2025-2026学年北师大版九年级上册数学 第四章 图形的相似 核心素养测评卷（含解析）

第四章图形的相似核心素养测评卷
一、选择题：本大题共10小题，共30分。
1.下面四条线段中，不能成比例的是( )
A. 3，6，2，4 B. 1，，，
C. 4，6，5，10 D. 2，，，
2.若，相似比为，则与的周长比为
A. B. C. D.
3.下列三角形一定相似的是( )
A. 两个等腰三角形 B. 两个等边三角形
C. 两个直角三角形 D. 有一角为的两个等腰三角形
4.如图，五边形ABCDE和五边形是位似图形，且，则等于
A. B. C. D.
5.如图是“小孔成像”，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是，若烛焰AC的高是4cm，则实像DB的高是
A. 12cm B. 10cm C. 8cm D. 6cm
6.若，且，则k的值为
A. B. C. 1 D.
7.如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，过点A作轴于点将以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到，则CD的长度是
A. 2 B. 1 C. 4 D.
8.如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若，，则CF的长为
A. 5 B. C. D. 4
9.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且，下列结论：①；②；③；④其中正确的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10.如图，是等边三角形，被一矩形所截，AB被截成三等份，，若图中阴影部分的面积是6，则四边形BCGF的面积为
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
二、填空题：本大题共5小题，共15分。
11.若，则______.
12.如图，直线，直线AC分别交，，于点A，B，C，直线DF分别交，，于点D，E，已知，则______.
13.生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为______米.
14.如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到，已知点的坐标是，则点的坐标是______.
15.如图，正方形ABCD的边长为2，，，线段MN的两端点分别在CB，CD上滑动，那么当______时，与以M，N，C为顶点的三角形相似.
三、解答题：本大题共7小题，共75分。
16.如图，已知四边形ABCD的面积为1，以点O为位似中心，用圆规、直尺作图，作四边形ABCD的一个位似图形四边形EFGH，使其面积为不写作法，保留作图痕迹
17.如图，在中，点P是边AC上的一点，连接BP，且求证：
18.如图，在中，点D是边AB的四等分点，，，，，求四边形DECF的周长.
19.小明的奶奶家门口种着一棵树，小明想知道这棵树的高度，于是他拿来一根长1m的竹竿竖直放在地上，测得此时竹竿的影长为，同一时刻，测量树的影长时，发现影子不全落在地面上，有一部分落在了院墙上，小明测得落在地面上的影长为9m，留在墙上的影子高为2m，你能帮助他求出树的高度吗？
20.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，
画出关于y轴对称的图形；
以原点O为位似中心，相似比为，在y轴的左侧画出将放大后的，并求出的面积.
21.如图，操场上有一根旗杆AH，为测量它的高度，在B和D处各立一根高米的标杆BC，DE，两杆相距30米，测得视线AC与地面的交点为F，视线AE与地面的交点为G，且H，B，F，D，G都在同一直线上，测得BF为3米，DG为5米，求旗杆AH的高度.
22.如图，在中，，，，于点点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到点C时，两点都停止，设运动时间为t秒.
求线段CD的长；
当t为何值时，与相似？
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了比例线段，理解判断的方法：最大的和最小的两个数的乘积等于中间两个数的乘积是关键．只要判断四个数中最大的和最小的两个数的乘积等于中间两个数的乘积即可判断．
【解答】
解：A、，是成比例线段，故本选项不符合题意；
B、，是成比例线段，故本选项不符合题意；
C、，不是成比例线段，故本选项符合题意；
D、，是成比例线段，故本选项不符合题意．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键.根据相似三角形周长的比等于相似比计算即可得解．
【解答】
解：∽，相似比为1：2，
与的周长的比为1：
故选
3.【答案】B
【解析】解：A、等腰三角形的角度不一定相等，各边也不一定对应成比例，故D不符合题意．
B、两个等边三角形的各角度都为，各边对应相等，故A符合题意；
C、两个直角三角形只有一个直角可以确定相等，其他两个角度未知，故B不符合题意；
D、这两个三角形可能分别为：，，与，，的两个三角形，故不能判定各有一个角是的两个等腰三角形一定相似，故D不符合题意．
故选：
按照三角形相似的判定定理逐个分析，确定正确答案．
考查了相似三角形的判定，三角形相似的判定定理有如下几个：
①两角对应相等两三角形相似；
②两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；
③三边对应成比例，两个三角形相似．
4.【答案】B
【解析】解：，
：：2，
又：：，
：：
故选
本题主要考查了位似图形及其相关概念，根据作图的方法可知AB：：，，从而求得AB：：
5.【答案】C
【解析】解：根据题意知，∽
蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是1：
相似比为1：
：：
即实像DB的高是
故选：
根据题意知：∽，进而利用“相似三角形对应边上的高线之比等于相似比”求得相似比，由“相似三角形对应边成比例”求得答案．
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查的是比例的性质的有关知识，由题意可知，，，由此可得，则可求得，即可求解．
【解答】
解：，
①，②，③，
①+②+③，得，
，
，
，
，
，
7.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键．
直接利用位似图形的性质以及结合A点坐标直接得出点C的坐标，即可得出答案．
【解答】
解：点，过点A作轴于点将以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到，
，则CD的长度是：
故选：
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查相似三角形的判定与性质，属于中档题.
根据题意，可判定∽，根据勾股定理求出AC，即可得解.
【解答】
解：四边形ABCD是矩形，
，，
，则，
又，
∽，
，
是边AB的中点，
，
又，，
，
，
故选
9.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查了相似三角形的判定与性质，①有两个对应角相等的三角形相似，②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．本题主要掌握相似三角形的定义，根据已知条件判定相似的三角形．
【解答】
解：在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且，
，AB：：：
∽
：：EF，
，，
：：EF，
∽，不等于，边不成比例，无法得出，
②③正确．
故选
10.【答案】C
【解析】解：由题意可知：，
∽，∽，
，
，，
，，
阴影部分的面积是6，
，
，
故选
由题意易得，则有∽∽，然后根据相似三角形的性质可进行求解．
本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
11.【答案】8
【解析】【分析】
此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质解答．根据比例的性质解答即可．
【解答】
解：设，，
可得：，，，
把，，代入得：
，
故答案为
12.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.根据题意求出，根据平行线分线段成比例定理解答.
【解答】
解：，
，
，
，
故答案为：
13.【答案】
【解析】解：雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近，米，
，
米，
故答案为：米．
根据雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近，因为图中b为2米，即可求出a的值．
本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是位似变换的性质，掌握平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或是解题的关键．根据位似变换的性质进行计算即可．
【解答】
解：点A的坐标为，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，
点的坐标是，即，
故答案为
15.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质．
设CM的长为x，，分别考虑到①当∽时；②当∽时这两种情况，利用相似三角形的性质求得CM的长．
【解答】
解：设CM的长为
在中
，
，
①当∽时，
则，
即，
解得或不合题意，舍去，
②当∽时，
则，
即，
解得或不合题意，舍去，
综上所述，当或时，与以M，N，C为顶点的三角形相似．
故答案为：或
16.【答案】解：
17.【答案】证明：，，
，
，
即

【解析】此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握有两组对应角相等的两个三角形相似和相似三角形的对应边成比例是解决此题的关键.
根据相似三角形的判定可得：，然后根据相似三角形的性质，列出比例式即可.
18.【答案】解：，，
四边形DFCE是平行四边形，
，
，
∽，
，
，，
，
，
，
四边形DECF的周长是
答：四边形DECF的周长是
【解析】根据平行四边形的判定得出四边形DFCE是平行四边形，证∽，得出，代入求出DF、AE即可求出答案．
本题考查的知识点是平行四边形的性质和判定和相似三角形的性质和判定，关键是求出，，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力．
19.【答案】解：由题意画出简单示意图如下：
连接AC，过点D作交AB于E，
树AB垂直于地面BD，落在院墙上的影子CD垂直于地面BD，
，
，
四边形ACDE是平行四边形，
，
设，则，
一根长1m的竹竿竖直放在地上，测得此时竹竿的影长为，
，
即，
解得：，

【解析】本题主要考查了相似三角形的应用，关键是得出比例关系进行求解.先添加辅助线，然后得出四边形ACDE是平行四边形，根据平行四边形的性质和相似三角形的性质可得线段的长度.
20.【答案】解：如图，作出点A、B、C关于y轴的对称点、、，顺次连接，则即为所求；
解：如图，作出点A、B、C的对应点、、，顺次连接，则即为所求；

【解析】先作出点A、B、C关于y轴的对称点、、，然后顺次连接即可；
先作出点A、B、C的对应点、、，然后顺次连接即可得出放大后的，利用割补法求出三角形面积即可．
本题主要考查了作轴对称图形和位似图形，求三角形的面积，解题的关键是作出三角形三个顶点的对应点．
21.【答案】解：由题意知，设，，
∽，∽，
，，
，
解得
答：旗杆AH的高度为
【解析】根据，可得∽，∽，可得，，即可求得AH的值，即可解题．
本题考查了相似三角形的应用，平行线的性质等知识，本题中列出关于AH、BH的关系式是解题的关键．
22.【答案】解：，，，
，
线段CD的长为；
由题可知有两种情形，
设，则
①当时，如图a
∽，
，即，
；
②当，如图
∽
，即，
解得，
当t为3或时，与相似．
【解析】先根据勾股定理求出AB的长，再由三角形的面积公式即可得出结论；
先用t表示出DP，CQ，CP的长，再分与两种情况进行讨论．
本题考查了相似三角形的判定、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，具有一定的综合性，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
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