函数的性质练习题20160702

函数的性质练习题20160702
一．选择题（共12小题）
1．已知函数y=x2﹣2x+8，那么（　　）
A．当x∈（1，+∞）时，函数单调递增
B．当x∈（1，+∞）时，函数单调递减
C．当x∈（﹣∞，﹣1）时，函数单调递增
D．当x∈（﹣∞，3）时，函数单调递减
2．函数y=|x+1|的单调增区间是（　　）
A．（﹣∞，+∞）
B．（﹣∞，0）
C．（﹣1，+∞）
D．（﹣∞，﹣1）
3．函数y=的减区间是（　　）
A．[0，+∞）
B．（﹣∞，0]
C．（﹣∞，0），（0，+∞）
D．（﹣∞，0）∪（0，+∞）
4．下列函数中，在区间（0，3）上为增函数的是（　　）
A．y=﹣x+1
B．y=x2+3
C．y=x2﹣6x+10
D．
5．下列说法正确的是（　　）
A．反比例函数y=在区间（0，+∞）上是减函数
B．二次函数y=ax2+bx+c图象开口向上
C．反比例函数y=是R上的减函数
D．一次函数f（x）=﹣2x+b是R上的减函数
6．函数f（x）=的单调递增区间为（　　）
A．（﹣∞，0），[0，+∞）
B．（﹣∞，0）
C．[0，+∞）
D．（﹣∞，+∞）
7．已知函数在区间[1，3]上的最大值为A，最小值为B，则A+B=（　　）
A．
B．
C．2
D．
8．已知函数（x∈[2，6]）则f（x）的最大值与最小值的和为（　　）
A．3
B．2.4
C．4.2
D．4
9．设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），如果f（x1）=f（x2）
（其中x1≠x2），则f（）等于（　　）
A．﹣
B．﹣
C．C
D．
10．y=x（1﹣3x），（0＜x＜）的最大值是（　　）
A．
B．
C．
D．
11．函数y=的最大值是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
12．函数f（x）的图象如图所示，则最大、最小值分别为（　　）
f（），f（﹣）
B．f（0），f（）
C．f（0），f（﹣）
D．f（0），f（3）
二．填空题（共13小题）
13．二次函数y=﹣2x2﹣x+1在[﹣3，1]的最大值是　　　　　　最小值是　　　　　　．
14．函数y=﹣（x﹣3）2+18在[2，6]的最大值和最小值分别是　　　　　　．
15．已知函数f（x）=，则它们的单调增区间是　　　　　　．
16．y=x|x|+3的单调增区间是　　　　　　．
17．函数y=4x+3的单调递增区间是　　　　　　．
18．f（x）是定义在（0，+∞）上的单调增函数，若f（x）＞f（2﹣x），则x的取值范围是　　　　　　．
19．如果函数y=（2a﹣1）x+b在R上是增函数，则a的取值范围是　　　　　　．
20．已知函数f（x）=，若x∈[2，6]，则该函数的最大值为　　　　　　．
21．已知y=kx在定义域内是减函数，则k的取值范围是　　　　　　．
22．定义在[﹣3，0]∪[2，3]上的函数y=f（x）的图象如图所示，若直线y=a与y=f（x）的图象有两个公共点，则实数a的取值范围为　　　　　　．
23．定义在[﹣1，1]上的函数f（x）是减函数，且f（1﹣a）＞f（a2﹣1），求实数a的取值范围　　　　　　．
24．对于函数f（x）=（x﹣1）2，下列说法正确的是　　　　　　（请把正确的序号都填上）：
①对于x∈R都有f（x）=f（2﹣x）；
②在（﹣∞，0）上函数f（x）单调减小；
③在（﹣∞，0）上函数f（x）单调增加；
④f（0）是f（x）的最小值．
25．若函数y=ax+1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是　　　　　　．
　
三．解答题（共3小题）
26．已知函数f（x）=2﹣．
（1）判断函数f（x）在区间（﹣∞，0）上的单调性并用定义证明；
（2）求函数f（x）在区间[﹣3，﹣1]上的最值．
27．已知f（x）=
（1）利用函数单调性定义判断f（x）在区间（﹣1，+∞）上的单调性，并给出证明；
（2）求出函数f（x）在区间[2，6]上的最大值和最小值．
28．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，2），且f（x）在定义域上单调递减，
（1）求函数f（1﹣x）的定义域；
（2）若f（1﹣a）＜f（a2﹣1），求a的取值范围．
　
2015年07月28日1105919524的高中数学组卷
参考答案与试题解析
　
一．选择题（共12小题）
1．（2014 天津学业考试）已知函数y=x2﹣2x+8，那么（　　）
A．当x∈（1，+∞）时，函数单调递增
B．当x∈（1，+∞）时，函数单调递减
C．当x∈（﹣∞，﹣1）时，函数单调递增
D．当x∈（﹣∞，3）时，函数单调递减
【分析】利用该二次函数的图象即可判断．
【解答】解：因为函数y=x2﹣2x+8的图象开口向上，关于x=1对称，
所以其单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（﹣∞，1）．
故选A．
　
2．（2014秋 原平市校级期末）函数y=|x+1|的单调增区间是（　　）
A．（﹣∞，+∞）
B．（﹣∞，0）
C．（﹣1，+∞）
D．（﹣∞，﹣1）
【分析】根据绝对值函数的性质即可得到结论．
【解答】解：当x≥﹣1时，y=|x+1|=x+1，此时函数单调递增，
当x＜﹣1时，y=|x+1|=﹣x﹣1，此时函数单调递减，
故函数的递增区间为（﹣1，+∞），
故选：C
　
3．（2014秋 大兴区期中）函数y=的减区间是（　　）
A．[0，+∞）
B．（﹣∞，0]C．（﹣∞，0），（0，+∞）
D．（﹣∞，0）∪（0，+∞）
【分析】根据已知中函数y=的解析式，结合反比例函数的图象和性质，分析函数的图象形状，进而可得函数的单调递减区间．
【解答】解：∵函数y=的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
其图象过第一三象限，
图象的形状为双曲线，
且每一段都是下降的，
故函数y=的减区间是（﹣∞，0），（0，+∞），
故选：C
　
4．（2013春 邹平县校级月考）下列函数中，在区间（0，3）上为增函数的是（　　）
A．y=﹣x+1
B．y=x2+3
C．y=x2﹣6x+10
D．
【分析】分别根据函数的单调性进行判断即可．
【解答】解：A．y=﹣x+1在定义域上单调递减，不满足条件．
B．函数y=x2+3的顶点坐标为（0，3），在（0，3）上为增函数．满足条件．
C．y=x2﹣6x+10的对称轴为x=3，当x＜3时，函数单调递减，不满足条件．
D．y=在区间（0，3）上为减函数，不满足条件．
故选：B．
　
5．下列说法正确的是（　　）
A．反比例函数y=在区间（0，+∞）上是减函数
B．二次函数y=ax2+bx+c图象开口向上
C．反比例函数y=是R上的减函数
D．一次函数f（x）=﹣2x+b是R上的减函数
【分析】本题考查基本初等函数的性质，主要考察一次函数，二次函数以及反比例函数的定义域，单调性和图象，A．C要根据反比例函数性质判断；B考察二次函数的图象开口，要看a；D中一次函数的单调性与斜率有关．
【解答】解：A、当k＞0时成立，k＜0时不成立，A错误；
B、当a＞0成立，a＜0时开口向下，B错误；
C、反比例函数y=在（﹣∞，0）和（0，+∞）上是减函数，定义域不是R，在R上也不单调，C错误；
D、﹣2＜0，一次函数f（x）=﹣2x+b是R上的减函数，D正确．
故选：D．
　
6．函数f（x）=的单调递增区间为（　　）
A．（﹣∞，0），[0，+∞）
B．（﹣∞，0）
C．[0，+∞）
D．（﹣∞，+∞）
【分析】首先根据分段函数的解析式画出函数的图象，进一步根据函数函数的图象确定函数的单调区间．
【解答】解：已知函数f（x）=
则：函数的图象为：
根据函数的图象得：函数的单调递增区间为：（﹣∞，+∞）
故选：D
　
7．（2014秋 海丰县校级月考）已知函数在区间[1，3]上的最大值为A，最小值为B，则A+B=（　　）
A．B．C．2
D．
【分析】由反比例函数的单调性确定函数的最值，从而求最值和．
【解答】解：易知函数在区间[1，3]上是减函数，
f（1）==2；
f（3）=；
故A+B=2+=；
故选D．
　
8．（2012秋 汉阳区校级期中）已知函数（x∈[2，6]）则f（x）的最大值与最小值的和为（　　）
A．3
B．2.4
C．4.2
D．4
【分析】画出图形，运用单调性求解最大，最小值．
【解答】解：∵函数（x∈[2，6]），
∴根据图象可判断单调递减，
f（2）=2，f（6）=，
Bf（x）的最大值与最小值的和为2.4；
故选：B
　
9．（2011秋 温州校级期中）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），如果f（x1）=f（x2）
（其中x1≠x2），则f（）等于（　　）
A．﹣B．﹣C．c
D．
【分析】本题是二次函数的对称问题，由二次函数的性质知道，f（x1）=f（x2）（其中x1≠x2），则x1，x2到对称轴的距离相等，故可得f（）=f（﹣），由此找到突破口．
【解答】解：由二次函数的性质f（）=f（﹣）=．
故应选D．
　
10．（2010春 天心区校级期末）y=x（1﹣3x），（0＜x＜）的最大值是（　　）
A．B．C．D．
【分析】根据基本不等式的性质即可得到结论．
【解答】解：∵0＜x＜，∴0＜3x＜1，则0＜1﹣3x＜1，
则y=x（1﹣3x）=×3x（1﹣3x）=，
当且仅当3x=1﹣3x，即6x=1，解得x=时，取等号，
故y=x（1﹣3x），（0＜x＜）的最大值是，
故选：B
　
11．函数y=的最大值是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】x＜1时，y＜4；x≥1时，y≤5，即可求出函数y=的最大值．
【解答】解：x＜1时，y＜4；x≥1时，y≤5，
∴函数y=的最大值是5，
故选：C
　
12．函数f（x）的图象如图所示，则最大、最小值分别为（　　）
A．f（），f（﹣）
B．f（0），f（）
C．f（0），f（﹣）
D．f（0），f（3）
【分析】由图象直接看出图象的最高点与最低点，即可求出函数的最大、最小值．
【解答】解：根据图象的最高点与最低点，可得函数的最大、最小值分别为f（0），f（﹣），
故选：C．
　
二．填空题（共13小题）
13．（2011秋 南康市校级月考）求二次函数y=﹣2x2﹣x+1在[﹣3，1]的最大值　　最小值　﹣14　．
【分析】分对称轴和闭区间的三种位置关系：轴在区间左边，轴在区间右边，轴在区间中间来讨论即可．
【解答】解；∵二次函数y=﹣2x2﹣x+1的对称轴是：x=﹣=﹣，
图象开口向下，当x=﹣时函数值最大，
∴y=，
当x=﹣3时，y最小，
∴y=﹣14．
故答案为：，﹣14．
　
14．函数y=﹣（x﹣3）2+18在[2，6]的最大值和最小值分别是　18，9　．
【分析】根据y=﹣（x﹣3）2+18在[2，3]上单调递增，在[3，6]上单调递减，可求得最大值，通过比较端点处的函数值可得最小值．
【解答】解：∵y=﹣（x﹣3）2+18在[2，3]上单调递增，在[3，6]上单调递减，
∴x=3时函数取得最大值，ymax=18，
又x=2时，y=17，x=6时，y=9，
∴ymin=9，
故答案为：18，9．
　
15．已知函数f（x）=，则它们的单调增区间是　（﹣∞，﹣1]和[1，+∞）　．
【分析】首先分别求出在不同定义域内的函数的单调区间，进一步求出函数的整体单调区间．
【解答】解：函数f（x）=
根据函数的解析式：当x≥0时，函数的单调递增区间为：[1，+∞）
当x＜0时，函数的单调递增区间为：（﹣∞，﹣1]
所以函数的递增区间为：[1，+∞）和（﹣∞，﹣1]
故答案为：（﹣∞，﹣1]和[1，+∞）
　
16．（2014秋 涟水县校级期中）y=x|x|+3的单调增区间是　（﹣∞，+∞）　．
【分析】化简函数y=f（x），讨论y=f（x）的单调性即可得出它的单调区间．
【解答】解：∵函数y=f（x）=x|x|+3=，
当x≥0时，y=f（x）=x2+3的图象从左向右是上升的，是增函数；
当x＜0时，y=f（x）=﹣x2+3的图象从左向右也是上升的，是增函数；
∴y=f（x）在定义域（﹣∞，+∞）上是增函数，
∴y=f（x）的单调增区间是（﹣∞，+∞）．
故答案为：（﹣∞，+∞）．
　
17．函数y=4x+3的单调递增区间是　（﹣∞，+∞）　．
【分析】直接利用一次函数的单调性，写出结果即可．
【解答】解：函数y=4x+3是一次函数，所以函数的单调递增区间是（﹣∞，+∞）．
故答案为：（﹣∞，+∞）．
　
18．（2014秋 鼓楼区校级期中）f（x）是定义在（0，+∞）上的单调增函数，若f（x）＞f（2﹣x），则x的取值范围是　（1，2）　．
【分析】由于f（x）是定义在（0，+∞）上的单调增函数，则f（x）＞f（2﹣x），等价为，解出即可．
【解答】解：由于f（x）是定义在（0，+∞）上的单调增函数，
则f（x）＞f（2﹣x），
等价为，解得，
即有1＜x＜2．
则解集为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
　
19．（2014秋 大兴区期中）如果函数y=（2a﹣1）x+b在R上是增函数，则a的取值范围是　（，+∞）　．
【分析】求出函数的导数，解f′（x）＞0，求出即可．
【解答】解：∵f（x）=（2a﹣1）x+b在R内是增函数，
∴f′（x）=2a﹣1＞0，解得：a＞，
故a的取值范围是（，+∞），
故答案为：（，+∞）．
　
20．（2014秋 隆回县校级期中）已知函数f（x）=，若x∈[2，6]，则该函数的最大值为　2　．
【分析】先求出函数的图象，得到函数的单调性，从而求出函数的最大值．
【解答】解：画出函数f（x）的图象，如图示：
，
∴函数f（x）在[2，6]递减，
∴函数f（x）最大值=f（2）=2，
故答案为：2．
　
21．（2014秋 兴平市校级期中）已知y=kx在定义域内是减函数，则k的取值范围是　k＜0　．
【分析】直接利用函数的单调性，写出结果即可．
【解答】解：y=kx在定义域内是减函数，则k的取值范围是：k＜0．
故答案为：k＜0．
　
22．（2014秋 吴兴区校级月考）定义在[﹣3，0]∪[2，3]上的函数y=f（x）的图象如图所示，若直线y=a与y=f（x）的图象有两个公共点，则实数a的取值范围为　[2，4]　．
【分析】由图象判断函数f（x）在[﹣3，0]，[2，3]上的单调性和值域，再由直线y=a平移，即可得到．
【解答】解：由图象可知f（x）在[﹣3，0]上单调递增，
且有f（x）∈[2，4]，
在[2，3]上单调递增，且有f（x）∈[1，5]，
则直线y=a在[2，4]上与函数f（x）的图象有两个公共点，
故答案为：[2，4]．
　
23．（2014秋 谯城区校级月考）定义在[﹣1，1]上的函数f（x）是减函数，且f（1﹣a）＞f（a2﹣1），求实数a的取值范围　1＜a≤　．
【分析】再由定义域和单调性，结合f（1﹣a）＞f（a2﹣1），列出关于a的不等式组求解可得答案．
【解答】解：∵函数f（x）定义在[﹣1，1]上的减函数，且f（1﹣a）＞f（a2﹣1），
∴﹣1≤1﹣a＜a2﹣1≤1，
解得：1＜a≤，
故答案为：1＜a≤
　
24．（2014秋 浔阳区校级月考）对于函数f（x）=（x﹣1）2，下列说法正确的是　①②　（请把正确的序号都填上）：
①对于x∈R都有f（x）=f（2﹣x）；
②在（﹣∞，0）上函数f（x）单调减小；
③在（﹣∞，0）上函数f（x）单调增加；
④f（0）是f（x）的最小值．
【分析】通过计算可判断①正确；借助二次函数的图象可判断②③④的正误；
【解答】解：f（2﹣x）=（2﹣x﹣1）2=（x﹣1）2=f（x），故①正确；
f（x）的图象开口向上，对称轴为x=1，在（﹣∞，1）上函数f（x）单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故②正确，③错误；
f（x）的最小值为f（1）=0，故④错误．
故答案为：①②
　
25．（2014秋 揭阳校级月考）若函数y=ax+1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是　2或﹣2　．
【分析】根据一次函数单调性可得|（a+1）﹣（2a+1）|=2，解出即可．
【解答】解：①当a=0时，y=ax+1=1，不符合题意；
②当a＞0时，y=ax+1在[1，2]上递增，则（2a+1）﹣（a+1）=2，解得a=2；
③当a＜0时，y=ax+1在[1，2]上递减，则（a+1）﹣（2a+1）=2，解得a=﹣2．
综上，得a=±2，
故答案为：2或﹣2．
　
三．解答题（共3小题）
26．（2014秋 佛山期末）已知函数f（x）=2﹣．
（1）判断函数f（x）在区间（﹣∞，0）上的单调性并用定义证明；
（2）求函数f（x）在区间[﹣3，﹣1]上的最值．
【分析】（1）由条件利用函数的单调性的定义证得函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增．
（2）由（1）可得函数f（x）在区间[﹣3，﹣1]上单调递增，由此求得f（x）在区间[﹣3，﹣1]上的最值．
【解答】解：（1）证明：对于函数f（x）=2﹣，令x1＜x2＜0，
由于f（x1）﹣f（x2）=﹣+=，
而由题设可得x1 x2＞0，x1﹣x2＜0，∴＜0，即f（x1）＜f（x2），
故函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增．
（2）由（1）可得函数f（x）在区间[﹣3，﹣1]上单调递增，
故当x=﹣3时，f（x）取得最小值为2+=，当x=﹣1时，f（x）取得最大值为2+2=4．
　
27．（2014秋 乐清市校级月考）已知f（x）=
（1）利用函数单调性定义判断f（x）在区间（﹣1，+∞）上的单调性，并给出证明；
（2）求出函数f（x）在区间[2，6]上的最大值和最小值．
【分析】（1）f（x）在区间（﹣1，+∞）上单调递减．运用单调性的定义证明，注意作差、变形、定符号和下结论；
（2）由（1）知：在f（x）在区间[2，6]上单调递减，即可得到最值．
【解答】解：（1）f（x）在区间（﹣1，+∞）上单调递减．
理由如下：设﹣1＜m＜n，则f（m）﹣f（n）=
=，
由于﹣1＜m＜n，则n﹣m＞0，m+1＞0，n+1＞0，
则f（m）﹣f（n）＞0，即有f（m）＞f（n）．
则f（x）在区间（﹣1，+∞）上单调递减；
（2）由（1）知：在f（x）在区间[2，6]上单调递减，
所以f（x）最大值=f（2）=，
f（x）最小值=f（6）=．
　
28．（2014秋 南京校级月考）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，2），且f（x）在定义域上单调递减，
（1）求函数f（1﹣x）的定义域；
（2）若f（1﹣a）＜f（a2﹣1），求a的取值范围．
【分析】（1）由题意可得﹣1＜1﹣x＜2，求得x的范围，可得函数f（1﹣x）定义域．
（2）由题意得，由此求得a的范围．
【解答】解：（1）∵﹣1＜1﹣x＜2，∴﹣2＜﹣x＜1，
解得﹣1＜x＜2，
∴函数f（1﹣x）定义域为（﹣1，2）．
（2）由题意得，解得，
∴﹣1＜a＜0或0＜a＜1．