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第七章 图形的变化
第26讲 尺规作图(5年3考)
知识梳理 夯基础
知识点一 五种基本的尺规作图
知识梳理
类型 步骤 图示
1.作一条线段等于已知线段 (1)作射线OP; (2)以点O为圆心,a为半径作弧,交OP于点A,OA即为所求线段
2.作一个角等于已知角 (已知∠α) (1)以点O为圆心,适当长为半径作弧,分别交∠α的两边于点P,Q; (2)作射线O′A; (3)以点O′为圆心,OP长为半径作弧,交O′A于点M; (4)以点M为圆心,PQ长为半径作弧,交步骤(3)中的弧于点N; (5)过点N作射线O′B,∠AO′B即为所求角
1.已知线段a,如图所示,求作OA=a(使用直尺和圆规作图).
针对训练
解:作图如图所示.
2.补充解题过程 下面是作∠A′O′B′=∠AOB的尺规作图过程,请完成以下推理.
由作图可知,以点O′为圆心, 长为半径作弧,交O′A′于点M′;以点M′为圆心, 长为半径作弧,交前弧于点N′,
∴OM= ,ON= ,MN= .
∴△MON≌△M′O′N′( )(填依据).
∴∠A′O′B′=∠AOB.
OM(或ON)
MN
O′M′
O′N′
M′N′
SSS
3.如图所示,在Rt△ACB中,∠C=90°.
(1)用尺规作∠BAC的平分线交BC于点D(保留作图痕迹,不写作法);
(2)若∠B=30°,CD=1,则AB= .
解:(1)如图所示,AD即为所求.
4.已知线段AB,如图所示,求作线段AB的垂直平分线(根据作法使用直尺和圆规作图).
解:如图所示.
这种作线段的垂直平分线的作图依据是 .
.
到线段两个端点距离相等的点
在这条线段的垂直平分线上
5.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=4,∠C=30°.
(1)用尺规完成以下基本作图:作∠B的平分线交AC于点D,过点D作直线BC的垂线交BC于点E;
解:(1)如图所示,射线BD,直线DE即为所求.
(2)这种过直线外一点作已知直线的垂线的作图依据是 .
.
(3)CD的长为 .
到线段两个端点
距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
知识点二 其他作图
1.平行线:过直线外一点作这条直线的平行线.
2.三角形:(1)已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形;(2)已知底边及底边上的高作等腰三角形;(3)已知一直角边和斜边作直角三角形.
3.圆:(1)过不在同一直线上的三点作圆;(2)作三角形的外接圆、内切圆;(3)作圆的内接正方形和内接正六边形;(4)*过圆外一点作圆的切线.
知识梳理
已知与求作 作法及原理 图示
*过圆外一点作圆的切线 (已知☉O及☉O外一点P) 作法:1.连接OP;2.作线段OP的中点A (可参考线段垂直平分线的作法);3.以点A为圆心,AO长为半径作☉A,与☉O交于点Q,R;4.连接PO,PR,OQ,OR, PQ,则∠OQP和∠ORP均为直角.根据切线的判断,直线PQ和直线PR即为☉O的两条切线. 原理:直径所对的圆周角为直角
6.如图所示,点D是△ABC边AB上的一点,请用尺规作线段DE,交BC于点E.使得DE∥AC(保留作图痕迹,不写作法).
针对训练
解:如图所示,DE即为所求.
7.如图所示,已知☉O,用尺规作☉O的内接正六边形(保留作图痕迹,不写作法).
解:如图所示.
重难突破 提能力
考点1 根据作图痕迹进行判断和计算
典例1 (2024深圳)在如图所示的三个图形中,根据尺规作图的痕迹,能判断射线AD平分∠BAC的是( )
A.(1)(2) B.(1)(3)
C.(2)(3) D.只有(1)
B
即时训练
1.(2025深圳模拟)已知△ABC,下列尺规作图的方法中,能确定∠BAD=
∠ABC的是( )
B
45°
考点2 尺规作图的操作与应用(5年3考)
典例2 (2024广东T17,7分)如图所示,在△ABC中,∠C=90°.
(1)实践与操作:用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D(保留作图痕迹,不要求写作法);
规范解答
(1)解:如图所示,角平分线AD即为所求.………………3分
(2)应用与证明:在(1)的条件下,以点D为圆心,DC长为半径作☉D.求证:
AB与☉D相切.
规范解答
(2)证明:如图所示,过点D作DH⊥AB于点H,……4分
由(1),得AD平分∠CAB,
又DC⊥AC,DH⊥AB,∴DC=DH.……………………6分
∵DC是半径,∴DH是半径.
∴AB与☉O相切.……………………………………7分
即时训练
3.(2023广东T19,9分)如图所示,在 ABCD中,∠DAB=30°.
(1)实践与操作:用尺规作图法过点D作AB边上的高DE(保留作图痕迹,不要求写作法);
规范解答
解:(1)如图所示,DE即为所求.……………………4分
(2)应用与计算:在(1)的条件下,AD=4,AB=6,求BE的长.
4.(2025福建)如图所示,在矩形ABCD中,AB
(1)求作正方形EFGH,使得点E,G分别落在边AD,BC上,点F,H落在BD上(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
全国视野 拓思维
解:(1)如图所示,正方形EFGH即为所求.
(2)若AB=2,AD=4,求(1)中所作的正方形的边长.
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微专题十一 图形的折叠(5年2考)
模型解读
抓重合,找对应,得全等.具体如下:
(1)折叠前后的两部分是全等图形,从而可以得到对应线段相等、对应角相等;
(2)折痕所在直线是对应点连线的垂直平分线.
折叠中常见模型:
模型分类 模型1 模型2 模型3 模型4
基本图形
利用勾 股定理 AE2+EP2=AP2 PE2+CE2=CP2 AE2+AP2=EP2 A′E2+A′B′2
=B′E2
利用全 等、相似 △AEP≌△CDP △CEP∽ △ADC △PAE∽ △EDC △ABE≌
△A′B′E
其他 △APC是等腰三角形 四边形EBFB′是菱形
类型一 利用勾股定理求解
例1 如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=5,点D为AB边上一点,且AD=2,点E在BC边上(点E不与点B,C重合),将△DBE沿DE折叠,使得点B的对应点B′落在BC边上,则线段AB′的长为( )
D
例2 如图所示,把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,使点C落在点E处,BE与AD交于点F,若AB=6,BC=8,则cos∠ABF的值是 .
1.(2025河南)如图所示,在菱形ABCD中,∠B=45°,AB=6,点E在边BC上,连接AE,将△ABE沿AE折叠,若点B落在BC延长线上的点F处,则CF的长为( )
D
2.(2025广州模拟)如图所示,在矩形ABCD中,BC=2AB,点M,N分别在边BC,AD上,连接MN,将四边形CMND沿MN翻折,点C,D分别落在点A,E处,则tan∠AMN的值是( )
A
类型二 利用折叠出现的特殊模型—— 相似三角形求解
例3 如图所示,将矩形ABCD折叠,折痕CE经过点C,点B的对应点F在边AD上,AB∶AD=4∶5,则AE与BE之比为 .
3∶5
针对训练
3.将一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠.
(1)如图(1)所示,点D落在点D′处,若∠ACD=α,则∠BAD′= .
(用含α的式子表示);
90°-2α
(2)如图(2)所示,沿AC剪下△ACD得到纸片△ABC,折叠△ABC,使得点A落在CB延长线上的点A′处,得到折痕EF,再沿A′F折叠△A′FE,使得点E落在CB边上的点E′处,若AB=4,BC=3,则CF的长为 .
类型三 利用折叠出现的特殊模型——全等三角形求解
例4 如图所示,在矩形纸片ABCD中,E是BC边的中点,沿直线AE折叠△ABE,点B落在矩形内部的点B′处,延长AB′交CD于点F.已知CF=4,DF=5,则AD的长为 .
12
针对训练
4.在矩形ABCD中,AB=10,AD=17,点E是线段BC上异于点B的一个动点,连接AE,把△ABE沿直线AE折叠,使点B落在点P处.
【初步感知】(1)如图(1)所示,当E为BC的中点时,延长AP交CD于点F,求证:FP=FC.
图(1)
(1)证明:连接EF,如图①所示.
由折叠可得∠APE=∠B=90°,PE=BE.
∵四边形ABCD为矩形,∴∠C=90°.
∵E为BC的中点,∴BE=EC,
∴PE=EC.
在Rt△EPF与Rt△ECF中,
∵EP=EC,EF=EF,
∴Rt△EPF≌Rt△ECF(HL).
∴FP=FC.
【深入探究】(2)如图(2)所示,点M在线段CD上,CM=4.求在点E做移动过程中PM的最小值.
图(2)
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第28讲 图形的对称、平移和旋转(5年8考)
知识梳理 夯基础
知识点一 轴对称图形与中心对称图形
知识梳理
项目 轴对称图形 中心对称图形
定义 如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够 ,这个图形就叫做轴对称图形 如果把一个图形绕着某一个点旋转 后能与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形
互相重合
180°
图形
判断 方法 (1)有对称轴——直线; (2)图形沿对称轴折叠后,对称轴两旁的图形完全重合 (1)有对称中心——点;
(2)图形绕对称中心旋转180°,旋转前后的图形完全重合
常见 图形 常见的轴对称图形:线段、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正五边形、圆等 常见的中心对称图形:线段、平行四边形、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等
1.下列图案中,是轴对称图形的为( )
2.(2025自贡)起源于中国的围棋深受青少年喜爱.以下由黑白棋子形成的图案中,为中心对称图形的是( )
针对训练
A
C
3.下面图形中,中心对称图形的个数为( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
C
知识点二 轴对称与中心对称
知识梳理
项目 轴对称 中心对称
定义 把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形 ,就称这两个图形关于这条直线成轴对称 把一个图形绕着某一点旋转 ,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或成中心对称
图形
重合
180°
性质 成轴对称的两个图形是全等图形; 对称点所连线段被对称轴 ; 对应线段 ; 对应线段或其延长线的交点在 上 成中心对称的两个图形是全等图形;
对称点所连线段都经过 ,并且被对称中心
作图 方法 (1)找出原图形的关键点,作出它们关于对称轴(或对称中心)的对称点; (2)根据原图形依次连接各对称点即可
垂直平分
相等
对称轴
对称中心
平分
说明
折叠的实质是轴对称变换.折叠前后的两个图形全等,对应线段相等,对应角相等;折叠前后的两个图形对应点的连线被折痕所在的直线垂直
平分.
4.[人教八上新教材P70习题T3变式] 如图所示,△ABC与△A′B′C′关于直线l对称,∠A=54°,∠C′=26°,则∠B等于( )
A.36° B.154°
C.80° D.100°
针对训练
D
5.在平面直角坐标系中,点A(a,1)与点B(-2,b)关于原点成中心对称,则a+b的值为 .
6.如图所示,△DEC与△ABC关于点C成中心对称,AB=3,AC=1,∠D=90°,则AE的长是 .
1
7.[人教八下P59练习T1(2)变式]如图所示是一张矩形纸片ABCD,AD=
10 cm,若将纸片沿DE折叠,使DC落在DA上,点C的对应点为F,若BE=6 cm,则CD的长为( )
A.4 cm B.6 cm
C.8 cm D.10 cm
A
知识点三 平移与旋转
知识梳理
项目 图形的平移 图形的旋转
要素 平移方向和 旋转中心、旋转方向和
平移距离
旋转角
性质 平移前后,对应线段 (或共线)且相等,对应角相等; 对应点所连线段 . ,对应点平移距离等于图形平移距离; 平移前后的图形 ; 在平面直角坐标系中,图形平移后求某点坐标的方法即为点平移的坐标变化规律; 口诀为左减右加,上加下减 对应点到旋转中心的距离 ;
任何一组对应点与旋转中心连线所成的角都 旋转角;
旋转前后的图形
平行
平行(或在一条直线上)且
相等
全等
相等
等于
全等
8.如图所示,将△ABC沿BC方向平移1个单位长度得到对应的△A′B′C′.
(1)若AB=4,A′C′=6,B′C=4,则B′C′= ,△ABC的周长是 ;
(2)若∠A=70°,∠C′=40°,则∠B= ;
(3)AB A′B′,AC A′C′.
针对训练
5
15
70°
9.如图所示,把△AOB绕点O顺时针旋转65°得到△COD.
(1)若∠AOD=95°,则∠AOB= ;
(2)若AO=3,CD=3,OD=5,则△AOB的周长是 ;
(3)若∠A=105°,∠B=45°,则∠COD= .
30°
11
30°
重难突破 提能力
考点1 判断轴对称图形与中心对称图形(5年3考)
典例1 (2024广东)下列几何图形中,既是中心对称图形也是轴对称图形的是( )
C
即时训练
1.(2025广安)下列实验仪器的平面示意图中,是轴对称图形的是( )
D
2.(2024广州)下列图案中,点O为正方形的中心,阴影部分的两个三角形全等,则阴影部分的两个三角形关于点O对称的是( )
C
3.(2025福建)中国古算诗词歌赋较多.古算诗词题是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式.下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形,其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是( )
D
考点2 对称的性质(5年2考)
典例2 如图所示,将长方形ABCD沿着对角线BD折叠,使点C落在C′处,
BC′交AD于点E.AB=2,AD=4.
(1)求△BDE的面积;
(2)求C′C的长.
即时训练
4.如图所示,在矩形ABCD中(AB>AD),对角线AC,BD相交于点O,点A关于BD的对称点为A′.连接AA′交BD于点E,连接CA′.已知AD=3,AB=4,则OE的长为( )
A.0.7 B.1.5
C.2 D.2.5
A
5.如图所示,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,点A与点A′关于DE轴对称,DA′∥BC,∠A=34°,∠CEA′=54°,则∠BDA′= °.
122
6.(广东中考)如图所示,在正方形ABCD中,AB=3,点E,F分别在边AB,CD上,
∠EFD=60°.若将四边形EBCF沿EF折叠,点B恰好落在AD边上点B′处,则BE的长度为 .
2
考点3 平移的性质(5年1考)
典例3 如图所示,将△ABC沿BC方向平移得到△DEF,DE与AC交于点G,连接AD.
(1)若∠B=60°,∠ACB=30°,则∠EDF的度数为 °;
(2)四边形ACFD的形状为 ;
(3)AD,BC,BF之间的数量关系为 ;
(4)若AB=3,DF=4,CE=2,△DEF的周长为12,则△ABC平移的距离为 .
90
平行四边形
AD+BC=BF
3
即时训练
7.如图所示,两个直角三角形重叠在一起,将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到三角形DEF的位置,∠B=90°,AB=6,DH=2,平移的距离为3,则阴影部分的面积为( )
A.20 B.18
C.15 D.26
C
8.如图所示,点A的坐标为(1,3),点B在x轴上,把△OAB沿x轴向右平移到△ECD,若四边形ABDC的面积为9,则点C的坐标为 .
(4,3)
考点4 旋转的性质(5年2考)
典例4 如图所示,四边形ABCD是正方形,点P在CD上,△ADP旋转后能够与△ABP′重合,已知AB=3 cm,DP=1 cm.
(1)旋转中心是点 ;
(2)△ADP旋转了 °;
(3)∠ABP′= °;
(4)BP′= cm,CP′= cm,AP′= cm;
(5)连接PP′,则△APP′的形状为 三角形.
A
90
90
1
4
等腰直角
B
10.如图所示,在四边形ABCD中,AC,BD是对角线,△ABC是等边三角形.线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE,连接AE.
(1)求证:AE=BD;
(2)若∠ADC=30°,AD=3,BD=5,求CD的长.
11.围棋起源于中国,古代称为“弈”.如图所示是两位同学的部分对弈图,轮到白方落子.若白方落子后的对弈图是中心对称图形,则白方落子的位置只可能是下列位置中的( )
A.① B.②
C.③ D.④
全国视野 拓思维
A
D
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第27讲 视图与投影(5年3考)
知识梳理 夯基础
知识点一 投影
1.平行投影:由 形成的投影,如物体在太阳光的照射下形成的影子(也叫做日影).
2.中心投影:由 (点光源)发出的光线形成的投影,如物体在灯泡发出的光照射下形成的影子.
3.正投影:投影线 投影面产生的投影.
知识梳理
平行光线
同一点
垂直于
1.[人教九下P92习题T3变式] 如图所示,光线由上向下照射正五棱柱时的正投影是( )
针对训练
C
知识点二 三视图与展开图
1.三视图的概念
(1)主视图:在正面内得到的由 向 观察物体的视图;
(2)俯视图:在水平面内得到的由 向 观察物体的视图;
(3)左视图:在侧面内得到的由 向 观察物体的视图.
知识梳理
前
后
上
下
左
右
2.画三视图的方法
画三视图时,主、俯视图要长对正;主、左视图要高平齐;左、俯视图要宽相等.
3.常见几何体的三视图
(1)正方体: (2)长方体: (3)圆柱:
(4)圆锥: (5)球: (6)正三棱柱:
4.正方体展开图的常见类型及相对面(同色相对)
(1)一四一型
(2)二三一型 (3)三三型 (4)二二二型
5.根据三视图还原几何体
(1)想象:根据各视图想象从三个方向看到的几何体形状;
(2)定形:综合确定几何体(实物原型)的形状;
(3)定大小、位置:根据三视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系,确定轮廓线的位置以及各个方向的大小.
2.如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成的,它的主视图是
( )
针对训练
A
3.(2024自贡)下列几何体中,俯视图与主视图形状相同的是( )
C
4.如图所示是一个几何体的侧面展开图,这个几何体可以是( )
A.圆锥 B.圆柱
C.棱锥 D.棱柱
A
5.下面四个图形中,不能作为正方体的展开图的是( )
6.请分别写出展开图为如图所示的四种几何体的名称:
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) .
B
长方体
四棱锥
圆锥
圆柱
7.如图所示是某个几何体的三视图,则该几何体是( )
A.圆锥 B.三棱锥
C.圆柱 D.三棱柱
D
重难突破 提能力
考点1 几何体的三视图(5年1考)
典例1 (2025广东)如图所示是由5个大小相同的正方体组成的立体图形,它的左视图是( )
C
即时训练
1.下列几何体中,其主视图和左视图都为矩形的是( )
C
2.(2025成都)下列几何体中,主视图和俯视图相同的是( )
C
3.(2025深圳)如图所示为出现在深圳街头的新型无线充电石墩,关于石墩的三视图的描述,正确的是( )
A.主视图和左视图相同 B.主视图和俯视图相同
C.左视图和俯视图相同 D.三个视图都相同
A
4.用5个大小相同的小正方体搭一个几何体,其主视图、左视图如图(2)所示,现将其中4个小正方体按图(1)方式摆放,则最后一个小正方体应放在( )
A.①号位置 B.②号位置
C.③号位置 D.④号位置
B
5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 .
3π+4
主视图反映几何体的长和高,俯视图反映几何体的长和宽,左视图反映几何体的宽和高
考点2 立体图形的展开与折叠(5年2考)
典例2 下列图形是正方体展开图的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
即时训练
6.(2025惠州模拟)把如图所示的纸片沿着虚线折叠,可以围成一个几何体,这个几何体是( )
A.四棱锥 B.四棱柱
C.三棱锥 D.三棱柱
D
7.如图所示是一个正方体粉笔盒的表面展开图,将其折叠成正方体后,与顶点E重合的顶点是( )
A.点A B.点B
C.点C D.点D
D
本题考查将正方体的展开图还原成正方体,平面图形与立体图形的转化是重点
8.(2025福建)福建博物院收藏着一件“镇馆之宝”——云纹青铜大铙,云纹青铜大铙是西周乐器,鼓饰变形兽面纹,两侧饰云雷纹,浑大厚重,作风稳重古朴,代表了福建古代青铜文化曾经的历史和辉煌.如图所示为其示意图,它的主视图是( )
全国视野 拓思维
A
9.(2025徐州)如图所示为一个正方体的展开图,将其折成一个正方体,所得图形可能是( )
B
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