第二十七章 相似 单元水平测试（含答案）2025-2026学年人教版数学九年级下册

第二十七章《相似》单元水平测试
一、选择题：本大题共10小题，共30分。
1.观察下列每组图形，是相似图形的是( )
A. B.
C. D.
2.如图，，直线m，n与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，已知，，，则EF的长为
A. B. 12 C. 8 D. 4
3.在比例尺为的城市交通地图上，某条道路的长为5 cm，则它的实际长度为( )
A. B. C. 19 km D. 190 km
4.两个相似三角形的面积之比是，则这两个相似三角形的相似比是( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，，，，则BC的长是
A. 6 B. 9 C. 10 D. 12
6.下列各组中的四条线段成比例的是( )
A. 1 cm，2 cm，3 cm，4 cm B. 1 cm，2 cm，20 cm，40 cm
C. 2 cm，3 cm，4 cm，5 cm D. 5 cm，10 cm，15 cm，20 cm
7.小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．如图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知AC与BD交于点O，若点O到AB的距离为10 cm，点O到CD的距离为15 cm，蜡烛火焰AB的高度是2 cm，则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是
A. 2 cm B. C. 3 cm D. 4 cm
8.如图，两个四边形相似，则的度数是
A. B. C. D.
9.如图，已知点，，以O为位似中心，按比例尺，把缩小，则点E的对应点的坐标为
A. 或 B. 或
C. D.
10.如图，在内画有边长为9，6，x的三个正方形，则x的值为
A. 3 B. C. 4 D. 5
二、填空题：本大题共5小题，共15分。
11.若两个三角形的相似比为，则这两个三角形周长的比为 .
12.如图，在正方形网格中有以下三角形：①；②；③，其中能与相似的是 填序号
13.如图，∽，且，，，则 .
14.黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，即，若，则BC的长为 结果保留根号
15.如图，在中，点D，E分别是边AC，AB的中点．BD与CE交于点O，连接有下列结论：①；②；③；④其中正确有 填序号
三、解答题：本大题共8小题，共75分。
16.如图，AD与BC交于O点，∽，，，，求AB的长．
17.如图，在和中，，C为线段BD上一点，且，证明：∽
18.如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在网格格点上，且，，
以原点O为位似中心，在第一象限画出，使得与位似，且与的相似比为，点A，B，C的对应点分别为点，，；
点的坐标为 .
19.如图，在和中，，
求证：∽；
若，，求EC的长．
20.如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点
求证：∽；
若，，求DE的长．
21.综合与实践．
主题：合理制作视力表．
操作：为了加强视力保护意识，小北想在书房里挂一张测试距离为5 m的视力表，但两面墙的距离只有在一次综合实践课上，小北向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案．
收集：甲、乙两位同学设计的方案新颖，构思巧妙，如下：
甲 乙
图例
方案 如图，①是测试距离为的大视力表，②是测试距离为的小视力表．通过测量大视力表中“E”的高度的长，即可求出小视力表中相应的“E”的高度的长 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距3 m的两面墙上分别悬挂视力表与平面镜，根据平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表AB的上、下边沿A，B发出的光线经平面镜MN的上下边沿反射后射入人眼C处，通过测量视力表的全长就可以计算出镜长光路图作法：作于点D，延长CD交于点E，其中线段AB和关于MN对称
任务：
甲的方案中若大视力表中“E”的高是，则小视力表中相应“E”的高是多少米？
乙的方案中若视力表的全长为，通过计算请直接写出 m，MN至少为
22.综合运用：
如图，在中，，，，点P，Q分别为AC，AB上的两动点，点P从点C开始以的速度向点A运动，Q从点A开始以的速度向点B运动，当一点到达终点时，P，Q两点就同时停止运动．设运动时间为
①用t的代数式分别表示：_______cm，_______cm；②求运动过程中，PQ的取值范围；
当t为多少秒时，以点A，P，Q为顶点的三角形与相似？
作于点H，连接HQ，当HQ最小时，求t的值．
23.综合探究：
如图1，在中，BC为的直径，AB交于点D，且点D是AB的中点，AC交于点E，连接
若，，求BD的长；
如图2，连接BE，交CD于点F，连接OD交BE于点G，若，求证：；
如图3，过点D作的切线交AC于点H，连接BE，求证：
答案和解析
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】②
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】①②③④
16.【答案】解：∽，，即，
17.【答案】证明：，为线段BD上一点，且，，，∽
18.【答案】【小题1】
解：如图，即为所作．
【小题2】
19.【答案】【小题1】
证明：，
，
，
又，
∽
【小题2】
解：∽，
，
又，

【解析】 本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题关键.先得到，再证明相似即可.
本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题关键.根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可.
20.【答案】【小题1】
证明：四边形ABCD是正方形，，，， 又，，，∽
【小题2】
解：，，，，是AM的中点，∽，，即，，

21.【答案】【小题1】
解：由题意知，，，，∽，， 由题意知，，，，解得 答：小视力表中相应“E”的高是
【小题2】
2

22.【答案】【小题1】
解：①2t
②在中，，当时，，当时，，
【小题2】
当∽时， 有，即，； 当∽时， 有，即， 综上所述，当t为或时，以点A，P，Q为顶点的三角形与相似．
【小题3】
，，∽，，即，， 当时，HQ最小，此时∽，，即，解得

23.【答案】【小题1】
解：连接DE，为的直径，，点D是AB的中点，是AB的垂直平分线，，，，，，， 又，∽，，即，，
【小题2】
证明：连接OE， 由知，，，，，点G为BE的中点，，为的直径，，，，∽，，，，，点O为BC的中点，，，，为等边三角形，，，
【小题3】
证明：连接OD，点D是AB的中点，点O是BC的中点，，与相切，，，，，，∽，， 由同角的余角相等得， 又，∽，，即，

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