第23章 图形的相似综合评价（含详解）2025-2026学年华东师大版数学九年级上册

第23章 图形的相似
一、单选题
1．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．、、、 B．、、、
C．、、、 D．、、、
2．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，的周长为4，则的周长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
3．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，也会产生最具美感的黄金分割比．如图，B为的黄金分割点（即）．若，则的长约为（ ）
A．42 B．38.2 C．61.8 D．70
4．已知，如图，直线，，，，则的长（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，点O是三角形的重心，则（　　）
A． B． C． D．
6．如图，正方形中，，E为上一点，将沿翻折得到，连接，，若，则的长度为（ ）
A．6 B． C．7 D．
7．如图，在锐角中，上的高交于点，连接，图中与相似的三角形共有（ ）

A．3个 B．2个 C．1个 D．无法确定
8．如图，矩形中，是的中点，是线段上一动点，为的中点，连接，则线段的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
二、填空题
9．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，的重心坐标是
10．如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的面积为4，则的面积为 ．
11．如图，某风景区在建设规划过程中，需要测量两岸码头、之间的距离．设计人员在点设桩，取、的三等分点、，测得，则 ．
12．如图在矩形中，，，，是线段上的点，且，．连接，并延长，两线相交于点，则点到的距离是 ．
13．如图，的中线交于点F，连接．则△DEF面积与△FBC的面积比值为
三、解答题
14．如图，在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为，，．

(1)画出关于y轴对称的；
(2)以B为位似中心，在B的下方画出，使与位似且相似比为；
(3)直接写出点和点的坐标，及的面积．
15．如图，在中，，．
(1)求证：
(2)已知，，求的长．
16．如图，在中，点、分别在边，上，、相交于点，，．
(1)求证：；
(2)吗？说明理由
(3)如果的面积为2，求的面积．
17．如图，是的中线，P为上任意一点，连接并延长，交于点F，连接并延长，交于点E，连接．求证：．
18．如图，在菱形中，点E在边上，连结并延长，交的延长线于点F，连结交于点P，连结．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
参考答案
1．B
【分析】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．
根据比例线段的定义，分别计算各选项中第一项与第四项的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例．
【详解】解：A、，故A选项错误；
B、，故B选项正确；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项错误．
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了相似图形的性质，根据位似图形的性质，得到，，根据得到相似比为，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到答案．
【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形，
∴，
，
∵，
，
∴，
∵，
．
故选：C．
3．B
【分析】本题考查黄金分割．根据黄金分割点的定义，列出比例式进行求解即可．熟练掌握黄金分割中的比例关系，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得：，cm，
∴，
∴；
故选B．
4．D
【分析】由可得，求出的长，即可得的长．
本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理，正确的列出比例式是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得，
∴．
故选：D．
5．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，重心的概念，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题．
延长到G，使，连接推出是的中位线，利用三角形中位线定理，求得，，再证明，推出，据此即可得出结论．
【详解】解：延长到G，使，连接
点O是三角形的重心，
点D是的中点，
是的中位线，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故选：A．
6．D
【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，根据题意得到是解题的关键．
过点E作于点F，过点作于点G，交于点H，则，根据折叠的性质以及平行线的性质可得，从而得到，进而得到，，，再证明，可得，，然后根据，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：过点E作于点F，过点作于点G，交于点H，则，
∵四边形是正方形，
∴，
由折叠的性质得：，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D
7．A
【分析】本题考查的是相似三角形判定，牢记判定方法是解题关键，由题意可得，证明，易证，由对顶角相等可得，易证，得到，易证，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
，，
∴，
∴，
，
，
∴图中与相似的三角形共有3个．
故选：A．
8．A
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线定理，垂线段的性质等，解题的关键是通过作辅助线确定点的运动轨迹．如图，取中点，连接交于，过点作于点H，连接，先证明四边形是矩形，得到点是中点，再证明是的中位线，由中位线定理可得，再证明是的中位线，由中位线定理可得，推出点在线段上，由垂线段最短可知，当时，有最小值，即可求解；
【详解】解：如图，取中点，连接交于，过点作于点H，连接，
四边形是矩形，
，，，
∵矩形中，点是中点，点是中点，
，，
∴四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
点是的中点，
又是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵为的中点，是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴点在线段上，
即为点的运动轨迹，
当时，有最小值，
，
的最小值为．
故选：A．
9．
【分析】本题主要考查了三角形的重心以及中点坐标公式，熟练掌握中点坐标公式是解题的关键．
本题需先明确三角形重心的定义（三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是到对边中点距离的倍），再求出各边中点坐标，进而根据重心坐标公式计算重心坐标．
【详解】解：设重心为，连接并延长交于点，取的中点，则，
∵，，
∴中点的坐标为即．
设，
∵，，
∴点的坐标为．
∵，点的坐标为，
∴点的坐标为即，
∴，，
解得，，
∴重心坐标为，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了位似的性质，位似比等于相似比，位似三角形的面积比等于位似比的平方，解本题的关键是掌握位似的性质．根据位似的性质求解即可．
【详解】解：∵与是位似图形， ，
∴，
∵的面积为，
∴
故答案为：．
11．/90米
【分析】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形的判定与相似三角形对应边成比例的性质．先判定出，再根据相似三角形对应边成比例计算即可得解．
【详解】解：点、是、的三等分点，
结合图形可得，
又，
，
，
，
，
故答案为：．
12．5
【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．因为，所以，利用相似三角形对应高的比等于相似比，可得，据此列方程求解即可．
【详解】解：作交于M，交于N，
∵
∴设 到 的距离为 ，则 到的距离为 ．
∵，
∴
∴ ，
∴
即
∵，，，
∴
故答案为：5．
13．
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线的相关求解问题，由三角形中线的定义得出即D、E是和的中点，再得出是的中位线，由中位线的性质得出，然后根据相似三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：∵是的中线，
即D、E是和的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
14．(1)图见详解
(2)图见详解
(3)，
【分析】（1）根据题意画关于y轴对称的即可求解；
（2）在B的下方画出与位似且相似比为的位似图形即可；
（3）根据（2）图即可求解；
【详解】（1）如图即为所求：

（2）如图即为所求；

（3）根据（2）图可得，
．
【点睛】本题主要考查坐标与图形、画位似图形，掌握相关知识并正确画出图形是解题的关键．
15．(1)见解析
(2)10
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理．
（1）由，求得，由求得，据此即可得到；
（2）设，，求得，，再根据可求得，再根据，列式计算即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设，
∵，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，解得，
∴的长为10．
16．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)24
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）由，得，即可得证；
（2）由得，即可得证；
（3）根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，即可求解．
【详解】（1）证明：，，
．
又，
．
（2）解：，理由如下：
，
．
．
．
（3）解：，
．
，
，
．
设，
，
，
．
，，
．
，
解得．
．
17．证明见解析
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定定理证明三角形相似是解题的关键．
如图：过点D作交于点N，先证明可得，即，再证明可得，进而得到，即，然后再运用等量代换以及比的性质即可证明结论．
【详解】证明：如图：过点D作交于点N．
∵是的中线，
∴，即
∵，
∴，
∴，
∴，即
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴．
18．(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与方法是解题的关键．（1）利用菱形的性质得，，得，由，即得；（2）由相似三角形性质和，得，得，由，得，由，即得．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
由对称性知，，
∴，
又∵，
∴，
（2）解：∵，，
∴，
由对称性知，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．