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22章二次函数情景题（学生卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．有一种玩具叫“不倒翁”．有的“不倒翁”造型分为上下两个部分，如图，其下半部分的纵截面边缘近似形成一条抛物线的一部分．将“不倒翁”立在矩形桌面上，如图（2），最低点A距离矩形桌面左边缘，此时，粘在玩具上的标签点距桌面的铅直距离和距桌面左边缘的水平距离均为．已知“不倒翁”的下半部分的最高点距桌面的铅直距离为．
(1)设“不倒翁”玩具下半部纵截面边缘上的点与桌面左边缘的水平距离为，与桌面的铅直距离为，建立的平面直角坐标系，使点的坐标为，直接在图中画出平面直角坐标系，并求出与 的函数关系式；
(2)通过计算说明“不倒翁”左右摇动时，是否有一部分会超出桌子左边缘？
(3)如图，现要在“不倒翁”玩偶的下半部分画一些平行于桌面的装饰带，且每两条相邻装饰带的长度之差为，请直接写出最多可画出几条装饰带（不计装饰带的宽度）．
【答案】(1)作图见解析，
(2)是有一部分会超出桌子左边缘
(3)条
【分析】（1）如图建立直角坐标系，设，再将代入，求出的值即可；
（2）令，则，即可求解；
（3）设两条相邻装饰带的半径分别为，，则，即，即可求解．
【详解】（1）解：如图建立平面直角坐标系，设，
∵点距桌面的铅直距离和距桌面左边缘的水平距离均为，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴与 的函数关系式为；
（2）∵“不倒翁”的下半部分的最高点距桌面的铅直距离为，
当时，则，
解得：，，
∴“不倒翁”的下半部分的最高点与桌子左边缘平齐，
∴“不倒翁”左右摇动时，是有一部分会超出桌子左边缘的部分；
（3）设两条相邻装饰带的半径分别为，，
∵要在“不倒翁”玩偶的下半部分画一些平行于桌面的装饰带，且每两条相邻装饰带的长度之差为，
∴，
∴，
由（2）知：，
∴，
∴最多可画出条装饰带．
【点睛】本题考查二次函数实际应用，根据题意建立直角坐标系，待定系数法求函数表达式，二次函数与直线的交点等知识点．理解题意，将生活问题转化为函数问题是解题的关键．
2．2023年11月23日，第十批搭载着25位在韩中国人民志愿军烈士遗骸及相关遗物的空军专机运飞机从韩国仁川起飞，进入中国领空后，空军两架歼战斗机护航，向志愿军烈士致以崇高敬意．11时32分，专机缓缓降落在桃仙国际机场，机场以“过水门”最高礼遇迎接志愿军烈士回家，如图①，在这次“过水门”仪式中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的一条抛物线的一部分．如图②，两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点F处相遇，此时相遇点F距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米，飞机从水柱抛物线的正下方经过．
(1)求“过水门”水柱抛物线的解析式；
(2)飞机的尾翼长16米，当飞机尾翼刚好经过水柱正下方时，尾翼与抛物线的最高点的距离为1米，求此时尾翼右端（如图所示）与水柱的水平距离为多少米？
【答案】(1)
(2)米
【分析】此题考查二次函数的应用，正确地求出二次函数的解析式是解题的关键．
（1）由题意得，，设抛物线解析式为，把点坐标代入解析式求出即可；
(2)根据题意求出，令，解方程求出，再求即可．
【详解】（1）解：由题意得米， ，
米，
∴，，
设抛物线解析式为，
将代入，
得，
解得，
∴过水门”水柱抛物线的解析式；
（2）解：∵米，米，
∴米，
当时，，
解得，
∴米,
∵米,
∴米,
∴(米)。
即尾翼右端 (如图所示) 与水柱的水平距离为米．
3．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点，若以点为原点，所在直线为轴，为轴建立如图所示平面直角坐标系，抛物线的顶点．请回答下列问题：
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据坐标与图形性质求得点A、D、E的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）设G、L坐标，根据坐标与图形性质列方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，，，，，
设抛物线的解析式为，
将、、代入，
得，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：根据题意，设，则，，
将L坐标代入中，得，
解得或（舍去），
∴，
答：两个正方形装置的间距的长为．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用、正方形的性质，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式、坐标与图形性质是解答的关键．
4．上杭县东门大桥改建工程项目，于2023年列入上杭县“为民办实事”的16个重点工程项目之一，该项目全长米，桥梁全长290米，从稳定性角度考虑．通过桥梁专家设计论证，桥梁部分按“中承式飞燕提蓝拱桥双向6车道”桥型方案设计．如下图，该“飞燕提蓝拱桥”设计数据为，中间提篮拱桥部分形如抛物线，两桥墩间距（跨径）为180米，桥墩与桥头间距为55米，桥面上方的桥拱与桥面用竖直的吊杆连接，吊杆间距5米，正常水位时（水刚好淹没桥墩），桥面距离水面15米，拱顶距离水面60米．
(1)建立恰当的直角坐标系，求拱桥抛物线的解析式；
(2)请问每侧桥拱需要几条吊杆？（参考数据：）
【答案】(1)见解析，
(2)需32根吊杆
【分析】该题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是理解题意．
（1）如图，以其中一个桥墩为原点，正常水位水平面为轴，建立直角坐标系．得出，，根据待定系数法即可求解；
（2）根据题意得出点的纵坐标为15，结合（1）将代入即可求出，即可解答；
【详解】（1）解：如图示，以其中一个桥墩为原点，正常水位水平面为轴，建立直角坐标系．
则有另一桥墩，拱桥顶点，桥面，
设桥拱抛物线解析式为，
把点坐标代入求得，
所以拱桥抛物线的解析式为．
（2）解：因桥面距离水面15米，所以点的纵坐标为15，
当时，，
解得，
，
所以，，
∴，
∵，
故单侧需32根吊杆．
5．根据以下素材，探索完成任务．
设计跳长绳方案
素材：某校组织跳长绳比赛，要求如下： （1）每班需要报名跳绳同学人，摇绳同学人； （2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图．
素材：某班进行赛前训练，发现： （1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为，绳子最高点为，摇绳同学的出手高度均为，如图； （2）9名跳绳同学身高如右表． 身高人数
素材：观察跳绳同学的姿态如图，发现： （1）跳绳时，人的跳起高度在及以下较为舒适； （2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的．
问题解决
任务：确定长绳形状请在图中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式．
任务：确定排列方案该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学．
任务：方案优化改进据最边侧同学反映：由于跳起高度过高，导致不舒适，希望作出调整班长给出如下方案：摇绳同学在绳即将触地时，将出手高度降低至此时中段长绳将贴地形成一条线段线段，而剩余的长绳则保持形状不变，如图． 请你通过计算说明，该方案是否可解决同学反映的问题．
【答案】任务：；任务2：不会触碰到最边侧的同学；任务：方案能解决同学反映的问题
【分析】本题考查了二次函数的应用，
任务1：建立平面直角坐标系，待定系数法求解析式，即可求解；
任务2，得出最右侧同学的横坐标为代入解析式，结合按照排列方式可知最右（左）侧同学屈膝后身高即可求解；
任务3，求得平移后的抛物线解析式，进而将代入，结合题意，即可求解．
【详解】解：任务：如图建立平面直角坐标系．
设长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式为：．
经过点．
．
解得：．
长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式为：；
任务2：最右侧同学所在的横坐标为：．
当时，．
长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的，
最右侧同学屈膝后的身高为：．
．
绳子在最高点时，长绳不会触碰到最边侧的同学；
任务当绳子摇至最低处时，抛物线解析式可表示为．
出手高度降低至．
抛物线下降．
下移后的抛物线解析式为：．
当时，．
，
方案能解决同学反映的问题．
6．火炮射程的远近主要与炮弹发射初速度和发射角度有关，假设在这两个因素都固定的前提下（忽略空气阻力、炮口与底面的高度等其他因素），某科研机构对新研制的火炮（如图1）进行测试，射击时，炮弹飞行的竖直高度单位：百米与水平距离x（单位：百米）近似满足二次函数关系在某次测试时，以炮口为坐标原点，以火炮和山丘所在水平线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，经观测发现，当炮弹飞行的水平距离是百米时，达到最大高度是百米；山丘位于火炮正前方，山丘顶部距炮口的水平距离为百米，山丘高为百米；
(1)求出满足炮弹飞行轨迹的函数关系式；
(2)判断炮弹是否能够越过山丘，并请说明理由；
(3)若在山丘另一侧点处设置一目标物假设火炮、山丘、目标物在同一水平线上；炮弹的最大杀伤半径为百米，则目标物应该设置在距山丘顶部水平距离为多少百米范围内，才能使射击有效？
【答案】(1)
(2)炮弹能够越过山丘，见解析
(3)
【分析】本题考查了二次函数的实际问题，涉及待定系数法求二次函数解析式，求函数值，解方程等知识点，理解题意，根据题意建立函数模型是解题的关键；
(1)由条件“炮弹飞行的水平距离是12百米时，达到最大高度是2.88百米”，设二次函数顶点式求解即可；
(2)代入，求出函数值，再与2.3比较大小；
(3)求出炮弹落地点到炮口的距离，结合炮弹的最大杀伤半径和山丘M顶部距炮口的水平距离，求出目标物距山丘顶部的水平距离d满足的条件．
【详解】（1）由题意知，二次函数的顶点为，
设满足炮弹飞行轨迹的函数关系式为：，
代入得，
，
；
（2）山丘顶部距炮口的水平距离为百米，
当时，，
炮弹能够越过山丘；
（3）令，得或，
炮弹落在距离炮口百米的地方，
炮弹的最大杀伤半径为百米，山丘顶部距炮口的水平距离为百米，
为使射击有效，目标物应该设置在距山丘顶部水平距离应满足，
．
7．某饭店特制了一批高脚杯，分为男士杯和女士杯(如图1)，相关信息如下：
素材
内容
素材1
高脚杯：如图1，类似这种杯托上立着一只细长脚的杯子．从下往上分为三部分：杯托，杯脚，杯体．杯托为一个圆；水平放置时候，杯脚经过杯托圆心，并垂直任意直径；杯体的水平横截面都为圆，这些圆的圆心都在杯脚所在直线上．
素材2
图2坐标系中，特制男士杯可以看作线段，抛物线(实线部分)，线段，线段绕轴旋转形成的立体图形(不考虑杯子厚度，下同)． 图2坐标系中，特制女士杯可以看作线段，抛物线(虚线部分)绕轴旋转形成的立体图形．
素材3
已知，图2坐标系中，，记为，．
根据以上素材内容，丵试求解以下问题：
(1)求抛物线和抛物线的解析式；
(2)当杯子水平放置及杯内液体(无泡沫)静止时，若男士杯中液体与女士杯中液体最深处深度均为，求两者液体最上层表面圆面积相差多少？(结果保留)
(3)当杯子水平放置及杯内液体(无泡沫)静止时，若男士杯中液体与女士杯中流体最深处深度相等，两者液体最上层表面圆面积相差，求杯中液体最深度为多少？
【答案】(1)抛物线；抛物线
(2)
(3)或
【分析】本题考查二次函数的实际应用
（1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设男士杯中液体与女士杯中液体最上层表面圆的半径分别为，，分别求出，，即可得出结果；
（3）分和进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：点为抛物线和抛物线的顶点，对称轴为轴，
设抛物线的解析式为：，抛物线的解析式为：，
点在抛物线上，点在抛物线上，
，，
，，
抛物线；抛物线；
（2）解：设男士杯中液体与女士杯中液体最上层表面圆的半径分别为，，
在抛物线中：当时，
，
，
，
则，
；
（3）解：当时，由抛物线解析式可得：， ，
，
即，
解得；
则最深度为；
当时，由图象可得：， ，
可列方程：，
则，
解得；
则最深度为．
综上：杯中液体最深度为或．
8．如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．当拱门上的点到点的水平距离为（单位：）时，它距地面的竖直高度为（单位：）．
(1)经过对拱门进行测量，发现与的几组数据如下：
2 3 6 8 10 12
4 4 0
根据上述数据，直接写出该拱门的高度（即最高点到地面的距离）和跨度（即拱门底部两个端点间的距离），并求与满足的函数关系式．
(2)在一段时间后，公园重新维修拱门．在同样的坐标系下，新拱门上的点距地面的竖直高度（单位：）与它到点的水平距离（单位：）近似满足函数关系，若记原拱门的跨度为，新拱门的跨度为，则______（填“”，“”或“”）．
【答案】(1)该拱门的高度为，跨度为，
(2)
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，
（1）由表格得当时，，当时，，从而可求对称轴和顶点坐标，进而可求出拱门的高度和跨度，再把解析式设为顶点式利用待定系数法即可求解；
（2）先把代入中，求出h的值，则可求出，进行比较即可．
【详解】（1）解：由表格可知抛物线经过和，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵当，，
∴该拱门的高度为，
∵，
∴跨度为；
设抛物线解析式为，
把代入中得：，
解得：，
∴；
（2）解：把代入中得，解得或（舍去），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
∴，
由（1）可得，
∵，
∴，
故答案为：．
9．如图1是某景区的绿荫大道，为吸引游客，准备在门口安装“彩虹光带”．如图2，彩虹大道门口上半部分近似为抛物线，是地面，四边形是矩形，高，路宽，，点O，D，C三点在同一直线上，点为顶点，距地面为4m．以点O为原点，OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．若准备在、、三边安装“彩虹光带”，点，在抛物线上，点M，N在AB上，，光带下端G，H均低于边．
(1)求该抛物线的函数表达式．
(2)求三根“彩虹光带”、、的长度之和的最大值，并写出此时的长．
【答案】(1)
(2)三根“彩虹光带”、、的长度之和的最大值为，此时的长为
【分析】本题考查了待定系数法，二次函数的应用；
（1）由题意可得，，设抛物线的函数表达式为，即可求解；
（2）设，由二次函数的性质得，，求出，求二次函数的最值，即可求解；
掌握待定系数法，能表示出是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得
，，
可设抛物线的函数表达式为，
，
解得：，
，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：设，
，
，
，
解得：，
，
光带下端G，H均低于边，
，
，
，
当时，的最大值为，
；
答：三根“彩虹光带”、、的长度之和的最大值为，此时的长为．
10．我们要善于用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表 达世界．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞(如图1)，可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图2所示雨伞最大纵截面上建立直角坐标系，伞柄在轴上，坐标原点为伞骨， 的交点(单位：分米)，点为抛物线的顶 点，点，在抛物线上，， 关于轴对称．分米，点．设抛物线 表达式为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)分别延长，交抛物线于点，，求以 为直径的圆的周长．
【答案】(1)抛物线解析式为： ；
(2)以直径的圆的周长为分米．
【分析】本题考查了二次函数的应用，求解二次函数与正比例函数的交点坐标，熟练掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．
（）待定系数法求出抛物线解析式即可；
（）写出直线解析式，求出与抛物线的交点坐标，根据抛物线的对称性计算出点坐标，利用横坐标之差计算线段长，再由圆周长公式即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
把和代入 ，
得，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：设直线 解析式为 ，
将 坐标代入得，，
解得：，
∴直线 解析式为： ，
联立函数解析式，
解得：，或
∴点坐标为；
∵抛物线的对称轴是轴，
∴点的坐标为，
∴（分米），
∴直径 的圆的周长为：（分米）．
11．根据以下素材，探索完成任务．
设计彩虹桥中彩色灯带的悬挂方
素材一 图1是一座隐藏在漳州城市中的“彩虹桥”，也是近年来比较热门的网红打卡点，它由200多个铁架和2400多个灯笼组成． 如图2，每个铁架的横截面可以分为3段，其中是固定支架，分别与地面垂直，主体支架可近似看作一段抛物线，最高点离地面的距离是，，．
素材二 由于灯笼颜色比较单一，街道准备把灯笼替换成长度为的彩色灯带，沿抛物线（主体支架）安装（如图3），且相邻两条灯带安装点的水平间距为．为了安全起见，灯带底部与地面的距离不低于．灯带安装好后成轴对称分布．
问题解决
任务一 确定主体支架的形状 请在图2中以点A为原点建立平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式．
任务二 探究安装范围 在安全前提下，在任务一的坐标系中，确定灯带安装点的横坐标取值范围．
任务三 拟定设计方案 在同一个横截面下，最多能安装几条灯带？并求出此时最右边灯带安装点的坐标．
【答案】任务一：；任务二：；任务三：
【分析】本题考查二次函数的应用．理解题意，用顶点式表示出抛物线的解析式是解决本题的关键．根据两个灯带之间的间隔判断出灯带的个数是解决本题的易错点；根据灯带之间的间隔和自变量的取值范围判断出最右边灯带的横坐标是解决本题的难点．
（1）易得抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把点A的坐标代入可得a的值，即可求得抛物线的解析式；
（2）根据支架的高度和灯带底部与地面距离的限定可得y应取0.25，求得相应的x的值，即可判断出灯带安装点的横坐标取值范围；
（3）取（2）中抛物线的得到的横坐标的差即为能安装灯带的距离，除以，得到相应的间隔，加1，即为可安装灯带的个数；进而判断出安装灯带后剩余的距离，除以2，取减去得到的数值，即为最右边灯带的横坐标，代入抛物线解析式，可得纵坐标．
【详解】解：任务一：建立坐标系，
由已知可得顶点的横坐标为2，顶点的纵坐标为，点，
设地物的解析式为，
，
，
故抛物线的解析式为；
任务二：由于固定支架长为，因此要使灯带底部与地面的距离不低于，只需要让安装点到x轴的距离不小于．
令，
解得：或，
因此安装点的横坐标取值范围；
任务三：由于，因此最多可以安装条灯带，
由对称性可得最右边灯带的横坐标为，
，
故最右边灯带安装点的坐标为．
12．（改编）蔬菜大棚是一种具有出色保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系，且抛物线的顶点，请回答下列问题：
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；
(3)如图3，在某一时刻，经过A点的太阳光线恰好照射到C点处，此时大棚截面的阴影为，求的长．
【答案】(1)抛物线解析式为
(2)两个正方形装置的间距的长为1.12m
(3)的长为
【分析】（1）根据抛物线顶点位置设抛物线解析式为，将点和代入即可求得解析式；
（2）由题意可知时，求得对应的x，即可知和的坐标，则有，可得．
（3）利用待定系数法求得直线的解析式．结合题意设直线解析式为，与二次函数联立令时，解得，可得直线解析式，求得点K即可．
【详解】（1）解：∵抛物线顶点，
∴设抛物线解析式为，
由题意得，，代入抛物线解析式得，
解得，
则抛物线解析式为．
（2）解：当时，
，解得，（舍去），
∴，，
则，．
答：两个正方形装置的间距的长为1.12m．
（3）解：由题意得，当光线与抛物线仅有一个交点M时，这个交点的影子为点K．
∵，，，
设直线：，
则解得
∴直线：．
因为太阳光线是平行光线，所以，设直线：，
联立
，即，
当时，抛物线与直线有一个交点，所以
解得，
则直线：，
令，解得，
∴，
则．
那么，的长为．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求二次函数解析式、求对应自变量的值、待定系数法求一次函数解析式和的意义，解题的关键是熟悉二次函数的性质和与一次函数联立时的临界值．
13．某新区在东郊新建一座桥梁．如图，桥拱可近似地看作抛物线的一部分，水平线段可看作桥面的一部分，桥拱的跨度为，桥拱的最大高度为．
(1)以A为原点，线段所在直线为x轴，过点A垂直于的直线为y轴，构建平面直角坐标系，求桥拱所在抛物线的表达式．
(2)如图，若在两端之间的桥面与桥拱之间铺设满垂直于桥面的7根杆状景观灯，且相邻景观灯的间距，端点A、端点B到相邻景观灯之间的距离均相等．已知杆状景观灯平均的铺设成本为350元．求图中所有景观灯的铺设成本．
【答案】(1)
(2)元
【分析】本题考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，顶点式等知识，
（1）按要求构建坐标系，根据题意可得，顶点，，设桥拱所在抛物线的表达式为：，代入即可作答；
（2）先计算出7根杆状景观灯的平均距离，分别求出当时，当时，当时，当时，当时，当时，当时，当时，当时的函数值，再相加即可得7根杆状景观灯的总长度，问题随之得解．
【详解】（1）坐标系如图，
根据题意可知：，顶点，，
设桥拱所在抛物线的表达式为：，
即：，
解得：，
即桥拱所在抛物线的表达式为：；
（2），
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
则7根杆状景观灯的总长度为：（米），
∵杆状景观灯平均的铺设成本为350元，
则总费用为：（元）．
14．2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得金牌，陈芋汐获得银牌，在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝），如图2所示，建立平面直角坐标系，如果她从点A起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系．
(1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表：
水平距离x/m 3 h 4 4.5
竖直高度y/m 10 11.25 10 6.25
根据表中数据，直接写出h的值为 ，满足的二次函数关系式为： ；
(2)在（1）的条件下，记全红婵训练时入水点的水平距离为；比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足二次函数关系：，记比赛当天入水点的水平距离为，判断与的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式．
（1）通过表格数据结合待定系数法求出解析式，即可求解；
（2）分别求出两个解析式当时，x的值，进行比较即可．
【详解】（1）解：根据表格得：函数图象过点，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：；；
（2）解：对于，
当时，，
解得：，（不合题意，舍去），
∴米，
对于，
当时，，
解得：，（不合题意，舍去），
∴，
∵，
∴．
15．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方的P处发球． 已知点O与球网的水平距离为，球网的高度为．
(1)甲发球后，若羽毛球往前飞行与点O的水平距离为时到达最高处，此时羽毛球离地面 ，如图1．
①求抛物线的解析式；
②通过计算判断此球能否过网；
(2)甲再次发球后，羽毛球飞行路线符合抛物线 到与点O的水平距离为时落地．若羽毛球飞行到与点O的水平距离为的Q处时，乙扣球，羽毛球飞行的路线为直线的一部分，且经过点，如图2．问：乙能扣球过网吗 通过计算加以说明．
【答案】(1)① ②此球能过网
(2)乙扣球不过网
【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）①运用待定系数法求出二次函数解析式即可；
②把代入抛物线的解析式中求出对应的y的值，再与比较大小即可判断是否过网；（2）将(0,1),(9,0)代入解析式中得到一个关于a、h的二元一次方程组，解方程组即可得出二次函数的解析式，得到点的坐标 ，然后求出乙扣球路线的解析式，代入即可解题．
【详解】（1）解：①设抛物线解析式为 ，
由题意得， ，
解得
∴，
②把代入 得:，
，
∴ 此球能过网；
（2）把代入得:
，解得： ，
，
当时, ，
∴点的坐标 ，
设乙扣球路线的解析式为，则 解得 ，
，
当时, ，
∴乙扣球不过网．
16．学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图），顺次输入点，，的坐标，机器人能根据图，绘制图形．若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的解析式．请根据以下点的坐标，解答下列问题：
(1)，，，能绘制______（填“线段或抛物线”），求出线段的长度或抛物线的函数关系式；
(2)，，，能绘制______（填“线段或抛物线”），求出线段的长度或抛物线的函数关系式．
【答案】(1)线段，；
(2)抛物线，．
【分析】（）根据图判断出绘制线段，根据两点间的距离公式可得答案；
（）根据图判断出绘制抛物线段，利用待定系数法可得答案；
此题考查了程序设计型问题，解题的关键是待定系数法求二次函数解析式，弄懂程序框图．
【详解】（1）解：线段，
∵，，，
∴能绘制线段，线段；
（2）解：抛物线，
∵，，，，
∴设绘制抛物线为，把点坐标代入得，
∴，即；
方法：设绘制抛物线为，把点，，代入得：
，
解得，，，
∴绘制抛物线为．
17．某景区为方便游客观光，计划建设缆车路线，缆车跨度8千米，在如图所示的平面直角坐标系中进行设计，x轴表示距离出发点的横向距离（单位：千米），y轴表示缆车路线距离地面的高度（单位：百米），初期设计方案如图1，缆车线路为抛物线的一部分，缆车路线经过点．出于安全考虑修改设计方案如图2所示，图中两条缆车路线，均为抛物线的一部分，且，关于直线对称，最低点的坐标为．
(1)求抛物线的表达式．
(2)根据图2中的函数图象解答以下问题：
①求抛物线的表达式．
②当时，求y的值．
(3)当图2中的横向距离分别为，，，时，缆车路线距离地面的高度y相同，且，请直接写出当横向距离为时，缆车路线距离地面的高度y．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)当横向距离为时，缆车路线距离地面的高度为米．
【分析】（1）直接利用待定系数法求解二次函数的解析式即可；
（2）①根据题意设为，把代入可得答案；②由，关于直线对称，可得的图象向右平移4个单位可得的图象，为，再求解的函数值即可；
（3）求解的对称轴为直线；的对称轴为直线，结合横向距离分别为，，，时，缆车路线距离地面的高度y相同，，关于直线对称，可得，结合，再进一步可得答案．
【详解】（1）解：∵缆车线路为抛物线的一部分，缆车路线经过点．
∴，
解得：，
∴抛物线；
（2）解：①∵最低点的坐标为．
∴设为，
把代入可得：
∴，
解得：，
∴为：；
②∵，关于直线对称，
∴的图象向右平移4个单位可得的图象，
∴为，
当时，
；
（3）解：：的对称轴为直线；
：的对称轴为直线，
∵横向距离分别为，，，时，缆车路线距离地面的高度y相同，，关于直线对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当横向距离为时，缆车路线距离地面的高度为米．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，求解二次函数的函数值，轴对称与平移的性质，方程思想的应用，理解题意是解本题的关键．
18．跳绳是校园中常见的一项体育运动，集体跳绳时，需要两人同频甩动绳子．当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作抛物线．下图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且相距．现在以两人的站立点所在的直线为x轴，过小明拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线的解析式．
(1)求绳子所对应的抛物线的解析式；
(2)身高为的乐乐站在绳子的正下方，绳子能否过他的头顶？并说明理由；
(3)身高为的小颖和身高为的小丽，同时站在绳子的下方，在保证绳子甩到最高处时能过她们的头顶的情况下，她们之间的最大距离是______．
【答案】(1)
(2)绳子不能过他的头顶，理由见解析
(3)
【分析】（1）用待定系数法，把代入解析式，求绳子所对应的抛物线的解析式即可；
（2）根据抛物线的解析式，求得抛物线的最大值，与比较，大于则过，否则不过．
（3）当时，当时，求得对应的自变量的值，此时绳子刚刚过顶，求得最大距离即可．
本题考查了抛物线的应用，熟练掌握待定系数法，解方程，求最值是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，抛物线经过点，
解得，
∴绳子所对应的抛物线的解析式为．
（2）解： 身高为的乐乐站在绳子的正下方，绳子不能过他的头顶．
理由如下：
故当时，，
∴绳子不能过他的头顶．
（3）解：当时，
解得或，
当时，
解得或，
所以两人之间最远相距．
故答案为：．
19．近年来，贵阳积极推进农业现代化发展，利用“大数据+农业”思维构建标准化、智能化育种体系，将数据采集、智能温控等信息技术引入农业生产，实现标准化管理，提高农业生产的质量和效益．如图（1），小强家的菜地上有一个长为20米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体处，另一端固定在离地面高2米的墙体处，现对其横截面建立如图（2）所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体的水平距离（米）之间的关系满足，现测得两墙体之间的水平距离为5米．
(1)求的值；
(2)求大棚的最高处到地面的距离；
(3)小强的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要5根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？
【答案】(1)
(2)大棚最高处到地面的距离为米
(3)共需要准备450根竹竿
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用：
（1）由题意，得点，点，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求可得抛物线解析式，把解析式化为顶点式即可得到答案；
（3）求出时自变量的值，即可求出大棚内可以搭建支架的土地的宽，进而求出对应的面积即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意，得点，点，
将坐标代入，得
解得；
（2）解：由（1）可知抛物线解析式为由，
∵，
∴当时，有最大值．
答：大棚最高处到地面的距离为米；
（3）解：当，解得，，
又∵，
∴可知大棚内可以搭建支架的土地的宽为，
∵大棚的长为20米，
∴需要搭建支架部分的土地面积为（平方米），
∴需要竹竿为．
答：共需要准备450根竹竿．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)
试卷第1页，共3页22章二次函数情景题（学生卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．有一种玩具叫“不倒翁”．有的“不倒翁”造型分为上下两个部分，如图，其下半部分的纵截面边缘近似形成一条抛物线的一部分．将“不倒翁”立在矩形桌面上，如图（2），最低点A距离矩形桌面左边缘，此时，粘在玩具上的标签点距桌面的铅直距离和距桌面左边缘的水平距离均为．已知“不倒翁”的下半部分的最高点距桌面的铅直距离为．
(1)设“不倒翁”玩具下半部纵截面边缘上的点与桌面左边缘的水平距离为，与桌面的铅直距离为，建立的平面直角坐标系，使点的坐标为，直接在图中画出平面直角坐标系，并求出与 的函数关系式；
(2)通过计算说明“不倒翁”左右摇动时，是否有一部分会超出桌子左边缘？
(3)如图，现要在“不倒翁”玩偶的下半部分画一些平行于桌面的装饰带，且每两条相邻装饰带的长度之差为，请直接写出最多可画出几条装饰带（不计装饰带的宽度）．
2．2023年11月23日，第十批搭载着25位在韩中国人民志愿军烈士遗骸及相关遗物的空军专机运飞机从韩国仁川起飞，进入中国领空后，空军两架歼战斗机护航，向志愿军烈士致以崇高敬意．11时32分，专机缓缓降落在桃仙国际机场，机场以“过水门”最高礼遇迎接志愿军烈士回家，如图①，在这次“过水门”仪式中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的一条抛物线的一部分．如图②，两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点F处相遇，此时相遇点F距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米，飞机从水柱抛物线的正下方经过．
(1)求“过水门”水柱抛物线的解析式；
(2)飞机的尾翼长16米，当飞机尾翼刚好经过水柱正下方时，尾翼与抛物线的最高点的距离为1米，求此时尾翼右端（如图所示）与水柱的水平距离为多少米？
3．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点，若以点为原点，所在直线为轴，为轴建立如图所示平面直角坐标系，抛物线的顶点．请回答下列问题：
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长．
4．上杭县东门大桥改建工程项目，于2023年列入上杭县“为民办实事”的16个重点工程项目之一，该项目全长米，桥梁全长290米，从稳定性角度考虑．通过桥梁专家设计论证，桥梁部分按“中承式飞燕提蓝拱桥双向6车道”桥型方案设计．如下图，该“飞燕提蓝拱桥”设计数据为，中间提篮拱桥部分形如抛物线，两桥墩间距（跨径）为180米，桥墩与桥头间距为55米，桥面上方的桥拱与桥面用竖直的吊杆连接，吊杆间距5米，正常水位时（水刚好淹没桥墩），桥面距离水面15米，拱顶距离水面60米．
(1)建立恰当的直角坐标系，求拱桥抛物线的解析式；
(2)请问每侧桥拱需要几条吊杆？（参考数据：）
5．根据以下素材，探索完成任务．
设计跳长绳方案
素材：某校组织跳长绳比赛，要求如下： （1）每班需要报名跳绳同学人，摇绳同学人； （2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图．
素材：某班进行赛前训练，发现： （1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为，绳子最高点为，摇绳同学的出手高度均为，如图； （2）9名跳绳同学身高如右表． 身高人数
素材：观察跳绳同学的姿态如图，发现： （1）跳绳时，人的跳起高度在及以下较为舒适； （2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的．
问题解决
任务：确定长绳形状请在图中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式．
任务：确定排列方案该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学．
任务：方案优化改进据最边侧同学反映：由于跳起高度过高，导致不舒适，希望作出调整班长给出如下方案：摇绳同学在绳即将触地时，将出手高度降低至此时中段长绳将贴地形成一条线段线段，而剩余的长绳则保持形状不变，如图． 请你通过计算说明，该方案是否可解决同学反映的问题．
6．火炮射程的远近主要与炮弹发射初速度和发射角度有关，假设在这两个因素都固定的前提下（忽略空气阻力、炮口与底面的高度等其他因素），某科研机构对新研制的火炮（如图1）进行测试，射击时，炮弹飞行的竖直高度单位：百米与水平距离x（单位：百米）近似满足二次函数关系在某次测试时，以炮口为坐标原点，以火炮和山丘所在水平线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，经观测发现，当炮弹飞行的水平距离是百米时，达到最大高度是百米；山丘位于火炮正前方，山丘顶部距炮口的水平距离为百米，山丘高为百米；
(1)求出满足炮弹飞行轨迹的函数关系式；
(2)判断炮弹是否能够越过山丘，并请说明理由；
(3)若在山丘另一侧点处设置一目标物假设火炮、山丘、目标物在同一水平线上；炮弹的最大杀伤半径为百米，则目标物应该设置在距山丘顶部水平距离为多少百米范围内，才能使射击有效？
7．某饭店特制了一批高脚杯，分为男士杯和女士杯(如图1)，相关信息如下：
素材
内容
素材1
高脚杯：如图1，类似这种杯托上立着一只细长脚的杯子．从下往上分为三部分：杯托，杯脚，杯体．杯托为一个圆；水平放置时候，杯脚经过杯托圆心，并垂直任意直径；杯体的水平横截面都为圆，这些圆的圆心都在杯脚所在直线上．
素材2
图2坐标系中，特制男士杯可以看作线段，抛物线(实线部分)，线段，线段绕轴旋转形成的立体图形(不考虑杯子厚度，下同)． 图2坐标系中，特制女士杯可以看作线段，抛物线(虚线部分)绕轴旋转形成的立体图形．
素材3
已知，图2坐标系中，，记为，．
根据以上素材内容，丵试求解以下问题：
(1)求抛物线和抛物线的解析式；
(2)当杯子水平放置及杯内液体(无泡沫)静止时，若男士杯中液体与女士杯中液体最深处深度均为，求两者液体最上层表面圆面积相差多少？(结果保留)
(3)当杯子水平放置及杯内液体(无泡沫)静止时，若男士杯中液体与女士杯中流体最深处深度相等，两者液体最上层表面圆面积相差，求杯中液体最深度为多少？
8．如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．当拱门上的点到点的水平距离为（单位：）时，它距地面的竖直高度为（单位：）．
(1)经过对拱门进行测量，发现与的几组数据如下：
2 3 6 8 10 12
4 4 0
根据上述数据，直接写出该拱门的高度（即最高点到地面的距离）和跨度（即拱门底部两个端点间的距离），并求与满足的函数关系式．
(2)在一段时间后，公园重新维修拱门．在同样的坐标系下，新拱门上的点距地面的竖直高度（单位：）与它到点的水平距离（单位：）近似满足函数关系，若记原拱门的跨度为，新拱门的跨度为，则______（填“”，“”或“”）．
9．如图1是某景区的绿荫大道，为吸引游客，准备在门口安装“彩虹光带”．如图2，彩虹大道门口上半部分近似为抛物线，是地面，四边形是矩形，高，路宽，，点O，D，C三点在同一直线上，点为顶点，距地面为4m．以点O为原点，OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．若准备在、、三边安装“彩虹光带”，点，在抛物线上，点M，N在AB上，，光带下端G，H均低于边．
(1)求该抛物线的函数表达式．
(2)求三根“彩虹光带”、、的长度之和的最大值，并写出此时的长．
10．我们要善于用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表 达世界．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞(如图1)，可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图2所示雨伞最大纵截面上建立直角坐标系，伞柄在轴上，坐标原点为伞骨， 的交点(单位：分米)，点为抛物线的顶 点，点，在抛物线上，， 关于轴对称．分米，点．设抛物线 表达式为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)分别延长，交抛物线于点，，求以 为直径的圆的周长．
11．根据以下素材，探索完成任务．
设计彩虹桥中彩色灯带的悬挂方
素材一 图1是一座隐藏在漳州城市中的“彩虹桥”，也是近年来比较热门的网红打卡点，它由200多个铁架和2400多个灯笼组成． 如图2，每个铁架的横截面可以分为3段，其中是固定支架，分别与地面垂直，主体支架可近似看作一段抛物线，最高点离地面的距离是，，．
素材二 由于灯笼颜色比较单一，街道准备把灯笼替换成长度为的彩色灯带，沿抛物线（主体支架）安装（如图3），且相邻两条灯带安装点的水平间距为．为了安全起见，灯带底部与地面的距离不低于．灯带安装好后成轴对称分布．
问题解决
任务一 确定主体支架的形状 请在图2中以点A为原点建立平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式．
任务二 探究安装范围 在安全前提下，在任务一的坐标系中，确定灯带安装点的横坐标取值范围．
任务三 拟定设计方案 在同一个横截面下，最多能安装几条灯带？并求出此时最右边灯带安装点的坐标．
12．（改编）蔬菜大棚是一种具有出色保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系，且抛物线的顶点，请回答下列问题：
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；
(3)如图3，在某一时刻，经过A点的太阳光线恰好照射到C点处，此时大棚截面的阴影为，求的长．
13．某新区在东郊新建一座桥梁．如图，桥拱可近似地看作抛物线的一部分，水平线段可看作桥面的一部分，桥拱的跨度为，桥拱的最大高度为．
(1)以A为原点，线段所在直线为x轴，过点A垂直于的直线为y轴，构建平面直角坐标系，求桥拱所在抛物线的表达式．
(2)如图，若在两端之间的桥面与桥拱之间铺设满垂直于桥面的7根杆状景观灯，且相邻景观灯的间距，端点A、端点B到相邻景观灯之间的距离均相等．已知杆状景观灯平均的铺设成本为350元．求图中所有景观灯的铺设成本．
14．2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得金牌，陈芋汐获得银牌，在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝），如图2所示，建立平面直角坐标系，如果她从点A起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系．
(1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表：
水平距离x/m 3 h 4 4.5
竖直高度y/m 10 11.25 10 6.25
根据表中数据，直接写出h的值为 ，满足的二次函数关系式为： ；
(2)在（1）的条件下，记全红婵训练时入水点的水平距离为；比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足二次函数关系：，记比赛当天入水点的水平距离为，判断与的大小关系，并说明理由．
15．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方的P处发球． 已知点O与球网的水平距离为，球网的高度为．
(1)甲发球后，若羽毛球往前飞行与点O的水平距离为时到达最高处，此时羽毛球离地面 ，如图1．
①求抛物线的解析式；
②通过计算判断此球能否过网；
(2)甲再次发球后，羽毛球飞行路线符合抛物线 到与点O的水平距离为时落地．若羽毛球飞行到与点O的水平距离为的Q处时，乙扣球，羽毛球飞行的路线为直线的一部分，且经过点，如图2．问：乙能扣球过网吗 通过计算加以说明．
16．学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图），顺次输入点，，的坐标，机器人能根据图，绘制图形．若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的解析式．请根据以下点的坐标，解答下列问题：
(1)，，，能绘制______（填“线段或抛物线”），求出线段的长度或抛物线的函数关系式；
(2)，，，能绘制______（填“线段或抛物线”），求出线段的长度或抛物线的函数关系式．
17．某景区为方便游客观光，计划建设缆车路线，缆车跨度8千米，在如图所示的平面直角坐标系中进行设计，x轴表示距离出发点的横向距离（单位：千米），y轴表示缆车路线距离地面的高度（单位：百米），初期设计方案如图1，缆车线路为抛物线的一部分，缆车路线经过点．出于安全考虑修改设计方案如图2所示，图中两条缆车路线，均为抛物线的一部分，且，关于直线对称，最低点的坐标为．
(1)求抛物线的表达式．
(2)根据图2中的函数图象解答以下问题：
①求抛物线的表达式．
②当时，求y的值．
(3)当图2中的横向距离分别为，，，时，缆车路线距离地面的高度y相同，且，请直接写出当横向距离为时，缆车路线距离地面的高度y．
18．跳绳是校园中常见的一项体育运动，集体跳绳时，需要两人同频甩动绳子．当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作抛物线．下图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且相距．现在以两人的站立点所在的直线为x轴，过小明拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线的解析式．
(1)求绳子所对应的抛物线的解析式；
(2)身高为的乐乐站在绳子的正下方，绳子能否过他的头顶？并说明理由；
(3)身高为的小颖和身高为的小丽，同时站在绳子的下方，在保证绳子甩到最高处时能过她们的头顶的情况下，她们之间的最大距离是______．
19．近年来，贵阳积极推进农业现代化发展，利用“大数据+农业”思维构建标准化、智能化育种体系，将数据采集、智能温控等信息技术引入农业生产，实现标准化管理，提高农业生产的质量和效益．如图（1），小强家的菜地上有一个长为20米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体处，另一端固定在离地面高2米的墙体处，现对其横截面建立如图（2）所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体的水平距离（米）之间的关系满足，现测得两墙体之间的水平距离为5米．
(1)求的值；
(2)求大棚的最高处到地面的距离；
(3)小强的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要5根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？
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《22章二次函数情景题（学生卷）》参考答案
1．(1)作图见解析，
(2)是有一部分会超出桌子左边缘
(3)条
【分析】（1）如图建立直角坐标系，设，再将代入，求出的值即可；
（2）令，则，即可求解；
（3）设两条相邻装饰带的半径分别为，，则，即，即可求解．
【详解】（1）解：如图建立平面直角坐标系，设，
∵点距桌面的铅直距离和距桌面左边缘的水平距离均为，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴与 的函数关系式为；
（2）∵“不倒翁”的下半部分的最高点距桌面的铅直距离为，
当时，则，
解得：，，
∴“不倒翁”的下半部分的最高点与桌子左边缘平齐，
∴“不倒翁”左右摇动时，是有一部分会超出桌子左边缘的部分；
（3）设两条相邻装饰带的半径分别为，，
∵要在“不倒翁”玩偶的下半部分画一些平行于桌面的装饰带，且每两条相邻装饰带的长度之差为，
∴，
∴，
由（2）知：，
∴，
∴最多可画出条装饰带．
【点睛】本题考查二次函数实际应用，根据题意建立直角坐标系，待定系数法求函数表达式，二次函数与直线的交点等知识点．理解题意，将生活问题转化为函数问题是解题的关键．
2．(1)
(2)米
【分析】此题考查二次函数的应用，正确地求出二次函数的解析式是解题的关键．
（1）由题意得，，设抛物线解析式为，把点坐标代入解析式求出即可；
(2)根据题意求出，令，解方程求出，再求即可．
【详解】（1）解：由题意得米， ，
米，
∴，，
设抛物线解析式为，
将代入，
得，
解得，
∴过水门”水柱抛物线的解析式；
（2）解：∵米，米，
∴米，
当时，，
解得，
∴米,
∵米,
∴米,
∴(米)。
即尾翼右端 (如图所示) 与水柱的水平距离为米．
3．(1)
(2)
【分析】（1）先根据坐标与图形性质求得点A、D、E的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）设G、L坐标，根据坐标与图形性质列方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，，，，，
设抛物线的解析式为，
将、、代入，
得，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：根据题意，设，则，，
将L坐标代入中，得，
解得或（舍去），
∴，
答：两个正方形装置的间距的长为．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用、正方形的性质，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式、坐标与图形性质是解答的关键．
4．(1)见解析，
(2)需32根吊杆
【分析】该题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是理解题意．
（1）如图，以其中一个桥墩为原点，正常水位水平面为轴，建立直角坐标系．得出，，根据待定系数法即可求解；
（2）根据题意得出点的纵坐标为15，结合（1）将代入即可求出，即可解答；
【详解】（1）解：如图示，以其中一个桥墩为原点，正常水位水平面为轴，建立直角坐标系．
则有另一桥墩，拱桥顶点，桥面，
设桥拱抛物线解析式为，
把点坐标代入求得，
所以拱桥抛物线的解析式为．
（2）解：因桥面距离水面15米，所以点的纵坐标为15，
当时，，
解得，
，
所以，，
∴，
∵，
故单侧需32根吊杆．
5．任务：；任务2：不会触碰到最边侧的同学；任务：方案能解决同学反映的问题
【分析】本题考查了二次函数的应用，
任务1：建立平面直角坐标系，待定系数法求解析式，即可求解；
任务2，得出最右侧同学的横坐标为代入解析式，结合按照排列方式可知最右（左）侧同学屈膝后身高即可求解；
任务3，求得平移后的抛物线解析式，进而将代入，结合题意，即可求解．
【详解】解：任务：如图建立平面直角坐标系．
设长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式为：．
经过点．
．
解得：．
长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式为：；
任务2：最右侧同学所在的横坐标为：．
当时，．
长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的，
最右侧同学屈膝后的身高为：．
．
绳子在最高点时，长绳不会触碰到最边侧的同学；
任务当绳子摇至最低处时，抛物线解析式可表示为．
出手高度降低至．
抛物线下降．
下移后的抛物线解析式为：．
当时，．
，
方案能解决同学反映的问题．
6．(1)
(2)炮弹能够越过山丘，见解析
(3)
【分析】本题考查了二次函数的实际问题，涉及待定系数法求二次函数解析式，求函数值，解方程等知识点，理解题意，根据题意建立函数模型是解题的关键；
(1)由条件“炮弹飞行的水平距离是12百米时，达到最大高度是2.88百米”，设二次函数顶点式求解即可；
(2)代入，求出函数值，再与2.3比较大小；
(3)求出炮弹落地点到炮口的距离，结合炮弹的最大杀伤半径和山丘M顶部距炮口的水平距离，求出目标物距山丘顶部的水平距离d满足的条件．
【详解】（1）由题意知，二次函数的顶点为，
设满足炮弹飞行轨迹的函数关系式为：，
代入得，
，
；
（2）山丘顶部距炮口的水平距离为百米，
当时，，
炮弹能够越过山丘；
（3）令，得或，
炮弹落在距离炮口百米的地方，
炮弹的最大杀伤半径为百米，山丘顶部距炮口的水平距离为百米，
为使射击有效，目标物应该设置在距山丘顶部水平距离应满足，
．
7．(1)抛物线；抛物线
(2)
(3)或
【分析】本题考查二次函数的实际应用
（1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设男士杯中液体与女士杯中液体最上层表面圆的半径分别为，，分别求出，，即可得出结果；
（3）分和进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：点为抛物线和抛物线的顶点，对称轴为轴，
设抛物线的解析式为：，抛物线的解析式为：，
点在抛物线上，点在抛物线上，
，，
，，
抛物线；抛物线；
（2）解：设男士杯中液体与女士杯中液体最上层表面圆的半径分别为，，
在抛物线中：当时，
，
，
，
则，
；
（3）解：当时，由抛物线解析式可得：， ，
，
即，
解得；
则最深度为；
当时，由图象可得：， ，
可列方程：，
则，
解得；
则最深度为．
综上：杯中液体最深度为或．
8．(1)该拱门的高度为，跨度为，
(2)
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，
（1）由表格得当时，，当时，，从而可求对称轴和顶点坐标，进而可求出拱门的高度和跨度，再把解析式设为顶点式利用待定系数法即可求解；
（2）先把代入中，求出h的值，则可求出，进行比较即可．
【详解】（1）解：由表格可知抛物线经过和，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵当，，
∴该拱门的高度为，
∵，
∴跨度为；
设抛物线解析式为，
把代入中得：，
解得：，
∴；
（2）解：把代入中得，解得或（舍去），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
∴，
由（1）可得，
∵，
∴，
故答案为：．
9．(1)
(2)三根“彩虹光带”、、的长度之和的最大值为，此时的长为
【分析】本题考查了待定系数法，二次函数的应用；
（1）由题意可得，，设抛物线的函数表达式为，即可求解；
（2）设，由二次函数的性质得，，求出，求二次函数的最值，即可求解；
掌握待定系数法，能表示出是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得
，，
可设抛物线的函数表达式为，
，
解得：，
，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：设，
，
，
，
解得：，
，
光带下端G，H均低于边，
，
，
，
当时，的最大值为，
；
答：三根“彩虹光带”、、的长度之和的最大值为，此时的长为．
10．(1)抛物线解析式为： ；
(2)以直径的圆的周长为分米．
【分析】本题考查了二次函数的应用，求解二次函数与正比例函数的交点坐标，熟练掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．
（）待定系数法求出抛物线解析式即可；
（）写出直线解析式，求出与抛物线的交点坐标，根据抛物线的对称性计算出点坐标，利用横坐标之差计算线段长，再由圆周长公式即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
把和代入 ，
得，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：设直线 解析式为 ，
将 坐标代入得，，
解得：，
∴直线 解析式为： ，
联立函数解析式，
解得：，或
∴点坐标为；
∵抛物线的对称轴是轴，
∴点的坐标为，
∴（分米），
∴直径 的圆的周长为：（分米）．
11．任务一：；任务二：；任务三：
【分析】本题考查二次函数的应用．理解题意，用顶点式表示出抛物线的解析式是解决本题的关键．根据两个灯带之间的间隔判断出灯带的个数是解决本题的易错点；根据灯带之间的间隔和自变量的取值范围判断出最右边灯带的横坐标是解决本题的难点．
（1）易得抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把点A的坐标代入可得a的值，即可求得抛物线的解析式；
（2）根据支架的高度和灯带底部与地面距离的限定可得y应取0.25，求得相应的x的值，即可判断出灯带安装点的横坐标取值范围；
（3）取（2）中抛物线的得到的横坐标的差即为能安装灯带的距离，除以，得到相应的间隔，加1，即为可安装灯带的个数；进而判断出安装灯带后剩余的距离，除以2，取减去得到的数值，即为最右边灯带的横坐标，代入抛物线解析式，可得纵坐标．
【详解】解：任务一：建立坐标系，
由已知可得顶点的横坐标为2，顶点的纵坐标为，点，
设地物的解析式为，
，
，
故抛物线的解析式为；
任务二：由于固定支架长为，因此要使灯带底部与地面的距离不低于，只需要让安装点到x轴的距离不小于．
令，
解得：或，
因此安装点的横坐标取值范围；
任务三：由于，因此最多可以安装条灯带，
由对称性可得最右边灯带的横坐标为，
，
故最右边灯带安装点的坐标为．
12．(1)抛物线解析式为
(2)两个正方形装置的间距的长为1.12m
(3)的长为
【分析】（1）根据抛物线顶点位置设抛物线解析式为，将点和代入即可求得解析式；
（2）由题意可知时，求得对应的x，即可知和的坐标，则有，可得．
（3）利用待定系数法求得直线的解析式．结合题意设直线解析式为，与二次函数联立令时，解得，可得直线解析式，求得点K即可．
【详解】（1）解：∵抛物线顶点，
∴设抛物线解析式为，
由题意得，，代入抛物线解析式得，
解得，
则抛物线解析式为．
（2）解：当时，
，解得，（舍去），
∴，，
则，．
答：两个正方形装置的间距的长为1.12m．
（3）解：由题意得，当光线与抛物线仅有一个交点M时，这个交点的影子为点K．
∵，，，
设直线：，
则解得
∴直线：．
因为太阳光线是平行光线，所以，设直线：，
联立
，即，
当时，抛物线与直线有一个交点，所以
解得，
则直线：，
令，解得，
∴，
则．
那么，的长为．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求二次函数解析式、求对应自变量的值、待定系数法求一次函数解析式和的意义，解题的关键是熟悉二次函数的性质和与一次函数联立时的临界值．
13．(1)
(2)元
【分析】本题考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，顶点式等知识，
（1）按要求构建坐标系，根据题意可得，顶点，，设桥拱所在抛物线的表达式为：，代入即可作答；
（2）先计算出7根杆状景观灯的平均距离，分别求出当时，当时，当时，当时，当时，当时，当时，当时，当时的函数值，再相加即可得7根杆状景观灯的总长度，问题随之得解．
【详解】（1）坐标系如图，
根据题意可知：，顶点，，
设桥拱所在抛物线的表达式为：，
即：，
解得：，
即桥拱所在抛物线的表达式为：；
（2），
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
则7根杆状景观灯的总长度为：（米），
∵杆状景观灯平均的铺设成本为350元，
则总费用为：（元）．
14．(1)；
(2)．
【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式．
（1）通过表格数据结合待定系数法求出解析式，即可求解；
（2）分别求出两个解析式当时，x的值，进行比较即可．
【详解】（1）解：根据表格得：函数图象过点，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：；；
（2）解：对于，
当时，，
解得：，（不合题意，舍去），
∴米，
对于，
当时，，
解得：，（不合题意，舍去），
∴，
∵，
∴．
15．(1)① ②此球能过网
(2)乙扣球不过网
【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）①运用待定系数法求出二次函数解析式即可；
②把代入抛物线的解析式中求出对应的y的值，再与比较大小即可判断是否过网；（2）将(0,1),(9,0)代入解析式中得到一个关于a、h的二元一次方程组，解方程组即可得出二次函数的解析式，得到点的坐标 ，然后求出乙扣球路线的解析式，代入即可解题．
【详解】（1）解：①设抛物线解析式为 ，
由题意得， ，
解得
∴，
②把代入 得:，
，
∴ 此球能过网；
（2）把代入得:
，解得： ，
，
当时, ，
∴点的坐标 ，
设乙扣球路线的解析式为，则 解得 ，
，
当时, ，
∴乙扣球不过网．
16．(1)线段，；
(2)抛物线，．
【分析】（）根据图判断出绘制线段，根据两点间的距离公式可得答案；
（）根据图判断出绘制抛物线段，利用待定系数法可得答案；
此题考查了程序设计型问题，解题的关键是待定系数法求二次函数解析式，弄懂程序框图．
【详解】（1）解：线段，
∵，，，
∴能绘制线段，线段；
（2）解：抛物线，
∵，，，，
∴设绘制抛物线为，把点坐标代入得，
∴，即；
方法：设绘制抛物线为，把点，，代入得：
，
解得，，，
∴绘制抛物线为．
17．(1)
(2)①；②
(3)当横向距离为时，缆车路线距离地面的高度为米．
【分析】（1）直接利用待定系数法求解二次函数的解析式即可；
（2）①根据题意设为，把代入可得答案；②由，关于直线对称，可得的图象向右平移4个单位可得的图象，为，再求解的函数值即可；
（3）求解的对称轴为直线；的对称轴为直线，结合横向距离分别为，，，时，缆车路线距离地面的高度y相同，，关于直线对称，可得，结合，再进一步可得答案．
【详解】（1）解：∵缆车线路为抛物线的一部分，缆车路线经过点．
∴，
解得：，
∴抛物线；
（2）解：①∵最低点的坐标为．
∴设为，
把代入可得：
∴，
解得：，
∴为：；
②∵，关于直线对称，
∴的图象向右平移4个单位可得的图象，
∴为，
当时，
；
（3）解：：的对称轴为直线；
：的对称轴为直线，
∵横向距离分别为，，，时，缆车路线距离地面的高度y相同，，关于直线对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当横向距离为时，缆车路线距离地面的高度为米．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，求解二次函数的函数值，轴对称与平移的性质，方程思想的应用，理解题意是解本题的关键．
18．(1)
(2)绳子不能过他的头顶，理由见解析
(3)
【分析】（1）用待定系数法，把代入解析式，求绳子所对应的抛物线的解析式即可；
（2）根据抛物线的解析式，求得抛物线的最大值，与比较，大于则过，否则不过．
（3）当时，当时，求得对应的自变量的值，此时绳子刚刚过顶，求得最大距离即可．
本题考查了抛物线的应用，熟练掌握待定系数法，解方程，求最值是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，抛物线经过点，
解得，
∴绳子所对应的抛物线的解析式为．
（2）解： 身高为的乐乐站在绳子的正下方，绳子不能过他的头顶．
理由如下：
故当时，，
∴绳子不能过他的头顶．
（3）解：当时，
解得或，
当时，
解得或，
所以两人之间最远相距．
故答案为：．
19．(1)
(2)大棚最高处到地面的距离为米
(3)共需要准备450根竹竿
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用：
（1）由题意，得点，点，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求可得抛物线解析式，把解析式化为顶点式即可得到答案；
（3）求出时自变量的值，即可求出大棚内可以搭建支架的土地的宽，进而求出对应的面积即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意，得点，点，
将坐标代入，得
解得；
（2）解：由（1）可知抛物线解析式为由，
∵，
∴当时，有最大值．
答：大棚最高处到地面的距离为米；
（3）解：当，解得，，
又∵，
∴可知大棚内可以搭建支架的土地的宽为，
∵大棚的长为20米，
∴需要搭建支架部分的土地面积为（平方米），
∴需要竹竿为．
答：共需要准备450根竹竿．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
