第二十一章 一元二次方程 单元水平测试（含答案）2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十一章《一元二次方程》单元水平测试
一、选择题：本大题共10小题，共30分。
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.将一元二次方程化为一般式，若二次项系数为5，则一次项系数为
A. 5 B. C. 4 D.
3.若是关于x的一元二次方程的一个根，则t的值为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.一元二次方程的根是
A. B.
C. ， D. ，
5.下列对一元二次方程的根的情况叙述正确的是
A. 方程有一个实数根 B. 方程有两个不相等的实数根
C. 方程有两个相等的实数根 D. 方程没有实数根
6.用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为
A. 2025 B. C. D. 2026
7.已知关于x的一元二次方程有两个相等的正实数根，则此方程的根是
A. B. C. D.
8.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，那么经过两轮感染后就会有100台电脑被感染．设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台其他电脑，由题意列方程应为
A. B. C. D.
9.《增删算法统宗》中记载：今有一房门，不知宽与高，将竿横着进门，门的宽度比竿小4尺进不了；将竿竖着进门，竿比门长2尺；将竿斜着穿过门的对角，恰好进门．试问门的宽、高和竿长各是多少？如图，若设竿长AC为x尺，由题意可列出的方程是
A. B.
C. D.
10.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共15分。
11.若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是 .
12.已知m是方程的一个根，则代数式的值为 .
13.如果关于x的一元二次方程有实数根，那么a的取值范围是 .
14.在一次聚会中，每两个参加聚会的人都互相握一次手，一共握了55次手，问这次参加聚会的人数是多少？若设这次参加聚会的人数为x人，则可列出的方程是 .
15.如图，有一个面积为30平方米的长方形ABCD的鸡场，鸡场的一边靠墙墙长8米，墙的对面有一扇1米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长15米，则鸡场的宽AB是 米．
三、计算题：本大题共6分。
16.解方程：
四、解答题：本大题共7小题，共69分。
17.若关于x的一元二次方程的常数项为0，求m的值．
18.马拉松长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离为26英里385码，折合为公里，对于人类来说，是一次对体能极限的挑战．据统计，2022年广东省参加马拉松长跑的总人数约为115万人，2024年广东省参加马拉松长跑的总人数约为690万人．请问这两年广东省参加马拉松长跑的总人数的年平均增长率约为多少？参考数据：
19.已知关于x的一元二次方程
求证：方程总有两个不相等的实数根；
若方程的两个实数根分别为，，且，求m的值．
20.新定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由；
已知是关于x的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，则m的值为多少？
21.2024年11月4日，“神舟十八号”返回舱在东风着陆场成功着陆．若返回舱的软着陆过程可视为竖直下落匀减速直线运动，着陆过程中其速度v随时间t的变化规律如图．
返回舱软着陆的初速度为 ；
求出速度v关于t的函数解析式直接写出t的取值范围；
求出当返回舱竖直下落1米所用的时间．参考资料：下落高度平均速度时间t，，其中是开始时的速度，是t秒时的速度
22.项目式学习．
根据以下素材，探索完成任务．
主题 设计合适的长方体盒子
素材1 某中学开展爱心义卖活动，小明和同学们计划制作手工制品．现有一批规格相同的矩形硬纸板，每块硬纸板的长和宽分别为30 cm和纸板的厚度忽略不计
素材2 把一块矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形如图，再折叠成一个无盖的长方体盒子如图，使得该长方体盒子的底面的面积是
素材3 把一块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形如图，然后折叠成一个有盖的长方体盒子，使得该长方体盒子的底面的面积是
问题解决
任务1 根据素材2，求出无盖的长方体盒子的高．
任务2 根据素材3，求出有盖的长方体盒子的高．
任务3 已知每块矩形硬纸板的成本为15元，若无盖的长方体盒子以20元售出，则每天可售出10个；若有盖的长方体盒子以28元售出，则每天可售出6个．在义卖过程中发现，每个有盖的长方体盒子每降低1元，平均每天可多售出2个．要使每天共获利160元，则每个有盖的长方体盒子应降价多少元？
23.综合与实践．
【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形ABC，其中，，，在斜边AB上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由．
【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载的关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形．图2中，大正方形的面积可以表示为 用含x的代数式表示；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于 ，故可得原方程的一个正根是 .
【类比运用】请分别用上述两种几何方法直观地求方程的正根请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度
答案和解析
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】A
【解析】解：原方程移项得：，
，
，，
故选
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】
12.【答案】2026
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】5
16.【答案】解：，， ， 所以，
17.【答案】解：关于x的一元二次方程的常数项为0，，即， 解得或， 当时，二次项系数为0，不符合题意，舍去，的值为
18.【答案】解：设这两年广东省参加马拉松长跑的总人数的年平均增长率为x， 依题意可得， 解得，舍去 答：这两年广东省参加马拉松长跑的总人数的年平均增长率约为
19.【答案】【小题1】
证明：，方程总有两个不相等的实数根．
【小题2】
解：根据根与系数的关系得，，，， 解得，，的值为1或

20.【答案】【小题1】
解：方程是“黄金方程”，理由如下：，，，，一元二次方程是“黄金方程”．
【小题2】
是关于x的“黄金方程”，，，，，，原方程可化为，是此方程的一个根，，即，解得或

21.【答案】【小题1】
8
【小题2】
设， 将，代入得，解得，
【小题3】
由题意得， 解得，， 又，故舍去， 答：当返回舱竖直下落1米时用时秒．

22.【答案】解：任务1：设无盖的长方体盒子的高为x cm， 依题意可得， 解得不符合题意，舍去， 答：无盖的长方体盒子的高为 任务2：设有盖的长方体盒子的高为y cm， 依题意可得， 解得，不符合题意，舍去 答：有盖的长方体盒子的高为 任务3：设每个有盖的长方体盒子应降价m元， 依题意可得， 解得，， 经检验，都符合题意． 答：每个有盖的长方体盒子应降阶2元或8元．
23.【答案】【小题1】
解：该方程的其中一个正根是线段AD的长，理由如下： 在中，，，， 又，，该方程的其中一个正根是线段AD的长．
【小题2】

100
【小题3】
【方法一】如图1，作直角三角形ABC，其中，，，在斜边AB上截取，
在中，， 则该方程的其中一个正根为AD的长即
【方法二】如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，
则，该方程的其中一个正根为

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