2025-2026学年北师大版九年级上册数学第三章 概率的进一步认识 核心素养测评卷（含解析）

第三章概率的进一步认识核心素养测评卷
一、选择题：本大题共10小题，共30分。
1.一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球3个，这些球除颜色不同其余都相同，每次搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定在附近，则可以估算出m的值为
A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
2.学校新开设了A，B，C，D四个社团，如果甲、乙两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么甲和乙不在同一社团的概率是
A. B. C. D.
3.将1，2，3三个数字随机生成的点的坐标列成下表，如果每个点出现的可能性相等，那么从中任意取一点，则这个点在函数图象上的概率是
A. B. C. D.
4.如图，两个质地均匀的转盘被分成几个面积相等的扇形，分别自由转动一次，当转盘停止后，指针各指向一个数字所在的扇形如果指针恰好指在分隔线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止将两指针所指的两个扇形中的数相乘，积为偶数的概率是( )
A. B. C. D.
5.如图，在的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点.假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次，任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形阴影部分的概率是
A. B. C. D.
6.同时掷两个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则两个骰子向上的一面的点数和为8的概率为( )
A. B. C. D.
7.从，，3，6这四个数中任取两个数，分别记为m，n，那么点在函数图象上的概率是
A. B. C. D.
8.如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常.随机闭合开关，，中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是
A. B. C. D. 0
9.某数学兴趣小组准备了4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案中有一张是轴对称图形的概率是( )
A. B. C. D.
10.某校甲、乙、丙、丁四名同学在运动会上参加米接力比赛，先从四人中随机选择一人跑第一棒，再从剩下的三人中随机选择一人跑第二棒，其中选择甲跑第一棒，乙跑第二棒的概率是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共15分。
11.在一个不透明的口袋中装有红球和白球共30个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有20次摸到红球，则口袋中红球的个数约为______个.
12.某校举行A，B两项比赛，甲、乙两名学生各自随机选择参加其中的一项，则他们恰好参加同一项比赛的概率是______.
13.现有四张正面分别标有数字，，1，3的卡片，它们除数字外完全相同.把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片后不放回，将剩余的卡片背面朝上洗匀，再从中随机抽取一张，则两次抽取的卡片上的数字之和为负数的概率是______.
14.甲、乙两人玩猜数字游戏，游戏规则如下：有四个数字0，1，2，3，先由甲从中任选一个数字，记为m，再由乙猜甲刚才所选的数字，记为n，若m，n满足，则称甲、乙两人“心有灵犀”，则甲、乙两人“心有灵犀”的概率是______.
15.已知关于x的一元二次方程，从，2，3三个数中任取一个数，作为方程中b的值，再从剩下的两个数中任取一个数作为方程中c的值，能使该一元二次方程有实数根的概率是______.
三、解答题：本大题共5小题，共55分。
16.黔东南州某校数学兴趣小组开展摸球试验，具体操作如下：在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的小球共4个，这些球除颜色外无其他差别，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后再把它放回盒子里搅匀，再随机摸出一球记下颜色，不断重复摸球试验.如表是这次活动的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 26 38 50 127 197 251
摸到白球的频率
请你根据上表统计数据估计：从不透明的盒子里随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率约为______精确到；
试估算盒子里有多少个白球.
17.随着教育部“双减”政策的深入，某校开发了丰富多彩的课后托管课程，并于开学初进行了学生自主选课活动.小明和小工分别打算从以下四个特色课程中选择一个参加：竞技乒乓；围棋博弈；名著阅读；街舞少年.
小明选择街舞少年的概率为______；
用画树状图或列表的方法求小明和小王选择同一个课程的概率.
18.如图，甲、乙同学手中分别有三张形状、大小、质地都相同的不透明卡片，卡片正面都写有整式，丙同学只能看到所有卡片的背面.
若丙同学从甲同学手中抽取一张卡片，卡片上的整式恰好是单项式的概率是______；
若丙同学先从甲手中抽取一张卡片，再从乙手中抽取一张卡片，在甲手中抽取的卡片上的整式作为分子，在乙手中抽取的卡片上的整式作为分母，请你用列表法或画树状图法求抽取的两张卡片恰能组成分式的概率.
19.为了响应“绿色环保，畅通出行”的号召，越来越多的市民选择“共享单车+地铁”出行，地铁站口的共享单车无序停放，严重堵塞出入口的现象越来越严重.如图是长沙地铁2号线的线路图部分，某周日小卿和小凌分别从湘江中路用A表示、橘子洲用B表示、溁湾镇用C表法、西湖公园用D表示这四个站中，随机选取一站作为调查站点，随机调查市民对这一现象的看法.
在这四个站中，小卿选取调查的站点是橘子洲的概率是多少？
求小卿选取调查的站点与小凌选取调查的站点相同的概率.
20.2023年某市教育局在全市中小学开展了“情系疏勒书香援疆”捐书活动，200多所学校的师生踊跃参与，向新疆疏勒县中小学共捐赠爱心图书万余本.某学校学生社团对本校九年级学生所捐图书进行统计，根据收集的数据绘制了下面不完整的统计图表.请你根据统计图表中所提供的信息解答下列问题：
图书种类 频数本 频率
名人传记 175 a
科普图书 b
小说 110 c
其他 65 d
求该校九年级共捐书多少本；
统计表中的______，______，______，______；
若该校共捐书1500本，请估计“科普图书”和“小说”一共多少本；
该社团3名成员各捐书1本，分别是1本“名人传记”，1本“科普图书”，1本“小说”，要从这3人中任选2人为受赠者写一份自己所捐图书的简介，请用列表法或树状图法求选出的2人恰好1人捐“名人传记”，1人捐“科普图书”的概率.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意知，m的值约为，
故选：
用红球的个数除以红球频率的稳定值即可．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
2.【答案】A
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查概率公式.根据一次函数的性质，找出符合点在函数图象上的点的个数，即可根据概率公式求解.
【解答】
解：由题中所列表格知1、2、3三个数字随机生成的点的坐标随机排列，共有9种情况，组成的九个点中在函数图象上的点，即横、纵坐标相等的点有，和共3个，故这个点在函数图象上的概率是
故选
4.【答案】B
5.【答案】A
【解析】解：总面积为，其中阴影部分面积为，
飞镖落在阴影部分的概率是，
故选：
根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
6.【答案】B
【解析】解：列表得：
两个骰子向上的一面的点数和为8的概率为故选
列举出所有情况，看两个骰子向上的一面的点数和为8的情况占总情况的多少即可．
列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7.【答案】D
【解析】解：画树状图得：
共有12种等可能的结果，点恰好在函数图象上的有：，
点恰好在函数图象上的概率
故选：
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点恰好在函数图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率．掌握概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
画树状图，共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】
解：把开关，，分别记为A、B、C，
画树状图如图：
共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，
能让两个小灯泡同时发光的概率为，
故选
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】6
12.【答案】
13.【答案】
【解析】解：画树状图如下：
，
由树状图知共有12种等可能结果，其中两次拾取的卡片上的数字之和为负数的有4种结果，
所以两次拾取的卡片上的数字之和为负数的概率为
故答案为：
画树状图得出所有等可能结果，找到符合条件得结果数，在根据概率公式计算可得．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】
【解析】【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与m、n满足的情况，再利用概率公式即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
【解答】
解：画树状图得：
由树状图可知共有16种等可能的结果，m、n满足的有10种情况，
甲、乙两人“心有灵犀”的概率是：
故答案为：
15.【答案】
【解析】解：画树状图为：，
共有6种等可能的结果数，
因为，
所以能使该一元二次方程有实数根占3种，
，；
，；
，，
所以能使该一元二次方程有实数根的概率
故答案为：
先利用树状图展示所有6种等可能的结果数，再根据判别式的意义得到当，；，；，时，该一元二次方程有实数根，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了根的判别式．
16.【答案】解：
设盒子里有x个白球
根据题意，得，解得盒子里有1个白球.

17.【答案】
【解析】解：根据概率的计算公式，小明选择街舞少年的概率为；
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小王选择同一个课程的结果有4种，
小明和小王选择同一个课程的概率为
直接根据概率公式进行计算，即可求解；
根据题意画出树状图，可得共有16种等可能的结果，其中小明和小王选择同一个课程的情况有4种，由概率计算公式可求解．
本题考查概率的计算公式，列树状图或表格求概率，准确掌握概率的计算方法是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：丙同学从甲同学手中抽取一张卡片，卡片上的整式恰好是单项式的概率为；
故答案为：；
画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中抽取的两张卡片结果恰能组成分式的结果数为6，
所以抽取的两张卡片结果恰能组成分式的概率
根据单项式的定义得到5和2x为单项式，然后根据概率公式求解；
画树状图展示所有9种等可能的结果，再利用分式的定义找出抽取的两张卡片结果恰能组成分式的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了单项式和分式．
19.【答案】解：由题意，得小卿选取调查的站点是橘子洲的概率是
画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中两人选取调查的站点相同的结果有4种，
两人选取调查的站点相同

20.【答案】解：该校九年级共捐书：本
答：该校九年级共捐书500本；
、150、、；
估计“科普图书”和“小说”一共本；
分别用“1、2、3”代表“名人传记”、“科普图书”、“小说”三本书，可用列表法表示如下：
则所有等可能的情况有6种，其中2人恰好1人捐“名人传记”，1人捐“科普图书”的情况有2种，所以所求的概率：
【解析】【分析】
本题考查了列表法求概率，扇形统计图，正确的识图是解题的关键.
根据名人传记的圆心角求得其人数所占百分比，再用名人传记的人数除以所得百分比可得总人数；
根据频率=频数总数分别求解可得；
用总人数乘以样本中科普图书和小说的频率之和可得；
列表得出所有等可能结果，从中找到恰好1人捐“名人传记”，1人捐“科普图书”的结果数，利用概率公式求解可得
【解答】
解：、、见答案；
、、、，
故答案为、150、、
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