2025-2026学年北师大版九年级上册数学第一章 特殊平行四边形 核心素养测评卷（含解析）

第一章特殊平行四边形核心素养测评卷
一、选择题：本大题共10小题，共30分。
1.在平面中，下列说法正确的是( )
A. 四边相等的四边形是菱形 B. 对角线互相平分的四边形是菱形
C. 四个角相等的四边形是正方形 D. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形
2.如图，在菱形ABCD中，，，则对角线AC的长为
A. 20 B. 15 C. 10 D. 5
3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长为
A. B. 4 C. 7 D. 14
4.如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，于点E，，则的度数为
A. B. C. D.
5.如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，交AD于点M，若，，则OB的长为
A. 5 B. 4 C. D.
6.如图，中，，，AD平分交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则的周长是
A. 20 B. 12 C. 16 D. 13
7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是
A. B. C. D.
8.如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取，则四边形EFGH的面积是
A. 34 B. 36 C. 40 D. 100
9.如图，菱形ABCD的对角线交于原点O，若点B的坐标为，点D的坐标为，则的值为
A. 2 B. C. 6 D.
10.如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，，，点H是AF的中点，那么CH的长是
A. B. C. D. 2
二、填空题：本大题共4小题，共12分。
11.在 中，给出下列条件：①；②；③；④其中能使 成为菱形的是______.
12.如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F，，，则图中阴影部分的面积为______.
13.在直角三角形中，两直角边长分别是12和5，则斜边上的中线长为______.
14.如图，在正方形ABCD中，，点E，F分别在CD，AD上，，BE，CF相交于点若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为，则的周长为______.
三、解答题：本大题共6小题，共58分。
15.如图，在菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为点E，，那么菱形ABCD的面积是______.
16.如图，在矩形ABCD中，DF平分交AC于点E，交BC于点F，，求与的度数.
17.如图，在 中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F；再分别以点B，F为圆心，大于的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形.
根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形；
若菱形ABEF的周长为16，，求的大小.
18.如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，延长BC至点H，使，过点H作，连接EF，且求证：≌
19.如图，BN，CM分别是的两条高，点D，E分别是BC，MN的中点.
求证：；
若，，求DE的长.
20.如图，在四边形ABCD中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为
当t为多少时，四边形ABQP成为矩形？
四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由.并探究如何改变点Q的速度匀速运动，使四边形PBQD在某一时刻成为菱形，求点Q的速度.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查平行四边形及特殊的平行四边形的判定，解题关键是要掌握特殊平行四边形的判定方法.根据平行四边形，矩形，菱形的定义即可解题.
【解答】
解：四边相等的四边形是菱形.故A正确；
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形.故B错误；
C.四个角相等的四边形是矩形，故C错误.
D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D错误.
故选
2.【答案】D
【解析】解：由四边形ABCD是菱形可知，，，
为等边三角形，
本题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
根据菱形的性质得，，则为等边三角形，再由等边三角形的性质即可得出结论．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了菱形的对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．
根据菱形的四条边都相等求出AB，菱形的对角线互相平分可得，然后判断出OH是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得
【解答】
解：菱形ABCD的周长为28，
，，
为AD边中点，
是的中位线，
故选
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出，即可得出答案．
【解答】
解：四边形ABCD是矩形，
，，，，
，
，
，
，，
，
，
，
故选
5.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用，直角三角形斜边上中线的性质以及三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出AC的长．
先证OM是的中位线，再结合已知条件求出DC的长，所以利用勾股定理可求出AC的长，由直角三角形斜边上中线的性质则BO的长即可求出.
【解答】
解：四边形ABCD是矩形，
，，，
，
是矩形ABCD的对角线AC的中点， 是的中位线，
， ， ，
.
故选
6.【答案】C
【解析】解：，AD平分，
，，
，点E为AC的中点，
，
的周长，
故选：
根据等腰三角形三线合一求出CD的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DE的长，根据三角形的周长公式计算得到答案．
本题考查的是直角三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了正方形的判定定理，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．
根据正方形的判定来添加合适的条件即可．
【解答】
解：四边形ABCD是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形．
只有选项B符合正方形的判定定理，
添加，能使矩形ABCD成为正方形．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了正方形的性质和判定定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，证得四边形EFGH是正方形是解答此题的关键.由正方形的性质得出，，证出，由SAS证明≌≌≌，得出，，证出四边形EFGH是菱形，再证出，即可得出四边形EFGH是正方形，由勾股定理得EH，得正方形EFGH的面积.
【解答】解：四边形ABCD是正方形，
，，
，
在、、和中，
，
≌≌≌，
，，
四边形EFGH是菱形，
，
，
，
四边形EFGH是正方形，
，
四边形EFGH的面积是：
故选
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查的是坐标与图形性质，菱形的性质的有关知识，根据题意可知，原点为对角线BD的中点，则B、D关于原点对称，然后即可求得m、n的值，从而可以求得的值．
【解答】
解：菱形ABCD的对角线交于原点O，点B的坐标为，点D的坐标为，
、D关于原点对称，
，，
故选
10.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查正方形的性质、勾股定理等知识.分析题意，根据勾股定理可求出AF，再根据直角三角形的性质即可求出"h":"","w":"","x":"","y":"""h":"","w":"","x":"","y":""
【解答】
解：如图，连接AC、CF，
在正方形ABCD和正方形CEFG中，，，
，，，
，
由勾股定理得，，
是AF的中点，
.
故选
11.【答案】①③
【解析】【分析】
本题考查了菱形的判定和矩形的判定，属于简单题，熟悉矩形和菱形的判定方法是解题关键.根据菱形和矩形的判定方法即可解题，见详解.
【解答】
解：四边形ABCD是平行四边形，
①；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，此项正确，
②；根据对角线相等的平行四边形是矩形，此项错误，
③；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，此项正确，
④；根据有一个角是的平行四边形是矩形，此项错误，
综上，能使 成为菱形的是①③.
故答案为①③.
12.【答案】3
【解析】【分析】
此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为矩形面积的一半，是解决问题的关键．
根据矩形是中心对称图形寻找思路：≌，图中阴影部分的面积就是的面积．
【解答】
解：四边形ABCD是矩形，
，，；
又，
在和中，
，
≌，
，
图中阴影部分的面积就是的面积．
故答案为
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线.根据勾股定理求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解.
【解答】
解：如图，在中，，，，
根据勾股定理可得，，
为斜边AB上的中线，
故答案为
14.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形面积问题．解题时注意数形结合思想与方程思想的应用.
【解答】
解：阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，
阴影部分的面积为，
空白部分的面积为，
由，，，
可得≌，
的面积与四边形DEGF的面积相等，均为，
设，，则，
又，
，
即，
，
即，
的周长为
故答案为
15.【答案】
16.【答案】解：四边形ABCD是矩形，
，，，，
，
，
平分，
，
，，
，，
是等边三角形，
，，，
，，

【解析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质；证明三角形是等腰三角形和等边三角形是解决问题的关键.先根据矩形的性质得出，，即可得出；再证明是等边三角形，是等腰三角形，从而证出是等腰三角形，求出
17.【答案】解：由题可得，
，
，
，
四边形ABEF是平行四边形，
，
四边形ABEF是菱形；
如图，连结BF，交AE于
菱形ABEF的周长为16，，
，，，
在直角中，，
，
，
四边形ABCD是平行四边形，

【解析】先求出，由，推出，得到，由此即可证明；
连结BF，交AE于根据菱形的性质得出，，，然后解直角，求出，那么再根据平行四边形的对角相等即可求出
本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的性质、作图-基本作图等知识，解题的关键是掌握菱形的判定与性质，属于中考常考题型．
18.【答案】证明：四边形ABCD是正方形，
，，
，
，
，
，
又，

【解析】本题主要考查了全等三角形的判定及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是关键.
根据正方形的性质得到，，结合已知得到，然后利用HL证得结论.
19.【答案】证明：如图，连接DM，DN，
、CM分别是的两条高，
，，
，
是BC的中点，
，，
，
为MN的中点，
；
解：，
，
点E是MN的中点，，
，
由勾股定理得：
【解析】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
连接DM，根据直角三角形的中线得到，根据等腰三角形的性质证明即可；
根据勾股定理计算，得到答案．
20.【答案】解：，，
时，四边形ABQP成为矩形，
此时当有，
解得，
当时，四边形ABQP成为矩形；
四边形PBQD不能成为菱形．理由如下：
，
当时，四边形PBQD能成为菱形．
由，得，
解得，
当时，，，，
四边形PBQD不能成为菱形；
如果Q点的速度改变为时，能够使四边形PBQD在时刻ts为菱形，
由题意，得，
解得，
故点Q的速度为时，能够使四边形PBQD在某一时刻为菱形．
【解析】本题考查平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定．
根据矩形的判定定理，当时，四边形ABQP为矩形，则，即可求出t；
若当时，四边形PBQD能成为菱形．则由，得，解得，当时，，，再求出BP，即可判定四边形PBQD不能成为菱形；设Q点的速度改变为时，能够使四边形PBQD在时刻ts为菱形，则，解之即可求出v的值，从而得出答案．
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