上海格致中学2025-2026学年高三上学期数学期中试卷（含答案）

格致中学2025-2026学年第一学期高三年级数学期中
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）．
1.已知全集，若集合，则______．
2.已知抛物线的顶点到焦点的距离为2，则______．
3.已知，且，则的最小值为______．
4.已知，则______．
5.设等差数列的前项和为，若，则等于______．
6.若二项式的展开式中各项系数和为256，则展开式中的常数项为______．
7.某工厂生产的零件长度（单位：毫米）服从，且，若对该工厂同批生产的3个零件逐一检查，则仅有1个零件长度大于3.5毫米的概率为______．
8.已知椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点的直线交于两点，若，，则的值为______．
9.已知奇函数及其导函数的定义域均为，，当时，，则使不等式成立的的取值范围是______．
10.已知，若函数在与上的值域均为，则实数的取值范围为______．
11.如图，中，，，，点是线段一动点，若以为圆心半径为1的圆与线段交于两点，则的取值范围为______．
12.在长方体中，，，为棱的中点，动点满足，则点的轨迹与长方体的侧面的交线长等于______．
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）．
13.已知实数满足，则“”是“”的（ ）
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
14.已知（i是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，则（ ）
A.， B.，
C.， D.，
15.从长度分别为1，2，3，4，5的5根细木棒中选择三根围成一个三角形，所围成的三角形的最大内角（ ）．
A.可能是锐角 B.一定是直角
C.可能大于 D.一定小于
16.对于函数，，若存在区间，使得对任意，都有，则称为函数的一个关联区间，区间长度为，已知，给出以下两个命题：
命题①：当时，函数不存在区间长度为2的关联区间；
命题②：当时，函数存在无穷多个关联区间；
则下列选项中正确的是（ ）
A.①、②均为真命题 B.①为真命题，②为假命题
C.①为假命题，②为真命题 D.①、②均为假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．
17.（本题共有2小题，满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在中，内角所对的边分别为，且，，的外接圆半径为．
（1）求；
（2）求的边上的高．
18.（本题共有2小题，满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求侧面与底面所成二面角的正切值．
19.（本题共有3小题，满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）
某中学为探究“周末使用手机时长是否影响学业成绩”，随机调查100名学生，得到部分统计数据如下表：
学业成绩 使用手机小时 使用手机小时
良好 20
不良好 40
记事件“学业成绩良好且使用手机小时”，事件“学业成绩不良好且使用手机小时”，已知事件的频率是事件的频率的3倍．
（1）求表中的的值；
（2）记使用手机小时的学生中学业成绩良好的概率为，求的估计值；
（3）根据小概率值的独立性检验，分析“周末使用手机时长”与“学业成绩”是否有关？
参考数据：，其中．
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
20.（本题共有3小题，满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点是双曲线上一点．
（1）当时，求双曲线两条渐近线的夹角；
（2）若直线的倾斜角为，与双曲线的另一交点为，且，求的值；
（3）若，且，点是双曲线上位于第一象限的动点，求证：．
21.（本题共有3小题，满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中，），则称为曲线的“切线”
（1）若曲线在点处的切线为“－切线”，且切线与曲线的另一个公共点坐标为，求的值；
（2）求曲线所有“－切线”的方程；
（3）设，是否存在，使得曲线在点处的切线为“－切线”？若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11.如图，中，，，，点是线段一动点，若以为圆心半径为1的圆与线段交于两点，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】由题意可知：，且
所以
所以易知，当时，最小，
所以，即解得，
故的最小值为，故答案为2.
12.在长方体中，，，为棱的中点，动点满足，则点的轨迹与长方体的侧面的交线长等于______．
【答案】
【解析】如图，当在面内时，面面
在Rt与Rt中，∵，则，
∴，则，即．
在平面中，以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，则，设，
由，得：
整理得：即．
∴点的轨迹是以位圆心，半径为4的圆．
设圆与面的上交点为，作轴与；交点为，作轴与；
则：;
故点的轨迹与长方体的面的交线长等于：;
二、选择题
13.A 14.C 15.D 16.C
15.从长度分别为1，2，3，4，5的5根细木棒中选择三根围成一个三角形，所围成的三角形的最大内角（ ）．
A.可能是锐角 B.一定是直角
C.可能大于 D.一定小于
【答案】D
【解析】从长度分别为的5根细木棒中选择三根有，
，共10种取法，
其中能够围成三角形的有，（）三种，
若三边为，设最大角为，则，故，；
若三边为，设最大角为，则，此时；
若三边为，故最大角为直角，综上所述，选项正确，故选：D.
16.对于函数，，若存在区间，使得对任意，都有，则称为函数的一个关联区间，区间长度为，已知，给出以下两个命题：
命题①：当时，函数不存在区间长度为2的关联区间；
命题②：当时，函数存在无穷多个关联区间；
则下列选项中正确的是（ ）
A.①、②均为真命题 B.①为真命题，②为假命题
C.①为假命题，②为真命题 D.①、②均为假命题
【答案】C
【解析】当时，，因此函数在处不连续，，
当时，单调递减，1单调递增，
若，则需要，
考虑直线与，当减小时，会与相交，
并且两个交点和中，会随着的减小而从0增大，
因此存在使得，取可符合题意，①错误；
当时，对于单调递减且值域为，
取，则当时，，
当时，，因此存在无穷多个关联区间，②正确．故选：
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1）证明略 （2）
19.（1） （2） （3）有关联
20.（本题共有3小题，满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点是双曲线上一点．
（1）当时，求双曲线两条渐近线的夹角；
（2）若直线的倾斜角为，与双曲线的另一交点为，且，求的值；
（3）若，且，点是双曲线上位于第一象限的动点，求证：．
【答案】（1） （2）或； （3）证明见解析
【解析】（1）由，可得双曲线的方程为，渐近线方程为，
则双曲线两条渐近线的夹角的正切值为,即有夹角为；
（2）直线的斜率为，又，则直线的方程为，
设，由，可得
所以，
所以．化为，
解得或；
（3）证明：令，则，解得，
由时，，而，所以，解得，
即双曲线的方程为，
设，可得，,
所以，因为为第一象限的点，可得．
21.（本题共有3小题，满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中，），则称为曲线的“切线”
（1）若曲线在点处的切线为“－切线”，且切线与曲线的另一个公共点坐标为，求的值；
（2）求曲线所有“－切线”的方程；
（3）设，是否存在，使得曲线在点处的切线为“－切线”？若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由．
【答案】（1） （2） （3）存在唯一实数，
【解析】（1）曲线在点处的切线为－切线，另一个公共点的坐标为，
则该切线的斜率为，因此．
（2）由求导得，
则曲线在处的切线方程为：，
令，
整理得，此切线为－切线，
等价于方程有且仅有一个根，即，即，
所以曲线的－切线仅有一条，为
（3）由，得曲线在点处的切线方程为：
，即，
令,
求导得，由，得,
对，当时，为严格增函数；
当时，为严格减函数，
函数所有的极大值为，
当时，极大值等于0，即，
当为正整数时，极大值全部小于0，即在无零点，
当为负整数时，极大值全部大于0，
函数所有的极小值为
当时，极小值，
且随着的增大，极小值越来越小，
因此在点处的切线为-切线，等价于有三个零点，
等价于，即有解，
令，则，因此为上的严格增函数，
因为，于是存在唯一实数，满足
所以存在唯一实数，使得曲线在点处的切线为-切线．