．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键．
2．（2025秋 山阴县期中）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝60°，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，则∠DEC的度数为（　　）
A．60° B．120° C．130° D．150°
【考点】等边三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】首先根据AB＝BC，∠B＝60°证得△ABC是等边三角形，从而求出∠C＝60°，再根据DE∥BC求出∠DEC即可．
【解答】解：∵AB＝BC，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∵DE∥BC，
∴∠C+∠DEC＝180°，
∴∠DEC＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°．
故选：B．
【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质以及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
3．（2025秋 惠城区校级期中）已知△ABC三边长a，b，c，且满足（a﹣2）2+|b﹣2|+|c﹣3|＝0，则此三角形一定是（　　）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形
D．三边都不相等的三角形
【考点】等腰三角形的判定；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】由题意得：a﹣2＝0，b﹣2＝0，c﹣3＝0，求出a＝2＝b，c＝3即可求解．
【解答】解：根据非负数的性质得：a﹣2＝0，b﹣2＝0，c﹣3＝0，
∴a＝2＝b，c＝3，
∴此三角形一定是底边和腰不相等的等腰三角形，
综上所述，只有选项C正确，符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，非负数的性质，关键是相关性质和定理的熟练掌握．
4．（2025秋 广东期中）如图，在△ABC和△CDA中，已知∠BAC＝∠DCA，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△CDA，只需再添加的一个条件不可以是（　　）
A．AB＝CD B．BC＝DA C．∠B＝∠D D．AD∥BC
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】B
【分析】由于∠BAC＝∠DCA，而AC为公共边，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：∵∠BAC＝∠DCA，AC＝CA，
∴A．当添加AB＝CD时，由SAS可证明△ABC≌△CDA，故此选项正确，不符合题意；
B．当添加BC＝DA时，由SSA不能证明△ABC≌△CDA，故此选项错误，符合题意；
C．当添加∠B＝∠D时，由AAS可证明△ABC≌△CDA，故此选项正确，不符合题意；
D．当AD∥BC时，∠ACB＝∠DAC，由ASA可证明△ABC≌△CDA，故此选项正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，明确SSA不能证明三角形全等是解题的关键．
5．（2024秋 江汉区期末）如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PC的中垂线上．若∠ABC＝80°，则∠APC的度数为（　　）
A．120° B．125° C．130° D．135°
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BMN+∠BNM，根据线段垂直平分线的性质得到MA＝MP，NC＝NP，根据等腰三角形的性质得到∠MPA＝∠MAP，∠NPC＝∠NCP，计算即可．
【解答】解：∵∠ABC＝80°，
∴∠BMN+∠BNM＝180°﹣80°＝100°，
∵M、N分别在PA、PC的中垂线上，
∴MA＝MP，NC＝NP，
∴∠MPA＝∠MAP，∠NPC＝∠NCP，
∴∠MPA+∠NPC（∠BMN+∠BNM）＝50°，
∴∠APC＝180°﹣50°＝130°，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
6．（2025春 周村区期末）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（　　）
A．20 B．30 C．50 D．100
【考点】角平分线的性质．
【专题】三角形；几何直观．
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质求出OE，最后用三角形的面积公式即可解答．
【解答】解：过O作OE⊥AB于点E，
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，
∴OE＝OD＝5，
∴△AOB的面积，
故选：C．
【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出OE＝OD解答．
7．（2025秋 同江市期中）如图，∠AOB是一角度为10°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：EF、FG、GH…，且OE＝EF＝FG＝GH…，在OA、OB足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为（　　）
A．7根 B．8根 C．9根 D．无数根
【考点】等腰三角形的性质．
【答案】B
【分析】根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形的内角和定理不难求解．
【解答】解：∵添加的钢管长度都与OE相等，∠AOB＝10°，
∴∠GEF＝∠FGE＝20°，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，四个是40°，五个是50°，六个是60°，七个是70°，八个是80°，九个是90°就不存在了．
所以一共有8个．
故选：B．
【点评】此题考查了三角形的内角和是180度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质；发现并利用规律是正确解答本题的关键．
8．（2025秋 瑞安市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，则∠AFB的度数是（　　）
A．105° B．115° C．125° D．130°
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠BAD和∠ABE的度数即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣50°）130°＝65°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD∠BAC50°＝25°，
∵BF⊥AC，
∴∠EBC＝90°﹣∠C＝90°﹣65°＝25°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝65°﹣25°＝40°，
∴∠AFB＝180°﹣∠BAD﹣∠ABE＝180°﹣25°﹣40°＝115°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是掌握等腰三角形的性质．
二．填空题（共4小题）
9．（2025秋 西城区校级期中）如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别交于点A，B，点C在线b上，且CA＝CB．若∠1＝α，则∠2＝　180°﹣2α　 （用含α的式子表示）．
【考点】等腰三角形的性质；平行线的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】180°﹣2α．
【分析】根据平行线的性质得∠CBA＝∠1＝α，由CA＝CB可得△ABC是等腰三角形，从而可求∠CAB的大小，再由平角的定义即可解答．
【解答】解：∵直线a∥b，∠1＝α，
∴∠CBA＝∠1＝α，
∵CA＝CB，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠CAB＝∠CBA＝α，
∵a∥b，
∴∠2＝180°﹣∠CAB﹣∠1＝180°﹣2α．
故答案为：180°﹣2α．
【点评】本题考查等腰三角形的性质和平行线的性质，熟练掌握性质是解题关键．
10．（2025秋 重庆校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，△BCE的周长为15，BC＝6，则AB的长为　9　 ．
【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形．
【答案】9．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AE＝BE，再由三角形周长计算公式推出AC+BC＝15，再由BC＝6求得AC的长，进而得到AB的长即可．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵△BCE的周长为15，
∴BE+CE+BC＝15，
∴AE+CE+BC＝15，即AC+BC＝15，
∵BC＝6，
∴AC＝15﹣BC＝15﹣6＝9，
∴AB＝AC＝9．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形周长等知识点，掌握线段垂直平分线上的点到线段的两端点距离相等是解题的关键．
11．（2025秋 海淀区校级期中）在△ABC中，∠B＝57°，点D，E分别在AC，BC上，且BE＝AE＝AD，DE＝CD，则∠C＝　38°　 ．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】38°．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，三角形外角的性质可得结论．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝57°，BE＝AE，
∴∠BAE＝∠B＝57°，
∵∠AEB＝66°，
∴∠AEC＝114°，
∵AE＝AD，DE＝CD，
∴∠AED＝∠ADE，∠CED＝∠C，
∴∠ADE＝∠AED＝2∠CED＝2∠C，
∴∠AEC＝∠AED+∠CED＝3∠C＝114°，
∴∠C＝38°，
故答案为：38°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质等知识，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．
12．（2025秋 鞍山期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝5，连接BD，BD⊥CD，垂足是D，且∠ADB＝∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是　5　 ．
【考点】角平分线的性质；垂线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】5．
【分析】根据等角的余角相等，得到∠ABD＝∠CBD，根据垂线段最短以及角平分线的性质，得到当DP⊥BC时，DP最短，此时DP＝AD，即可得出结果．
【解答】解：∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∴∠C+∠CBD＝180°﹣90°＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠ADB+∠ABD＝90°，
∵∠ADB＝∠C，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD为∠ABC的角平分线，
∵点P是边BC上的一动点，
∴当DP⊥BC时，DP最短，
∵BD为∠ABC的角平分线，∠A＝90°，
∴DP最小值＝AD＝5；
∴DP的最小值是5；
故答案为：5．
【点评】本题考查角平分线的性质，垂线段最短，关键是相关性质的熟练掌握．
三．解答题（共3小题）
13．（2025秋 富顺县期中）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）试判断点F是否在边AB的垂直平分线上，并说明理由．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）15cm；
（2）点F是在边AB的垂直平分线上，
如图所示，连接AF，BF，CF，
∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，
∴FA＝FC，FC＝FB，
∴FA＝FB（等量代换），
∴点F是在边AB的垂直平分线．
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得到AM＝CM，BN＝CN，根据三角形周长计算公式可推出AM+MN+BN＝15cm，据此可得答案；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得FA＝FB＝FC，据此可得结论．
【解答】解：（1）∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，
∴根据线段垂直平分线的性质得，AM＝CM，BN＝CN，
∵△CMN的周长为15cm，
∴CM+CN+MN＝15cm，
∴AM+MN+BN＝15cm，即AB＝15cm，则AB的长为15cm；
（2）点F是在边AB的垂直平分线上，理由如下：
如图所示，连接AF，BF，CF，
∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，
∴FA＝FC，FC＝FB，
∴FA＝FB（等量代换），
∴点F是在边AB的垂直平分线．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的性质与判定定理是解题的关键．
14．（2025 西安校级一模）如图，在△ABC中，延长AC至点D，使AD＝BC，过点D作DE∥CB，连接AE交BC于点F，若∠DAE＝∠B．求证：△ABC≌△EAD．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先证出∠ACB＝∠D，然后根据ASA即可得证．
【解答】证明：∵DE∥CB，
∴∠ACB＝∠D，
在△ABC与△EAD中，
，
∴△ABC≌△EAD（ASA）．
【点评】本题考查了三角形全等的判定、平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
15．（2025秋 临河区期中）已知：如图，△ABC中，∠ABC＝45°，DH垂直平分BC交AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F．
（1）求证：BF＝AC；
（2）求证：BF＝2CE．
【考点】等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由ASA证△BDF≌△CDA，进而可得出第（1）问的结论；
（2）在△ABC中由垂直平分线可得AB＝BC，即点E是AC的中点，再结合第一问的结论即可求解．
【解答】证明：（1）∵DH垂直平分BC，且∠ABC＝45°，
∴BD＝DC，且∠BDC＝90°，
∵∠A+∠ABF＝90°，∠A+∠ACD＝90°，
∴∠ABF＝∠ACD，
在△BDF和△CDA中，
，
∴△BDF≌△CDA（ASA），
∴BF＝AC．
（2）由（1）得BF＝AC，
∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴．
∴BF＝2CE．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及线段垂直平分线的性质等问题，掌握以上知识是解题的关键．
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