13.1.2 直角三角形的判定（同步练习.含解析）2025-2026学年八年级上册数学华东师大版（2024）
文档属性
| 名称 | 13.1.2 直角三角形的判定（同步练习.含解析）2025-2026学年八年级上册数学华东师大版（2024） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1000.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-30 08:34:08 | ||
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文档简介
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13.1.2 直角三角形的判定
一．选择题（共6小题）
1．（2025秋 顺德区期中）下列三边能够组成直角三角形的是（ ）
A． B．1，2， C．3，5，8 D．32，42，52
2．（2025秋 南山区期中）意大利著名画家达 芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2，则下列对S1，S2所列等式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．S1＝S2
3．（2025春 海淀区期末）在勾股定理的证明中，小云用与Rt△ABC全等的三角形拼出了如图所示的弦图，若正方形GHJK的面积为16，正方形CDEF的面积为4，则线段AB的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024秋 新城区校级期末）已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件能判断△ABC是直角三角形的有（ ）①∠A：∠B：∠C＝1：2：3；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A＝2∠B＝3∠C；④a：b：c＝3：4：5；⑤∠A＝∠C﹣∠B．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2025秋 广东期中）如图是一个电线杆的示意图，在电线杆中间增加了很多斜条，它所运用的几何原理是（ ）
A．三角形两边之和大于第三边
B．三角形具有稳定性
C．两点之间线段最短
D．直角三角形的性质
6．（2025秋 长兴县期中）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成．如图，直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．若b﹣a＝4，c＝16，则每个直角三角形的面积为（ ）
A．64 B．60 C．120 D．128
二．填空题（共6小题）
7．（2025秋 安定区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝33°，则∠B＝ °．
8．（2025秋 南山区期中）如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，H是DE的中点．若AD的长为5，则阴影部分的面积为 ．
9．（2025秋 东莞市期中）在如图所示的3×3正方形网格中，∠1+∠2+∠3＝ 度．
10．（2025秋 丹东校级期中）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若三边关系为a2+c2＝b2，则 是直角．
11．（2025秋 船营区校级期中）如图，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，若∠ABD＝40°，则∠C＝ ．
12．（2025春 荷塘区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝13，CD＝12，AD＝4，且∠A＝90°，则四边形ABCD的面积是 ．
三．解答题（共3小题）
13．（2025秋 陕西期中）如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，DE⊥BC交AB于点E，连接CE，且BE2﹣EA2＝AC2．
（1）试说明：∠A＝90°；
（2）若AC＝10，BD＝13，求AE的长度．
14．（2025秋 垣曲县期中）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD，AD．
（1）求AC的长．
（2）求四边形ABCD的面积．
15．（2025春 汾阳市期末）不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性、便捷性，更关注婴儿车的安全性．如图1是某平台出售的一种品牌婴儿车，图2为其结构示意图，经过测量得到AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°）．根据安全标准需满足BC⊥CD，请判断该婴儿车是否符合安全标准，并说明理由．
13.1.2 直角三角形的判定
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．（2025秋 顺德区期中）下列三边能够组成直角三角形的是（ ）
A． B．1，2， C．3，5，8 D．32，42，52
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可．
【解答】解：A、∵（）2+（）2≠（）2，
∴以，，为边不能组成直角三角形，故选项不符合题意；
B、∵12+22＝（）2，
∴以1，2，为边能组成直角三角形，故选项符合题意；
C、∵32+52≠82，
∴以3，5，8为边不能组成直角三角形，故选项不符合题意；
D、∵（32）2+（42）2≠（52）2，
∴以32，42，52为边不能组成直角三角形，故选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的勾股定理的逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
2．（2025秋 南山区期中）意大利著名画家达 芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2，则下列对S1，S2所列等式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．S1＝S2
【考点】勾股定理的证明．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】A
【分析】根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题．
【解答】解：由勾股定理可得a2+b2＝c2，
由题意，可得，
故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
3．（2025春 海淀区期末）在勾股定理的证明中，小云用与Rt△ABC全等的三角形拼出了如图所示的弦图，若正方形GHJK的面积为16，正方形CDEF的面积为4，则线段AB的长为（ ）
A． B． C． D．
【考点】勾股定理的证明．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】设BC＝a，AC＝b，根据正方形的性质得到CD＝2，GK＝4，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：设BC＝a，AC＝b，
∵正方形GHJK的面积为16，正方形CDEF的面积为4，
∴CD＝2，GK＝4，
∴，
∴，
∴AB，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
4．（2024秋 新城区校级期末）已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件能判断△ABC是直角三角形的有（ ）①∠A：∠B：∠C＝1：2：3；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A＝2∠B＝3∠C；④a：b：c＝3：4：5；⑤∠A＝∠C﹣∠B．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】利用勾股定理逆定理和三角形内角和定理逐个判断即可得出答案．
【解答】解：①∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴设∠A＝x、∠B＝2x、∠C＝3x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故①能判断△ABC是直角三角形；
②∵a2＝（b+c）（b﹣c）＝b2﹣c2，
∴b2＝a2+c2，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故②能判断△ABC是直角三角形；
③∵∠A＝2∠B＝3∠C，
∴设∠C＝x，则∠A＝3x，，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴，解得，
∴，，，
∴△ABC不是直角三角形，故③不能判断△ABC是直角三角形；
④∵a：b：c＝3：4：5；
∴设a＝3x，b＝4x，c＝5x，
∴a2+b2＝（3x）2+（4x）2＝25x2＝c2，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故④能判断△ABC是直角三角形；
⑤∵∠A＝∠C﹣∠B，
∴∠C＝∠A+∠B，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故⑤能判断△ABC是直角三角形；
∴能判断△ABC是直角三角形有①②④⑤，共4个，
故选：D．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及三角形内角和定理，关键是掌握勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形．
5．（2025秋 广东期中）如图是一个电线杆的示意图，在电线杆中间增加了很多斜条，它所运用的几何原理是（ ）
A．三角形两边之和大于第三边
B．三角形具有稳定性
C．两点之间线段最短
D．直角三角形的性质
【考点】直角三角形的性质；线段的性质：两点之间线段最短；三角形的稳定性．
【专题】三角形；应用意识．
【答案】B
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：在电线杆中间增加了很多斜条，它所运用的几何原理是三角形具有稳定性，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
6．（2025秋 长兴县期中）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成．如图，直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．若b﹣a＝4，c＝16，则每个直角三角形的面积为（ ）
A．64 B．60 C．120 D．128
【考点】勾股定理的证明．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】B
【分析】根据勾股定理可知a2+b2＝c2，再根据b﹣a＝4，c＝16，即可得到a、b的值，然后即可计算出每个直角三角形的面积．
【解答】解：由图可得，a2+b2＝c2，
∴，且a、b均大于0，
解得ab＝120，
∴每个直角三角形的面积为ab120＝60，
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出ab的值．
二．填空题（共6小题）
7．（2025秋 安定区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝33°，则∠B＝ 57 °．
【考点】直角三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】57．
【分析】利用直角三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝33°，
∴根据直角三角形的性质得，∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣33°＝57°，则∠B的度数为57°，
故答案为：57．
【点评】本题考查直角三角形性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
8．（2025秋 南山区期中）如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，H是DE的中点．若AD的长为5，则阴影部分的面积为 15 ．
【考点】勾股定理的证明．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意设EH＝x，则DH＝AE＝x，根据勾股定理列式x2+（2x）2＝52，继而得到，即可得到本题答案．
【解答】解：由“赵爽弦图”可知AE＝DH，
设EH＝x，则DH＝AE＝x，
∵AD的长为5，AE2+ED2＝AD2，
∴x2+（2x）2＝52，
∴，
∴阴影部分的面积：，
故答案为：15．
【点评】本题考查勾股定理，求阴影部分面积等．熟练掌握以上知识是解题的关键．
9．（2025秋 东莞市期中）在如图所示的3×3正方形网格中，∠1+∠2+∠3＝ 90 度．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】90．
【分析】证明△ABC≌△DEF，△DCG≌△CEB得出∠2+∠1＝45°，根据网格的特点可知∠3＝45°，即可求解．
【解答】解：如图，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠1＝∠4，
∵FD∥CG，
∴∠2＝∠FDC，
同理可得△DCG≌△CEB，
∴EC＝ED，∠2＝∠BEC，
∵∠BEC+∠ECB＝90°，
∴∠2+∠EBC＝90°，
∴∠ECD＝90°，
∴△ECD是等腰直角三角形，
∴∠CDE＝45°，
即∠4+∠FDC＝∠1+∠2＝45°，
根据网格的特点可知∠3＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°，
故答案为：90．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，根据网格的特点求得∠1+∠2＝45°是解题的关键．
10．（2025秋 丹东校级期中）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若三边关系为a2+c2＝b2，则 ∠B 是直角．
【考点】勾股定理的逆定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+c2＝b2，那么这个三角形就是直角三角形．
【解答】解：∵在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，三边关系为a2+c2＝b2，
∴∠B是直角．
故答案为：∠B．
【点评】考查了勾股定理的逆定理，运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
11．（2025秋 船营区校级期中）如图，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，若∠ABD＝40°，则∠C＝ 40° ．
【考点】直角三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据BD⊥AC，∠ABD＝40°，可得∠A＝50°，再根据∠ABC＝90°得到∠A+∠C＝90°，由此即可求解．
【解答】解：由条件可知∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90，
∴∠A＝50°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
∴∠C＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余，掌握直角三角形的性质是解题的关键．
12．（2025春 荷塘区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝13，CD＝12，AD＝4，且∠A＝90°，则四边形ABCD的面积是 36 ．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接BD，知四边形的面积是△ADB和△BCD的面积和，由已知得其符合勾股定理的逆定理从而得到△BCD是一个直角三角形．则四边形面积可求．
【解答】解：连接BD，则有BD5，
∵52+122＝132，即BD2+CD2＝BC2，
∴△BCD为直角三角形，
∴四边形的面积＝S△ADB+S△BCD
AD ABBD CD
3×45×12
＝36．
答：四边形ABCD的面积为36．
故答案为：36．
【点评】本题利用了勾股定理和它的逆定理及直角三角形的面积公式求解．熟练掌握勾股定理的逆定理是本题的关键．
三．解答题（共3小题）
13．（2025秋 陕西期中）如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，DE⊥BC交AB于点E，连接CE，且BE2﹣EA2＝AC2．
（1）试说明：∠A＝90°；
（2）若AC＝10，BD＝13，求AE的长度．
【考点】勾股定理的逆定理；线段垂直平分线的性质；勾股定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形．
【答案】（1）因为D是BC的中点，DE⊥BC，
所以CE＝BE，
因为BE2﹣EA2＝AC2，
所以CE2﹣EA2＝AC2，
所以EA2+AC2＝CE2，
所以△ACE是直角三角形，即∠A＝90°．
（2）．
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可求得CE＝BE，再结合BE2﹣EA2＝AC2可求得EA2+AC2＝CE2，可证得结论；
（2）先求出AB＝24，在Rt△AEC中，根据勾股定理列出方程解答即可．
【解答】解：（1）因为D是BC的中点，DE⊥BC，
所以CE＝BE，
因为BE2﹣EA2＝AC2，
所以CE2﹣EA2＝AC2，
所以EA2+AC2＝CE2，
所以△ACE是直角三角形，即∠A＝90°．
（2）∵D是BC的中点，BD＝13，
所以BC＝2BD＝26，
因为∠A＝90°，AC＝10，
所以，
在Rt△AEC中，EA2+AC2＝CE2，
因为CE＝BE，
所以102+AE2＝（24﹣AE）2，
解得：，
所以AE的长为．
【点评】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用、线段垂直平分线的性质，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程思想在这类问题中的应用．
14．（2025秋 垣曲县期中）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD，AD．
（1）求AC的长．
（2）求四边形ABCD的面积．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）；
（2）四边形ABCD的面积为．
【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，则四边形ABCD的面积等于Rt△ABC与Rt△ACD面积之和．
【解答】解：（1）∵AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，
∴；
（2）∵，，AC，
∴，
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACDAB BCAC CD1×2．
∴四边形ABCD的面积为．
【点评】本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15．（2025春 汾阳市期末）不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性、便捷性，更关注婴儿车的安全性．如图1是某平台出售的一种品牌婴儿车，图2为其结构示意图，经过测量得到AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°）．根据安全标准需满足BC⊥CD，请判断该婴儿车是否符合安全标准，并说明理由．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据勾股定理求出BD2，根据勾股定理的逆定理得到BC⊥CD，证明结论．
【解答】解；该婴儿车符合安全标准，
理由：在△ABD中，∠ABD＝90°，AB＝6dm，AD＝9dm，
由勾股定理得：BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45，
在△BCD中，BC2+CD2＝32+62＝45，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°，
∴BC⊥CD，
∴该婴儿车符合安全标准．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理、勾股定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
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13.1.2 直角三角形的判定
一．选择题（共6小题）
1．（2025秋 顺德区期中）下列三边能够组成直角三角形的是（ ）
A． B．1，2， C．3，5，8 D．32，42，52
2．（2025秋 南山区期中）意大利著名画家达 芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2，则下列对S1，S2所列等式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．S1＝S2
3．（2025春 海淀区期末）在勾股定理的证明中，小云用与Rt△ABC全等的三角形拼出了如图所示的弦图，若正方形GHJK的面积为16，正方形CDEF的面积为4，则线段AB的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024秋 新城区校级期末）已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件能判断△ABC是直角三角形的有（ ）①∠A：∠B：∠C＝1：2：3；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A＝2∠B＝3∠C；④a：b：c＝3：4：5；⑤∠A＝∠C﹣∠B．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2025秋 广东期中）如图是一个电线杆的示意图，在电线杆中间增加了很多斜条，它所运用的几何原理是（ ）
A．三角形两边之和大于第三边
B．三角形具有稳定性
C．两点之间线段最短
D．直角三角形的性质
6．（2025秋 长兴县期中）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成．如图，直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．若b﹣a＝4，c＝16，则每个直角三角形的面积为（ ）
A．64 B．60 C．120 D．128
二．填空题（共6小题）
7．（2025秋 安定区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝33°，则∠B＝ °．
8．（2025秋 南山区期中）如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，H是DE的中点．若AD的长为5，则阴影部分的面积为 ．
9．（2025秋 东莞市期中）在如图所示的3×3正方形网格中，∠1+∠2+∠3＝ 度．
10．（2025秋 丹东校级期中）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若三边关系为a2+c2＝b2，则 是直角．
11．（2025秋 船营区校级期中）如图，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，若∠ABD＝40°，则∠C＝ ．
12．（2025春 荷塘区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝13，CD＝12，AD＝4，且∠A＝90°，则四边形ABCD的面积是 ．
三．解答题（共3小题）
13．（2025秋 陕西期中）如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，DE⊥BC交AB于点E，连接CE，且BE2﹣EA2＝AC2．
（1）试说明：∠A＝90°；
（2）若AC＝10，BD＝13，求AE的长度．
14．（2025秋 垣曲县期中）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD，AD．
（1）求AC的长．
（2）求四边形ABCD的面积．
15．（2025春 汾阳市期末）不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性、便捷性，更关注婴儿车的安全性．如图1是某平台出售的一种品牌婴儿车，图2为其结构示意图，经过测量得到AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°）．根据安全标准需满足BC⊥CD，请判断该婴儿车是否符合安全标准，并说明理由．
13.1.2 直角三角形的判定
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．（2025秋 顺德区期中）下列三边能够组成直角三角形的是（ ）
A． B．1，2， C．3，5，8 D．32，42，52
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可．
【解答】解：A、∵（）2+（）2≠（）2，
∴以，，为边不能组成直角三角形，故选项不符合题意；
B、∵12+22＝（）2，
∴以1，2，为边能组成直角三角形，故选项符合题意；
C、∵32+52≠82，
∴以3，5，8为边不能组成直角三角形，故选项不符合题意；
D、∵（32）2+（42）2≠（52）2，
∴以32，42，52为边不能组成直角三角形，故选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的勾股定理的逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
2．（2025秋 南山区期中）意大利著名画家达 芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2，则下列对S1，S2所列等式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．S1＝S2
【考点】勾股定理的证明．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】A
【分析】根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题．
【解答】解：由勾股定理可得a2+b2＝c2，
由题意，可得，
故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
3．（2025春 海淀区期末）在勾股定理的证明中，小云用与Rt△ABC全等的三角形拼出了如图所示的弦图，若正方形GHJK的面积为16，正方形CDEF的面积为4，则线段AB的长为（ ）
A． B． C． D．
【考点】勾股定理的证明．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】设BC＝a，AC＝b，根据正方形的性质得到CD＝2，GK＝4，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：设BC＝a，AC＝b，
∵正方形GHJK的面积为16，正方形CDEF的面积为4，
∴CD＝2，GK＝4，
∴，
∴，
∴AB，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
4．（2024秋 新城区校级期末）已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件能判断△ABC是直角三角形的有（ ）①∠A：∠B：∠C＝1：2：3；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A＝2∠B＝3∠C；④a：b：c＝3：4：5；⑤∠A＝∠C﹣∠B．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】利用勾股定理逆定理和三角形内角和定理逐个判断即可得出答案．
【解答】解：①∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴设∠A＝x、∠B＝2x、∠C＝3x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故①能判断△ABC是直角三角形；
②∵a2＝（b+c）（b﹣c）＝b2﹣c2，
∴b2＝a2+c2，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故②能判断△ABC是直角三角形；
③∵∠A＝2∠B＝3∠C，
∴设∠C＝x，则∠A＝3x，，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴，解得，
∴，，，
∴△ABC不是直角三角形，故③不能判断△ABC是直角三角形；
④∵a：b：c＝3：4：5；
∴设a＝3x，b＝4x，c＝5x，
∴a2+b2＝（3x）2+（4x）2＝25x2＝c2，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故④能判断△ABC是直角三角形；
⑤∵∠A＝∠C﹣∠B，
∴∠C＝∠A+∠B，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故⑤能判断△ABC是直角三角形；
∴能判断△ABC是直角三角形有①②④⑤，共4个，
故选：D．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及三角形内角和定理，关键是掌握勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形．
5．（2025秋 广东期中）如图是一个电线杆的示意图，在电线杆中间增加了很多斜条，它所运用的几何原理是（ ）
A．三角形两边之和大于第三边
B．三角形具有稳定性
C．两点之间线段最短
D．直角三角形的性质
【考点】直角三角形的性质；线段的性质：两点之间线段最短；三角形的稳定性．
【专题】三角形；应用意识．
【答案】B
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：在电线杆中间增加了很多斜条，它所运用的几何原理是三角形具有稳定性，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
6．（2025秋 长兴县期中）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成．如图，直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．若b﹣a＝4，c＝16，则每个直角三角形的面积为（ ）
A．64 B．60 C．120 D．128
【考点】勾股定理的证明．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】B
【分析】根据勾股定理可知a2+b2＝c2，再根据b﹣a＝4，c＝16，即可得到a、b的值，然后即可计算出每个直角三角形的面积．
【解答】解：由图可得，a2+b2＝c2，
∴，且a、b均大于0，
解得ab＝120，
∴每个直角三角形的面积为ab120＝60，
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出ab的值．
二．填空题（共6小题）
7．（2025秋 安定区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝33°，则∠B＝ 57 °．
【考点】直角三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】57．
【分析】利用直角三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝33°，
∴根据直角三角形的性质得，∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣33°＝57°，则∠B的度数为57°，
故答案为：57．
【点评】本题考查直角三角形性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
8．（2025秋 南山区期中）如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，H是DE的中点．若AD的长为5，则阴影部分的面积为 15 ．
【考点】勾股定理的证明．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意设EH＝x，则DH＝AE＝x，根据勾股定理列式x2+（2x）2＝52，继而得到，即可得到本题答案．
【解答】解：由“赵爽弦图”可知AE＝DH，
设EH＝x，则DH＝AE＝x，
∵AD的长为5，AE2+ED2＝AD2，
∴x2+（2x）2＝52，
∴，
∴阴影部分的面积：，
故答案为：15．
【点评】本题考查勾股定理，求阴影部分面积等．熟练掌握以上知识是解题的关键．
9．（2025秋 东莞市期中）在如图所示的3×3正方形网格中，∠1+∠2+∠3＝ 90 度．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】90．
【分析】证明△ABC≌△DEF，△DCG≌△CEB得出∠2+∠1＝45°，根据网格的特点可知∠3＝45°，即可求解．
【解答】解：如图，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠1＝∠4，
∵FD∥CG，
∴∠2＝∠FDC，
同理可得△DCG≌△CEB，
∴EC＝ED，∠2＝∠BEC，
∵∠BEC+∠ECB＝90°，
∴∠2+∠EBC＝90°，
∴∠ECD＝90°，
∴△ECD是等腰直角三角形，
∴∠CDE＝45°，
即∠4+∠FDC＝∠1+∠2＝45°，
根据网格的特点可知∠3＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°，
故答案为：90．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，根据网格的特点求得∠1+∠2＝45°是解题的关键．
10．（2025秋 丹东校级期中）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若三边关系为a2+c2＝b2，则 ∠B 是直角．
【考点】勾股定理的逆定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+c2＝b2，那么这个三角形就是直角三角形．
【解答】解：∵在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，三边关系为a2+c2＝b2，
∴∠B是直角．
故答案为：∠B．
【点评】考查了勾股定理的逆定理，运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
11．（2025秋 船营区校级期中）如图，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，若∠ABD＝40°，则∠C＝ 40° ．
【考点】直角三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据BD⊥AC，∠ABD＝40°，可得∠A＝50°，再根据∠ABC＝90°得到∠A+∠C＝90°，由此即可求解．
【解答】解：由条件可知∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90，
∴∠A＝50°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
∴∠C＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余，掌握直角三角形的性质是解题的关键．
12．（2025春 荷塘区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝13，CD＝12，AD＝4，且∠A＝90°，则四边形ABCD的面积是 36 ．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接BD，知四边形的面积是△ADB和△BCD的面积和，由已知得其符合勾股定理的逆定理从而得到△BCD是一个直角三角形．则四边形面积可求．
【解答】解：连接BD，则有BD5，
∵52+122＝132，即BD2+CD2＝BC2，
∴△BCD为直角三角形，
∴四边形的面积＝S△ADB+S△BCD
AD ABBD CD
3×45×12
＝36．
答：四边形ABCD的面积为36．
故答案为：36．
【点评】本题利用了勾股定理和它的逆定理及直角三角形的面积公式求解．熟练掌握勾股定理的逆定理是本题的关键．
三．解答题（共3小题）
13．（2025秋 陕西期中）如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，DE⊥BC交AB于点E，连接CE，且BE2﹣EA2＝AC2．
（1）试说明：∠A＝90°；
（2）若AC＝10，BD＝13，求AE的长度．
【考点】勾股定理的逆定理；线段垂直平分线的性质；勾股定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形．
【答案】（1）因为D是BC的中点，DE⊥BC，
所以CE＝BE，
因为BE2﹣EA2＝AC2，
所以CE2﹣EA2＝AC2，
所以EA2+AC2＝CE2，
所以△ACE是直角三角形，即∠A＝90°．
（2）．
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可求得CE＝BE，再结合BE2﹣EA2＝AC2可求得EA2+AC2＝CE2，可证得结论；
（2）先求出AB＝24，在Rt△AEC中，根据勾股定理列出方程解答即可．
【解答】解：（1）因为D是BC的中点，DE⊥BC，
所以CE＝BE，
因为BE2﹣EA2＝AC2，
所以CE2﹣EA2＝AC2，
所以EA2+AC2＝CE2，
所以△ACE是直角三角形，即∠A＝90°．
（2）∵D是BC的中点，BD＝13，
所以BC＝2BD＝26，
因为∠A＝90°，AC＝10，
所以，
在Rt△AEC中，EA2+AC2＝CE2，
因为CE＝BE，
所以102+AE2＝（24﹣AE）2，
解得：，
所以AE的长为．
【点评】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用、线段垂直平分线的性质，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程思想在这类问题中的应用．
14．（2025秋 垣曲县期中）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD，AD．
（1）求AC的长．
（2）求四边形ABCD的面积．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）；
（2）四边形ABCD的面积为．
【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，则四边形ABCD的面积等于Rt△ABC与Rt△ACD面积之和．
【解答】解：（1）∵AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，
∴；
（2）∵，，AC，
∴，
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACDAB BCAC CD1×2．
∴四边形ABCD的面积为．
【点评】本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15．（2025春 汾阳市期末）不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性、便捷性，更关注婴儿车的安全性．如图1是某平台出售的一种品牌婴儿车，图2为其结构示意图，经过测量得到AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°）．根据安全标准需满足BC⊥CD，请判断该婴儿车是否符合安全标准，并说明理由．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据勾股定理求出BD2，根据勾股定理的逆定理得到BC⊥CD，证明结论．
【解答】解；该婴儿车符合安全标准，
理由：在△ABD中，∠ABD＝90°，AB＝6dm，AD＝9dm，
由勾股定理得：BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45，
在△BCD中，BC2+CD2＝32+62＝45，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°，
∴BC⊥CD，
∴该婴儿车符合安全标准．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理、勾股定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
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