2025-2026学年人教版数学九年级上册 第二十一章 一元二次方程综合训练 单元测试（含答案）

第二十一章一元二次方程综合训练
一、选择题：本大题共10小题，共30分。
1.下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.一元二次方程的一次项系数是
A. 2 B. 1 C. D. 4
3.若是一元二次方程的根，则
A. B. C. 2 D. 4
4.一元二次方程的根的情况是
A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 只有一个实数根
5.若一元二次方程的两根分别为，，则的值是
A. 4 B. 2 C. 1 D.
6.若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为
A. 0 B. 4 C. D. 1或
7.若关于x的一元二次方程配方后得到方程，则c的值为
A. B. 0 C. 3 D. 9
8.三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长是
A. 8 B. 10 C. 12 D. 10或12
9.一名同学经过培训后会做某项实验，回到班级后他先教会了且x为整数名同学，然后会做该实验的同学又分别教会了同样多的同学，这时恰好全班36人都会做这项实验了．根据以上情景，可列方程为( )
A. B.
C. D.
10.在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为，且m，n满足，则OP的长为
A. B. 1 C. 5 D. 或1
二、填空题：本大题共5小题，共15分。
11.在等式□中，□内的数等于 .
12.若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 .
13.已知关于x的一元二次方程的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是 .
14.为了让农民能种植高产、易发芽的种子，某农科实验基地大力开展种子实验．该实验基地两年前有100种种子，经过两年不断地努力，现在已有144种种子．若培育的种子平均每年的增长率为x，则x的值为 .
15.《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图①，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为”小聪按此方法解关于x的方程，构造图②，已知阴影部分的面积为60，则该方程的正数解为 .
三、计算题：本大题共12分。
16.用适当的方法解下列方程：
；
四、解答题：本大题共8小题，共63分。
17.小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：
小敏： 解：两边同除以，得 ，则 小霞： 解：移项，得 因式分解，得 于是得，或， ，
你认为她们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“”，并写出正确的解答过程．
18.已知a是方程的一个根，求代数式的值．
19.一个两位数的个位数字与十位数字的和为9，并且个位数字与十位数字的平方和为45，求这个两位数．
20.已知关于x的一元二次方程
求证：无论m取何值，方程总有两个不等的实数根；
若，是原方程的两根，且，求m的值．
21.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件衬衫每降价1元，平均每天可多售出2件．
若每件衬衫降价4元，则商场每天销售该衬衫可盈利多少元？
若商场平均每天要通过销售该衬衫盈利1200元，且让顾客尽可能多得实惠，则每件衬衫应降价多少元？
22.如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙墙的最大可用长度a为，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃ABCD，设花圃的边AB的长为
若要围成面积为的花圃，则AB的长是多少米？
能围成面积为的花圃吗？若能，请说明围法；若不能，请说明理由．
23.已知矩形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程的两个实数根．
当m为何值时，四边形ABCD为正方形？并说明理由；
若AB的长为2，求矩形ABCD的对角线长．
24.阅读材料：
已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程的两个不等的实数根，由一元二次方程的根与系数的关系可知，
根据上述材料，解决以下问题：
已知实数a，b满足：，，且，则 ， ；
在的条件下，求的值；
已知实数m，n满足：，，且，求的值．
答案和解析
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】2或
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】【小题1】
解：，
【小题2】
，

17.【答案】解：小敏：小霞：
正确的解答过程：移项，得
因式分解，得
于是得，或，，

18.【答案】解：
19.【答案】解：这个两位数为63或
20.【答案】【小题1】证明：
，
，即，
无论实数m取何值，方程总有两个不相等的实数根.
【小题2】
解：m的值为或

21.【答案】【小题1】
解：若每件衬衫降价4元，则商场每天销售该衬衫可盈利1008元．
【小题2】
每件衬衫应降价20元．

22.【答案】【小题1】
解：AB的长是
【小题2】
不能．理由略．

23.【答案】【小题1】
解：当时，四边形ABCD为正方形．理由略．
【小题2】
矩形ABCD的对角线长为

24.【答案】【小题1】
7
1
【小题2】
由得，
因为，，所以
【小题3】
令，，则，
因为，所以，即
所以s，t是方程的两个不等的实数根．
所以，
故

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