13.1.3 反证法（同步练习.含解析）2025-2026学年八年级上册数学华东师大版（2024）
文档属性
| 名称 | 13.1.3 反证法（同步练习.含解析）2025-2026学年八年级上册数学华东师大版（2024） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 120.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-30 08:33:49 | ||
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文档简介
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13.1.3 反证法
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 任丘市期末）用反证法证明命题“在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C”时，首先应该假设（ ）
A．AB＝AC B．∠B＝∠C
C．AB＝AC且∠B＝∠C D．AB＝AC且∠B≠∠C
2．（2025春 海曙区期末）用反证法证明“△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”，第一步应假设（ ）
A．∠A＝60° B．∠A＜60° C．∠A≠60° D．∠A≤60°
3．（2025春 兴庆区校级期中）下列说法错误的是（ ）
A．用反证法证明“a＞b”时，应假设a≤b
B．“同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题
C．三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等
D．边长为3，6的等腰三角形的周长为15
4．（2025春 南山区期中）用反证法证明：一个三角形中，至少有两个角是锐角．应先假设三角形中（ ）
A．至少有两个角是锐角 B．至多有一个角是锐角
C．只有一个角是锐角 D．没有一个角是锐角
5．（2025春 上海校级期中）用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤：正确的顺序应为（ ）
①∠A+∠B+∠C＝90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设三角形的三个内角∠A，∠B，∠C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°．
A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①②
6．（2025春 宝丰县期中）用反证法证明“等腰三角形的底角小于90°”时，第一步应假设（ ）
A．底角大于90° B．底角等于90°
C．底角小于90° D．底角大于等于90°
7．（2024秋 衡东县期末）已知在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C．若用反证法来证明这个结论，可以假设（ ）
A．∠A＝∠B B．AB＝AC C．∠B＝∠C D．∠A＝∠C
8．（2024秋 唐河县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC，用反证法证明时，第一步应假设（ ）
A．AB≠AC B．PB＝PC C．∠APB＝∠APC D．∠PBC≠∠PCB
二．填空题（共5小题）
9．（2025秋 二道区校级期中）用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”，应假设 ．
10．（2024秋 尧都区期末）用反证法证明“三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角”，应该先假设 ．
11．（2024秋 内乡县期末）用反证法证明命题“已知△ABC的三边长a、b、c（a≤b＜c）满足a2+b2≠c2．求证：△ABC不是直角三角形．”时，第一步应先假设 ．
12．（2025 织金县三模）用反证法证明命题“如果a＞b＞0，那么”的第一步应假设 ．
13．（2025春 海陵区期末）用反证法证明“已知：m是正整数，且m2是偶数．求证：m是偶数”时，应先假设 ．
三．解答题（共2小题）
14．（2024秋 鲤城区校级期末）阅读正文并解答下列问题：
如图，已知在△ABC中，AB＞AC，求证：∠ACB＞∠ABC．
证明：假设∠ACB≤∠ABC，
①若∠ACB＜∠ABC，则在BC上取点D，联结AD，使∠ADB＝∠B．
∵∠ADB＝∠B，
∴AD＝AB；
在AC上取点E，使AE＝AD，则AC＝AE+CE＝AD+CE＞AD，
即：AC＞AD，
∴AC＞AB．
这与已知AC＜AB相矛盾，
∴假设不成立；
②若∠ACB＝∠ABC，
…
综上，∠ACB＞∠ABC．
（1）上述证明过程采用的方法是 （填写：“A”或“B”）；
A．直接证明法；B．反证法．
（2）请你补充②中所缺失的部分．
15．（2025春 漳浦县期中）已知正整数x，y满足x＜y，且满足不等式组．
（1）请用反证法证明：x＜6；
（2）求所有符合条件的正整数对（x，y）．
13.1.3 反证法
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 任丘市期末）用反证法证明命题“在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C”时，首先应该假设（ ）
A．AB＝AC B．∠B＝∠C
C．AB＝AC且∠B＝∠C D．AB＝AC且∠B≠∠C
【考点】反证法；三角形内角和定理．
【专题】反证法；推理能力．
【答案】B
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【解答】解：用反证法证明命题“若在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C时，首先应假设∠B＝∠C，
故选：B．
【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
2．（2025春 海曙区期末）用反证法证明“△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”，第一步应假设（ ）
A．∠A＝60° B．∠A＜60° C．∠A≠60° D．∠A≤60°
【考点】反证法．
【答案】D
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断；需注意的是∠A＞60°的反面有多种情况，应一一否定．
【解答】解：∠A与60°的大小关系有∠A＞60°，∠A＝60°，∠A＜60°三种情况，因而∠A＞60°的反面是∠A≤60°．因此用反证法证明“∠A＞60°”时，应先假设∠A≤60°．
故选：D．
【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
3．（2025春 兴庆区校级期中）下列说法错误的是（ ）
A．用反证法证明“a＞b”时，应假设a≤b
B．“同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题
C．三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等
D．边长为3，6的等腰三角形的周长为15
【考点】反证法；平行线的性质；三角形三边关系；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；命题与定理．
【专题】反证法；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据反证法、平行线的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形判断即可．
【解答】解：A、用反证法证明“a＞b”时，应假设a≤b，说法正确，不符合题意；
B、“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：两直线平行，同位角相等，是真命题，故本选项说法正确，不符合题意；
C、三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故本选项说法错误，符合题意；
D、边长为3，6的等腰三角形的周长为15，说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是反证法、平行线的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形，掌握反证法的一般步骤、平行线的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
4．（2025春 南山区期中）用反证法证明：一个三角形中，至少有两个角是锐角．应先假设三角形中（ ）
A．至少有两个角是锐角 B．至多有一个角是锐角
C．只有一个角是锐角 D．没有一个角是锐角
【考点】反证法；三角形内角和定理．
【专题】反证法；推理能力．
【答案】B
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．
【解答】解：用反证法证明：一个三角形中，至少有两个角是锐角，
第一步应先假设一个三角形中最多有一个锐角．
故选：B．
【点评】此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
5．（2025春 上海校级期中）用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤：正确的顺序应为（ ）
①∠A+∠B+∠C＝90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设三角形的三个内角∠A，∠B，∠C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°．
A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①②
【考点】反证法；三角形内角和定理．
【专题】反证法；应用意识．
【答案】D
【分析】根据反证法的步骤即可判断．
【解答】解：反证法的步骤为：假设结论成立，推出矛盾，推出假设不成立，结论成立．
以上证明过程正确的步骤：③①②．
故选：D．
【点评】本题考查反证法，记住反证法的步骤：先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立．
6．（2025春 宝丰县期中）用反证法证明“等腰三角形的底角小于90°”时，第一步应假设（ ）
A．底角大于90° B．底角等于90°
C．底角小于90° D．底角大于等于90°
【考点】反证法；等腰三角形的性质．
【专题】反证法；推理能力．
【答案】D
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
【解答】解：用反证法证明“等腰三角形的底角小于90°”时，第一步应假设底角大于等于90°，
故选：D．
【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
7．（2024秋 衡东县期末）已知在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C．若用反证法来证明这个结论，可以假设（ ）
A．∠A＝∠B B．AB＝AC C．∠B＝∠C D．∠A＝∠C
【考点】反证法．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】反证法的步骤：1、假设命题反面成立；2、从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；3、得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立．
【解答】解：已知：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C，若用反证法来证明这个结论，可以假设∠B＝∠C，由“等角对等边”可得AB＝AC，这与已知矛盾，所以∠B≠∠C，故C正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了反证法，解题关键点：理解反证法的一般步骤．
8．（2024秋 唐河县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC，用反证法证明时，第一步应假设（ ）
A．AB≠AC B．PB＝PC C．∠APB＝∠APC D．∠PBC≠∠PCB
【考点】反证法；等腰三角形的性质．
【专题】反证法；推理能力．
【答案】B
【分析】假设结论PB≠PC不成立，PB＝PC成立．
【解答】解：假设结论PB≠PC不成立，即：PB＝PC成立．
故选：B．
【点评】本题考查反证法，解题的关键是熟练掌握反证法的步骤．
二．填空题（共5小题）
9．（2025秋 二道区校级期中）用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”，应假设 在一个三角形中，三个内角都大于60° ．
【考点】反证法；三角形内角和定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】在一个三角形中，三个内角都大于60°．
【分析】根据命题：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”的否定为“三个内角都大于60°”，即可得到答案．
【解答】解：命题：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”的否定为“在一个三角形中，三个内角都大60°”，
∴应该先假设在一个三角形中，三个内角都大于60°．
故答案为：在一个三角形中，三个内角都大于60°．
【点评】本题考查反证法．其步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
10．（2024秋 尧都区期末）用反证法证明“三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角”，应该先假设 三角形的一个外角小于或等于其中一个与它不相邻的内角 ．
【考点】反证法；三角形的外角性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形．
【答案】三角形的一个外角小于或等于其中一个与它不相邻的内角．
【分析】使用反证法应先假设结论的反面成立；然后利用已知条件、假设以及已有定理进行推理，得到新结论与原有条件或者已有定理、定义等矛盾，究其矛盾原因，由于假设造成，故假设不成立，原结论成立．
【解答】解：使用反证法应先假设结论的反面成立，即“三角形的一个外角小于或等于其中一个与它不相邻的内角”．
故答案为：三角形的一个外角小于或等于其中一个与它不相邻的内角．
【点评】本题考查三角形的外角，解题的关键是掌握三角形的外角和的性质．
11．（2024秋 内乡县期末）用反证法证明命题“已知△ABC的三边长a、b、c（a≤b＜c）满足a2+b2≠c2．求证：△ABC不是直角三角形．”时，第一步应先假设 △ABC为直角三角形 ．
【考点】反证法；勾股定理的逆定理．
【专题】反证法；推理能力．
【答案】△ABC为直角三角形．
【分析】根据反证法定义判断．
【解答】解：用反证法证明“已知△ABC的三边长a、b、c（a≤b＜c）满足a2+b2≠c2．求证：△ABC不是直角三角形”时，第一步应先假设这个三角形是直角三角形．
故答案为：△ABC为直角三角形．
【点评】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
12．（2025 织金县三模）用反证法证明命题“如果a＞b＞0，那么”的第一步应假设 ．
【考点】反证法；实数大小比较．
【专题】阅读型．
【答案】．
【分析】根据反证法得到第一步假设即可得到答案．
【解答】解：“如果a＞b＞0，那么”的第一步应假设，
故答案为：．
【点评】本题主要考查反证法，熟练掌握反证法是解题的关键．
13．（2025春 海陵区期末）用反证法证明“已知：m是正整数，且m2是偶数．求证：m是偶数”时，应先假设m不是偶数（m是奇数） ．
【考点】反证法．
【专题】反证法；推理能力．
【答案】m不是偶数（m是奇数）．
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【解答】解：反证法证明“已知：m是正整数，且m2是偶数．求证：m是偶数”时，应先假设m不是偶数（m是奇数），
故答案为：m不是偶数（m是奇数）．
【点评】本题考查的是反证法，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
三．解答题（共2小题）
14．（2024秋 鲤城区校级期末）阅读正文并解答下列问题：
如图，已知在△ABC中，AB＞AC，求证：∠ACB＞∠ABC．
证明：假设∠ACB≤∠ABC，
①若∠ACB＜∠ABC，则在BC上取点D，联结AD，使∠ADB＝∠B．
∵∠ADB＝∠B，
∴AD＝AB；
在AC上取点E，使AE＝AD，则AC＝AE+CE＝AD+CE＞AD，
即：AC＞AD，
∴AC＞AB．
这与已知AC＜AB相矛盾，
∴假设不成立；
②若∠ACB＝∠ABC，
…
综上，∠ACB＞∠ABC．
（1）上述证明过程采用的方法是 B （填写：“A”或“B”）；
A．直接证明法；B．反证法．
（2）请你补充②中所缺失的部分．
【考点】反证法．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）B；
（2）见解答．
【分析】（1）这是反证法；
（2）根据等角对等边即可解答．
【解答】解：（1）上述证明过程采用的方法是B；
故答案为：B；
（2）②若∠ACB＝∠ABC，
∴AB＝AC，
这与已知AC＜AB相矛盾，
∴假设不成立；
综上，∠ACB＞∠ABC．
【点评】本题考查了反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
15．（2025春 漳浦县期中）已知正整数x，y满足x＜y，且满足不等式组．
（1）请用反证法证明：x＜6；
（2）求所有符合条件的正整数对（x，y）．
【考点】反证法；解一元一次不等式组．
【专题】反证法；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）、．
【分析】（1）假设x≥6，解不等式得到y≤3，得出矛盾，进而证明结论；
（2）根据题意得到x可能的值为1、2、3、4、5、6，逐一代入计算即可．
【解答】（1）证明：假设x≥6，
则3×6+2y≤3x+2y，
由①可知：3×6+2y≤24，
解得：y≤3，
∵x＜y，x≥6，
∴y≥6，
这与y≤3相矛盾，
∴假设不成立，
∴x＜6；
（2）由题意可知：x，y是正整数，x＜y，
由①得：x≤6，
∴x可能的值为1、2、3、4、5、6，
当x＝1时，由①得：y≤10.5，
由②得：y＞9，
则y＝10，
∴是该方程组的正整数解；
当x＝2时，由①得：y≤9，
由②得：y＞8，
则y＝9，
∴是该方程组的正整数解；
当x＝3时，由①得：y≤7.5，
由②得：y＞7，
则该方程组的无解；
当x＝4时，由①得：y≤6，
由②得：y＞6，
则该方程组无解；
当x＝5时，由①得：y≤4.5，
由②得：y＞5，
则该方程组无解；
当x＝6时，由①得：y≤3，
由②得：y＞4，
则该方程组无解；
综上所述：符合条件的正整数对为、．
【点评】本题考查的是反证法，一元一次不等式组，掌握反证法的一般步骤、一元一次不等式组的解法是解题的关键．
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13.1.3 反证法
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 任丘市期末）用反证法证明命题“在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C”时，首先应该假设（ ）
A．AB＝AC B．∠B＝∠C
C．AB＝AC且∠B＝∠C D．AB＝AC且∠B≠∠C
2．（2025春 海曙区期末）用反证法证明“△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”，第一步应假设（ ）
A．∠A＝60° B．∠A＜60° C．∠A≠60° D．∠A≤60°
3．（2025春 兴庆区校级期中）下列说法错误的是（ ）
A．用反证法证明“a＞b”时，应假设a≤b
B．“同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题
C．三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等
D．边长为3，6的等腰三角形的周长为15
4．（2025春 南山区期中）用反证法证明：一个三角形中，至少有两个角是锐角．应先假设三角形中（ ）
A．至少有两个角是锐角 B．至多有一个角是锐角
C．只有一个角是锐角 D．没有一个角是锐角
5．（2025春 上海校级期中）用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤：正确的顺序应为（ ）
①∠A+∠B+∠C＝90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设三角形的三个内角∠A，∠B，∠C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°．
A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①②
6．（2025春 宝丰县期中）用反证法证明“等腰三角形的底角小于90°”时，第一步应假设（ ）
A．底角大于90° B．底角等于90°
C．底角小于90° D．底角大于等于90°
7．（2024秋 衡东县期末）已知在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C．若用反证法来证明这个结论，可以假设（ ）
A．∠A＝∠B B．AB＝AC C．∠B＝∠C D．∠A＝∠C
8．（2024秋 唐河县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC，用反证法证明时，第一步应假设（ ）
A．AB≠AC B．PB＝PC C．∠APB＝∠APC D．∠PBC≠∠PCB
二．填空题（共5小题）
9．（2025秋 二道区校级期中）用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”，应假设 ．
10．（2024秋 尧都区期末）用反证法证明“三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角”，应该先假设 ．
11．（2024秋 内乡县期末）用反证法证明命题“已知△ABC的三边长a、b、c（a≤b＜c）满足a2+b2≠c2．求证：△ABC不是直角三角形．”时，第一步应先假设 ．
12．（2025 织金县三模）用反证法证明命题“如果a＞b＞0，那么”的第一步应假设 ．
13．（2025春 海陵区期末）用反证法证明“已知：m是正整数，且m2是偶数．求证：m是偶数”时，应先假设 ．
三．解答题（共2小题）
14．（2024秋 鲤城区校级期末）阅读正文并解答下列问题：
如图，已知在△ABC中，AB＞AC，求证：∠ACB＞∠ABC．
证明：假设∠ACB≤∠ABC，
①若∠ACB＜∠ABC，则在BC上取点D，联结AD，使∠ADB＝∠B．
∵∠ADB＝∠B，
∴AD＝AB；
在AC上取点E，使AE＝AD，则AC＝AE+CE＝AD+CE＞AD，
即：AC＞AD，
∴AC＞AB．
这与已知AC＜AB相矛盾，
∴假设不成立；
②若∠ACB＝∠ABC，
…
综上，∠ACB＞∠ABC．
（1）上述证明过程采用的方法是 （填写：“A”或“B”）；
A．直接证明法；B．反证法．
（2）请你补充②中所缺失的部分．
15．（2025春 漳浦县期中）已知正整数x，y满足x＜y，且满足不等式组．
（1）请用反证法证明：x＜6；
（2）求所有符合条件的正整数对（x，y）．
13.1.3 反证法
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 任丘市期末）用反证法证明命题“在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C”时，首先应该假设（ ）
A．AB＝AC B．∠B＝∠C
C．AB＝AC且∠B＝∠C D．AB＝AC且∠B≠∠C
【考点】反证法；三角形内角和定理．
【专题】反证法；推理能力．
【答案】B
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【解答】解：用反证法证明命题“若在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C时，首先应假设∠B＝∠C，
故选：B．
【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
2．（2025春 海曙区期末）用反证法证明“△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”，第一步应假设（ ）
A．∠A＝60° B．∠A＜60° C．∠A≠60° D．∠A≤60°
【考点】反证法．
【答案】D
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断；需注意的是∠A＞60°的反面有多种情况，应一一否定．
【解答】解：∠A与60°的大小关系有∠A＞60°，∠A＝60°，∠A＜60°三种情况，因而∠A＞60°的反面是∠A≤60°．因此用反证法证明“∠A＞60°”时，应先假设∠A≤60°．
故选：D．
【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
3．（2025春 兴庆区校级期中）下列说法错误的是（ ）
A．用反证法证明“a＞b”时，应假设a≤b
B．“同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题
C．三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等
D．边长为3，6的等腰三角形的周长为15
【考点】反证法；平行线的性质；三角形三边关系；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；命题与定理．
【专题】反证法；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据反证法、平行线的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形判断即可．
【解答】解：A、用反证法证明“a＞b”时，应假设a≤b，说法正确，不符合题意；
B、“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：两直线平行，同位角相等，是真命题，故本选项说法正确，不符合题意；
C、三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故本选项说法错误，符合题意；
D、边长为3，6的等腰三角形的周长为15，说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是反证法、平行线的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形，掌握反证法的一般步骤、平行线的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
4．（2025春 南山区期中）用反证法证明：一个三角形中，至少有两个角是锐角．应先假设三角形中（ ）
A．至少有两个角是锐角 B．至多有一个角是锐角
C．只有一个角是锐角 D．没有一个角是锐角
【考点】反证法；三角形内角和定理．
【专题】反证法；推理能力．
【答案】B
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．
【解答】解：用反证法证明：一个三角形中，至少有两个角是锐角，
第一步应先假设一个三角形中最多有一个锐角．
故选：B．
【点评】此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
5．（2025春 上海校级期中）用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤：正确的顺序应为（ ）
①∠A+∠B+∠C＝90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设三角形的三个内角∠A，∠B，∠C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°．
A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①②
【考点】反证法；三角形内角和定理．
【专题】反证法；应用意识．
【答案】D
【分析】根据反证法的步骤即可判断．
【解答】解：反证法的步骤为：假设结论成立，推出矛盾，推出假设不成立，结论成立．
以上证明过程正确的步骤：③①②．
故选：D．
【点评】本题考查反证法，记住反证法的步骤：先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立．
6．（2025春 宝丰县期中）用反证法证明“等腰三角形的底角小于90°”时，第一步应假设（ ）
A．底角大于90° B．底角等于90°
C．底角小于90° D．底角大于等于90°
【考点】反证法；等腰三角形的性质．
【专题】反证法；推理能力．
【答案】D
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
【解答】解：用反证法证明“等腰三角形的底角小于90°”时，第一步应假设底角大于等于90°，
故选：D．
【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
7．（2024秋 衡东县期末）已知在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C．若用反证法来证明这个结论，可以假设（ ）
A．∠A＝∠B B．AB＝AC C．∠B＝∠C D．∠A＝∠C
【考点】反证法．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】反证法的步骤：1、假设命题反面成立；2、从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；3、得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立．
【解答】解：已知：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C，若用反证法来证明这个结论，可以假设∠B＝∠C，由“等角对等边”可得AB＝AC，这与已知矛盾，所以∠B≠∠C，故C正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了反证法，解题关键点：理解反证法的一般步骤．
8．（2024秋 唐河县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC，用反证法证明时，第一步应假设（ ）
A．AB≠AC B．PB＝PC C．∠APB＝∠APC D．∠PBC≠∠PCB
【考点】反证法；等腰三角形的性质．
【专题】反证法；推理能力．
【答案】B
【分析】假设结论PB≠PC不成立，PB＝PC成立．
【解答】解：假设结论PB≠PC不成立，即：PB＝PC成立．
故选：B．
【点评】本题考查反证法，解题的关键是熟练掌握反证法的步骤．
二．填空题（共5小题）
9．（2025秋 二道区校级期中）用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”，应假设 在一个三角形中，三个内角都大于60° ．
【考点】反证法；三角形内角和定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】在一个三角形中，三个内角都大于60°．
【分析】根据命题：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”的否定为“三个内角都大于60°”，即可得到答案．
【解答】解：命题：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”的否定为“在一个三角形中，三个内角都大60°”，
∴应该先假设在一个三角形中，三个内角都大于60°．
故答案为：在一个三角形中，三个内角都大于60°．
【点评】本题考查反证法．其步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
10．（2024秋 尧都区期末）用反证法证明“三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角”，应该先假设 三角形的一个外角小于或等于其中一个与它不相邻的内角 ．
【考点】反证法；三角形的外角性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形．
【答案】三角形的一个外角小于或等于其中一个与它不相邻的内角．
【分析】使用反证法应先假设结论的反面成立；然后利用已知条件、假设以及已有定理进行推理，得到新结论与原有条件或者已有定理、定义等矛盾，究其矛盾原因，由于假设造成，故假设不成立，原结论成立．
【解答】解：使用反证法应先假设结论的反面成立，即“三角形的一个外角小于或等于其中一个与它不相邻的内角”．
故答案为：三角形的一个外角小于或等于其中一个与它不相邻的内角．
【点评】本题考查三角形的外角，解题的关键是掌握三角形的外角和的性质．
11．（2024秋 内乡县期末）用反证法证明命题“已知△ABC的三边长a、b、c（a≤b＜c）满足a2+b2≠c2．求证：△ABC不是直角三角形．”时，第一步应先假设 △ABC为直角三角形 ．
【考点】反证法；勾股定理的逆定理．
【专题】反证法；推理能力．
【答案】△ABC为直角三角形．
【分析】根据反证法定义判断．
【解答】解：用反证法证明“已知△ABC的三边长a、b、c（a≤b＜c）满足a2+b2≠c2．求证：△ABC不是直角三角形”时，第一步应先假设这个三角形是直角三角形．
故答案为：△ABC为直角三角形．
【点评】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
12．（2025 织金县三模）用反证法证明命题“如果a＞b＞0，那么”的第一步应假设 ．
【考点】反证法；实数大小比较．
【专题】阅读型．
【答案】．
【分析】根据反证法得到第一步假设即可得到答案．
【解答】解：“如果a＞b＞0，那么”的第一步应假设，
故答案为：．
【点评】本题主要考查反证法，熟练掌握反证法是解题的关键．
13．（2025春 海陵区期末）用反证法证明“已知：m是正整数，且m2是偶数．求证：m是偶数”时，应先假设m不是偶数（m是奇数） ．
【考点】反证法．
【专题】反证法；推理能力．
【答案】m不是偶数（m是奇数）．
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【解答】解：反证法证明“已知：m是正整数，且m2是偶数．求证：m是偶数”时，应先假设m不是偶数（m是奇数），
故答案为：m不是偶数（m是奇数）．
【点评】本题考查的是反证法，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
三．解答题（共2小题）
14．（2024秋 鲤城区校级期末）阅读正文并解答下列问题：
如图，已知在△ABC中，AB＞AC，求证：∠ACB＞∠ABC．
证明：假设∠ACB≤∠ABC，
①若∠ACB＜∠ABC，则在BC上取点D，联结AD，使∠ADB＝∠B．
∵∠ADB＝∠B，
∴AD＝AB；
在AC上取点E，使AE＝AD，则AC＝AE+CE＝AD+CE＞AD，
即：AC＞AD，
∴AC＞AB．
这与已知AC＜AB相矛盾，
∴假设不成立；
②若∠ACB＝∠ABC，
…
综上，∠ACB＞∠ABC．
（1）上述证明过程采用的方法是 B （填写：“A”或“B”）；
A．直接证明法；B．反证法．
（2）请你补充②中所缺失的部分．
【考点】反证法．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）B；
（2）见解答．
【分析】（1）这是反证法；
（2）根据等角对等边即可解答．
【解答】解：（1）上述证明过程采用的方法是B；
故答案为：B；
（2）②若∠ACB＝∠ABC，
∴AB＝AC，
这与已知AC＜AB相矛盾，
∴假设不成立；
综上，∠ACB＞∠ABC．
【点评】本题考查了反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
15．（2025春 漳浦县期中）已知正整数x，y满足x＜y，且满足不等式组．
（1）请用反证法证明：x＜6；
（2）求所有符合条件的正整数对（x，y）．
【考点】反证法；解一元一次不等式组．
【专题】反证法；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）、．
【分析】（1）假设x≥6，解不等式得到y≤3，得出矛盾，进而证明结论；
（2）根据题意得到x可能的值为1、2、3、4、5、6，逐一代入计算即可．
【解答】（1）证明：假设x≥6，
则3×6+2y≤3x+2y，
由①可知：3×6+2y≤24，
解得：y≤3，
∵x＜y，x≥6，
∴y≥6，
这与y≤3相矛盾，
∴假设不成立，
∴x＜6；
（2）由题意可知：x，y是正整数，x＜y，
由①得：x≤6，
∴x可能的值为1、2、3、4、5、6，
当x＝1时，由①得：y≤10.5，
由②得：y＞9，
则y＝10，
∴是该方程组的正整数解；
当x＝2时，由①得：y≤9，
由②得：y＞8，
则y＝9，
∴是该方程组的正整数解；
当x＝3时，由①得：y≤7.5，
由②得：y＞7，
则该方程组的无解；
当x＝4时，由①得：y≤6，
由②得：y＞6，
则该方程组无解；
当x＝5时，由①得：y≤4.5，
由②得：y＞5，
则该方程组无解；
当x＝6时，由①得：y≤3，
由②得：y＞4，
则该方程组无解；
综上所述：符合条件的正整数对为、．
【点评】本题考查的是反证法，一元一次不等式组，掌握反证法的一般步骤、一元一次不等式组的解法是解题的关键．
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