2025-2026学年北师大版九年级上册数学第二章 一元二次方程 核心素养测评卷（含解析）

第二章一元二次方程核心素养测评卷
一、选择题：本大题共10小题，共30分。
1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是
A. B.
C. D.
2.一元二次方程配方后可变形为
A. B. C. D.
3.已知，依据下表，它的一个解的范围是
x
A. B. C. D.
4.方程的解是
A. ， B. ，
C. ， D. 无解
5.若关于x的方程，其中a在数轴上的对应点如图所示，则此方程的根的情况是
A. 无法确定 B. 无实根
C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个相等的实数根
6.如图，要把长为5m，宽为3m的矩形花坛四周扩展相同的宽度xm，得到面积为的新矩形花坛，则根据题意可列方程为
A. B.
C. D.
7.设，是方程的两个根，则的值为
A. 19 B. 25 C. 31 D. 30
8.欧几里得的《原木》记载：形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边AB上截取则该方程的一个正根是
A. AC的长 B. AD的长 C. BC的长 D. CD的长
9.定义表示不超过实数x的最大整数，如，，，则方程的解为
A. 0或 B. 0或2 C. 2或 D. 0或或2
10.如图，在中，，，点P从点B开始沿边BA向点A以的速度移动，同时点Q从点C开始沿边CB向点B以的速度移动，当其中一点到达终点吋，另一点随即停止.当四边形APQC的面积为时，点P的运动时间为
A. 1s B. 1s或 C. 2s D. 2s或5s
二、填空题：本大题共5小题，共15分。
11.已知方程的一个根是1，则它的另一个根是 ，m的值是 .
12.已知一元二次方程的两根为m，n，则______.
13.某市积极响应国家的号召“房子是用来住的，不是用来炒的”，在宏观调控下，商品房成交价由去年9月份的每平方米10000元下降到11月份的每平方米8100元.且去年房价在9月份、10月份、11月份、12月份的下降率保持一致，则去年12月份的房价单价为每平方米______元.
14.三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的解，则此三角形的周长是______.
15.我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于若我们规定一个新数“i”，使其满足即方程有一个根为并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，从而对任意正整数n，我们可以得到，，，那么的值为______.
三、计算题：本大题共15分。
16.用适当的方法解下列方程：
；
；
四、解答题：本大题共5小题，共40分。
17.下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务.
解：，
二次项系数化为1，得，…第一步
移项，得，…第二步
配方，得，即，…第三步
由此，可得，…第四步
所以，，…第五步
小明同学解题过程中，从第______步开始出现错误；
请给出正确的解题过程.
18.已知关于x的一元二次方程
求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
若方程的两个实数根分别为，，且，求m的值.
19.如图，某农科站有一块长方形实验田，面积为，现要将其分为A，B，C，D四个区，其中A区为正方形，C区的长是30m，宽是20m，那么A区的面积是多少平方米？
20.2022年北京冬季奥运会在北京市和张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”.
据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月生产量的增长率相同，四月份该工厂生产了720个“冰墩墩”，该工厂平均每月生产量增长率是多少？
已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降1元，则每天可多售5件.如果每天要盈利1440元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？
21.阅读材料：若，求m，n的值.
解：，
，
，，
，，
，
根据你的观察，解答下列问题：
已知的三边长分别为a，b，c，且，则为______三角形；
已知，求x和y的值；
证明：无论x，y取何值，多项式的值总是正数.
答案和解析
1.【答案】A
2.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
方程利用配方法将左边配成完全平方式即可.
【解答】
解：方程变形得：，
配方得：，即，
故选
3.【答案】B
4.【答案】C
【解析】解：，
，
，
，
解得：，
移项，分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：在一元二次方程中，
，
根据a在数轴上的对应点，可得，
，
方程有两个不相等的实数根，
故选：
根据一元二次方程根的判别式得，根据a在数轴上的对应点，可得，即可确定判别式的符号，进一步确定根的情况.
本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键.
6.【答案】D
7.【答案】C
【解析】【解答】
解：，是方程的两个根，
，，
故选：
【分析】
根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求得与的和与积，所求的代数式可以用两根的和与积表示出来，即可求解．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
8.【答案】B
【解析】【分析】本题考查了勾股定理和一元二次方程的解法-公式法，解一元二次方程的方法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，要根据方程的特点进行选择即可.
先根据勾股定理求得AB的长，再求AD的长，利用求根公式求得方程的解，即可判断该方程的一个正根是AD的长.
【解答】
解：设，根据勾股定理得，
整理得，则该方程的一个正根是AD的长.
故选
9.【答案】D
【解析】解：，
，
①时，，解得；
②时，，解得或舍；
③时，，解得或舍；
④时，方程无解；
综上所述：方程的解为或或，
故选：
根据，可得，分4种情况讨论：①时，解得；②时，解得或舍；③时，解得或舍；④时，方程无解．
本题考查新定义，涉及方程的解，理解取整的定义是解题的关键．
10.【答案】C
11.【答案】3

【解析】【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．设方程的另一个根为，理可得，，先得另一个根，再根据，可得m的值．
【解答】
解：设方程的另一个根为，
根据根与系数的关系可得，，
则，
则，
解得
12.【答案】25
【解析】解：，n是一元二次方程的两个根，
，，
则
故答案为：
由m与n为已知方程的解，利用根与系数的关系求出与mn的值，将所求式子利用完全平方公式变形后，代入计算即可求出值．
此题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
13.【答案】7290
【解析】解：设去年房价在10月份、11月份的下降率为x，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去，
，
月份的房价单价为每平方米7290元．
故答案为：
设今年房价在9月份、10月份、11月份的下降率为x，利用今年9月份的房价=今年1月份的房价今年房价在10月份、11月份的下降率，即可得出关于x的一元二次方程．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14.【答案】13
【解析】解：，
，
，，
，，
当时，，不符合三角形的三边关系定理，所以舍去，
当时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是，
故答案为：
求出方程的解，有两种情况：时，看看是否符合三角形三边关系定理；时，看看是否符合三角形三边关系定理；求出即可．
本题考查了三角形的三边关系定理和解一元二次方程等知识点，关键是确定第三边的大小，三角形的两边之和大于第三边，分类讨论思想的运用．
15.【答案】
16.【答案】解：方程整理得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，；
方程整理得：，
分解因式得：，
所以或，
解得：，；
方程整理得：，
分解因式得：，
所以或，
解得：，
【解析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，配方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
方程整理后，利用配方法求出解即可；
方程整理后，利用因式分解法求出解即可；
方程移项后，利用因式分解法求出解即可．
17.【答案】三；
，
，
，
即，
，
所以，
【解析】解：小明同学解题过程中，从第三步开始出现错误；
故答案为：三；
见答案。
第三步应该把方程两边加上一次项系数一半的平方，从而可判断第三步错误；
利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程．
本题考查了解一元二次方程-配方法：本题考查了用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
18.【答案】解：证明：在关于的一元二次方程
中，，，，
，
，
该方程总有两个不相等的实数根.
方程的两个实数根分别为，，
由根与系数关系可知，，，
，
，
解得
【解析】先计算根的判别式的值得到，则可判断，然后根据根的判别式的意义得到结论；
先利用根与系数的关系得，，再由得到，然后解方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．
19.【答案】解：设A区边长为
由题意，得，解得，不合题意，舍去
因此，A区的面积为

20.【答案】解：设该工厂平均每月生产量的增长率为x，
依题意得：，
解得：，不符合题意，舍去
答：该工厂平均每月生产量的增长率为
设每个“冰墩墩”降价y元，则每个盈利元，平均每天可售出个，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去
答：每个“冰墩墩”应降价4元．
【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设该工厂平均每月生产量增长率为x，利用该工厂四月份生产“冰墩墩”的数量=该工厂二月份生产“冰墩墩”的数量该工厂平均每月生产量的增长率，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
设每个“冰墩墩”降价y元，则每个盈利元，平均每天可售出个，利用总利润=每个的销售利润日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
21.【答案】解：直角.
，，
，，
，，解得，
证明：，
无论x，y取何值，多项式的值总是正数.

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