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25章概率与统计新题型（教师卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．小镇和小海玩掷飞镖的游戏，他们设计了如图所示的矩形靶子，E，F分别是边，上的点，，小镇投掷的1次飞镖落在阴影部分的概率是 ．
【答案】
【分析】此题考查矩形的判定和性质，概率计算公式，从图中找到题目中所要求的信息．用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．
将图形分为矩形和矩形两部分，可得三角形是矩形面积的一半，三角形是矩形面积的一半，从而可得飞镖落在阴影部分的概率．
【详解】解：∵分别是矩形的两边上的点，，
∴，
∴四边形和四边形是矩形，
∴，
∴，
∴飞镖落在阴影部分的概率是.
故答案为：．
二、解答题
2．年月日，余名游客乘坐次“环西部火车游”麻辣汤专列从兰州西站出发，开启热辣滚汤之旅，品味天水美食，感受伏羲文化．此趟“天水麻辣沕”旅游专列行程天，游客不仅可以品尝天水的麻辣汤、烩麻食、素扁食、呱呱等特色美食，还可游览麦积山石窟、天水古城、南宅子、仙人崖等天水著名景点．小明和小华准备借此次旅行机会，一品天水美食．他们各自在麻辣汤（记为）、烩麻食（记为）、素扁食（记为）、呱呱（记为）四种美食中随机任选一种品尝，每种美食被选中的可能性相同．
(1)小明选择品尝麻辣汤的概率为__________；
(2)用画树状图或列表的方法求小明和小华选择品尝不同美食的概率．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）画出树状图，得出总的结果数和小明和小华选择品尝不同美食的情况，即可求解；
本题考查了概率公式和列表法与树状图法，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键．
【详解】（1）解：一共有麻辣汤、烩麻食、素扁食、呱呱四种美食，
∴选择品尝麻辣汤的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
∴一共有16种等可能的情况，恰好小明和小华选择品尝不同美食的情况有种，
∴恰好小明和小华选择品尝不同美食的概率为．
3．九年级数学课外小组在开展活动时，设计了这样一个数学活动．有A、B 两组卡片，每组各3张，A组卡片上分别写有1，3，5；B组卡片上分别写有，，．每张卡片除正面写有不同数字外，其余均相同．甲从A组中随机抽取一张记为x，乙从B组中随机抽取一张记为y．
(1)若甲抽出的数字是1，乙抽出的数是，它们恰好是的解，求m的值；
(2)在（1）成立条件下，求甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程的解的概率．（请用树状图或列表法求解）
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）将，代入方程计算即可求出的值；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程的解的情况数，即可求出所求的概率
【详解】（1）解： ，，
，
；
（2）列表得：
组组
1
3
5
所有可能为：、、、、、、、、，
是方程的解的有：、、，
．
4．为了弘扬中华优秀传统文化，加强对学生的美育教育，某中学开展了“琴棋书画”“戏曲”“汉服”“面塑”四项传统艺术体验活动，将分别印有四项活动宣传图案的四张卡片（形状、大小、质地均相同，如图）放在盒子中，搅匀后从中任意抽取卡片，来确定体验项目．
(1)若安安从盒子中任意抽取一张卡片，记录图案后，放回搅匀，不断重复次，安安抽到“A．琴棋书画”的次数最接近______；
A．4000 B．3000 C．2000 D．1000
(2)若安安从盒子中任意取出一张卡片，记录后放回，搅匀，星星再从中任意取出一张卡片，求安安和星星抽到同一项活动体验的概率．（请用列表或画树状图的方法写出分析过程，用对应的字母表示）
【答案】(1)D
(2)
【分析】
本题考查概率与频率的关系及列树状图或列表求概念，解题的关键是掌握用列表法求出所有的结果数．
（1）当实验次数较多时，频率接近概率，据此可得到答案；
（2）列表求出所有等可能的情况，再由概率公式计算．
【详解】（1）
安安从盒子中任意抽取一张卡片，抽到“A．琴棋书画”的可能性为，
不断重复次，安安抽到“A．琴棋书画”的次数最接近（次），
故选：D；
（2）
记“琴棋书画”“戏曲”“汉服”“面塑”分别记为，，，，根据题意列表得：
共有种等可能的结果，其中安安和星星抽到同一项活动体验的有种，
安安和星星抽到同一项活动体验的概率是．
5．人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成，，，四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．
(1)随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为 ；
(2)从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的概率．
【答案】(1)
(2)见解析，
【分析】此题考查的是用列表法，概率公式求概率．
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意列表得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】（1）解：∵共有4张卡片，
∴从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为；
故答案为：；
（2）解：根据题意列表如下：
共有种等可能的结果数，其中抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的结果数为2，
所以求抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的概率．
6．为让学生感受传统文化魅力、学会规划时间，某图书馆在“世界读书日”期间推出“二十四节气 时光书签”限定套装作为阅读打卡的纪念礼．套装内有四枚同款金属书签，正面分别以“春之萌芽”、“夏之繁茂”、“秋之收获”、“冬之蓄力”为主题，融合对应季节的节气元素．已知书签的形状、大小、质地均相同，且背面也完全相同，现将四枚书签正面朝下放在桌面上．
(1)小亮从中随机抽取一枚，抽出的书签恰好是“秋之收获”的概率是 ；
(2)若将四种不同主题的书签分别用表示，小亮从中随机抽取一枚后放回，再从中随机抽取一枚，请用画树状图或列表的方法求出小亮抽出的两枚书签恰好是同一主题的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
（1）根据概率公式求解；
（2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵已知书签的形状、大小、质地均相同，且背面也完全相同，现将四枚书签正面朝下放在桌面上，
∴小亮从中随机抽取一枚，抽出的书签恰好是“秋之收获”的概率是，
故答案为：；
（2）解：列表如下
第二次第一次
共有16种等可能结果，符合题意的有4种．
所以（同一主题）．
7．北京冬奥会在2022年2月4日至20日举行，北京成为奥运史上第一个举办过夏季奥运会和冬季奥运会的城市．小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的5张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同），现将5张邮票背面朝上，洗匀放好．
(1)小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是___________；
(2)小亮决定将其中两张邮票送给好朋友小明，若冬奥会会徽邮票记作A类邮票，吉祥物冰墩墩邮票记作B类邮票，吉祥物雪容融邮票记作C类邮票，将5张邮票背面朝上洗匀后，让小明从中随机抽取2张邮票，抽得的邮票就送给小明，求小明抽取两张邮票都是“吉祥物冰墩墩”的概率．（请用列表法或画树状图法求解）
【答案】(1)小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是
(2)P（抽取两张邮票都是吉祥物冰墩墩）＝
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）利用列表法列出所有等可能的结果，从中找到符合条件的结果，求出概率即可；
【详解】（1）小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是；
（2）列表如下：
A
A
由表知，共有20种等可能结果，其中抽取两张邮票都是冰墩墩的有2种结果
∴P（抽取两张邮票都是吉祥物冰墩墩）．
【点睛】该题主要考查了概率计算，解答本题的关键是熟悉概率计算公式以及列表法或者树状图法求概率．
8．班级联欢会上有一个抽奖活动，每位同学均参加一次抽奖，活动规则下：将三个完全相同的不透明纸杯倒置放在桌面上，每个杯子内放入一个彩蛋，彩蛋颜色分别为红色、红色、绿色．参加活动的同学先从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色后再将杯子倒置于桌面，重新打乱杯子的摆放位置，再从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色．若两次选中的彩蛋颜色不同则获一等奖，颜色相同则获二等奖．用画树状图（或列表）的方法，求某同学获一等奖的概率．
【答案】
【分析】依题意画出树状图，运用概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有种可能，获一等奖即两次颜色不相同的可能有种，
则某同学获一等奖的概率为：，
答：某同学获一等奖的概率为．
【点睛】本题考查了树状图求概率，正确画出树状图是解题的关键．
9．4月9日，2023年淮安西游乐园淮安马拉松赛暨大运河马拉松系列赛(淮安站)在淮安举办，15000名跑者共同组成春日淮安“醉美”的一道风景．赛事共有三项：A．“马拉松”、B．“半程马拉松”、C．“健康跑”．小华和小明参与了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组．
(1)小明被分配到“健康跑”项目组的概率为______；
(2)请利用树状图或表格求小华和小明被分配到不同项目组的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，得出所有等可能的结果和满足条件的结果，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）从三个项目组中任取1个，小明被分配到“健康跑”项目组的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有9个等可能的结果，小华和小明被分配到不同项目组的结果有6个，
∴小华和小明被分配到不同项目组的概率为．
【点睛】本题主要考查了用公式法计算概率和画树状图或列表的方法计算概率，正确画出树状图是做出本题的关键．
10．2023年9月23日晚，第19届亚运会开幕式在浙江杭州隆重举行．如图是小明收集的本届亚运会的四枚纪念徽章（其中会徽徽章用A表示，宸宸、琼琼、莲莲三个吉祥物徽章分别用B，C，D表示），小明从这四枚徽章中随机抽取两枚．请利用画树状图或列表的方法，求抽到的两枚徽章中有一枚是会徽徽章的概率．
【答案】，画图见解析
【分析】本题考查用树状图或列表法求概率．根据题意用列表法将情况一一列举出，即可求得本题答案．
【详解】解：∵小明从这四枚徽章中随机抽取两枚，
∴用列表法如下图所示：
，
设：抽到的两枚徵意中有一枚是会徽徽章为事件，
根据上方列表可知，共有12种情况，其中有6种符合情况，
∴．
11．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，杭州亚运会吉祥物是“宸宸”“琮琮”和“莲莲”．将三张正面分别印有3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上、洗匀．
(1)若从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是______；
(2)若从三张卡片中一次随机抽取两张，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“琼琮”和“莲莲”的概率是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了树状图求概率，也考查了概率公式，概率所求情况数与总情况数之比．
（1）直接由概率公式即可求解；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，恰好选中“琼琮”和“莲莲”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：从3个吉祥物图案的卡片中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是，
故答案为：．
（2）解：把吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”三张卡片分别记为、、，
画树状图如图：
共有6种等可能的结果，恰好选中“琼琮”和“莲莲”的结果有2种，
∴恰好选中“琼琮”和“莲莲”的概率为．
12．A、B两人去九龙湖风景区游玩，已知每天某一时段开往风景区有三辆舒适程度不同的车，开过来的顺序也不确定，两人采取了不同的乘车方案：A：无论如何总是上开来的第一辆车；B：先观察后上车，当第一辆车开来时他不上车，而是仔细观察车的舒适度，如果第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；如果第二辆车不比第一辆好，他就上第三辆车．如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请解决下列问题：
（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？
（2）你认为A、B两人采用的方案，哪种方案使自己乘上等车的概率大？请分别求出A，B乘上等车的概率并判断．
【答案】（1）三辆车按出现的先后顺序共有6种不同的可能，见解析；（2）A采用的方案使自己乘上等车的概率为，B采用的方案使自己乘上等车的概率为，所以B人采用的方案使自己乘上等车的概率大
【分析】（1）利用列表展示所有6种不同的可能结果即可得到答案；
（2）分别求出两个方案使自己乘上等车的概率，然后比较概率大小可判断谁的可能性大．
【详解】解：（1）根据题意列表如下：
第1辆 第2辆 第3辆
上 中 下
上 下 中
中 上 下
中 下 上
下 中 上
下 上 中
三辆车按出现的先后顺序共有6种不同的可能；
（2）A采用的方案使自己乘上等车的概率；
B采用的方案使自己乘上等车的概率，
因为，
所以B人采用的方案使自己乘上等车的概率大．
【点睛】此题考查了基本概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
13．第24届北京冬奥会的开幕式中，“二十四节气的开幕式倒计时”向全世界人民展示了中华文化源远流长的特点，尽显中国式浪漫．杨老师为了让学生深入的了解二十四节气，将每个节气的名称写在形状大小都一样的小卡片上，并将卡片倒扣在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上对应节气的含义．
(1)请问随机抽取一张卡片，上面写有“立春” 的概率为 ；
(2)若老师将“立春、雨水、惊蛰、春分”四张卡片单独拿出，邀请小明和小华同时抽取．请利用画树状图或列表的方法，求两人抽到的卡片上有相同的字的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了列表法与树状图法以及概率公式；
（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）由题意，当两人同时抽到立春和春分时，卡片上有相同的字，画树状图得出所有等可能的结果数和两人抽到的卡片上有相同的字的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：共有二十四张节气卡片，且每张卡片被抽到可能性相同，
随机抽去一张卡片，上面写有“立春“的概率为，
故答案为：；
（2）由题意，“立春、雨水、惊蛰、春分”四张卡片分别用A、B、C、D表示，画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片上有相同的字的结果有2种，
两人抽到的卡片上有相同的字的概率为．
14．如图，有3张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：A哪吒，B敖丙，C太乙真人．将这3张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片后记录，放回后搅匀，再随机取出1张卡片．求下列事件发生的概率：
(1)第一次取出的卡片图案为“C太乙真人”的概率为___________．
(2)用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“A哪吒”和“B敖丙”的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了求概率．
（1）直接根据概率公式计算即可；
（2）画出树状图，根据概率公式计算即可．
【详解】（1）解：第一次取出的卡片图案为“C太乙真人”的概率为，
故答案为：；
（2）解：如图：
可知共9种情况，其中取出的2张卡片为“A哪吒”和“B敖丙”情况有两种，
则取出的2张卡片为“A哪吒”和“B敖丙”的概率．
15．为了加强学生的垃圾分类意识，某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀；B．良好；C．及格；D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表．
垃圾分类知识测试成绩统计表
测试等级 百分比 人数
A．优秀 5% 10
B．良好 30
C．及格 45% m
D．不及格 n
请结合统计表，回答下列问题：
(1)求本次参与调查的学生人数及m，n的值；
(2)如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为3600人，请根据本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数；
(3)为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班派一人参加．某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
【答案】(1)200人，，
(2)720人
(3)不公平，说明见详解
【分析】本题考查了统计中的百分比应用，用样本估计总体及概率的计算与游戏公平性判断．
（1）先根据A等级的人数和百分比求出总人数，再利用总人数分别计算C等级的人数m和D等级的百分比n的值；
（2）先确定“良好及以上”在样本中的比例，再用全校总人数乘以该比例得到估计人数；
（3）通过画树状图法分析两人摸球的所有可能结果，计算数字和为奇数的概率和数字和为偶数的概率，若两概率相等则公平，否则不公平．
【详解】（1）解：本次参加调查的学生人数为（人），
，．
（2）解：（人），
即估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数为720人．
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种，
∴，，
∵，
∴这个游戏规则不公平．
16．越野汽车轮胎的质量是根据其正常使用的时间来衡量的，使用时间越长，表明质量越好，且使用时间大于或等于7千小时的为优质品，否则为普通品．某汽修店对A，B两种不同型号的汽车轮胎做试验，各随机抽取相同数量的产品作为样本，得到试验结果的扇形统计图和频数分布直方图（每组包含左端点但不包含右端点）如图所示，以上述试验结果中各组的频率作为相应的概率．
(1)现从大量的A，B两种型号的轮胎中各随机抽取1件产品，求其中至少有1件是优质品的概率；
(2)汽修店对轮胎实行“三包”，根据多年销售经验可知，轮胎每件产品的利润y（单位：元）与其使用时间t（单位：千小时）的关系如下表：
使用时间t（单位：千小时）
每件产品的利润y（单元：元） -200 200 400
若从平均利润角度考虑，该汽修店应选择哪种轮胎销售，请说明理由．
【答案】(1)
(2)该汽修店应选择A型号轮胎销售，见解析
【分析】（1）运用列表法或画树状图法求概率即可；；
（2）分别计算出一件A、B型轮胎的平均利润，比较大小后即可得出答案．
【详解】（1）解：由统计图可得，A型号轮胎中，优质品的频率为50%；
B型号轮胎中，优质品的频率为
故A型号出现优质品和普通品的可能性与B型号出现优质品和普通品的可能性均相同．
法1：从大量的A，B两种型号的轮胎中各随机抽取1件产品，试验的结果画树状图如下：
共有4种等可能结果，其中至少一件是优质品的结果有3种，
∴
法2：从大量的A，B两种型号的轮胎中各随机抽取1件产品，试验的结果可列表如下：
A型号优等品 A型号普通品
B型号优等品 （优、优） （普、优）
B型号普通品 （优、普） （普、普）
共有4种等可能结果，其中至少一件是优质品的结果有3种，
∴
（2）解：A型号产品的频率为，，
故A型号平均利润：
B型号产品的频率：
，，
故B型号平均利润：
∵，
∴该汽修店应选择A型号轮胎销售．
【点睛】本题考查的是扇形统计图、条形统计图及列表法或画树状图法求概率，解题的关键是根据扇形统计图和条形统计图得出解题所需数据及加权平均数的概念．
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试卷第1页，共3页
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
试卷第1页，共3页25章概率与统计新题型（教师卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．小镇和小海玩掷飞镖的游戏，他们设计了如图所示的矩形靶子，E，F分别是边，上的点，，小镇投掷的1次飞镖落在阴影部分的概率是 ．
二、解答题
2．年月日，余名游客乘坐次“环西部火车游”麻辣汤专列从兰州西站出发，开启热辣滚汤之旅，品味天水美食，感受伏羲文化．此趟“天水麻辣沕”旅游专列行程天，游客不仅可以品尝天水的麻辣汤、烩麻食、素扁食、呱呱等特色美食，还可游览麦积山石窟、天水古城、南宅子、仙人崖等天水著名景点．小明和小华准备借此次旅行机会，一品天水美食．他们各自在麻辣汤（记为）、烩麻食（记为）、素扁食（记为）、呱呱（记为）四种美食中随机任选一种品尝，每种美食被选中的可能性相同．
(1)小明选择品尝麻辣汤的概率为__________；
(2)用画树状图或列表的方法求小明和小华选择品尝不同美食的概率．
3．九年级数学课外小组在开展活动时，设计了这样一个数学活动．有A、B 两组卡片，每组各3张，A组卡片上分别写有1，3，5；B组卡片上分别写有，，．每张卡片除正面写有不同数字外，其余均相同．甲从A组中随机抽取一张记为x，乙从B组中随机抽取一张记为y．
(1)若甲抽出的数字是1，乙抽出的数是，它们恰好是的解，求m的值；
(2)在（1）成立条件下，求甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程的解的概率．（请用树状图或列表法求解）
4．为了弘扬中华优秀传统文化，加强对学生的美育教育，某中学开展了“琴棋书画”“戏曲”“汉服”“面塑”四项传统艺术体验活动，将分别印有四项活动宣传图案的四张卡片（形状、大小、质地均相同，如图）放在盒子中，搅匀后从中任意抽取卡片，来确定体验项目．
(1)若安安从盒子中任意抽取一张卡片，记录图案后，放回搅匀，不断重复次，安安抽到“A．琴棋书画”的次数最接近______；
A．4000 B．3000 C．2000 D．1000
(2)若安安从盒子中任意取出一张卡片，记录后放回，搅匀，星星再从中任意取出一张卡片，求安安和星星抽到同一项活动体验的概率．（请用列表或画树状图的方法写出分析过程，用对应的字母表示）
5．人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成，，，四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．
(1)随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为 ；
(2)从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的概率．
6．为让学生感受传统文化魅力、学会规划时间，某图书馆在“世界读书日”期间推出“二十四节气 时光书签”限定套装作为阅读打卡的纪念礼．套装内有四枚同款金属书签，正面分别以“春之萌芽”、“夏之繁茂”、“秋之收获”、“冬之蓄力”为主题，融合对应季节的节气元素．已知书签的形状、大小、质地均相同，且背面也完全相同，现将四枚书签正面朝下放在桌面上．
(1)小亮从中随机抽取一枚，抽出的书签恰好是“秋之收获”的概率是 ；
(2)若将四种不同主题的书签分别用表示，小亮从中随机抽取一枚后放回，再从中随机抽取一枚，请用画树状图或列表的方法求出小亮抽出的两枚书签恰好是同一主题的概率．
7．北京冬奥会在2022年2月4日至20日举行，北京成为奥运史上第一个举办过夏季奥运会和冬季奥运会的城市．小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的5张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同），现将5张邮票背面朝上，洗匀放好．
(1)小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是___________；
(2)小亮决定将其中两张邮票送给好朋友小明，若冬奥会会徽邮票记作A类邮票，吉祥物冰墩墩邮票记作B类邮票，吉祥物雪容融邮票记作C类邮票，将5张邮票背面朝上洗匀后，让小明从中随机抽取2张邮票，抽得的邮票就送给小明，求小明抽取两张邮票都是“吉祥物冰墩墩”的概率．（请用列表法或画树状图法求解）
8．班级联欢会上有一个抽奖活动，每位同学均参加一次抽奖，活动规则下：将三个完全相同的不透明纸杯倒置放在桌面上，每个杯子内放入一个彩蛋，彩蛋颜色分别为红色、红色、绿色．参加活动的同学先从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色后再将杯子倒置于桌面，重新打乱杯子的摆放位置，再从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色．若两次选中的彩蛋颜色不同则获一等奖，颜色相同则获二等奖．用画树状图（或列表）的方法，求某同学获一等奖的概率．
9．4月9日，2023年淮安西游乐园淮安马拉松赛暨大运河马拉松系列赛(淮安站)在淮安举办，15000名跑者共同组成春日淮安“醉美”的一道风景．赛事共有三项：A．“马拉松”、B．“半程马拉松”、C．“健康跑”．小华和小明参与了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组．
(1)小明被分配到“健康跑”项目组的概率为______；
(2)请利用树状图或表格求小华和小明被分配到不同项目组的概率．
10．2023年9月23日晚，第19届亚运会开幕式在浙江杭州隆重举行．如图是小明收集的本届亚运会的四枚纪念徽章（其中会徽徽章用A表示，宸宸、琼琼、莲莲三个吉祥物徽章分别用B，C，D表示），小明从这四枚徽章中随机抽取两枚．请利用画树状图或列表的方法，求抽到的两枚徽章中有一枚是会徽徽章的概率．
11．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，杭州亚运会吉祥物是“宸宸”“琮琮”和“莲莲”．将三张正面分别印有3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上、洗匀．
(1)若从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是______；
(2)若从三张卡片中一次随机抽取两张，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“琼琮”和“莲莲”的概率是多少？
12．A、B两人去九龙湖风景区游玩，已知每天某一时段开往风景区有三辆舒适程度不同的车，开过来的顺序也不确定，两人采取了不同的乘车方案：A：无论如何总是上开来的第一辆车；B：先观察后上车，当第一辆车开来时他不上车，而是仔细观察车的舒适度，如果第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；如果第二辆车不比第一辆好，他就上第三辆车．如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请解决下列问题：
（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？
（2）你认为A、B两人采用的方案，哪种方案使自己乘上等车的概率大？请分别求出A，B乘上等车的概率并判断．
13．第24届北京冬奥会的开幕式中，“二十四节气的开幕式倒计时”向全世界人民展示了中华文化源远流长的特点，尽显中国式浪漫．杨老师为了让学生深入的了解二十四节气，将每个节气的名称写在形状大小都一样的小卡片上，并将卡片倒扣在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上对应节气的含义．
(1)请问随机抽取一张卡片，上面写有“立春” 的概率为 ；
(2)若老师将“立春、雨水、惊蛰、春分”四张卡片单独拿出，邀请小明和小华同时抽取．请利用画树状图或列表的方法，求两人抽到的卡片上有相同的字的概率．
14．如图，有3张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：A哪吒，B敖丙，C太乙真人．将这3张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片后记录，放回后搅匀，再随机取出1张卡片．求下列事件发生的概率：
(1)第一次取出的卡片图案为“C太乙真人”的概率为___________．
(2)用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“A哪吒”和“B敖丙”的概率．
15．为了加强学生的垃圾分类意识，某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀；B．良好；C．及格；D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表．
垃圾分类知识测试成绩统计表
测试等级 百分比 人数
A．优秀 5% 10
B．良好 30
C．及格 45% m
D．不及格 n
请结合统计表，回答下列问题：
(1)求本次参与调查的学生人数及m，n的值；
(2)如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为3600人，请根据本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数；
(3)为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班派一人参加．某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
16．越野汽车轮胎的质量是根据其正常使用的时间来衡量的，使用时间越长，表明质量越好，且使用时间大于或等于7千小时的为优质品，否则为普通品．某汽修店对A，B两种不同型号的汽车轮胎做试验，各随机抽取相同数量的产品作为样本，得到试验结果的扇形统计图和频数分布直方图（每组包含左端点但不包含右端点）如图所示，以上述试验结果中各组的频率作为相应的概率．
(1)现从大量的A，B两种型号的轮胎中各随机抽取1件产品，求其中至少有1件是优质品的概率；
(2)汽修店对轮胎实行“三包”，根据多年销售经验可知，轮胎每件产品的利润y（单位：元）与其使用时间t（单位：千小时）的关系如下表：
使用时间t（单位：千小时）
每件产品的利润y（单元：元） -200 200 400
若从平均利润角度考虑，该汽修店应选择哪种轮胎销售，请说明理由．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)
试卷第1页，共3页
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《25章概率与统计新题型（教师卷）》参考答案
1．
【分析】此题考查矩形的判定和性质，概率计算公式，从图中找到题目中所要求的信息．用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．
将图形分为矩形和矩形两部分，可得三角形是矩形面积的一半，三角形是矩形面积的一半，从而可得飞镖落在阴影部分的概率．
【详解】解：∵分别是矩形的两边上的点，，
∴，
∴四边形和四边形是矩形，
∴，
∴，
∴飞镖落在阴影部分的概率是.
故答案为：．
2．(1)；
(2)．
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）画出树状图，得出总的结果数和小明和小华选择品尝不同美食的情况，即可求解；
本题考查了概率公式和列表法与树状图法，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键．
【详解】（1）解：一共有麻辣汤、烩麻食、素扁食、呱呱四种美食，
∴选择品尝麻辣汤的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
∴一共有16种等可能的情况，恰好小明和小华选择品尝不同美食的情况有种，
∴恰好小明和小华选择品尝不同美食的概率为．
3．(1)
(2)
【分析】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）将，代入方程计算即可求出的值；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程的解的情况数，即可求出所求的概率
【详解】（1）解： ，，
，
；
（2）列表得：
组组
1
3
5
所有可能为：、、、、、、、、，
是方程的解的有：、、，
．
4．(1)D
(2)
【分析】
本题考查概率与频率的关系及列树状图或列表求概念，解题的关键是掌握用列表法求出所有的结果数．
（1）当实验次数较多时，频率接近概率，据此可得到答案；
（2）列表求出所有等可能的情况，再由概率公式计算．
【详解】（1）
安安从盒子中任意抽取一张卡片，抽到“A．琴棋书画”的可能性为，
不断重复次，安安抽到“A．琴棋书画”的次数最接近（次），
故选：D；
（2）
记“琴棋书画”“戏曲”“汉服”“面塑”分别记为，，，，根据题意列表得：
共有种等可能的结果，其中安安和星星抽到同一项活动体验的有种，
安安和星星抽到同一项活动体验的概率是．
5．(1)
(2)见解析，
【分析】此题考查的是用列表法，概率公式求概率．
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意列表得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】（1）解：∵共有4张卡片，
∴从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为；
故答案为：；
（2）解：根据题意列表如下：
共有种等可能的结果数，其中抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的结果数为2，
所以求抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的概率．
6．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
（1）根据概率公式求解；
（2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵已知书签的形状、大小、质地均相同，且背面也完全相同，现将四枚书签正面朝下放在桌面上，
∴小亮从中随机抽取一枚，抽出的书签恰好是“秋之收获”的概率是，
故答案为：；
（2）解：列表如下
第二次第一次
共有16种等可能结果，符合题意的有4种．
所以（同一主题）．
7．(1)小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是
(2)P（抽取两张邮票都是吉祥物冰墩墩）＝
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）利用列表法列出所有等可能的结果，从中找到符合条件的结果，求出概率即可；
【详解】（1）小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是；
（2）列表如下：
A
A
由表知，共有20种等可能结果，其中抽取两张邮票都是冰墩墩的有2种结果
∴P（抽取两张邮票都是吉祥物冰墩墩）．
【点睛】该题主要考查了概率计算，解答本题的关键是熟悉概率计算公式以及列表法或者树状图法求概率．
8．
【分析】依题意画出树状图，运用概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有种可能，获一等奖即两次颜色不相同的可能有种，
则某同学获一等奖的概率为：，
答：某同学获一等奖的概率为．
【点睛】本题考查了树状图求概率，正确画出树状图是解题的关键．
9．(1)
(2)
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，得出所有等可能的结果和满足条件的结果，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）从三个项目组中任取1个，小明被分配到“健康跑”项目组的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有9个等可能的结果，小华和小明被分配到不同项目组的结果有6个，
∴小华和小明被分配到不同项目组的概率为．
【点睛】本题主要考查了用公式法计算概率和画树状图或列表的方法计算概率，正确画出树状图是做出本题的关键．
10．，画图见解析
【分析】本题考查用树状图或列表法求概率．根据题意用列表法将情况一一列举出，即可求得本题答案．
【详解】解：∵小明从这四枚徽章中随机抽取两枚，
∴用列表法如下图所示：
，
设：抽到的两枚徵意中有一枚是会徽徽章为事件，
根据上方列表可知，共有12种情况，其中有6种符合情况，
∴．
11．(1)
(2)
【分析】本题考查了树状图求概率，也考查了概率公式，概率所求情况数与总情况数之比．
（1）直接由概率公式即可求解；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，恰好选中“琼琮”和“莲莲”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：从3个吉祥物图案的卡片中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是，
故答案为：．
（2）解：把吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”三张卡片分别记为、、，
画树状图如图：
共有6种等可能的结果，恰好选中“琼琮”和“莲莲”的结果有2种，
∴恰好选中“琼琮”和“莲莲”的概率为．
12．（1）三辆车按出现的先后顺序共有6种不同的可能，见解析；（2）A采用的方案使自己乘上等车的概率为，B采用的方案使自己乘上等车的概率为，所以B人采用的方案使自己乘上等车的概率大
【分析】（1）利用列表展示所有6种不同的可能结果即可得到答案；
（2）分别求出两个方案使自己乘上等车的概率，然后比较概率大小可判断谁的可能性大．
【详解】解：（1）根据题意列表如下：
第1辆 第2辆 第3辆
上 中 下
上 下 中
中 上 下
中 下 上
下 中 上
下 上 中
三辆车按出现的先后顺序共有6种不同的可能；
（2）A采用的方案使自己乘上等车的概率；
B采用的方案使自己乘上等车的概率，
因为，
所以B人采用的方案使自己乘上等车的概率大．
【点睛】此题考查了基本概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
13．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了列表法与树状图法以及概率公式；
（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）由题意，当两人同时抽到立春和春分时，卡片上有相同的字，画树状图得出所有等可能的结果数和两人抽到的卡片上有相同的字的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：共有二十四张节气卡片，且每张卡片被抽到可能性相同，
随机抽去一张卡片，上面写有“立春“的概率为，
故答案为：；
（2）由题意，“立春、雨水、惊蛰、春分”四张卡片分别用A、B、C、D表示，画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片上有相同的字的结果有2种，
两人抽到的卡片上有相同的字的概率为．
14．(1)
(2)
【分析】本题考查了求概率．
（1）直接根据概率公式计算即可；
（2）画出树状图，根据概率公式计算即可．
【详解】（1）解：第一次取出的卡片图案为“C太乙真人”的概率为，
故答案为：；
（2）解：如图：
可知共9种情况，其中取出的2张卡片为“A哪吒”和“B敖丙”情况有两种，
则取出的2张卡片为“A哪吒”和“B敖丙”的概率．
15．(1)200人，，
(2)720人
(3)不公平，说明见详解
【分析】本题考查了统计中的百分比应用，用样本估计总体及概率的计算与游戏公平性判断．
（1）先根据A等级的人数和百分比求出总人数，再利用总人数分别计算C等级的人数m和D等级的百分比n的值；
（2）先确定“良好及以上”在样本中的比例，再用全校总人数乘以该比例得到估计人数；
（3）通过画树状图法分析两人摸球的所有可能结果，计算数字和为奇数的概率和数字和为偶数的概率，若两概率相等则公平，否则不公平．
【详解】（1）解：本次参加调查的学生人数为（人），
，．
（2）解：（人），
即估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数为720人．
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种，
∴，，
∵，
∴这个游戏规则不公平．
16．(1)
(2)该汽修店应选择A型号轮胎销售，见解析
【分析】（1）运用列表法或画树状图法求概率即可；；
（2）分别计算出一件A、B型轮胎的平均利润，比较大小后即可得出答案．
【详解】（1）解：由统计图可得，A型号轮胎中，优质品的频率为50%；
B型号轮胎中，优质品的频率为
故A型号出现优质品和普通品的可能性与B型号出现优质品和普通品的可能性均相同．
法1：从大量的A，B两种型号的轮胎中各随机抽取1件产品，试验的结果画树状图如下：
共有4种等可能结果，其中至少一件是优质品的结果有3种，
∴
法2：从大量的A，B两种型号的轮胎中各随机抽取1件产品，试验的结果可列表如下：
A型号优等品 A型号普通品
B型号优等品 （优、优） （普、优）
B型号普通品 （优、普） （普、普）
共有4种等可能结果，其中至少一件是优质品的结果有3种，
∴
（2）解：A型号产品的频率为，，
故A型号平均利润：
B型号产品的频率：
，，
故B型号平均利润：
∵，
∴该汽修店应选择A型号轮胎销售．
【点睛】本题考查的是扇形统计图、条形统计图及列表法或画树状图法求概率，解题的关键是根据扇形统计图和条形统计图得出解题所需数据及加权平均数的概念．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
