安徽省滁州市定远县育才学校2025-2026学年高二（上）期中检测数学试题（含答案）

定远育才学校2025-2026学年高二（上）期中检测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线的方程为，则的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.经过椭圆的右焦点作斜率不为的直线，交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长为( )
A. B. C. D.
3.已知直线：，：，点的坐标为过点的直线的斜率为，且与，分别交于点，的纵坐标均为正数，当为坐标原点的值与无关且为定值时，的最小值为( )
A. B. C. D.
4.已知抛物线：的焦点为为上一点，为上一动点，是坐标原点若，垂足为，则的最大值是( )
A. B. C. D.
5.设双曲线的左、右焦点分别为，，直线过点，若点关于的对称点恰好在双曲线右支上，且，则的离心率为( )
A. B. C. D.
6.已知抛物线的焦点为准线为，为抛物线上一点，过点作直线于点，且的内心，则内切圆的面积为( )
A. B. C. D.
7.已知直线：和圆：，则下列结论错误的是( )
A. 直线恒过定点
B. 存在使得直线与直线：垂直
C. 直线与圆总相交
D. 存在直线被圆截得的弦长为
8.已知椭圆的左顶点为，过椭圆右焦点作与轴垂直的直线与椭圆在第一象限交于点，若直线的斜率的取值范围是，则椭圆的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点是曲线其中，为常数上一点，设，是直线上任意两个不同的点，且，则下列结论中正确的是( )
A. 当时，曲线表示椭圆
B. 当，时，曲线的渐近线为
C. 当，使得是等腰直角三角形的点只有个
D. 当，使得是等腰直角三角形的点只有个
10.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作轴的垂线与双曲线交于，两点，若为直角三角形，则( )
A. B. 双曲线的离心率为
C. 双曲线的焦距为 D. 的面积为
11.已知圆：和圆：，是圆上一点，是圆上一点，则下列说法正确的是( )
A. 圆与圆有四条公切线
B. 两圆的公共弦所在的直线方程为
C. 的最大值为
D. 若，则过点且与圆相切的直线方程为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若双曲线的实轴长为，虚轴长为，则该双曲线的离心率等于 ．
13.已知圆：，点为轴上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，若两条切线，与直线分别交于，两点，则的最小值为______．
14.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆经过，两点，且圆心在直线上．
求圆的方程；
过点的直线与圆交于，两点，如果，求直线的方程；
已知是圆上动点，求的最大值．
16.本小题分
已知椭圆的离心率为，长轴的长为．
求椭圆的方程；
，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且在轴上方，若直线的倾斜角为，，求的面积．
17.本小题分
如图，在直四棱柱中，，，，，是的中点，是上的一个动点，点在上，且满足．
证明：．
证明：平面平面．
试问：是否存在，，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知抛物线：的焦点为，过点且倾斜角为的直线与交于，两点，且．
求抛物线的方程；
求过点，且与抛物线的准线相切的圆的方程；
若，两点在抛物线上，点，直线，是圆：的两条切线，求直线的方程．
19.本小题分
已知双曲线左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于，两点．
若离心率时，求的值；
若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值；
连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围．
答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
12. 13. 14.
15.解：设圆的方程为：，
由题意得：，
解得，，，
所以圆方程为；
由知圆的方程为：，故圆心为，半径，
当直线的斜率不存在时，将代入圆的方程可得可得，
所以，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，
即，
弦长，可得，
所以，解得，
所以直线的方程为，
综上所述：直线的方程为：或；
令，表示直线，又坐标满足，
所以直线与圆有公共点，
所以圆心到直线的距离，
解得，故的最大值为．
16.解：设椭圆的半焦距为，
由题可得，解得：，
所以椭圆的方程为；
左焦点，右焦点，故，
设，，则，
又直线的倾斜角为，，则，
在中，由余弦定理得，
即，解得：，
所以的面积．
17.证明：如图，过点作，交于点，
以，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，
又为的中点，点在上，且满足，
则，，，，
，
所以，
所以；
证明：由知，，
设为平面的法向量，
则，
令，得平面的一个法向量，
，，
设为平面的法向量，
则，
令，得平面的一个法向量，
因为，
所以，
所以平面平面；
假设存在，，，四点共面，即点在平面内，
则，
又，，，，
所以，
，
解得，
又因为，三点共线，
所以，
所以，，
故存在，，，四点共面，且，即，
因为，
所以，
即的值为．
18.解：点，设直线方程为，，，
由，得，则，
从而，
所以，则，抛物线的方程为；
由知，，则线段的中点为，
从而线段的中垂线方程为，即，
由此可设所求圆的圆心为，
则，
由圆与的准线相切，得圆的半径为，
又，，在中，
即，即，解得或，
从而圆的方程为或；
如图：
设，，则，，
直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
因为直线与圆相切，则圆心到直线的距离为：
，即，又，
则，即，同理可得，
所以直线的方程为．
19.解：由题意可得，
故．
当时，双曲线的方程为，
由题意可知，直线的方程为，
联立，
可得，
当时，即当时，方程即为，该方程只有一个解，合乎题意；
当时，即当时，则，解得．
综上所述，或；
由题知、，
当直线的斜率为时，此时，不合题意，
则直线的斜率不为，则设直线的方程为，
设点、，
根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知，
联立有，
显然二次项系数，
其中，
由韦达定理可得，，
，，
则．
因为、在直线上，则，，
即，
即，
将代入有，
即，
化简得，
所以，代入到，
得，
所以，且，
解得，
又因为，则
综上，
所以．