13.1.1 直角三角形三边的关系（同步练习.含解析）2025-2026学年八年级上册数学华东师大版（2024）
文档属性
| 名称 | 13.1.1 直角三角形三边的关系（同步练习.含解析）2025-2026学年八年级上册数学华东师大版（2024） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 957.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-30 08:34:21 | ||
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文档简介
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13.1.1 直角三角形三边的关系
一．选择题（共7小题）
1．（2025秋 曲靖期中）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若BC＝15，BD＝10，则点D到AB的距离是（ ）
A．15 B．10 C．5 D．4
2．（2025秋 沛县期中）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝2，则AB2+BC2+AC2的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．无法计算
3．（2025 秦都区校级模拟）如图，在5×7的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD为△ABC的中线，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025秋 开原市期中）如图，分别以直角三角形的三边向外作三个正方形，且S1＝81，S3＝225则S2等于（ ）
A．144 B．289 C．306 D．441
5．（2025秋 朝阳区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，若BC＝16，BD＝10，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2024秋 高新区期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）
A． B． C．2.2 D．3
7．（2025春 龙凤区校级期末）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2……按照此规律继续下去，则S2025的值为（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题）
8．（2025秋 开原市期中）如图，在△ABC中，AC＝BC＝4cm，AB＝5cm，CD是AB边上的高，则CD的长为是 ．
9．（2025秋 和平区校级期中）如图，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝10．D为AC边的中点，AE⊥BD于点F．则FC的长度为 ．
10．（2025春 武都区期末）如图，△ABC的顶点A，B，C在由边长为1的小正方形组成的网格的格点上，CD⊥AB于点D．则CD的长为 ．
11．（2025秋 新津区校级期末）在△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，斜边AB上的高是 ．
12．（2025秋 福田区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB，AC＝8，BC＞6，点E，F分别在BC，AC边上，且AF＝CE，则AE+BF的最小值为 ．
三．解答题（共3小题）
13．（2025春 安阳县期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是6dm，物体C到定滑轮A的垂直距离是8dm．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．）
（1）求绳子的总长度；
（2）如图2，若物体C升高7dm，求滑块B向左滑动的距离．
14．（2025秋 宁波期中）如图，已知∠CAB＝90°，AD，AE分别是△ABC的高线和中线．
（1）若AB＝5，AC＝12，求AD的长；
（2）若∠B＝64°，求∠DAE．
15．（2025春 海淀区校级期中）【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式的最小值．
分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值．
【模型应用】
（1）代数式的最小值为 ；
（2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值；
【模型拓展】
（3）根据以上学习，解决问题：已知正数x满足，求x的值．
13.1.1 直角三角形三边的关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025秋 曲靖期中）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若BC＝15，BD＝10，则点D到AB的距离是（ ）
A．15 B．10 C．5 D．4
【考点】勾股定理；角平分线的性质．
【专题】计算题；推理能力．
【答案】C
【分析】过点D作DE⊥AB，由角平分线的性质可得DC＝DE，根据BD，BC的长即可求解．
【解答】解：过点D作DE⊥AB，如图；
∵AD是角平分线，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
∵BC＝15，BD＝10，
∴DC＝DE＝15﹣10＝5．
∴点D到AB的距离是5．
故选：C．
【点评】本题考查角平分线的性质，理解点到直线的距离是解题关键．
2．（2025秋 沛县期中）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝2，则AB2+BC2+AC2的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．无法计算
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】先根据勾股定理得到AB2+BC2＝AC2，再代入AB2+BC2+AC2求值．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∴根据勾股定理得，AB2+BC2＝AC2，
∵AC＝2，
∴AB2+BC2+AC2＝2AC2＝2×22＝8，则AB2+BC2+AC2的值为8，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，解题关键是掌握勾股定理并能熟练运用求解．
3．（2025 秦都区校级模拟）如图，在5×7的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD为△ABC的中线，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
【考点】勾股定理．
【专题】网格型；等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】B
【分析】根据勾股定理计算出三角形三边的长度，判断三角形是直角三角形，再根据斜边上的中线是斜边的一半进行判断即可．
【解答】解：每个小正方形的边长均为1，
根据勾股定理可得：AB2＝22+62＝40，AC2＝32+12＝10，BC2＝12+72＝50，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∵AD是斜边BC边上的中线，
∴ADBC．
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理，正确记忆相关知识点是解题关键．
4．（2025秋 开原市期中）如图，分别以直角三角形的三边向外作三个正方形，且S1＝81，S3＝225则S2等于（ ）
A．144 B．289 C．306 D．441
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形．
【答案】A
【分析】由勾股定理结合正方形的面积公式可得：S2＝S3﹣S1＝225﹣81＝144．
【解答】解：由勾股定理结合正方形的面积公式可得：S2＝S3﹣S1＝225﹣81＝144，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，正方形的面积，熟记勾股定理与正方形的面积公式是解题的关键．
5．（2025秋 朝阳区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，若BC＝16，BD＝10，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】勾股定理；角平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】D
【分析】由题意可求△ACD≌△AED，从而求出CD＝DE即可求出答案．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，
由题意得：∠C＝∠AED＝90°，∠CAD＝∠DAE，
在△ACD和△AED中，
∵，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴CD＝DE，
∴BC＝16，BD＝10，
∴CD＝BC﹣BD＝16﹣10＝6＝DE，
故选：D．
【点评】本题主要考查三角形的角平分线、全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
6．（2024秋 高新区期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）
A． B． C．2.2 D．3
【考点】勾股定理．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】B
【分析】连接AD，则AD＝AB＝3，在Rt△ACD中，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：连接AD，
由题意知：AD＝AB＝3，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
CD，
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理，明确AD＝AB＝3是解题的关键．
7．（2025春 龙凤区校级期末）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2……按照此规律继续下去，则S2025的值为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】勾股定理；规律型：图形的变化类．
【专题】规律型；创新意识．
【答案】D
【分析】由特殊情况总结出一般规律，即可得到答案．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为2，
∴S1＝DC2＝4，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴2DE2＝DC2＝S1，
∴S2＝ED2，
同理：S3S2，
按照此规律继续下去，则S2025，即S2025＝（）2022．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理，规律型：图形的变化类，关键是由特殊情况总结出一般规律．
二．填空题（共5小题）
8．（2025秋 开原市期中）如图，在△ABC中，AC＝BC＝4cm，AB＝5cm，CD是AB边上的高，则CD的长为是 ．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得出AD的长，再根据勾股定理即可求解．
【解答】解：∵AC＝BC＝4cm，AB＝5cm，CD是AB边上的高，
∴AD＝BD，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，
CD，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形三线合一的性质，熟记勾股定理，等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．
9．（2025秋 和平区校级期中）如图，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝10．D为AC边的中点，AE⊥BD于点F．则FC的长度为 ．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】．
【分析】过点F作FH⊥AC于点H，对Rt△ABC，Rt△ADF，Rt△DFH，Rt△CHF运用勾股定理以及等面积法进行求解即可．
【解答】解：如图，过点F作FH⊥AC于点H，
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝10，
由勾股定理得AC8，
∵D为AC边的中点，
∴AD＝CD＝4，
在直角三角形ABD中，∠DAB＝90°，
由勾股定理得BD2，
∵AD ABBD AF，
∴AF，
在直角三角形ADF中，由勾股定理得DF，
∴同理HF，
在直角三角形DFH中，由勾股定理得DH，
∴CH＝CD+DH，
在直角三角形CFH中，由勾股定理得CF，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积，熟练运用勾股定理求解是解题的关键．
10．（2025春 武都区期末）如图，△ABC的顶点A，B，C在由边长为1的小正方形组成的网格的格点上，CD⊥AB于点D．则CD的长为 ．
【考点】勾股定理．
【专题】网格型；几何直观．
【答案】．
【分析】根据割补法求出△ABC的面积，再由勾股定理求出AB的长，再根据三角形的面积公式求解．
【解答】解：S△ABC＝4×43×4，
AB5，
∴，
∴CD，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理，运用割补法求出三角形ABC的面积是解题的关键．
11．（2025秋 新津区校级期末）在△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，斜边AB上的高是 ．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】设斜边AB上的高是h，由勾股定理求出AB＝15，再由三角形面积求出h的值即可．
【解答】解：设斜边AB上的高是h，
∵∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，
∴AB15，
∵S△ABCAB hAC BC，
∴h，
即斜边AB上的高是，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理以及三角形面积，根据勾股定理求出AB的长是解题的关键．
12．（2025秋 福田区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB，AC＝8，BC＞6，点E，F分别在BC，AC边上，且AF＝CE，则AE+BF的最小值为 ．
【考点】勾股定理．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】．
【分析】过A点作AG∥BC，截取AG＝AC，连接FG，BG，过B作BR⊥AG，交AG 的反向延长线于R，则∠RBC＝∠BRA＝90°，利用SAS证明△AFG≌△CEA可求得AE+BF的最小值即为BG的长，再结合等腰直角三角形的性质及勾股定理可求解．
【解答】解：过A点作AG∥BC，截取AG＝AC，连接FG，BG，过B作BR⊥AG，交AG 的反向延长线于R，则∠RBC＝∠BRA＝90°，
∴∠GAF＝∠ACE，
在△AFG和△CEA中，
，
∴△AFG≌△CEA（SAS），
∴GF＝AE，
∴AE+BF的最小值，即为BG的长，
∵∠ABC＝45°，
∴∠RAB＝∠EBA＝45°，
∵AB，
∴BR＝AR＝6，
∵AC＝8，
∴AG＝AC＝8，
∴RG＝AR+AG＝6+8＝14，
∴BG，
即AE+BF的最小值为．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质与判定，线段的性质，等腰直角三角形，勾股定理等知识的综合运用，判断AE+BF的最小值即为BG的长是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
13．（2025春 安阳县期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是6dm，物体C到定滑轮A的垂直距离是8dm．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．）
（1）求绳子的总长度；
（2）如图2，若物体C升高7dm，求滑块B向左滑动的距离．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理和线段的和差即可得到结论．
【解答】解：（1）根据题意得AC＝8dm，BC＝6dm，∠ACB＝90°，
∴AB10（dm），
∴AB+AC＝10+8＝18（dm），
答：绳子的总长度为18dm；
（2）如图，
根据题意得∠ADB＝90°，AD＝8dm，CD＝7dm，AB＝（10+7）dm，
∴15（dm），
∴BE＝BD﹣DE＝15﹣6＝9（dm），
答：滑块B向左滑动的距离为9dm．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
14．（2025秋 宁波期中）如图，已知∠CAB＝90°，AD，AE分别是△ABC的高线和中线．
（1）若AB＝5，AC＝12，求AD的长；
（2）若∠B＝64°，求∠DAE．
【考点】勾股定理；角的计算；三角形的角平分线、中线和高．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）；
（2）38°．
【分析】（1）根据勾股定理求出BC，再根据三角形面积公式求出AD；
（2）根据直角三角形的性质求出∠C，根据直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质得到∠EAC＝∠C＝26°，再根据三角形的外角性质、直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：（1）在Rt△CAB中，AB＝5，AC＝12，
由勾股定理得：BC13，
S△ABCAB ACBC AD，
∴AD；
（2）在Rt△CAB中，∠B＝64°，AE是△ABC的中线，
∴∠C＝90°﹣∠B＝90°﹣64°＝26°，AEBC＝EC，
∴∠EAC＝∠C＝26°，
∴∠AED＝∠EAC+∠C＝52°，
∴∠DAE＝90°﹣∠AED＝90°﹣52°＝38°．
【点评】本题考查的是勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
15．（2025春 海淀区校级期中）【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式的最小值．
分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值．
【模型应用】
（1）代数式的最小值为 13 ；
（2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值；
【模型拓展】
（3）根据以上学习，解决问题：已知正数x满足，求x的值．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可；
（2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可；
（3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可．
【解答】解：（1）∵AH＝3+2＝5，HD＝12，
∴，
∴的最小值是13，
故答案为：13；
（2）∵AC＝2，DF＝1，CF＝5，AH＝2+1＝3，HD＝5，
∴，
∴的最小值是；
（3）构造△ABC，CD⊥BC于D，AC＝6，BC＝8，如图，
设CD＝x，则，
∴，
∵62+82＝102，
∴∠ACB＝90°，
∴，
∴x＝4.8．
【点评】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意的数形结合思想进行求解问题．
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13.1.1 直角三角形三边的关系
一．选择题（共7小题）
1．（2025秋 曲靖期中）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若BC＝15，BD＝10，则点D到AB的距离是（ ）
A．15 B．10 C．5 D．4
2．（2025秋 沛县期中）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝2，则AB2+BC2+AC2的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．无法计算
3．（2025 秦都区校级模拟）如图，在5×7的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD为△ABC的中线，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025秋 开原市期中）如图，分别以直角三角形的三边向外作三个正方形，且S1＝81，S3＝225则S2等于（ ）
A．144 B．289 C．306 D．441
5．（2025秋 朝阳区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，若BC＝16，BD＝10，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2024秋 高新区期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）
A． B． C．2.2 D．3
7．（2025春 龙凤区校级期末）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2……按照此规律继续下去，则S2025的值为（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题）
8．（2025秋 开原市期中）如图，在△ABC中，AC＝BC＝4cm，AB＝5cm，CD是AB边上的高，则CD的长为是 ．
9．（2025秋 和平区校级期中）如图，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝10．D为AC边的中点，AE⊥BD于点F．则FC的长度为 ．
10．（2025春 武都区期末）如图，△ABC的顶点A，B，C在由边长为1的小正方形组成的网格的格点上，CD⊥AB于点D．则CD的长为 ．
11．（2025秋 新津区校级期末）在△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，斜边AB上的高是 ．
12．（2025秋 福田区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB，AC＝8，BC＞6，点E，F分别在BC，AC边上，且AF＝CE，则AE+BF的最小值为 ．
三．解答题（共3小题）
13．（2025春 安阳县期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是6dm，物体C到定滑轮A的垂直距离是8dm．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．）
（1）求绳子的总长度；
（2）如图2，若物体C升高7dm，求滑块B向左滑动的距离．
14．（2025秋 宁波期中）如图，已知∠CAB＝90°，AD，AE分别是△ABC的高线和中线．
（1）若AB＝5，AC＝12，求AD的长；
（2）若∠B＝64°，求∠DAE．
15．（2025春 海淀区校级期中）【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式的最小值．
分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值．
【模型应用】
（1）代数式的最小值为 ；
（2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值；
【模型拓展】
（3）根据以上学习，解决问题：已知正数x满足，求x的值．
13.1.1 直角三角形三边的关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025秋 曲靖期中）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若BC＝15，BD＝10，则点D到AB的距离是（ ）
A．15 B．10 C．5 D．4
【考点】勾股定理；角平分线的性质．
【专题】计算题；推理能力．
【答案】C
【分析】过点D作DE⊥AB，由角平分线的性质可得DC＝DE，根据BD，BC的长即可求解．
【解答】解：过点D作DE⊥AB，如图；
∵AD是角平分线，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
∵BC＝15，BD＝10，
∴DC＝DE＝15﹣10＝5．
∴点D到AB的距离是5．
故选：C．
【点评】本题考查角平分线的性质，理解点到直线的距离是解题关键．
2．（2025秋 沛县期中）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝2，则AB2+BC2+AC2的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．无法计算
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】先根据勾股定理得到AB2+BC2＝AC2，再代入AB2+BC2+AC2求值．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∴根据勾股定理得，AB2+BC2＝AC2，
∵AC＝2，
∴AB2+BC2+AC2＝2AC2＝2×22＝8，则AB2+BC2+AC2的值为8，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，解题关键是掌握勾股定理并能熟练运用求解．
3．（2025 秦都区校级模拟）如图，在5×7的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD为△ABC的中线，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
【考点】勾股定理．
【专题】网格型；等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】B
【分析】根据勾股定理计算出三角形三边的长度，判断三角形是直角三角形，再根据斜边上的中线是斜边的一半进行判断即可．
【解答】解：每个小正方形的边长均为1，
根据勾股定理可得：AB2＝22+62＝40，AC2＝32+12＝10，BC2＝12+72＝50，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∵AD是斜边BC边上的中线，
∴ADBC．
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理，正确记忆相关知识点是解题关键．
4．（2025秋 开原市期中）如图，分别以直角三角形的三边向外作三个正方形，且S1＝81，S3＝225则S2等于（ ）
A．144 B．289 C．306 D．441
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形．
【答案】A
【分析】由勾股定理结合正方形的面积公式可得：S2＝S3﹣S1＝225﹣81＝144．
【解答】解：由勾股定理结合正方形的面积公式可得：S2＝S3﹣S1＝225﹣81＝144，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，正方形的面积，熟记勾股定理与正方形的面积公式是解题的关键．
5．（2025秋 朝阳区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，若BC＝16，BD＝10，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】勾股定理；角平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】D
【分析】由题意可求△ACD≌△AED，从而求出CD＝DE即可求出答案．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，
由题意得：∠C＝∠AED＝90°，∠CAD＝∠DAE，
在△ACD和△AED中，
∵，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴CD＝DE，
∴BC＝16，BD＝10，
∴CD＝BC﹣BD＝16﹣10＝6＝DE，
故选：D．
【点评】本题主要考查三角形的角平分线、全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
6．（2024秋 高新区期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）
A． B． C．2.2 D．3
【考点】勾股定理．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】B
【分析】连接AD，则AD＝AB＝3，在Rt△ACD中，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：连接AD，
由题意知：AD＝AB＝3，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
CD，
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理，明确AD＝AB＝3是解题的关键．
7．（2025春 龙凤区校级期末）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2……按照此规律继续下去，则S2025的值为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】勾股定理；规律型：图形的变化类．
【专题】规律型；创新意识．
【答案】D
【分析】由特殊情况总结出一般规律，即可得到答案．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为2，
∴S1＝DC2＝4，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴2DE2＝DC2＝S1，
∴S2＝ED2，
同理：S3S2，
按照此规律继续下去，则S2025，即S2025＝（）2022．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理，规律型：图形的变化类，关键是由特殊情况总结出一般规律．
二．填空题（共5小题）
8．（2025秋 开原市期中）如图，在△ABC中，AC＝BC＝4cm，AB＝5cm，CD是AB边上的高，则CD的长为是 ．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得出AD的长，再根据勾股定理即可求解．
【解答】解：∵AC＝BC＝4cm，AB＝5cm，CD是AB边上的高，
∴AD＝BD，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，
CD，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形三线合一的性质，熟记勾股定理，等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．
9．（2025秋 和平区校级期中）如图，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝10．D为AC边的中点，AE⊥BD于点F．则FC的长度为 ．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】．
【分析】过点F作FH⊥AC于点H，对Rt△ABC，Rt△ADF，Rt△DFH，Rt△CHF运用勾股定理以及等面积法进行求解即可．
【解答】解：如图，过点F作FH⊥AC于点H，
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝10，
由勾股定理得AC8，
∵D为AC边的中点，
∴AD＝CD＝4，
在直角三角形ABD中，∠DAB＝90°，
由勾股定理得BD2，
∵AD ABBD AF，
∴AF，
在直角三角形ADF中，由勾股定理得DF，
∴同理HF，
在直角三角形DFH中，由勾股定理得DH，
∴CH＝CD+DH，
在直角三角形CFH中，由勾股定理得CF，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积，熟练运用勾股定理求解是解题的关键．
10．（2025春 武都区期末）如图，△ABC的顶点A，B，C在由边长为1的小正方形组成的网格的格点上，CD⊥AB于点D．则CD的长为 ．
【考点】勾股定理．
【专题】网格型；几何直观．
【答案】．
【分析】根据割补法求出△ABC的面积，再由勾股定理求出AB的长，再根据三角形的面积公式求解．
【解答】解：S△ABC＝4×43×4，
AB5，
∴，
∴CD，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理，运用割补法求出三角形ABC的面积是解题的关键．
11．（2025秋 新津区校级期末）在△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，斜边AB上的高是 ．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】设斜边AB上的高是h，由勾股定理求出AB＝15，再由三角形面积求出h的值即可．
【解答】解：设斜边AB上的高是h，
∵∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，
∴AB15，
∵S△ABCAB hAC BC，
∴h，
即斜边AB上的高是，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理以及三角形面积，根据勾股定理求出AB的长是解题的关键．
12．（2025秋 福田区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB，AC＝8，BC＞6，点E，F分别在BC，AC边上，且AF＝CE，则AE+BF的最小值为 ．
【考点】勾股定理．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】．
【分析】过A点作AG∥BC，截取AG＝AC，连接FG，BG，过B作BR⊥AG，交AG 的反向延长线于R，则∠RBC＝∠BRA＝90°，利用SAS证明△AFG≌△CEA可求得AE+BF的最小值即为BG的长，再结合等腰直角三角形的性质及勾股定理可求解．
【解答】解：过A点作AG∥BC，截取AG＝AC，连接FG，BG，过B作BR⊥AG，交AG 的反向延长线于R，则∠RBC＝∠BRA＝90°，
∴∠GAF＝∠ACE，
在△AFG和△CEA中，
，
∴△AFG≌△CEA（SAS），
∴GF＝AE，
∴AE+BF的最小值，即为BG的长，
∵∠ABC＝45°，
∴∠RAB＝∠EBA＝45°，
∵AB，
∴BR＝AR＝6，
∵AC＝8，
∴AG＝AC＝8，
∴RG＝AR+AG＝6+8＝14，
∴BG，
即AE+BF的最小值为．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质与判定，线段的性质，等腰直角三角形，勾股定理等知识的综合运用，判断AE+BF的最小值即为BG的长是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
13．（2025春 安阳县期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是6dm，物体C到定滑轮A的垂直距离是8dm．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．）
（1）求绳子的总长度；
（2）如图2，若物体C升高7dm，求滑块B向左滑动的距离．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理和线段的和差即可得到结论．
【解答】解：（1）根据题意得AC＝8dm，BC＝6dm，∠ACB＝90°，
∴AB10（dm），
∴AB+AC＝10+8＝18（dm），
答：绳子的总长度为18dm；
（2）如图，
根据题意得∠ADB＝90°，AD＝8dm，CD＝7dm，AB＝（10+7）dm，
∴15（dm），
∴BE＝BD﹣DE＝15﹣6＝9（dm），
答：滑块B向左滑动的距离为9dm．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
14．（2025秋 宁波期中）如图，已知∠CAB＝90°，AD，AE分别是△ABC的高线和中线．
（1）若AB＝5，AC＝12，求AD的长；
（2）若∠B＝64°，求∠DAE．
【考点】勾股定理；角的计算；三角形的角平分线、中线和高．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）；
（2）38°．
【分析】（1）根据勾股定理求出BC，再根据三角形面积公式求出AD；
（2）根据直角三角形的性质求出∠C，根据直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质得到∠EAC＝∠C＝26°，再根据三角形的外角性质、直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：（1）在Rt△CAB中，AB＝5，AC＝12，
由勾股定理得：BC13，
S△ABCAB ACBC AD，
∴AD；
（2）在Rt△CAB中，∠B＝64°，AE是△ABC的中线，
∴∠C＝90°﹣∠B＝90°﹣64°＝26°，AEBC＝EC，
∴∠EAC＝∠C＝26°，
∴∠AED＝∠EAC+∠C＝52°，
∴∠DAE＝90°﹣∠AED＝90°﹣52°＝38°．
【点评】本题考查的是勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
15．（2025春 海淀区校级期中）【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式的最小值．
分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值．
【模型应用】
（1）代数式的最小值为 13 ；
（2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值；
【模型拓展】
（3）根据以上学习，解决问题：已知正数x满足，求x的值．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可；
（2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可；
（3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可．
【解答】解：（1）∵AH＝3+2＝5，HD＝12，
∴，
∴的最小值是13，
故答案为：13；
（2）∵AC＝2，DF＝1，CF＝5，AH＝2+1＝3，HD＝5，
∴，
∴的最小值是；
（3）构造△ABC，CD⊥BC于D，AC＝6，BC＝8，如图，
设CD＝x，则，
∴，
∵62+82＝102，
∴∠ACB＝90°，
∴，
∴x＝4.8．
【点评】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意的数形结合思想进行求解问题．
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