2025-2026学年人教版数学九年级上册 第二十四章 圆综合训练 单元测试（含答案）

第二十四章圆综合训练
一、选择题：本大题共10小题，共30分。
1.已知的半径为5，点P在内，则OP的长可能是( )
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
2.下列说法中，正确的是( )
A. 过圆心的直线是圆的直径 B. 直径是圆中最长的弦
C. 相等长度的两条弧是等弧 D. 顶点在圆上的角是圆周角
3.若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个多边形是( )
A. 正六边形 B. 正七边形 C. 正八边形 D. 正九边形
4.如图，在中，，若，则的度数是( )
A. B. C. D.
5.如图，直线AB与相切于点C，OA交于点D，连接CD，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
6.如图，四边形ABCD内接于，AB为直径，若，则AB的长为( )
A. B. 2 C. D. 4
7.如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，则外接圆的圆心坐标是( )
A. B. C. D.
8.如图，武汉晴川桥的桥拱可以近似地看作半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为( )
A. 50m B. 45m C. 40m D. 60m
9.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，E为圆弧上一点，CE的延长线经过格点D，则的长为
A. B. C. D.
10.如图，是等边三角形ABC的外接圆，D是上一动点不与点A，C重合，下列结论：①；②；③当BD最长时，；④其中一定正确的有
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本大题共5小题，共15分。
11.已知的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与的位置关系是 填“相交”“相离”或“相切”
12.如图，在中，，若，则
13.如图，圆锥形烟囱帽的底面圆半径为12cm，侧面展开图为半圆，则它的母线长为
14.如图，在中，，，，将绕顶点C逆时针旋转得到，点A的对应点恰好落在AB上，则图中阴影部分的面积为 .
15.如图，在平面直角坐标系中，的圆心A的坐标为，半径为1，P为直线上的动点，过点P作的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是 .
三、解答题：本大题共9小题，共75分。
16.如图，OM是的半径，过点M作的切线AB，且，OA，OB分别交于点C，求证：
17.如图，PA，PB是的切线，A，B为切点，AC是的直径，，求的度数．
18.如图，AB是的一条弦，点C是AB的中点，连接OC并延长交劣弧AB于点D，连接OB，若，，求的面积．
19.如图，正方形ABCD是半径为6的的内接四边形，求正方形ABCD的边长和边心距．
20.证明圆内接四边形的对角互补．
已知：如图，四边形ABCD内接于
求证：
证明：如图，作直径AE，连接BE，DE，
，①
同理
证明过程中依据①是 ；
请给出另一种证明方法．
21.如图，AB是的直径，点C在上，点D在AB的延长线上，CD是的切线．
求证：；
若的半径是5，，求BD的长．
22.如图，AB是的直径，C为上一点，D为的中点，弦于点F，交AC于点G，连接
求证：；
若，，求DE的长．
23.如图，在四边形ABCD中，，，，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作，交BD于点
试判断CD与的位置关系，并说明理由；
若，，求图中阴影部分的面积．
24.某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题做了如下探究：
【问题探究】如图①，AD，BD为的两条弦，C为的中点，过点C作，垂足为求证：小明同学的思路是：如图②，在BE上截取，连接AC，BC，CD，CF……请你按照小明的思路完成上述问题的证明过程．
【结论运用】如图③，是的内接正三角形，D是上一点，，连接BD，过点A作，垂足为若，求的周长．
【变式探究】如图④，若将中“C为的中点”改为“C为优弧ACB的中点”，其他条件不变，请写出BE，AD，DE之间的数量关系，并加以证明．
答案和解析
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】相交
12.【答案】120
13.【答案】24
14.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了等边三角的判定与性质，旋转的性质，扇形面积的计算以及三角形面积求法，本题的关键是弄清所求的阴影面积等于扇形减去三角形面积，根据阴影部分的面积为：扇形计算即可.
【解答】
解：在中，，，，
，
，
是等边三角形.
阴影部分的面积为：扇形，
故答案为：
15.【答案】
16.【答案】证明：是的半径，过M点作的切线AB，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，即：
17.【答案】解：
18.【答案】解：的面积
19.【答案】解：正方形ABCD的边长为，边心距为
20.【答案】【小题1】
同弧所对的圆周角相等
【小题2】
证明：如图，连接OB，
由圆周角定理，得
，
，
同理

21.【答案】【小题1】证明：是的直径，
，
，
是的切线，
，
，
；
【小题2】
解：

22.【答案】【小题1】证明：为的中点，
，
是的直径，弦，
，
，
，
【小题2】
解：

23.【答案】【小题1】
解：CD与相切．理由略．
【小题2】
图中阴影部分的面积为

24.【答案】【小题1】
解：完成证明过程如下：
为的中点，，
由圆周角定理的推论，得
在和中，
≌，
又，，
【小题2】
如图③，连接AD，在CE上截取，连接
是等边三角形，
由圆周角定理的推论，得
在和中，
≌，
又，，
在中，，易得，
的周长为
【小题3】
证明如下：
如图④，在线段DE上截取，连接BC，CF，CD，
为优弧ACB的中点，
，，
在和中，
≌，
，
又，，

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