13.2 勾股定理的应用（同步练习.含解析）2025-2026学年八年级上册数学华东师大版（2024）
文档属性
| 名称 | 13.2 勾股定理的应用（同步练习.含解析）2025-2026学年八年级上册数学华东师大版（2024） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1003.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-30 08:33:20 | ||
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文档简介
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13.2勾股定理的应用
一．选择题（共7小题）
1．（2025秋 东港市期中）如图，为修公路需搭建桥BC，测得∠ACB＝90°，AB＝1000m，AC＝800m，若每天搭建桥12m，则把桥BC搭建完需要（ ）
A．48天 B．49天 C．50天 D．51天
2．（2025秋 南海区期中）如图，某人持竿进门，已知门高为2米．将竿横放则比门宽长1米，将竿斜放进门，刚好能放进去，则竿的长度为（ ）
A．2.2米 B．1.5米 C．2.5米 D．2米
3．（2025春 邯郸校级期末）如图1，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5m的墙E，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光如图2，当一个身高1.5m的学生（即CD＝1.5m）走到灯刚好发光的地方时，他离墙的距离为（ ）
A．4m B．5m C．6m D．7m
4．（2024秋 新乐市期末）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，即AC≤5m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高1.5m的学生走到D处，即CD＝1.5m，门铃恰好自动响起，则BD的长为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．7米
5．（2024秋 偃师区期末）一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高必须低于（ ）
A．4.1米 B．4.0米 C．3.9米 D．3.8米
6．（2025秋 福山区期中）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，太原晋祠宋代木雕盘龙，即圣母殿前的八根木雕盘龙是我国现存最早的木雕盘龙，其形象雕刻得栩栩如生．如图所示，每根木柱有雕龙的部分的柱身高AC长为4米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的C点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为（ ）
A．4米 B．4.3米 C．5米 D．6米
7．（2025 吉林校级模拟）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE＝6cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF＝8cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC＝10cm时，钟摆AD的长度是（ ）
A．17cm B．24cm C．26cm D．28cm
二．填空题（共5小题）
8．（2025秋 包头期中）如图，一个底面半径为8cm，高为15cm的圆柱形饮料罐，将一根长为20cm的吸管从顶面正中心的小圆孔，按如图所示紧贴底部侧面插入饮料罐，若罐壁厚度和顶部圆孔直径均忽略不计，则吸管露在饮料罐外部的长度是 cm．
9．（2025秋 福山区期中）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是 ．
10．（2024秋 锦江区校级期末）若将15只空油桶（每只油桶底面的直径均为2m）堆在一起，并且最下面的个数是5只，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码高为 m（结果保留根号）．
11．（2025秋 沈阳期中）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 cm．
12．（2025春 樊城区期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝ 米．
三．解答题（共3小题）
13．（2025秋 鞍山期中）如图，是两个长度相同的梯子BC与EF靠在一面竖直墙上的示意图，已知左边梯子的高度AC与右边梯子水平方向的长度DF相等，若DF＝3m，DE＝6m，AD＝2.6m，求线段BF的长度．
14．（2025秋 大连期中）小强同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：如图1，在一个支架的横杆的点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，OA表示小球静止时的位置．如图2，当小强用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA，垂足为D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图2中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA，垂足为E，测得BD＝6cm，CE＝10cm．
（1）求证：∠COE＝∠B；
（2）求DE的长．
15．（2025秋 瑞安市期中）如图，将17米长的绳索一端固定在物体的E处，利用定滑轮C（忽略滑轮大小）向高空运送该物体，已知物体顶部离地面竖直高度DE＝1米．当物体放在地面上时，拉紧的绳索的另一端处于A处，AD＝6米．当绳索的一端向左拉至B处时，物体升高5米．求滑轮C离地面的垂直高度CD和AB的长．
13.2勾股定理的应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025秋 东港市期中）如图，为修公路需搭建桥BC，测得∠ACB＝90°，AB＝1000m，AC＝800m，若每天搭建桥12m，则把桥BC搭建完需要（ ）
A．48天 B．49天 C．50天 D．51天
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】C
【分析】先根据勾股定理求出BC的长，即可解决问题．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝1000m，AC＝800m，
∴BC600（m）．
∵每天搭建桥12m，
∴600÷12＝50（天）．
答：把桥BC搭建完需要50天，
故选：C．
【点评】本题主要考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理求出AC的长是解答此题的关键．
2．（2025秋 南海区期中）如图，某人持竿进门，已知门高为2米．将竿横放则比门宽长1米，将竿斜放进门，刚好能放进去，则竿的长度为（ ）
A．2.2米 B．1.5米 C．2.5米 D．2米
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】设竿长x尺，根据勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：设竿长x尺，
由题意得：（x﹣1）2+22＝x2，
解得：x＝2.5，
∴竿的长度为2.5米，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
3．（2025春 邯郸校级期末）如图1，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5m的墙E，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光如图2，当一个身高1.5m的学生（即CD＝1.5m）走到灯刚好发光的地方时，他离墙的距离为（ ）
A．4m B．5m C．6m D．7m
【考点】勾股定理的应用．
【专题】推理能力．
【答案】A
【分析】过点C作CE//BD，交AB于点E，构造出直角三角形，利用勾股定理解答．
【解答】解：过点C作CE//BD，交AB于点E．
∵BE＝CD＝1.5m，
∴AE＝AB﹣BE＝4.5﹣1.5＝3（m）．
∵AC＝5m，
∴CE2＝AC2﹣AE2＝52﹣32＝42，
∴CE＝4cm，
故学生走到灯刚好发光的地方时，他离墙的距离为4m
故选：A．
【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
4．（2024秋 新乐市期末）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，即AC≤5m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高1.5m的学生走到D处，即CD＝1.5m，门铃恰好自动响起，则BD的长为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．7米
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识．
【答案】B
【分析】由题意可知BD＝CE，BE＝CD＝1.5m，AC＝5m，则AE＝AB﹣BE＝3m，再由勾股定理求出CE的长，即可得出结论．
【解答】解：由题意可知，BD＝CE，BE＝CD＝1.5m，AC＝5m，则AE＝AB﹣BE＝4.5﹣1.5＝3（m），
在Rt△ACE中，由勾股定理得：CE4（m），
∴BD＝CE＝4米，
即门铃恰好自动响起，则BD的长为4米，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，正确应用勾股定理是解题的关键．
5．（2024秋 偃师区期末）一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高必须低于（ ）
A．4.1米 B．4.0米 C．3.9米 D．3.8米
【考点】勾股定理的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】A
【分析】首先根据题意欲通过如图的隧道，只要比较距厂门中线1.2米处的高度比车高即可，根据勾股定理得出CD的长；然后再根据CH＝CD+DH，进而得出CH的长，即可得出答案．
【解答】解：∵车宽2.4米，
∴欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线1.2米处的高度与车高．
在Rt△OCD中，由勾股定理可得：
CD1.6（m），
CH＝CD+DH＝1.6+2.5＝4.1米，
故选：A．
【点评】本题主要考查的是垂径定理和勾股定理的应用，根据题意得出CD的长是解题关键．
6．（2025秋 福山区期中）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，太原晋祠宋代木雕盘龙，即圣母殿前的八根木雕盘龙是我国现存最早的木雕盘龙，其形象雕刻得栩栩如生．如图所示，每根木柱有雕龙的部分的柱身高AC长为4米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的C点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为（ ）
A．4米 B．4.3米 C．5米 D．6米
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】C
【分析】将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案．
【解答】解：底面周长约为1.5米，柱身高约4米，将圆柱体侧面展开如图，
∵有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的C点，
∴AE＝1.5米，（米），
在直角三角形ABE中，由勾股定理得：（米），
故雕刻在木柱上的巨龙至少为2.5×2＝5（米），
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
7．（2025 吉林校级模拟）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE＝6cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF＝8cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC＝10cm时，钟摆AD的长度是（ ）
A．17cm B．24cm C．26cm D．28cm
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力；应用意识．
【答案】C
【分析】设AB＝AD＝xcm，根据题意可推出AC＝（x﹣2）cm，然后在Rt△ABC中利用勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：设AB＝AD＝xcm，
根据题意可知，BC∥EF，CE⊥EF，BF⊥EF，BF＝8cm，
∴CE＝BF＝8cm，
∴AC＝AD+DE﹣CE＝x+6﹣8＝（x﹣2）cm，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，即x2＝（x﹣2）2+102，
解得：x＝26，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，平行线之间的距离处处相等，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
8．（2025秋 包头期中）如图，一个底面半径为8cm，高为15cm的圆柱形饮料罐，将一根长为20cm的吸管从顶面正中心的小圆孔，按如图所示紧贴底部侧面插入饮料罐，若罐壁厚度和顶部圆孔直径均忽略不计，则吸管露在饮料罐外部的长度是 3 cm．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】3．
【分析】先根据勾股定理求解出吸管在饮料罐内部的长度，再根据吸管的总长度求解即可．
【解答】解：如图，由题意得：AO＝8cm，BO＝15cm，∠BOA＝90°，
在直角三角形AOB中，由勾股定理得：
AB17（cm），
∴吸管在饮料罐内部的长度为17cm，
∵吸管的总长度为20cm，
∴外部长度为20﹣17＝3（cm），
即吸管露在饮料罐外部的长度是3cm．
故答案为：3．
【点评】本题考查了勾股定理解三角形，解决本题的关键是先求解出吸管在饮料罐内部的长度．
9．（2025秋 福山区期中）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是 3.2尺 ．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】3.2尺．
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．
【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+62＝（10﹣x）2．
解得：x＝3.2，
∴折断处离地面的高度为3.2尺，
故答案为：3.2尺．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
10．（2024秋 锦江区校级期末）若将15只空油桶（每只油桶底面的直径均为2m）堆在一起，并且最下面的个数是5只，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码高为 （42） m（结果保留根号）．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识．
【答案】（42）．
【分析】仔细观察图片，可以看出15只油桶堆成的底面刚好构成等边三角形，它的边长是8m，遮雨棚起码的高度是该三角形的高加一只油桶的直径，根据勾股定理求出AD的长，即可得出结果．
【解答】解：由题意得：A、B、C是三个角处的三个油桶的圆心，连接组成一个等边三角形，它的边长是4×2＝8（m），AD为等边△ABC的高，
∴AB＝BC＝8m，BD＝CDBC8＝4（m），
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AD4（m），
∴遮雨棚起码高为：（42）m，
故答案为：（42）．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
11．（2025秋 沈阳期中）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 2 cm．
【考点】勾股定理的应用；等腰三角形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．
【解答】解：Rt△ACD中，ACAB＝4cm，CD＝3cm；
根据勾股定理，得：AD5cm；
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；
故橡皮筋被拉长了2cm．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．
12．（2025春 樊城区期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝ 1.5 米．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，则AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD1.5（米）
故答案为：1.5．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AD的长度．
三．解答题（共3小题）
13．（2025秋 鞍山期中）如图，是两个长度相同的梯子BC与EF靠在一面竖直墙上的示意图，已知左边梯子的高度AC与右边梯子水平方向的长度DF相等，若DF＝3m，DE＝6m，AD＝2.6m，求线段BF的长度．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】三角形．
【答案】线段BF长度为11.6m．
【分析】先根据HL定理判断出Rt△BAC≌Rt△EDF，再根据全等三角形的性质求出AB＝DE，即可求出BF．
【解答】解：由题意知∠BAC＝∠EDF＝90°，BC＝EF，AC＝DF，
在Rt△BAC和Rt△EDF中，
，
∴Rt△BAC≌Rt△EDF（HL），
∴AB＝DE，
∵DF＝3m，DE＝6m，AD＝2.6m，
∴BF＝AB+AD+DF＝6+2.6+3＝11.6（m）．
答：线段BF的长度为11.6m．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定及性质，熟练掌握直角三角形全等的判定是解决问题的关键．
14．（2025秋 大连期中）小强同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：如图1，在一个支架的横杆的点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，OA表示小球静止时的位置．如图2，当小强用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA，垂足为D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图2中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA，垂足为E，测得BD＝6cm，CE＝10cm．
（1）求证：∠COE＝∠B；
（2）求DE的长．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）∵CE⊥OA，BD⊥OA，
∴∠CEO＝∠ODB＝90°，
∵OB⊥OC，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BOD+∠COE＝90°，
在Rt△BOD 中，∠BOD+∠B＝90°，
∴∠COE＝∠B；
（2）4cm．
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠CEO＝∠ODB＝90°，求得∠BOD+∠COE＝90°，根据余角的性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到CE＝OD，OE＝BD，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵CE⊥OA，BD⊥OA，
∴∠CEO＝∠ODB＝90°，
∵OB⊥OC，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BOD+∠COE＝90°，
∴∠BOD+∠B＝90°，
∴∠COE＝∠B；
（2）解：在△COE和△OBD中，
，
∴△COE≌△OBD（AAS），
∴CE＝OD，OE＝BD，
∵CE＝10cm，
∴OD＝10cm，
∵BD＝6cm，
∴OE＝6cm，
∴DE＝OD﹣OE＝10﹣6＝4（cm）．
【点评】此题考查全等三角形的性质和判定，以及勾股定理，解答本题的关键是找准条件判定全等，解题技巧是通过勾股定理求解边长，然后通过线段和差关系求解．
15．（2025秋 瑞安市期中）如图，将17米长的绳索一端固定在物体的E处，利用定滑轮C（忽略滑轮大小）向高空运送该物体，已知物体顶部离地面竖直高度DE＝1米．当物体放在地面上时，拉紧的绳索的另一端处于A处，AD＝6米．当绳索的一端向左拉至B处时，物体升高5米．求滑轮C离地面的垂直高度CD和AB的长．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识．
【答案】CD的长为8米，AB的长为（6）米．
【分析】设CE的长为x米，则AC的长为（17﹣x） 米，CD的长为（x+1）米，在Rt△ACD中，由勾股定理列出方程，解方程，得出CD的长，再由勾股定理求出BD的长，即可解决问题．
【解答】解：设CE的长为x米，则AC的长为（17﹣x） 米，CD的长为（x+1）米，
在Rt△ACD中，AD＝6米，
由勾股定理得：62+（x+1）2＝（17﹣x）2，
解得，x＝7，
∴x+1＝8，
即CD的长为8米，
由题意可知，BC＝17﹣（8﹣5﹣1）＝15（米），
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD（米），
∴（米），
答：CD的长为8米，AB的长为（6）米．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
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13.2勾股定理的应用
一．选择题（共7小题）
1．（2025秋 东港市期中）如图，为修公路需搭建桥BC，测得∠ACB＝90°，AB＝1000m，AC＝800m，若每天搭建桥12m，则把桥BC搭建完需要（ ）
A．48天 B．49天 C．50天 D．51天
2．（2025秋 南海区期中）如图，某人持竿进门，已知门高为2米．将竿横放则比门宽长1米，将竿斜放进门，刚好能放进去，则竿的长度为（ ）
A．2.2米 B．1.5米 C．2.5米 D．2米
3．（2025春 邯郸校级期末）如图1，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5m的墙E，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光如图2，当一个身高1.5m的学生（即CD＝1.5m）走到灯刚好发光的地方时，他离墙的距离为（ ）
A．4m B．5m C．6m D．7m
4．（2024秋 新乐市期末）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，即AC≤5m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高1.5m的学生走到D处，即CD＝1.5m，门铃恰好自动响起，则BD的长为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．7米
5．（2024秋 偃师区期末）一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高必须低于（ ）
A．4.1米 B．4.0米 C．3.9米 D．3.8米
6．（2025秋 福山区期中）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，太原晋祠宋代木雕盘龙，即圣母殿前的八根木雕盘龙是我国现存最早的木雕盘龙，其形象雕刻得栩栩如生．如图所示，每根木柱有雕龙的部分的柱身高AC长为4米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的C点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为（ ）
A．4米 B．4.3米 C．5米 D．6米
7．（2025 吉林校级模拟）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE＝6cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF＝8cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC＝10cm时，钟摆AD的长度是（ ）
A．17cm B．24cm C．26cm D．28cm
二．填空题（共5小题）
8．（2025秋 包头期中）如图，一个底面半径为8cm，高为15cm的圆柱形饮料罐，将一根长为20cm的吸管从顶面正中心的小圆孔，按如图所示紧贴底部侧面插入饮料罐，若罐壁厚度和顶部圆孔直径均忽略不计，则吸管露在饮料罐外部的长度是 cm．
9．（2025秋 福山区期中）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是 ．
10．（2024秋 锦江区校级期末）若将15只空油桶（每只油桶底面的直径均为2m）堆在一起，并且最下面的个数是5只，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码高为 m（结果保留根号）．
11．（2025秋 沈阳期中）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 cm．
12．（2025春 樊城区期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝ 米．
三．解答题（共3小题）
13．（2025秋 鞍山期中）如图，是两个长度相同的梯子BC与EF靠在一面竖直墙上的示意图，已知左边梯子的高度AC与右边梯子水平方向的长度DF相等，若DF＝3m，DE＝6m，AD＝2.6m，求线段BF的长度．
14．（2025秋 大连期中）小强同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：如图1，在一个支架的横杆的点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，OA表示小球静止时的位置．如图2，当小强用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA，垂足为D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图2中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA，垂足为E，测得BD＝6cm，CE＝10cm．
（1）求证：∠COE＝∠B；
（2）求DE的长．
15．（2025秋 瑞安市期中）如图，将17米长的绳索一端固定在物体的E处，利用定滑轮C（忽略滑轮大小）向高空运送该物体，已知物体顶部离地面竖直高度DE＝1米．当物体放在地面上时，拉紧的绳索的另一端处于A处，AD＝6米．当绳索的一端向左拉至B处时，物体升高5米．求滑轮C离地面的垂直高度CD和AB的长．
13.2勾股定理的应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025秋 东港市期中）如图，为修公路需搭建桥BC，测得∠ACB＝90°，AB＝1000m，AC＝800m，若每天搭建桥12m，则把桥BC搭建完需要（ ）
A．48天 B．49天 C．50天 D．51天
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】C
【分析】先根据勾股定理求出BC的长，即可解决问题．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝1000m，AC＝800m，
∴BC600（m）．
∵每天搭建桥12m，
∴600÷12＝50（天）．
答：把桥BC搭建完需要50天，
故选：C．
【点评】本题主要考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理求出AC的长是解答此题的关键．
2．（2025秋 南海区期中）如图，某人持竿进门，已知门高为2米．将竿横放则比门宽长1米，将竿斜放进门，刚好能放进去，则竿的长度为（ ）
A．2.2米 B．1.5米 C．2.5米 D．2米
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】设竿长x尺，根据勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：设竿长x尺，
由题意得：（x﹣1）2+22＝x2，
解得：x＝2.5，
∴竿的长度为2.5米，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
3．（2025春 邯郸校级期末）如图1，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5m的墙E，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光如图2，当一个身高1.5m的学生（即CD＝1.5m）走到灯刚好发光的地方时，他离墙的距离为（ ）
A．4m B．5m C．6m D．7m
【考点】勾股定理的应用．
【专题】推理能力．
【答案】A
【分析】过点C作CE//BD，交AB于点E，构造出直角三角形，利用勾股定理解答．
【解答】解：过点C作CE//BD，交AB于点E．
∵BE＝CD＝1.5m，
∴AE＝AB﹣BE＝4.5﹣1.5＝3（m）．
∵AC＝5m，
∴CE2＝AC2﹣AE2＝52﹣32＝42，
∴CE＝4cm，
故学生走到灯刚好发光的地方时，他离墙的距离为4m
故选：A．
【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
4．（2024秋 新乐市期末）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，即AC≤5m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高1.5m的学生走到D处，即CD＝1.5m，门铃恰好自动响起，则BD的长为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．7米
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识．
【答案】B
【分析】由题意可知BD＝CE，BE＝CD＝1.5m，AC＝5m，则AE＝AB﹣BE＝3m，再由勾股定理求出CE的长，即可得出结论．
【解答】解：由题意可知，BD＝CE，BE＝CD＝1.5m，AC＝5m，则AE＝AB﹣BE＝4.5﹣1.5＝3（m），
在Rt△ACE中，由勾股定理得：CE4（m），
∴BD＝CE＝4米，
即门铃恰好自动响起，则BD的长为4米，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，正确应用勾股定理是解题的关键．
5．（2024秋 偃师区期末）一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高必须低于（ ）
A．4.1米 B．4.0米 C．3.9米 D．3.8米
【考点】勾股定理的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】A
【分析】首先根据题意欲通过如图的隧道，只要比较距厂门中线1.2米处的高度比车高即可，根据勾股定理得出CD的长；然后再根据CH＝CD+DH，进而得出CH的长，即可得出答案．
【解答】解：∵车宽2.4米，
∴欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线1.2米处的高度与车高．
在Rt△OCD中，由勾股定理可得：
CD1.6（m），
CH＝CD+DH＝1.6+2.5＝4.1米，
故选：A．
【点评】本题主要考查的是垂径定理和勾股定理的应用，根据题意得出CD的长是解题关键．
6．（2025秋 福山区期中）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，太原晋祠宋代木雕盘龙，即圣母殿前的八根木雕盘龙是我国现存最早的木雕盘龙，其形象雕刻得栩栩如生．如图所示，每根木柱有雕龙的部分的柱身高AC长为4米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的C点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为（ ）
A．4米 B．4.3米 C．5米 D．6米
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】C
【分析】将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案．
【解答】解：底面周长约为1.5米，柱身高约4米，将圆柱体侧面展开如图，
∵有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的C点，
∴AE＝1.5米，（米），
在直角三角形ABE中，由勾股定理得：（米），
故雕刻在木柱上的巨龙至少为2.5×2＝5（米），
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
7．（2025 吉林校级模拟）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE＝6cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF＝8cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC＝10cm时，钟摆AD的长度是（ ）
A．17cm B．24cm C．26cm D．28cm
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力；应用意识．
【答案】C
【分析】设AB＝AD＝xcm，根据题意可推出AC＝（x﹣2）cm，然后在Rt△ABC中利用勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：设AB＝AD＝xcm，
根据题意可知，BC∥EF，CE⊥EF，BF⊥EF，BF＝8cm，
∴CE＝BF＝8cm，
∴AC＝AD+DE﹣CE＝x+6﹣8＝（x﹣2）cm，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，即x2＝（x﹣2）2+102，
解得：x＝26，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，平行线之间的距离处处相等，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
8．（2025秋 包头期中）如图，一个底面半径为8cm，高为15cm的圆柱形饮料罐，将一根长为20cm的吸管从顶面正中心的小圆孔，按如图所示紧贴底部侧面插入饮料罐，若罐壁厚度和顶部圆孔直径均忽略不计，则吸管露在饮料罐外部的长度是 3 cm．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】3．
【分析】先根据勾股定理求解出吸管在饮料罐内部的长度，再根据吸管的总长度求解即可．
【解答】解：如图，由题意得：AO＝8cm，BO＝15cm，∠BOA＝90°，
在直角三角形AOB中，由勾股定理得：
AB17（cm），
∴吸管在饮料罐内部的长度为17cm，
∵吸管的总长度为20cm，
∴外部长度为20﹣17＝3（cm），
即吸管露在饮料罐外部的长度是3cm．
故答案为：3．
【点评】本题考查了勾股定理解三角形，解决本题的关键是先求解出吸管在饮料罐内部的长度．
9．（2025秋 福山区期中）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是 3.2尺 ．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】3.2尺．
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．
【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+62＝（10﹣x）2．
解得：x＝3.2，
∴折断处离地面的高度为3.2尺，
故答案为：3.2尺．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
10．（2024秋 锦江区校级期末）若将15只空油桶（每只油桶底面的直径均为2m）堆在一起，并且最下面的个数是5只，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码高为 （42） m（结果保留根号）．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识．
【答案】（42）．
【分析】仔细观察图片，可以看出15只油桶堆成的底面刚好构成等边三角形，它的边长是8m，遮雨棚起码的高度是该三角形的高加一只油桶的直径，根据勾股定理求出AD的长，即可得出结果．
【解答】解：由题意得：A、B、C是三个角处的三个油桶的圆心，连接组成一个等边三角形，它的边长是4×2＝8（m），AD为等边△ABC的高，
∴AB＝BC＝8m，BD＝CDBC8＝4（m），
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AD4（m），
∴遮雨棚起码高为：（42）m，
故答案为：（42）．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
11．（2025秋 沈阳期中）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 2 cm．
【考点】勾股定理的应用；等腰三角形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．
【解答】解：Rt△ACD中，ACAB＝4cm，CD＝3cm；
根据勾股定理，得：AD5cm；
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；
故橡皮筋被拉长了2cm．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．
12．（2025春 樊城区期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝ 1.5 米．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，则AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD1.5（米）
故答案为：1.5．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AD的长度．
三．解答题（共3小题）
13．（2025秋 鞍山期中）如图，是两个长度相同的梯子BC与EF靠在一面竖直墙上的示意图，已知左边梯子的高度AC与右边梯子水平方向的长度DF相等，若DF＝3m，DE＝6m，AD＝2.6m，求线段BF的长度．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】三角形．
【答案】线段BF长度为11.6m．
【分析】先根据HL定理判断出Rt△BAC≌Rt△EDF，再根据全等三角形的性质求出AB＝DE，即可求出BF．
【解答】解：由题意知∠BAC＝∠EDF＝90°，BC＝EF，AC＝DF，
在Rt△BAC和Rt△EDF中，
，
∴Rt△BAC≌Rt△EDF（HL），
∴AB＝DE，
∵DF＝3m，DE＝6m，AD＝2.6m，
∴BF＝AB+AD+DF＝6+2.6+3＝11.6（m）．
答：线段BF的长度为11.6m．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定及性质，熟练掌握直角三角形全等的判定是解决问题的关键．
14．（2025秋 大连期中）小强同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：如图1，在一个支架的横杆的点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，OA表示小球静止时的位置．如图2，当小强用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA，垂足为D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图2中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA，垂足为E，测得BD＝6cm，CE＝10cm．
（1）求证：∠COE＝∠B；
（2）求DE的长．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）∵CE⊥OA，BD⊥OA，
∴∠CEO＝∠ODB＝90°，
∵OB⊥OC，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BOD+∠COE＝90°，
在Rt△BOD 中，∠BOD+∠B＝90°，
∴∠COE＝∠B；
（2）4cm．
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠CEO＝∠ODB＝90°，求得∠BOD+∠COE＝90°，根据余角的性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到CE＝OD，OE＝BD，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵CE⊥OA，BD⊥OA，
∴∠CEO＝∠ODB＝90°，
∵OB⊥OC，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BOD+∠COE＝90°，
∴∠BOD+∠B＝90°，
∴∠COE＝∠B；
（2）解：在△COE和△OBD中，
，
∴△COE≌△OBD（AAS），
∴CE＝OD，OE＝BD，
∵CE＝10cm，
∴OD＝10cm，
∵BD＝6cm，
∴OE＝6cm，
∴DE＝OD﹣OE＝10﹣6＝4（cm）．
【点评】此题考查全等三角形的性质和判定，以及勾股定理，解答本题的关键是找准条件判定全等，解题技巧是通过勾股定理求解边长，然后通过线段和差关系求解．
15．（2025秋 瑞安市期中）如图，将17米长的绳索一端固定在物体的E处，利用定滑轮C（忽略滑轮大小）向高空运送该物体，已知物体顶部离地面竖直高度DE＝1米．当物体放在地面上时，拉紧的绳索的另一端处于A处，AD＝6米．当绳索的一端向左拉至B处时，物体升高5米．求滑轮C离地面的垂直高度CD和AB的长．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识．
【答案】CD的长为8米，AB的长为（6）米．
【分析】设CE的长为x米，则AC的长为（17﹣x） 米，CD的长为（x+1）米，在Rt△ACD中，由勾股定理列出方程，解方程，得出CD的长，再由勾股定理求出BD的长，即可解决问题．
【解答】解：设CE的长为x米，则AC的长为（17﹣x） 米，CD的长为（x+1）米，
在Rt△ACD中，AD＝6米，
由勾股定理得：62+（x+1）2＝（17﹣x）2，
解得，x＝7，
∴x+1＝8，
即CD的长为8米，
由题意可知，BC＝17﹣（8﹣5﹣1）＝15（米），
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD（米），
∴（米），
答：CD的长为8米，AB的长为（6）米．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
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