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26章反比例函数情景题（学生卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图2）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，上口宽，则整个冷却塔高度为
【答案】
【分析】本题考查了反比例的应用，首先求得C的坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后把F的横坐标代入求得纵坐标即可．
【详解】解：，
则C的坐标是，
设反比例函数的解析式是，
把C的坐标代入得，
则反比例函数解析式是，
∵上口宽，
∴点F的横坐为，
当时，．
答：整个冷却塔的高是．
故答案为：．
2．叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式来估算叶面的面积，其中a，b分别是稻叶的长和宽（如图1），k是常数，则由图1可知k ＞1．试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图2），大致都在稻叶的处“收尖”．根据图2进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中k的值约为 （结果保留小数点后两位）．
【答案】
【分析】本题考查了数据的处理和应用，涉及反比例，方程等知识，理清题意，找到相等关系是解题的关键．
根据和，列出方程，求出k即可．
【详解】解：∵，
，
∴，
∴；
故答案为：．
二、解答题
3．根据以下素材，完成设计货船通过双曲线桥的方案：一座曲线桥如图1所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于对称．如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度h（米）与货船增加的载重量t（吨）满足函数表达式．
(1)问题解决：确定桥洞的形状．
建立平面直角坐标系如图3所示，落在第一象限的角平分线上．设点C为，
①点A的坐标为______．（用m的代数式表示）；
②求出经过点A的双曲线的函数表达式．
(2)探索应用：
这艘货船运载货物高3米（即米），此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？（已知，．）
【答案】(1)①；②
(2)此时货船不能通过该桥洞；要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞
【分析】本题考查反比例函数的实际应用；
（1）①过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作于F， 交轴于P，过点C作轴于Q，则四边形为矩形，根据落在第一象限的角平分线上，结合和作辅助线可得多个等腰直角三角形，即可表示出；
②设双曲线接解析式为，把，代入计算即可；
（2）求出当能恰好通过，则，在双曲线上，此时设和交于点，过作轴于，过作轴于，由等腰直角三角形求出点，代入得，求出，即此船最高载货2.8米，得到船身下降的高度，代入计算即可．
【详解】（1）解：①如图，过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作于F， 交轴于P，过点C作轴于Q，则四边形为矩形，
∴，，
∵点C为，
∴，
∵落在第一象限的角平分线上，
∴A、B关于对称，即A、B关于第一象限角平分线对称，，
∴点D是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∵过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
②设双曲线接解析式为，
把，代入得
∴
解得，，
∴点A在双曲线上；
（2）由（1）可求：，，，，
∵四边形是矩形，
∴，，，
设和交于点，过作轴于，过作轴于，则，
若能恰好通过，则，在双曲线上，且，
∴，
∴，
∴，，
∴点，
把代入得，
解得，
∴
∵
∴，
∴，
∴此船最高载货2.8米
∵，
∴此船不能通过，
∴船身下降的高度，
∵，
∴，
故要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞．
答：此时货船不能通过该桥洞；要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞．
4．如图所示是渔民骑坐“木海马”在滩涂上赶海，这一工具大大提高了渔民赶海时的效率．“木海马”对地面的压强p（）是“木海马”底面面积，的反比例函数，其图象如图．
(1)请求出这一函数解析式（标出自变量的取值范围）；
(2)当“木海马”底面面积为时，压强是多少；
(3)如果要求压强不超过6000，那么“木海马”底面面积至少要多少．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出反比例函数的解析式，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出时的函数值即可；
（3）求出时的自变量的值即可．
【详解】（1）解：设，
由图象，把代入得：，
∴；
（2）当时，；
答：当“木海马”底面面积为时，压强是；
（3）当时，；
∴当时，，
答：压强不超过6000，那么“木海马”底面面积至少要．
5．如图1，黄河文化的保护与传承是黄河流域生态保护和高质量发展的重要内容．近年来，多地建设黄河国家文化公园，山西省围绕黄河国家文化公园建设项目构建“两廊三带多片”的总体空间布局．如图2，其中一处保护区需利用石板在滩涂上搭建一条矩形小路通行，滩涂起点和终点间的距离为18米，石板的数量一定，即石板搭建的小路面积一定，设小路的长为米，宽为米，当时，．
(1)求与之间的函数关系．
(2)按照小路宽度为4米搭建小路，这种设计是否合理？请说明理由．
【答案】(1)
(2)不合理，理由见解析
【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确求出函数的解析式是解题的关键．
（1）根据题意可得与之间的函数为反比例函数，利用待定系数法即可解答；
（2）把代入函数可得小路的长，得到的结果和起点和终点间的距离比较即可解答．
【详解】（1）解；根据石板搭建的小路面积一定，可得为定值，
与之间的函数为反比例函数，
设，
把，代入可得，
，
解得，
与之间的函数关系式为；
（2）解：当时，，
解得，经检验分式成立，
，
故不符合题意，设计不合理．
6．如图，把的水从瓶子里全部倒出，设平均每秒倒出的水，所用的时间为秒．
(1)求关于的函数关系式；
(2)要求至多10秒把水倒完，求平均每秒至少倒出多少毫升的水？
【答案】(1)
(2)平均每秒至少倒出水，至多把水倒完
【分析】（1）所用时间等于总量÷每秒倒出的水量列关系时即可；
（2）令（1）中，解出x的值，在勇反比例函数增减性计算即可．
【详解】（1）∵，
∴；
（2）当时，，解得
∵当时，随的增大而减小，
∴时，，
∴平均每秒至少倒出水，至多把水倒完．
【点睛】本题主要考查反比例函数的实际应用，根据实际问题抽象化为反比例函数，列出关系式是解题的关键．
7．人工智能逐渐融入我们的生活．如图所示，某餐厅购买一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．下表记录着地面所受压强、机器人与地面的接触面积之间的关系：
地面所受压强
接触面积
(1)地面所受压强与接触面积满足怎样的函数关系？并求出压强关于接触面积的函数表达式．
(2)若送餐机器人要经过一段玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为，问这种机器人与地面的接触面积至少为多少平方米
【答案】(1)
(2)这种机器人与地面的接触面积至少为平方米
【分析】本题主要考查反比例函数的运用，理解表格中压强与接触面积的关系，运用待定系数法求解是关键．
（1）由表格可知压强与接触面积的乘积为定值480，则压强与接触面积满足反比例函数系，运用待定系数法即可求解；
（2）把最大压强为，代入反比例函数解析式求解即可．
【详解】（1）解：由表格可知压强与接触面积的乘积为定值480，则压强与接触面积满足反比例函数系，
设与的函数关系式为，
将，代入，
得，
∴与的函数表达式为．
（2）解：当时，（平方米），
答：这种机器人与地面的接触面积至少为平方米．
8．综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？
素材1：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动．已知，，一个的砝码．
素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘滑动点至点，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点移动到长时，天平平衡．
链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量右盘物体重量．（不计托盘与横梁重量）
任务1：设右侧托盘放置物体，长，求关于的函数表达式，并求出的取值范围．
任务2：求这个空矿泉水瓶的重量．
【答案】任务1：，；任务2：空矿泉水瓶的重量为
【分析】本题考查了反比例函数的应用，二元一次方程组的应用，熟练掌握反比例函数的应用，二元一次方程组的应用是解题的关键
任务1：由题意，得，即，由题意知，，，则，即，进而可求的取值范围．
任务2：设第一次加入水的质量为，空矿泉水瓶的质量为，依题意得，，计算求解，然后作答即可．
【详解】任务1：解：由题意，得，
∴，
由题意知，，，
∴，
∴，
∴．
任务2：解：设第一次加入水的质量为，空矿泉水瓶的质量为，
依题意得，，
解得，
空矿泉水瓶的重量为．
9．如图，平行于轴的直尺（一部分）与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，，连接，点，的刻度分别为，，直尺的宽度为，，设直线的解析式为．
(1)不等式的解集为 ；
(2)不等式的解集为 ；
(3)平行于轴的直线与交于点，与反比例函数图象交于点，当这条直线左右平移时，线段的长为，求的值．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)或．
【分析】（）根据题意得出点，然后由图象即可求解；
（）由图可知点的横坐标为，然后再根据图象即可求解；
（）先求出反比例函数解析式为，直线的解析式为，当时，点的纵坐标为，点的纵坐标为，则，然后解方程即可；
本题考查了反比例函数与一次函数的关系，待定系数法求解析式，解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：∵点，的刻度分别为，，，
∴点，
根据图象可知，不等式的解集为，
故答案为：；
（2）解：由（）得，点，由图可知点的横坐标为，
∴不等式的解集为或；
（3）解：由（）得，点，
∵反比例函数的图象交于点，
∴，
∴反比例函数解析式为，
由图可知点的横坐标为，且在反比例函数解析式为，
∴纵坐标为
∴点，
∵直线的解析式为过点，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，点的纵坐标为，点的纵坐标为，
∴，
解得：或，
经检验或是原方程的解，
∴的值为或．
10．杠杆原理在生活中应用广泛，我国早在春秋时期就有使用，杠杆原理为：如图①，阻力×阻力臂动力×动力臂．某数学兴趣小组利用所学的函数知识对以上原理进行探究：如图②，小明取一根长质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点处将其吊在空中，在中点的左侧距中点处挂一个重10的物体（即支点为，阻力为10，阻力臂为），在中点右侧用一个弹簧测力计（重力忽略不计）竖直向下拉，使木杆处于水平状态，改变弹簧测力计与中点的距离，观察弹簧测力计的示数的变化（即动力臂为，动力为），在平面直角坐标系中描出了一系列点，并用平滑的曲线顺次连接，得到如图③所示的函数图象．
(1)求图③中的函数解析式；
(2)若点的位置不变，在不改变点与物体的距离及物体重力的前提下，要想使木杆平衡，弹簧测力计的小数最小可以是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键．
（1）根据杠杆原理的公式阻力×阻力臂=动力×动力臂，求解即可得解；
（2）根据反比例函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：已知杠杆原理的公式：阻力×阻力臂=动力×动力臂，阻力为，阻力臂为，动力臂为，动力为，
则有，
∴图③中的函数解析式为．
（2）由反比例函数解析式可知：当x最大时，y最小，
∵由于支点即为细绳悬挂点，
∴．
∴．
综上，．
∴当时，．
11．【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻、之间关系为，通过实验得出如下数据：
… 1 2 4 6 …
… 3 2 …
(1)___________，___________；
(2)【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是____________．
(3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为____________ ．
【答案】(1)，
(2)①见解析；②不断减小
(3)或
【分析】（1）由已知列出方程，即可求解，
（2）①用描点法，画出图象，②根据烦你里函数的图象性质，即可求解，
（3）作函数的图象，根据图象，即可求解，
本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：画出函数图象，应用数形结合的思想．
【详解】（1）解：根据题意得：，，
∴，，
故答案为：，，
（2）解：①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中函数的图象如下：
②由图像可知随着自变量x的不断增大，函数值y的不断减小，
故答案为：不断减小，
（3）解：作函数的图象，
由函数图象可知，当或时，，
即：当时，的解集为：或，
故答案为：或．
12．杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即阻力×阻力臂=动力×动力臂．如图，已知石头的重力（阻力）为，阻力臂为．
(1)求动力F与动力臂l的函数关系式．
(2)小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他最多能使出的力，问他用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为多少？
【答案】(1)动力F与动力臂l的函数关系式为
(2)小华用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为
【分析】本题考查了列代数式，理解成反比例关系的定义是解题关键．根据阻力×阻力臂=动力×动力臂求解即可得到结论．
【详解】（1）依题意，得．
∴．
答：动力F与动力臂l的函数关系式为．
（2）当时，
解得．
∵小华最多能使出的力，
∴．
答：小华用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为．
13．根据牛顿第二定律，物体所受的力与物体的质量，物体的加速度有如下关系：．
(1)当物体所受的力一定时，物体的加速度是它的质量的反比例函数，其函数表达式为_________．
(2)在光滑的地面上摆着两辆一样的小车，一辆是空车（质量），另一辆装有石头（质量）．用同样大小的力，向同一个方向，推这两辆小车，其加速度分别为，，那么________（填“”，“”或“”）
(3)已知小车的质量，在光滑的地面上，用一定的力（单位：N）推空车时，测得加速度．当这辆小车装上的石块时，用同样大小的力，向同一个方向推车，求此时小车的加速度．
【答案】(1)
(2)
(3)为
【分析】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的图像与性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键．
（1）根据反比例函数的定义列出函数解析式即可；
（2）根据反比例函数的性质进行判断即可；
（3）利用已知求出反比例函数表达式是，，代入求解即可．
【详解】（1）当物体所受的力一定时，物体的加速度是它的质量的反比例函数，
其函数表达式为，
故答案为：；
（2）一辆是空车（质量），另一辆装有石头（质量），
，
，，
随着的增大而减小，
，
故答案为：；
（3）由题意，得，
∵当时，，
∴，
∴反比例函数表达式是，
∵车上装石块时，
∴，
∴，
∴此时小车的加速度为．
14．如图，在中，，，于点，动点从点出发．沿折线运动，到达点时停止运动，设点运动的路程为，连接，的面积为，的面积与点的运动路程的比为．
(1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中．画出函数，的图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出函数时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．
【答案】(1)，
(2)见解析，当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大（答案不唯一）
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，三线合一定理：
（1）由三线合一定理得到，则由勾股定理得到，进而可得，即；当点P在上时，过点D作于H，根据等面积法求出，则，再由对称性可求出当点P在上时，；
（2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再写出对应函数的性质即可；
（3）求出两函数的交点坐标，根据函数图象找到函数图象在函数图象上方时自变量的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当点P在上时，过点D作于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
由对称性可得当点P在上时，；
综上所述，；
（2）解：列表如下：
… 1 2 …
…
… 1 6 …
…
… 1 2 …
12 6 …
如图所示函数图象即为所求；
由函数图象可知，当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大．
（3）解：联立得，此时，原方程无解；
联立得，解得或
由函数图象可知，当时，．
15．【问题情境】
区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度（单位：）与行驶时间（单位：）的数据如表．
小型车辆 行驶时间（单位：） 平均速度（单位：）
A 0.5 60
B 0.3 100
C 0.6 50
D 0.4 75
【建立模型】
（1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度（单位：）是行驶时间（单位：）的函数．求（单位：）与（单位：）之间的函数解析式；
【问题解决】
（2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为50分钟，求它的平均速度；
（3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？
【答案】（1）；（2）它的平均速度是；（3）行驶时间应不少于22.5分钟
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据题意，测速区间的路程是定值，则汽车在该测速区间内的平均速度是行驶时间的反比例函数．根据表格数据，当时，，则测速区间路程为，即可求解函数解析式；
（2）50分钟，将代入，即可求解；
（3）将代入，得到，再根据反比例函数的性质求解．
【详解】解：（1）解：根据题意，测速区间的路程是定值，
因为平均速度，
所以，汽车在该测速区间内的平均速度是行驶时间的反比例函数，
根据表格数据，当时，，所以测速区间路程为，
所以，与之间的函数关系式为；
（2）根据题意，得50分钟，
将代入，
得，
答：它的平均速度是；
（3）根据题意，得，解得，
小时分钟分钟，
答：行驶时间应不少于22.5分钟．
16．综合与实践
【问题情境】
排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成，如图1，现要利用若干长为的相同吸管制作简易排箫．
【实验操作】
将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如表1：
表1
长度（）
振动频率（）
【探索发现】
（1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越 （填“高”或“低”）；
（2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．观察图象，从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用 函数模型反映（从初中所学函数选择），并求出该函数表达式．
表2 C调音符与频率对照表
音符 不同音区的频率（）
低音区 中音区 高音区
【实际应用】
（3）根据表2，判断这批吸管制作的排箫能否吹出低音区的音，若能，请求出对应吸管长度，若不能，请说明理由．（精确到）
【答案】（1）高；（2）图象见解析；（3）低音区的对应吸管长度为
【详解】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出与的积为定值，从而得出函数关系式．
（1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越高；
故答案为：高．
（2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．
根据表格可知
∴从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用反比例函数模型反映，该函数表达式为．
函数图象，如图所示
（3）由题可得，低音区的音频率为
代入
∴
答：低音区的对应吸管长度为
17．换一个角度初看
华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形缺数时难入微．这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分．例如：已知两个函数，当取何值时，？根据“代数”的思想要解一元二次不等式，比较麻烦．而利用数形结合思想，只要画出图象后观察交点，就很好理解了．
（1）如图1，当时，的取值范围是_______．
换一个角度二看
我们定义：任意给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积都是原矩形的2倍，那么我们称是的“加倍矩形”，是的“双半矩形”．请你研究矩形是否存在“双半矩形”．我们利用数形结合思想来解决方程问题．如图2，在同一平面直角坐标系中画出一次函数和反比例函数的部分图象，其中和分别表示矩形的“双半矩形”的两边长．
（2）请你结合之前的研究，回答下列问题：
①这个图象所研究的矩形的面积为_____，周长为_____．
②是否存在矩形的“双半矩形”？如果存在，请求出的边长；如果不存在，请说明理由．
（3）在第（2）问的条件下，坐标平面内是否存在以，，，为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①20，28；②不存在，见解析；（3）存在，或或
【分析】（1）求出两函数图象的交点，观察函数图象，即可求解；
（2）①由题意得：且，即可求解；
②假设存在矩形，其边长为，，同理可得：，，则存在方程：，而方程无解，即可求解；
（3）当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组即可求解；当或为对角线时，同理可解．
【详解】解：（1）联立和得：，
解得：或5，
观察函数图象知，当时，的取值范围是，
故答案为：；
（2）①设矩形的边长分别为：，，
由题意得：且，
而，，
则，，
故周长为28，面积为20，
故答案为：20，28；
②假设存在矩形，其边长为，，
同理可得：，，
则存在方程：，
，
∴方程无解，
故不存在矩形；
（3）存在，理由：
联立两个函数表达式得：，
解得：或5，
即点、的坐标分别为：、；
设点，
当为对角线时，
由中点坐标公式得：
，
解得：，即点；
当或为对角线时，
同理可得：或，
解得：或，
即点或；
综上，或或．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数的应用，中点坐标公式，平行四边形的性质，解一元二次方程，解题的关键是会灵活的运用函数图象交点的意义，以及图象的特点，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．
18．在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差称为点的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点在函数图象上，点的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7．
根据定义，解答下列问题：
(1)①点的“纵横值”为______；
②函数的“最优纵横值”为______；
(2)若二次函数图象的顶点在直线上，且“最优纵横值”为3，求的值；
(3)若二次函数图象的顶点在直线上，当时，二次函数的“最优纵横值”为7，求的值．
【答案】(1)① ②
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查二次函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确理解“纵横值”和“最优纵横值”的定义是解题的关键．
（1）①根据可得“纵横值”；
②计算得 利用反比例函数图象上点的坐标特征可得结论；
（2）根据对称轴求得则 所以 ，由最优纵横值为，即可得出 解得
（3）由题意可知则，由当 时，二次函数的最优纵横值为，分两种情况讨论得到关于的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：①点的“纵横值”为
故答案为：；
②，
，
，
时，的最大值是，
故答案为：；
（2）解：∵二次函数 的顶点在直线上，
，
，
，
，
∵最优纵横值为，
，
，
（3）解：∵二次函数的顶点在直线上，
，
，
，
∵当 时，二次函数的最优纵横值为，当 即时，则时，有最大值为,
解得或 (舍去),
当 即时，则时，有最大值为，
，
解得或 (舍去)。
故的值为或．
19．我们不妨约定：若点的横纵坐标分别是点横纵坐标的倍，则把点称为点的“阶位似点”．若一个函数的图象上至少存在这样的一组不重合的两点，则称该函数为“阶位似函数”．例如，点是的“2阶位似点”，点，点均在函数图象上，所以一次函数可以叫做“2阶位似一次函数”，仔细审题，认真回答下列问题：
(1)下列说法，正确的打“√”，错误的打“”．
①点的“3阶位似点”在二次函数的图象上．（ ）
②无论取何值，一次函数都不可能是“阶位似一次函数”．（ ）
③若反比例函数是一个“阶位似反比例函数”，则的值只能等于．（ ）
(2)已知点是点的“阶位似点”，且均在“阶位似二次函数”的图象上，点在反比例函数的图象上，且点在第一象限，求的值；
(3)已知关于的“阶位似二次函数”（其中，是常数，）的顶点为，与轴交于点，直线与坐标轴围成的三角形的面积为，若关于的一次函数随的增大而减小，求的取值范围．
【答案】(1)①；②√；③
(2)
(3)
【分析】①（1）首先求出点的“3阶位似点”为，然后代入求解判断即可；
②设一次函数上一个点的坐标为，然后求出点的阶位似点为，然后代入得到，令，求出，然后结合判断即可；
③设反比例函数上一个点的坐标为，然后求出点的阶位似点为，然后将将代入，根据题意得到，进而求解即可；
（2）首先求出,然后将和代入得到，,然后由题意得到,即,分别代入整理得到,求出或,进而求解即可；
（3）得出的顶点坐标为，求得，进而可得直线的解析式为，求得的坐标，进而得出的表达式，根据一次函数的性质可得，进而根据二次函数的性质求得的最值，进而即可求解．
【详解】（1）①根据题意得，点的“3阶位似点”为
将代入，故①错误；
②设一次函数上一个点的坐标为
∴点的阶位似点为
将代入
若
∴
∵
∴无论取何值，一次函数都不可能是“阶位似一次函数”，故②正确；
③设反比例函数上一个点的坐标为
∴点的阶位似点为
∴将代入
∵反比例函数是一个“阶位似反比例函数”，
∴
解得，故③错误；
（2）∵点是点的“阶位似点”，
∴
∵点P和点Q均在“阶位似二次函数”的图象上，
∴，
∵点在反比例函数的图象上
∴,即,
∴将代入
得
∴
将,代入得,
整理得,
∴
∴或
解得或或
∵,点在第一象限，
∴
∴，；
（3）解：∵关于的一次函数随的增大而减小，
∴
∴
∵的顶点坐标为
当时，
∴
设直线的解析式为
∴
解得：
所以直线的解析式为
当时，
∵
∴
∴，
∴
∵
∴当时，随着的增大而增大，
又∵
∴
∴当时，取得最小值，最小值为
∴．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质，“阶位似点”新定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
20．综合与探究
数学兴趣课上，老师提出了一个问题：已知一个正方形的边长为1，是否存在矩形，使其周长和面积均为正方形的2倍．
【特例探究】
（1）若所求矩形为正方形，当其面积是原正方形的2倍时，周长为原正方形的 倍，由此可知 （填“存在”或“不存在”）正方形，使其面积和周长均是原正方形的2倍．
【深入探究】
（2）若所求矩形相邻的两边长不相等，小敏尝试从方程的角度解决，她设较短的一边长为x，请你通过计算说明是否存在满足要求的矩形．
【拓展延伸】
（3）老师又提出了新的问题：若存在矩形，使其面积是原正方形面积的4倍，设矩形的周长为m，那么m应满足什么条件？小亮尝试从函数图象的角度进行探究：
第一步：小亮设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形面积为4得到，满足条件的可看成是第一象限内反比例函数的图象上的点的坐标；
第二步：由矩形的周长为m，得到，满足条件的可以看成第一象限内一次函数的图象上的点的坐标；
第三步：小亮认为可将问题转化为函数与的图象在第一象限内交点的存在问题，而函数的图象可看作的图象平移得到
①请在如图的直角坐标系中画出直线和反比例函数的图象；
②根据小亮的方法，请你直接写出当所求矩形的长和宽均大于1时，m的取值范围．
【答案】（1），不存在；（2）存在满足要求的矩形；（3）①见解析；②
【分析】本题考查了实际应用题的函数直观解释，比较新颖，实质是函数图象的平移，一次函数和反比例图象的交点问题，一元二次方程的判别式，利用数形结合数学思想是解决问题的关键．
（1）根据新正方形的面积为2求出边长为，再比较新正方形的周长即可；
（2）设较短的一边长为x，另一邻边为，则，根据周长和面积关系得到，，解方程计算即可；
（3）①利用直线和反比例函数的性质画图象即可；
②先求出矩形的长和宽等于1和直线和反比例函数只有一个交点时的值，再结合图象判断即可．
【详解】解：（1）原正方形的边长为1，所求矩形为正方形，当其面积是原正方形的2倍时，新正方形的面积是，则边长为，
∴周长为原正方形的倍，由此可知不存在正方形，使其面积和周长均是原正方形的2倍．
故答案为：，不存在；
（2）设较短的一边长为x，另一邻边为，则，
∵矩形面积为正方形的2倍，
∴，即，
∵矩形周长为正方形的2倍，
∴，
∴，
整理得，
解得，
∴当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
∴存在满足要求的矩形，矩形边长为和；
（3）①直线和反比例函数的图象如图所示：
②∵函数与的图象在第一象限内交点为，则，
∴当时，，代入解得；
当时，由可得，代入解得；
当函数与只有一个交点时，即关于的方程有相等实数根，整理得，
则，解得（负值舍去）；
由函数图象可得，当所求矩形的长和宽均大于1，即，时，m的取值范围为．
21．如图，四边形ABCO是平行四边形，且点C（－4,0），将□ABCO 绕点A逆时针旋转得到□ADEF，AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上，若点A，D在反比例函数y= 的图像上.
（1）填空：∠AOF= °， k= ；
（2）点G为x轴上一点,点K是平面内一点，请求出当点A、C、G、K四点构成的四边形恰是菱形时点G的坐标.
【答案】（1）得到60°， ； （2）的坐标为
【分析】（1）由旋转的性质可知AO=AF，且∠AOF=∠BAO，可证得△AOF为等边三角形，即可求得∠AOF，由题意可知A、D关于原点对称，则可求得OA的长，设AH交x轴于点K，则可中求得OK和AK的长，可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k的值；（2）设G点坐标为（x，0），然后运用勾股定理AG，CG的长，又由于是菱形，可以得到三角形ACG是等腰三角形，然后分类讨论即可完成解答.
【详解】解：（1）由旋转的性质可得AO=AF=DE=BC,∠BAO=∠OAF ，
∵AB∥OC，
∴∠BAO=∠AOF，
∴∠AOF=∠OAF，，
∴AF=OF
∴AF=OF=OA.，
∴△AOF为等边三角形，
∴∠AOF=
∵点A，D在反比例函数y=的图象上，
∴A、D关于原点对称，
∴
如图1，设过A做AH⊥x轴于点M，
在Rt△AOM中，可得∠QAM=30°，
∴
∴
∴
（2）设G（x，0），且A（1， ），C（-4，0），
则
要使A,C,G,K四点构成菱形，则三角形ACG一定是等腰三角形，才可能与K组成菱形：则有AG=CG、AG=AC和CG=AC三种情况，
当AG=CG时，则 =|x+4|，解得x= ，此时G点坐标为（，0）；
当AG=AC时，则 ，解得x=-4（与C点重合，舍去）或x=6，此时G点坐标为（6，0）；
当CG=AC时，则|x+4|= ，解得x=-4+或x=-4-，此时G点坐标为（-4+2√77，0）或（-4-2√77，0）；
综上，当A,C,G,K构成菱形时，G点坐标为.
【点睛】本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、反比例函数图象的性质、方程思想及分类讨论思想等知识，考查知识点较多，综合性较强，难度较大，认真、冷静的分析是解题的关键.
22．在直角坐标系xOy中，已知点P是反比例函数y＝(x＞0)图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．
(1)如图1，当⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由；
(2)如图2，当⊙P运动到与x轴相交，设交点为点B、C．当四边形ABCP是菱形时，求出点A、B、C的坐标；
(3)在(2)的条件下，求出经过A、B、C三点的抛物线的解析式．
【答案】(1)四边形OKPA是正方形，理由见解析；(2)A(0，)，B(1，0)，C(3，0)；(3)y＝x2﹣x+．
【分析】（1）先证明四边形OKPA是矩形，又PA＝PK，故可得四边形OKPA是正方形；
（2）证明△PBC为等边三角形；在Rt△PBG中，∠PBG＝60°，设PB＝PA＝a，BG＝，由勾股定理得：PG＝，所以P（a，），将P点坐标代入y＝，求出PG＝，PA＝BC＝2，又四边形OGPA是矩形，PA＝OG＝2，BG＝CG＝1，故OB＝OG﹣BG＝1，OC＝OG+GC＝3，即可求解；
（3）设二次函数的解析式为：y＝ax2+bx+c，将（2）中三点坐标分别代入，利用待定系数法进行求解即可.
【详解】(1)四边形OKPA是正方形，
理由：∵⊙P分别与两坐标轴相切，
∴PA⊥OA，PK⊥OK，
∴∠PAO＝∠OKP＝90°，
又∵∠AOK＝90°，
∴∠PAO＝∠OKP＝∠AOK＝90°，
∴四边形OKPA是矩形，
又∵PA＝PK，
∴四边形OKPA是正方形；
(2)连接PB，过点P作PG⊥BC于G，
∵四边形ABCP为菱形，∴BC＝PA＝PB＝PC，
∴△PBC为等边三角形，
在Rt△PBG中，∠PBG＝60°，
设PB＝PA＝a，BG＝，
由勾股定理得：PG＝，
所以P(a，)，将P点坐标代入y＝，
解得：a＝2或﹣2(舍去负值)，
∴PG＝，PA＝BC＝2，
又四边形OGPA是矩形，PA＝OG＝2，BG＝CG＝1，
∴OB＝OG﹣BG＝1，OC＝OG+GC＝3．
∴A(0，)，B(1，0)，C(3，0)；
(3)二次函数的解析式为：y＝ax2+bx+c，
根据题意得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣x+．
【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的判定、菱形的性质、切线的性质、待定系数法求二次函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征等，综合性较强，难度较大，熟练掌握相关的性质定理以及待定系数法是解题的关键.
23．【定义】在平面直角坐标系中，对“经纬值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“经纬值”．函数图象上所有点的“经纬值”中的最大值称为函数的“最优经纬值”．
【举例】已知点在函数图象上．点的“经纬值”为；函数图象上所有点的“经纬值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优经纬值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
(1)①点的“经纬值”为 ；
②求出函数（k为常数且，）的“最优经纬值”；
(2)若二次函数的顶点在直线上，且最优经纬值为8，求c的值；
(3)若二次函数，当时，二次函数的最优经纬值为3，直接写出b的值．
【答案】(1)①9；②当时，“最优经纬值”为；当时，“最优经纬值”为；
(2)
(3)b的值为5或．
【分析】本题以新定义题型为背景，考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解最优经纬值的定义是解题的关键．
（1）①根据定义直接求解即可；②根据定义先求出，分和两种情况讨论，即可求解；
（2）先确定函数的解析式为，再由的最优经纬值为8，得到，即可求解；
（3）先求，再分类讨论若，若，两种情况即可求解；
【详解】（1）解：①由题意得：点的“经纬值”为，
故答案为：9；
②，
∵，
当时，的“最优经纬值”为；
当时，的“最优经纬值”为；
（2）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵最优经纬值为8，
∴，
∴；
（3）解：，
当时，二次函数的最优经纬值为3，
若，则当时，；
即：，
解得：或（舍去）；
若，则当时，；
即：，
解得（舍）或；
综上所述：b的值为5或．
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试卷第1页，共3页
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
试卷第1页，共3页26章反比例函数情景题（学生卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图2）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，上口宽，则整个冷却塔高度为
2．叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式来估算叶面的面积，其中a，b分别是稻叶的长和宽（如图1），k是常数，则由图1可知k ＞1．试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图2），大致都在稻叶的处“收尖”．根据图2进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中k的值约为 （结果保留小数点后两位）．
二、解答题
3．根据以下素材，完成设计货船通过双曲线桥的方案：一座曲线桥如图1所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于对称．如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度h（米）与货船增加的载重量t（吨）满足函数表达式．
(1)问题解决：确定桥洞的形状．
建立平面直角坐标系如图3所示，落在第一象限的角平分线上．设点C为，
①点A的坐标为______．（用m的代数式表示）；
②求出经过点A的双曲线的函数表达式．
(2)探索应用：
这艘货船运载货物高3米（即米），此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？（已知，．）
4．如图所示是渔民骑坐“木海马”在滩涂上赶海，这一工具大大提高了渔民赶海时的效率．“木海马”对地面的压强p（）是“木海马”底面面积，的反比例函数，其图象如图．
(1)请求出这一函数解析式（标出自变量的取值范围）；
(2)当“木海马”底面面积为时，压强是多少；
(3)如果要求压强不超过6000，那么“木海马”底面面积至少要多少．
5．如图1，黄河文化的保护与传承是黄河流域生态保护和高质量发展的重要内容．近年来，多地建设黄河国家文化公园，山西省围绕黄河国家文化公园建设项目构建“两廊三带多片”的总体空间布局．如图2，其中一处保护区需利用石板在滩涂上搭建一条矩形小路通行，滩涂起点和终点间的距离为18米，石板的数量一定，即石板搭建的小路面积一定，设小路的长为米，宽为米，当时，．
(1)求与之间的函数关系．
(2)按照小路宽度为4米搭建小路，这种设计是否合理？请说明理由．
6．如图，把的水从瓶子里全部倒出，设平均每秒倒出的水，所用的时间为秒．
(1)求关于的函数关系式；
(2)要求至多10秒把水倒完，求平均每秒至少倒出多少毫升的水？
7．人工智能逐渐融入我们的生活．如图所示，某餐厅购买一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．下表记录着地面所受压强、机器人与地面的接触面积之间的关系：
地面所受压强
接触面积
(1)地面所受压强与接触面积满足怎样的函数关系？并求出压强关于接触面积的函数表达式．
(2)若送餐机器人要经过一段玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为，问这种机器人与地面的接触面积至少为多少平方米
8．综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？
素材1：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动．已知，，一个的砝码．
素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘滑动点至点，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点移动到长时，天平平衡．
链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量右盘物体重量．（不计托盘与横梁重量）
任务1：设右侧托盘放置物体，长，求关于的函数表达式，并求出的取值范围．
任务2：求这个空矿泉水瓶的重量．
9．如图，平行于轴的直尺（一部分）与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，，连接，点，的刻度分别为，，直尺的宽度为，，设直线的解析式为．
(1)不等式的解集为 ；
(2)不等式的解集为 ；
(3)平行于轴的直线与交于点，与反比例函数图象交于点，当这条直线左右平移时，线段的长为，求的值．
10．杠杆原理在生活中应用广泛，我国早在春秋时期就有使用，杠杆原理为：如图①，阻力×阻力臂动力×动力臂．某数学兴趣小组利用所学的函数知识对以上原理进行探究：如图②，小明取一根长质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点处将其吊在空中，在中点的左侧距中点处挂一个重10的物体（即支点为，阻力为10，阻力臂为），在中点右侧用一个弹簧测力计（重力忽略不计）竖直向下拉，使木杆处于水平状态，改变弹簧测力计与中点的距离，观察弹簧测力计的示数的变化（即动力臂为，动力为），在平面直角坐标系中描出了一系列点，并用平滑的曲线顺次连接，得到如图③所示的函数图象．
(1)求图③中的函数解析式；
(2)若点的位置不变，在不改变点与物体的距离及物体重力的前提下，要想使木杆平衡，弹簧测力计的小数最小可以是多少？
11．【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻、之间关系为，通过实验得出如下数据：
… 1 2 4 6 …
… 3 2 …
(1)___________，___________；
(2)【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是____________．
(3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为____________ ．
12．杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即阻力×阻力臂=动力×动力臂．如图，已知石头的重力（阻力）为，阻力臂为．
(1)求动力F与动力臂l的函数关系式．
(2)小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他最多能使出的力，问他用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为多少？
13．根据牛顿第二定律，物体所受的力与物体的质量，物体的加速度有如下关系：．
(1)当物体所受的力一定时，物体的加速度是它的质量的反比例函数，其函数表达式为_________．
(2)在光滑的地面上摆着两辆一样的小车，一辆是空车（质量），另一辆装有石头（质量）．用同样大小的力，向同一个方向，推这两辆小车，其加速度分别为，，那么________（填“”，“”或“”）
(3)已知小车的质量，在光滑的地面上，用一定的力（单位：N）推空车时，测得加速度．当这辆小车装上的石块时，用同样大小的力，向同一个方向推车，求此时小车的加速度．
14．如图，在中，，，于点，动点从点出发．沿折线运动，到达点时停止运动，设点运动的路程为，连接，的面积为，的面积与点的运动路程的比为．
(1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中．画出函数，的图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出函数时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．
15．【问题情境】
区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度（单位：）与行驶时间（单位：）的数据如表．
小型车辆 行驶时间（单位：） 平均速度（单位：）
A 0.5 60
B 0.3 100
C 0.6 50
D 0.4 75
【建立模型】
（1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度（单位：）是行驶时间（单位：）的函数．求（单位：）与（单位：）之间的函数解析式；
【问题解决】
（2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为50分钟，求它的平均速度；
（3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？
16．综合与实践
【问题情境】
排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成，如图1，现要利用若干长为的相同吸管制作简易排箫．
【实验操作】
将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如表1：
表1
长度（）
振动频率（）
【探索发现】
（1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越 （填“高”或“低”）；
（2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．观察图象，从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用 函数模型反映（从初中所学函数选择），并求出该函数表达式．
表2 C调音符与频率对照表
音符 不同音区的频率（）
低音区 中音区 高音区
【实际应用】
（3）根据表2，判断这批吸管制作的排箫能否吹出低音区的音，若能，请求出对应吸管长度，若不能，请说明理由．（精确到）
17．换一个角度初看
华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形缺数时难入微．这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分．例如：已知两个函数，当取何值时，？根据“代数”的思想要解一元二次不等式，比较麻烦．而利用数形结合思想，只要画出图象后观察交点，就很好理解了．
（1）如图1，当时，的取值范围是_______．
换一个角度二看
我们定义：任意给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积都是原矩形的2倍，那么我们称是的“加倍矩形”，是的“双半矩形”．请你研究矩形是否存在“双半矩形”．我们利用数形结合思想来解决方程问题．如图2，在同一平面直角坐标系中画出一次函数和反比例函数的部分图象，其中和分别表示矩形的“双半矩形”的两边长．
（2）请你结合之前的研究，回答下列问题：
①这个图象所研究的矩形的面积为_____，周长为_____．
②是否存在矩形的“双半矩形”？如果存在，请求出的边长；如果不存在，请说明理由．
（3）在第（2）问的条件下，坐标平面内是否存在以，，，为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差称为点的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点在函数图象上，点的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7．
根据定义，解答下列问题：
(1)①点的“纵横值”为______；
②函数的“最优纵横值”为______；
(2)若二次函数图象的顶点在直线上，且“最优纵横值”为3，求的值；
(3)若二次函数图象的顶点在直线上，当时，二次函数的“最优纵横值”为7，求的值．
19．我们不妨约定：若点的横纵坐标分别是点横纵坐标的倍，则把点称为点的“阶位似点”．若一个函数的图象上至少存在这样的一组不重合的两点，则称该函数为“阶位似函数”．例如，点是的“2阶位似点”，点，点均在函数图象上，所以一次函数可以叫做“2阶位似一次函数”，仔细审题，认真回答下列问题：
(1)下列说法，正确的打“√”，错误的打“”．
①点的“3阶位似点”在二次函数的图象上．（ ）
②无论取何值，一次函数都不可能是“阶位似一次函数”．（ ）
③若反比例函数是一个“阶位似反比例函数”，则的值只能等于．（ ）
(2)已知点是点的“阶位似点”，且均在“阶位似二次函数”的图象上，点在反比例函数的图象上，且点在第一象限，求的值；
(3)已知关于的“阶位似二次函数”（其中，是常数，）的顶点为，与轴交于点，直线与坐标轴围成的三角形的面积为，若关于的一次函数随的增大而减小，求的取值范围．
20．综合与探究
数学兴趣课上，老师提出了一个问题：已知一个正方形的边长为1，是否存在矩形，使其周长和面积均为正方形的2倍．
【特例探究】
（1）若所求矩形为正方形，当其面积是原正方形的2倍时，周长为原正方形的 倍，由此可知 （填“存在”或“不存在”）正方形，使其面积和周长均是原正方形的2倍．
【深入探究】
（2）若所求矩形相邻的两边长不相等，小敏尝试从方程的角度解决，她设较短的一边长为x，请你通过计算说明是否存在满足要求的矩形．
【拓展延伸】
（3）老师又提出了新的问题：若存在矩形，使其面积是原正方形面积的4倍，设矩形的周长为m，那么m应满足什么条件？小亮尝试从函数图象的角度进行探究：
第一步：小亮设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形面积为4得到，满足条件的可看成是第一象限内反比例函数的图象上的点的坐标；
第二步：由矩形的周长为m，得到，满足条件的可以看成第一象限内一次函数的图象上的点的坐标；
第三步：小亮认为可将问题转化为函数与的图象在第一象限内交点的存在问题，而函数的图象可看作的图象平移得到
①请在如图的直角坐标系中画出直线和反比例函数的图象；
②根据小亮的方法，请你直接写出当所求矩形的长和宽均大于1时，m的取值范围．
21．如图，四边形ABCO是平行四边形，且点C（－4,0），将□ABCO 绕点A逆时针旋转得到□ADEF，AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上，若点A，D在反比例函数y= 的图像上.
（1）填空：∠AOF= °， k= ；
（2）点G为x轴上一点,点K是平面内一点，请求出当点A、C、G、K四点构成的四边形恰是菱形时点G的坐标.
22．在直角坐标系xOy中，已知点P是反比例函数y＝(x＞0)图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．
(1)如图1，当⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由；
(2)如图2，当⊙P运动到与x轴相交，设交点为点B、C．当四边形ABCP是菱形时，求出点A、B、C的坐标；
(3)在(2)的条件下，求出经过A、B、C三点的抛物线的解析式．
23．【定义】在平面直角坐标系中，对“经纬值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“经纬值”．函数图象上所有点的“经纬值”中的最大值称为函数的“最优经纬值”．
【举例】已知点在函数图象上．点的“经纬值”为；函数图象上所有点的“经纬值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优经纬值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
(1)①点的“经纬值”为 ；
②求出函数（k为常数且，）的“最优经纬值”；
(2)若二次函数的顶点在直线上，且最优经纬值为8，求c的值；
(3)若二次函数，当时，二次函数的最优经纬值为3，直接写出b的值．
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试卷第1页，共3页
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《26章反比例函数情景题（学生卷）》参考答案
1．
【分析】本题考查了反比例的应用，首先求得C的坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后把F的横坐标代入求得纵坐标即可．
【详解】解：，
则C的坐标是，
设反比例函数的解析式是，
把C的坐标代入得，
则反比例函数解析式是，
∵上口宽，
∴点F的横坐为，
当时，．
答：整个冷却塔的高是．
故答案为：．
2．
【分析】本题考查了数据的处理和应用，涉及反比例，方程等知识，理清题意，找到相等关系是解题的关键．
根据和，列出方程，求出k即可．
【详解】解：∵，
，
∴，
∴；
故答案为：．
3．(1)①；②
(2)此时货船不能通过该桥洞；要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞
【分析】本题考查反比例函数的实际应用；
（1）①过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作于F， 交轴于P，过点C作轴于Q，则四边形为矩形，根据落在第一象限的角平分线上，结合和作辅助线可得多个等腰直角三角形，即可表示出；
②设双曲线接解析式为，把，代入计算即可；
（2）求出当能恰好通过，则，在双曲线上，此时设和交于点，过作轴于，过作轴于，由等腰直角三角形求出点，代入得，求出，即此船最高载货2.8米，得到船身下降的高度，代入计算即可．
【详解】（1）解：①如图，过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作于F， 交轴于P，过点C作轴于Q，则四边形为矩形，
∴，，
∵点C为，
∴，
∵落在第一象限的角平分线上，
∴A、B关于对称，即A、B关于第一象限角平分线对称，，
∴点D是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∵过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
②设双曲线接解析式为，
把，代入得
∴
解得，，
∴点A在双曲线上；
（2）由（1）可求：，，，，
∵四边形是矩形，
∴，，，
设和交于点，过作轴于，过作轴于，则，
若能恰好通过，则，在双曲线上，且，
∴，
∴，
∴，，
∴点，
把代入得，
解得，
∴
∵
∴，
∴，
∴此船最高载货2.8米
∵，
∴此船不能通过，
∴船身下降的高度，
∵，
∴，
故要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞．
答：此时货船不能通过该桥洞；要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞．
4．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出反比例函数的解析式，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出时的函数值即可；
（3）求出时的自变量的值即可．
【详解】（1）解：设，
由图象，把代入得：，
∴；
（2）当时，；
答：当“木海马”底面面积为时，压强是；
（3）当时，；
∴当时，，
答：压强不超过6000，那么“木海马”底面面积至少要．
5．(1)
(2)不合理，理由见解析
【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确求出函数的解析式是解题的关键．
（1）根据题意可得与之间的函数为反比例函数，利用待定系数法即可解答；
（2）把代入函数可得小路的长，得到的结果和起点和终点间的距离比较即可解答．
【详解】（1）解；根据石板搭建的小路面积一定，可得为定值，
与之间的函数为反比例函数，
设，
把，代入可得，
，
解得，
与之间的函数关系式为；
（2）解：当时，，
解得，经检验分式成立，
，
故不符合题意，设计不合理．
6．(1)
(2)平均每秒至少倒出水，至多把水倒完
【分析】（1）所用时间等于总量÷每秒倒出的水量列关系时即可；
（2）令（1）中，解出x的值，在勇反比例函数增减性计算即可．
【详解】（1）∵，
∴；
（2）当时，，解得
∵当时，随的增大而减小，
∴时，，
∴平均每秒至少倒出水，至多把水倒完．
【点睛】本题主要考查反比例函数的实际应用，根据实际问题抽象化为反比例函数，列出关系式是解题的关键．
7．(1)
(2)这种机器人与地面的接触面积至少为平方米
【分析】本题主要考查反比例函数的运用，理解表格中压强与接触面积的关系，运用待定系数法求解是关键．
（1）由表格可知压强与接触面积的乘积为定值480，则压强与接触面积满足反比例函数系，运用待定系数法即可求解；
（2）把最大压强为，代入反比例函数解析式求解即可．
【详解】（1）解：由表格可知压强与接触面积的乘积为定值480，则压强与接触面积满足反比例函数系，
设与的函数关系式为，
将，代入，
得，
∴与的函数表达式为．
（2）解：当时，（平方米），
答：这种机器人与地面的接触面积至少为平方米．
8．任务1：，；任务2：空矿泉水瓶的重量为
【分析】本题考查了反比例函数的应用，二元一次方程组的应用，熟练掌握反比例函数的应用，二元一次方程组的应用是解题的关键
任务1：由题意，得，即，由题意知，，，则，即，进而可求的取值范围．
任务2：设第一次加入水的质量为，空矿泉水瓶的质量为，依题意得，，计算求解，然后作答即可．
【详解】任务1：解：由题意，得，
∴，
由题意知，，，
∴，
∴，
∴．
任务2：解：设第一次加入水的质量为，空矿泉水瓶的质量为，
依题意得，，
解得，
空矿泉水瓶的重量为．
9．(1)；
(2)或；
(3)或．
【分析】（）根据题意得出点，然后由图象即可求解；
（）由图可知点的横坐标为，然后再根据图象即可求解；
（）先求出反比例函数解析式为，直线的解析式为，当时，点的纵坐标为，点的纵坐标为，则，然后解方程即可；
本题考查了反比例函数与一次函数的关系，待定系数法求解析式，解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：∵点，的刻度分别为，，，
∴点，
根据图象可知，不等式的解集为，
故答案为：；
（2）解：由（）得，点，由图可知点的横坐标为，
∴不等式的解集为或；
（3）解：由（）得，点，
∵反比例函数的图象交于点，
∴，
∴反比例函数解析式为，
由图可知点的横坐标为，且在反比例函数解析式为，
∴纵坐标为
∴点，
∵直线的解析式为过点，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，点的纵坐标为，点的纵坐标为，
∴，
解得：或，
经检验或是原方程的解，
∴的值为或．
10．(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键．
（1）根据杠杆原理的公式阻力×阻力臂=动力×动力臂，求解即可得解；
（2）根据反比例函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：已知杠杆原理的公式：阻力×阻力臂=动力×动力臂，阻力为，阻力臂为，动力臂为，动力为，
则有，
∴图③中的函数解析式为．
（2）由反比例函数解析式可知：当x最大时，y最小，
∵由于支点即为细绳悬挂点，
∴．
∴．
综上，．
∴当时，．
11．(1)，
(2)①见解析；②不断减小
(3)或
【分析】（1）由已知列出方程，即可求解，
（2）①用描点法，画出图象，②根据烦你里函数的图象性质，即可求解，
（3）作函数的图象，根据图象，即可求解，
本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：画出函数图象，应用数形结合的思想．
【详解】（1）解：根据题意得：，，
∴，，
故答案为：，，
（2）解：①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中函数的图象如下：
②由图像可知随着自变量x的不断增大，函数值y的不断减小，
故答案为：不断减小，
（3）解：作函数的图象，
由函数图象可知，当或时，，
即：当时，的解集为：或，
故答案为：或．
12．(1)动力F与动力臂l的函数关系式为
(2)小华用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为
【分析】本题考查了列代数式，理解成反比例关系的定义是解题关键．根据阻力×阻力臂=动力×动力臂求解即可得到结论．
【详解】（1）依题意，得．
∴．
答：动力F与动力臂l的函数关系式为．
（2）当时，
解得．
∵小华最多能使出的力，
∴．
答：小华用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为．
13．(1)
(2)
(3)为
【分析】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的图像与性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键．
（1）根据反比例函数的定义列出函数解析式即可；
（2）根据反比例函数的性质进行判断即可；
（3）利用已知求出反比例函数表达式是，，代入求解即可．
【详解】（1）当物体所受的力一定时，物体的加速度是它的质量的反比例函数，
其函数表达式为，
故答案为：；
（2）一辆是空车（质量），另一辆装有石头（质量），
，
，，
随着的增大而减小，
，
故答案为：；
（3）由题意，得，
∵当时，，
∴，
∴反比例函数表达式是，
∵车上装石块时，
∴，
∴，
∴此时小车的加速度为．
14．(1)，
(2)见解析，当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大（答案不唯一）
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，三线合一定理：
（1）由三线合一定理得到，则由勾股定理得到，进而可得，即；当点P在上时，过点D作于H，根据等面积法求出，则，再由对称性可求出当点P在上时，；
（2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再写出对应函数的性质即可；
（3）求出两函数的交点坐标，根据函数图象找到函数图象在函数图象上方时自变量的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当点P在上时，过点D作于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
由对称性可得当点P在上时，；
综上所述，；
（2）解：列表如下：
… 1 2 …
…
… 1 6 …
…
… 1 2 …
12 6 …
如图所示函数图象即为所求；
由函数图象可知，当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大．
（3）解：联立得，此时，原方程无解；
联立得，解得或
由函数图象可知，当时，．
15．（1）；（2）它的平均速度是；（3）行驶时间应不少于22.5分钟
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据题意，测速区间的路程是定值，则汽车在该测速区间内的平均速度是行驶时间的反比例函数．根据表格数据，当时，，则测速区间路程为，即可求解函数解析式；
（2）50分钟，将代入，即可求解；
（3）将代入，得到，再根据反比例函数的性质求解．
【详解】解：（1）解：根据题意，测速区间的路程是定值，
因为平均速度，
所以，汽车在该测速区间内的平均速度是行驶时间的反比例函数，
根据表格数据，当时，，所以测速区间路程为，
所以，与之间的函数关系式为；
（2）根据题意，得50分钟，
将代入，
得，
答：它的平均速度是；
（3）根据题意，得，解得，
小时分钟分钟，
答：行驶时间应不少于22.5分钟．
16．（1）高；（2）图象见解析；（3）低音区的对应吸管长度为
【详解】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出与的积为定值，从而得出函数关系式．
（1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越高；
故答案为：高．
（2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．
根据表格可知
∴从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用反比例函数模型反映，该函数表达式为．
函数图象，如图所示
（3）由题可得，低音区的音频率为
代入
∴
答：低音区的对应吸管长度为
17．（1）；（2）①20，28；②不存在，见解析；（3）存在，或或
【分析】（1）求出两函数图象的交点，观察函数图象，即可求解；
（2）①由题意得：且，即可求解；
②假设存在矩形，其边长为，，同理可得：，，则存在方程：，而方程无解，即可求解；
（3）当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组即可求解；当或为对角线时，同理可解．
【详解】解：（1）联立和得：，
解得：或5，
观察函数图象知，当时，的取值范围是，
故答案为：；
（2）①设矩形的边长分别为：，，
由题意得：且，
而，，
则，，
故周长为28，面积为20，
故答案为：20，28；
②假设存在矩形，其边长为，，
同理可得：，，
则存在方程：，
，
∴方程无解，
故不存在矩形；
（3）存在，理由：
联立两个函数表达式得：，
解得：或5，
即点、的坐标分别为：、；
设点，
当为对角线时，
由中点坐标公式得：
，
解得：，即点；
当或为对角线时，
同理可得：或，
解得：或，
即点或；
综上，或或．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数的应用，中点坐标公式，平行四边形的性质，解一元二次方程，解题的关键是会灵活的运用函数图象交点的意义，以及图象的特点，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．
18．(1)① ②
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查二次函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确理解“纵横值”和“最优纵横值”的定义是解题的关键．
（1）①根据可得“纵横值”；
②计算得 利用反比例函数图象上点的坐标特征可得结论；
（2）根据对称轴求得则 所以 ，由最优纵横值为，即可得出 解得
（3）由题意可知则，由当 时，二次函数的最优纵横值为，分两种情况讨论得到关于的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：①点的“纵横值”为
故答案为：；
②，
，
，
时，的最大值是，
故答案为：；
（2）解：∵二次函数 的顶点在直线上，
，
，
，
，
∵最优纵横值为，
，
，
（3）解：∵二次函数的顶点在直线上，
，
，
，
∵当 时，二次函数的最优纵横值为，当 即时，则时，有最大值为,
解得或 (舍去),
当 即时，则时，有最大值为，
，
解得或 (舍去)。
故的值为或．
19．(1)①；②√；③
(2)
(3)
【分析】①（1）首先求出点的“3阶位似点”为，然后代入求解判断即可；
②设一次函数上一个点的坐标为，然后求出点的阶位似点为，然后代入得到，令，求出，然后结合判断即可；
③设反比例函数上一个点的坐标为，然后求出点的阶位似点为，然后将将代入，根据题意得到，进而求解即可；
（2）首先求出,然后将和代入得到，,然后由题意得到,即,分别代入整理得到,求出或,进而求解即可；
（3）得出的顶点坐标为，求得，进而可得直线的解析式为，求得的坐标，进而得出的表达式，根据一次函数的性质可得，进而根据二次函数的性质求得的最值，进而即可求解．
【详解】（1）①根据题意得，点的“3阶位似点”为
将代入，故①错误；
②设一次函数上一个点的坐标为
∴点的阶位似点为
将代入
若
∴
∵
∴无论取何值，一次函数都不可能是“阶位似一次函数”，故②正确；
③设反比例函数上一个点的坐标为
∴点的阶位似点为
∴将代入
∵反比例函数是一个“阶位似反比例函数”，
∴
解得，故③错误；
（2）∵点是点的“阶位似点”，
∴
∵点P和点Q均在“阶位似二次函数”的图象上，
∴，
∵点在反比例函数的图象上
∴,即,
∴将代入
得
∴
将,代入得,
整理得,
∴
∴或
解得或或
∵,点在第一象限，
∴
∴，；
（3）解：∵关于的一次函数随的增大而减小，
∴
∴
∵的顶点坐标为
当时，
∴
设直线的解析式为
∴
解得：
所以直线的解析式为
当时，
∵
∴
∴，
∴
∵
∴当时，随着的增大而增大，
又∵
∴
∴当时，取得最小值，最小值为
∴．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质，“阶位似点”新定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
20．（1），不存在；（2）存在满足要求的矩形；（3）①见解析；②
【分析】本题考查了实际应用题的函数直观解释，比较新颖，实质是函数图象的平移，一次函数和反比例图象的交点问题，一元二次方程的判别式，利用数形结合数学思想是解决问题的关键．
（1）根据新正方形的面积为2求出边长为，再比较新正方形的周长即可；
（2）设较短的一边长为x，另一邻边为，则，根据周长和面积关系得到，，解方程计算即可；
（3）①利用直线和反比例函数的性质画图象即可；
②先求出矩形的长和宽等于1和直线和反比例函数只有一个交点时的值，再结合图象判断即可．
【详解】解：（1）原正方形的边长为1，所求矩形为正方形，当其面积是原正方形的2倍时，新正方形的面积是，则边长为，
∴周长为原正方形的倍，由此可知不存在正方形，使其面积和周长均是原正方形的2倍．
故答案为：，不存在；
（2）设较短的一边长为x，另一邻边为，则，
∵矩形面积为正方形的2倍，
∴，即，
∵矩形周长为正方形的2倍，
∴，
∴，
整理得，
解得，
∴当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
∴存在满足要求的矩形，矩形边长为和；
（3）①直线和反比例函数的图象如图所示：
②∵函数与的图象在第一象限内交点为，则，
∴当时，，代入解得；
当时，由可得，代入解得；
当函数与只有一个交点时，即关于的方程有相等实数根，整理得，
则，解得（负值舍去）；
由函数图象可得，当所求矩形的长和宽均大于1，即，时，m的取值范围为．
21．（1）得到60°， ； （2）的坐标为
【分析】（1）由旋转的性质可知AO=AF，且∠AOF=∠BAO，可证得△AOF为等边三角形，即可求得∠AOF，由题意可知A、D关于原点对称，则可求得OA的长，设AH交x轴于点K，则可中求得OK和AK的长，可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k的值；（2）设G点坐标为（x，0），然后运用勾股定理AG，CG的长，又由于是菱形，可以得到三角形ACG是等腰三角形，然后分类讨论即可完成解答.
【详解】解：（1）由旋转的性质可得AO=AF=DE=BC,∠BAO=∠OAF ，
∵AB∥OC，
∴∠BAO=∠AOF，
∴∠AOF=∠OAF，，
∴AF=OF
∴AF=OF=OA.，
∴△AOF为等边三角形，
∴∠AOF=
∵点A，D在反比例函数y=的图象上，
∴A、D关于原点对称，
∴
如图1，设过A做AH⊥x轴于点M，
在Rt△AOM中，可得∠QAM=30°，
∴
∴
∴
（2）设G（x，0），且A（1， ），C（-4，0），
则
要使A,C,G,K四点构成菱形，则三角形ACG一定是等腰三角形，才可能与K组成菱形：则有AG=CG、AG=AC和CG=AC三种情况，
当AG=CG时，则 =|x+4|，解得x= ，此时G点坐标为（，0）；
当AG=AC时，则 ，解得x=-4（与C点重合，舍去）或x=6，此时G点坐标为（6，0）；
当CG=AC时，则|x+4|= ，解得x=-4+或x=-4-，此时G点坐标为（-4+2√77，0）或（-4-2√77，0）；
综上，当A,C,G,K构成菱形时，G点坐标为.
【点睛】本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、反比例函数图象的性质、方程思想及分类讨论思想等知识，考查知识点较多，综合性较强，难度较大，认真、冷静的分析是解题的关键.
22．(1)四边形OKPA是正方形，理由见解析；(2)A(0，)，B(1，0)，C(3，0)；(3)y＝x2﹣x+．
【分析】（1）先证明四边形OKPA是矩形，又PA＝PK，故可得四边形OKPA是正方形；
（2）证明△PBC为等边三角形；在Rt△PBG中，∠PBG＝60°，设PB＝PA＝a，BG＝，由勾股定理得：PG＝，所以P（a，），将P点坐标代入y＝，求出PG＝，PA＝BC＝2，又四边形OGPA是矩形，PA＝OG＝2，BG＝CG＝1，故OB＝OG﹣BG＝1，OC＝OG+GC＝3，即可求解；
（3）设二次函数的解析式为：y＝ax2+bx+c，将（2）中三点坐标分别代入，利用待定系数法进行求解即可.
【详解】(1)四边形OKPA是正方形，
理由：∵⊙P分别与两坐标轴相切，
∴PA⊥OA，PK⊥OK，
∴∠PAO＝∠OKP＝90°，
又∵∠AOK＝90°，
∴∠PAO＝∠OKP＝∠AOK＝90°，
∴四边形OKPA是矩形，
又∵PA＝PK，
∴四边形OKPA是正方形；
(2)连接PB，过点P作PG⊥BC于G，
∵四边形ABCP为菱形，∴BC＝PA＝PB＝PC，
∴△PBC为等边三角形，
在Rt△PBG中，∠PBG＝60°，
设PB＝PA＝a，BG＝，
由勾股定理得：PG＝，
所以P(a，)，将P点坐标代入y＝，
解得：a＝2或﹣2(舍去负值)，
∴PG＝，PA＝BC＝2，
又四边形OGPA是矩形，PA＝OG＝2，BG＝CG＝1，
∴OB＝OG﹣BG＝1，OC＝OG+GC＝3．
∴A(0，)，B(1，0)，C(3，0)；
(3)二次函数的解析式为：y＝ax2+bx+c，
根据题意得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣x+．
【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的判定、菱形的性质、切线的性质、待定系数法求二次函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征等，综合性较强，难度较大，熟练掌握相关的性质定理以及待定系数法是解题的关键.
23．(1)①9；②当时，“最优经纬值”为；当时，“最优经纬值”为；
(2)
(3)b的值为5或．
【分析】本题以新定义题型为背景，考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解最优经纬值的定义是解题的关键．
（1）①根据定义直接求解即可；②根据定义先求出，分和两种情况讨论，即可求解；
（2）先确定函数的解析式为，再由的最优经纬值为8，得到，即可求解；
（3）先求，再分类讨论若，若，两种情况即可求解；
【详解】（1）解：①由题意得：点的“经纬值”为，
故答案为：9；
②，
∵，
当时，的“最优经纬值”为；
当时，的“最优经纬值”为；
（2）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵最优经纬值为8，
∴，
∴；
（3）解：，
当时，二次函数的最优经纬值为3，
若，则当时，；
即：，
解得：或（舍去）；
若，则当时，；
即：，
解得（舍）或；
综上所述：b的值为5或．
答案第1页，共2页
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