专题 相遇和追击问题(课件)-【扬帆起航系列】高中物理同步备课（人教版2019必修第一册）（48页PPT）

专题 相遇和追击问题
【扬帆起航系列】2024-2025学年高中物理同步备课必修第一册
授课人：扬帆起航
新人教版（2019）
第二章 匀变速直线运动的研究
01
基本知识
02
基本类型
03
典例分析
目录/contents
知识回顾
????=????0????+12????????2
?
????2?????02=2????????
?
????=????0+????????
?
速度公式：
位移公式：
速度位移公式：
?????????????????=（?????????）????????2
?
Δx=x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1=aT2
重要推论：
基本知识
01
（1）同向运动：
（2）相向运动：
A
B
A
B
A
B
1. 相遇和追击问题的实质
实质：研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。
两物体在同一直线上运动，往往涉及追及、相遇或避免碰撞等问题。
两个物体在同一直线上运动的三种情形：
同向运动的问题
同起点同向运动
不同起点同向运动
追及相遇问题
相向运动的问题
追及相遇问题常见三种情形
（3）背向运动：
2. 解决问题的关键： 画出物体运动的情景图，理清三大关系
▲两个关系：时间关系和位移关系
▲一个隐含条件：两者速度相等
两者速度相等，往往是物体间能否追上，或两者距离最大、最小的临界条件，是分析判断的切入点。
3、解题步骤
①根据对两物体运动过程的分析，画出两物体的运动示意图，确定物体在各个阶段的运动规律；
②根据两物体的运动性质，分别列出两物体的位移方程，注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中；
③由运动示意图列出两物体位移间相联系的方程；
④联立方程求解，并对结果进行简单分析（取舍）。
⑴在解决追及、相遇类问题时,要紧抓“一图三式”,即:过程示意图, 时间关系式、速度关系式和位移关系式,最后还要注意对结果的讨论分析.
⑵分析追及、相遇类问题时,要注意抓住题目中的关键字眼,充分挖掘题目中的隐含条件,如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等,往往对应一个临界状态,满足相应的临界条件.
⑶若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意，被追上前该物体是否已经停止运动。
特别提醒：
4、理解追及问题要注意：
追及问题中两者速度大小与两者距离变化的关系。
A物体追赶前方的B物体，
若vA>vB，则两者之间的距离变小。
若vA=vB，则两者之间的距离不变。
若vA基本类型
02
几种基本类型
类型1、慢者A加速追匀速快者B:(同时同地出发)
①一定能追上；
②v相等时相距最远；
③只相遇一次。
t
v1
0
v2
v
A
B
△x
t
【例】一辆执勤的警车停在公路边。当警员发现从他旁边以v0=8m/s的速度匀速行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶。警车以加速度a=2m/s2做匀加速运动。试问：
（1）警车要多长时间才能追上违章的货车？
（2）在警车追上货车之前，两车间的最大距离是多大？
作运动示意图如图所示：
(1)设警车经时间t追上货车，
由运动学公式可得：
对货车：x1=v0t ①
对警车：x2=at2 / 2 ②
由题可得：x1=x2 ③
联立以上方程可解得： t= 2v0 /a
代入数值得：t=8s
(2)由题可得，当警车与货车速度相等时两车相距最远
设需时间为t’,距离为△x,则：
V0=at’ ④
△x=v0t’- at’2/2 ⑤
联立可解得：追上前，两车最大距离△x=16m
o
V0
a
E
x1
x2
C
D
v2=v1
△x
分析与解：
类型2、慢者B匀速追减速快者A
①一定能追上；
②快者被追上前可能已经停止运动；
所以要先判断相遇时间t与A停止时间tA的关系，两种情况:
①t≤ tA ,AB运动时间相等
②t＞tA ,AB运动时间不等
t
v2
0
v1
v
A
B
t
tA
t
v2
0
v1
v
A
B
②
t
tA
①
解:假设汽车经t1时间停止运动,则：
汽车停止前的位移x=
到汽车停止时,小光走过位移：
x1=v光（t反+t1）=5×6.5=32.5m<（40+10）m
所以小光还没有追上汽车,此时距离汽车距离：
x2=x0+x-x1=10+40-32.5=17.5m
所以小光要再走的时间为：
t2=x2/v光=7.5/5=3.5s
小光追上汽车总时间t总=1.5+3.5+5=10s
【例】小光准备去车站乘车去广州，当小光到达车站前的流沙大道时，发现汽车在离自己10m处正以10m/s匀速行驶，小光立即示意司机停车并以5m/s的速度匀速追赶，司机看到信号经1.5s反应时间后，立即刹车，加速度为2m/s2，求小光追上汽车所需时间？
类型3 、快者A减速追匀速慢者B：(B在A前X0处）
①若两者共速（ VA=VB）时没有追上，就再
也追不上（或不相碰）
②若在共速时恰好相遇，则只相遇一次
（或恰好不相碰）
③若在共速前相遇一次，则共速后还会再
相遇一次（先是快者A追慢者B，再是慢者B追快者A）
△x
t
v2
0
v1
v
A
B
t1
t2
上述结论也可阐述为，VA=VB时，若：
① △x=X0, 恰能追上（或恰不相碰）
② △x＞X0, 相遇两次
③ △x＜X0 ，追不上（相距最近）
【例】A火车以v1=20m/s速度匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距100m处有另一列火车B正以v2=10m/s速度匀速行驶，A车立即做加速度大小为a的匀减速直线运动。要使两车不相撞，a应满足什么条件？
解1：（公式法）
两车恰不相撞的条件是两车速度相同时相遇，设B加速度大小为a，则：
由A、B 速度关系：
由A、B位移关系：
(包含时间关系)
v/ms-1
B
A
t/s
o
10
t0
20
在同一个v-t图中画出A车和B车的速度时间图像图线，根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差，当t=t0时梯形与矩形的面积之差最大,为图中阴影部分三角形的面积.根据题意,阴影部分三角形的面积不能超过100m
物体的v-t图像的斜率表示加速度,面积表示位移。
解2：（图像法）
以B车为参照物， A车的初速度为v0=10m/s，以加速度大小a减速，行驶x=100m后“停下”，末速度为vt=0。
以B为参照物,公式中的各个量都应是相对于B的物理量.注意物理量的正负号。（革命要彻底）
解3：（相对运动法）
由于不涉及时间，所以选用速度位移公式。
代入数据得
若两车不相撞，其位移关系应为
其图像(抛物线)的顶点纵坐标必为正值,故有
解4：（二次函数极值法）
把物理问题转化为根据二次函数的极值求解的数学问题。
类型4、匀速追匀加速（A在B后x0处）
VA=VB时，若
① △x=x0, 恰能追上（或恰不相碰）
② △x＞x0, 相遇两次(t1 、t2）
③ △x＜x0，追不上（相距最近）
类型5、匀加速追匀减速
一定能追上；
要先判断相遇时间t与B停止时间tB的关系
t
v1
0
v2
v
B
A
△x
t1
t2
类型6、匀减速追匀加速（A在B后x0处）
VA=VB时，若
① △x=x0, 恰能追上（或恰不相碰）
② △x＞x0, 相遇两次(t1 、t2）
③ △x＜x0，追不上（相距最近）
t
v1
0
v2
v
A
B
t
v1
0
v2
v
A
B
t1
t2
【其他类型】
典例分析
03
【例题1】甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v–t图像如图所示。已知两车在t=3 s时并排行驶，则（ ）
A.在t=1 s时，甲车在乙车后
B.在t=0时，甲车在乙车前7.5 m
C.两车另一次并排行驶的时刻是t=2 s
D.甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
根据v–t图象，可以判断在t=1?s时，甲车和乙车并排行驶，AC错误；在t=0，甲车在乙车前的距离Δ????=(10+5)×12=7.5m ，B正确；甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离也就是从第1 s末到第3 s末两车运动的移，也等于这一时间内甲车运动的位移：Δ????=(10+30)×22=40m ，D正确。
?
BD
解析：
【例题2】甲乙两车在公路上沿同一方向做直线运动，它们的v－t图象如图所示．两图象在t＝t1时相交于P点，P在横轴上的投影为Q，ΔOPQ的面积为S．在t＝0时刻，乙车在甲车前面，相距为d．已知此后两车相遇两次，且第一次相遇的时刻为t′，则下面四组t′和d的组合可能是 （ ）
A.t′＝t1，d＝S B. ????′=12????1,????=14????????
C. ????′=12????1,????=12??????????D. ????′=12????1,????=34????
?
在t1时刻如果甲车没有追上乙车，以后就不可能追上了，故 t′ ＜ t，A错；从图像中甲、乙与坐标轴围成的面积即对应的位移看,甲在t1时间内运动的位移比乙的多S，当t′ =0.5 t1时，甲的面积比乙的面积多出3S/4，即相距d=3S/4，选项D正确。
解析：
解析：
【例题3】一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：
⑴汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
⑵汽车经过多少时间能追上自行车?此时汽车的速度是多大?汽车运动的位移又是多大？
方法一：公式法
⑴当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的距离最大。设经时间t两车之间的距离最大。则：
????汽=????????=????自
?
∴????=????自????=????????????=????????
?
????????????=????自?????汽=????自?????????????????????????=????×?????????????????×????×????????????=????????
?
∴????=????????自????=????????
?
????汽′=????????=????????????/????
?
????汽′=????????????????????＝????????????
?
????自????=????????????????????
?
⑵
解析：
【例题3】一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：
⑴汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
⑵汽车经过多少时间能追上自行车?此时汽车的速度是多大?汽车运动的位移又是多大？
方法二：图象法
a=????????????=????
?
????????????=????????×????×????????=????????
?
⑴v-t图像的斜率表示物体的加速度
当t=2s时两车的距离最大
∴????????=????????
?
⑵
2t0
由此可知汽车经过4S追上自行车；此时汽车的速度是????????????/????；汽车运动的位移是????????????。
?
解析：
【例题3】一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：
⑴汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
⑵汽车经过多少时间能追上自行车?此时汽车的速度是多大?汽车运动的位移又是多大？
方法三：二次函数极值法
⑴设经过时间t汽车和自行车之间的距离Δx，则
⑵
????????=????自?????12????????2=6?????32????2
?
当????=?62×(?32)=2s时
?
∴????????????=?624×(?32)=6m
?
????????=6?????32????2=0
?
∴????=4????
?
????汽′=????????=12????/????
?
????汽′=12????????2＝24????
?
解析：
【例题3】一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：
⑴汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
⑵汽车经过多少时间能追上自行车?此时汽车的速度是多大?汽车运动的位移又是多大？
方法四：相对运动法
⑴选自行车为参照物，则从开始运动到两车相距最远这段过程中，以汽车相对地面的运动方向为正方向，汽车相对此参照物的各个物理量的分别为：v0=-6m/s，a=3m/s2，vt=0
?????????????????????????=????????????
?
????=?????????????????????????????????=?????(?????)????????×????????=?????????
?
????????=????????+????????
?
????=?????????????????????=?????(?????)????????=????????
?
⑵选自行车为参照物，各个物理量的分别为：v0=-6m/s，a=3m/s2，x=0
????????=????????+????????????
?
????????=?????????=????????/????
?
????????=????????+????????
?
????=?????+????????
?
????=????????
?
????????=????自????=24????
?
解析：
【例题4】A火车以v1=20m/s速度匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距100m处有另一列火车B正以v2=10m/s速度匀速行驶，A车立即做加速度大小为a的匀减速直线运动。要使两车不相撞，a应满足什么条件？
方法一：公式法
两车恰不相撞的条件是两车速度相同时相遇。
由A、B速度关系：
由A、B位移关系：
?????????????????=????????
?
?????????????????????????????????=????????????+????????
?
????=(?????????????????)????????????????=(?????????????????)????????×????????????????/????????=????.????????/????????
?
则????>????.????????/????????
?
解析：
【例题4】A火车以v1=20m/s速度匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距100m处有另一列火车B正以v2=10m/s速度匀速行驶，A车立即做加速度大小为a的匀减速直线运动。要使两车不相撞，a应满足什么条件？
方法二：图象法
????????×(?????????????????)????????=????????????
?
∴????????=????????????
?
????=?????????????????????????=????.????
?
则????>????.????????/????????
?
解析：
【例题4】A火车以v1=20m/s速度匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距100m处有另一列火车B正以v2=10m/s速度匀速行驶，A车立即做加速度大小为a的匀减速直线运动。要使两车不相撞，a应满足什么条件？
方法三：二次函数极值法
???????????????????????????????????????????????
代入数据得
?????????????????????????????????+????????????>????
?
若两车不相撞，其位移关系应为
则????>????.????????/????????
?
????×????????????×?????????????(?????????)????????×????????????>????
?
其图像(抛物线)的顶点纵坐标必为正值,故有
或列方程
??????????????????????????????????????????????=????????
?
代入数据得
?????????????????????????????????+????????????=????
?
∵不相撞 ∴△<0
∴?????????????????×????????????×?????????????
则????>????.????????/????????
?
解析：
【例题4】A火车以v1=20m/s速度匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距100m处有另一列火车B正以v2=10m/s速度匀速行驶，A车立即做加速度大小为a的匀减速直线运动。要使两车不相撞，a应满足什么条件？
方法四：相对运动法
以B车为参照物， A车的初速度为v0=10m/s，以加速度大小a减速，行驶x=100m后“停下”，末速度为vt=0
?????????????????????????=?????????????????
?
????=??????????????????????????????????????=??????????????????????×????????????????/????????=????.????????/????????
?
则????>????.????????/????????
?
以B为参照物,公式中的各个量都应是相对于B的物理量.注意物理量的正负号.
【例题5】如图所示，甲、乙两车沿着同一条平直公路同向行驶，甲车以20 m/s的速度匀速运动，乙车原来速度为8 m/s，从距甲车80 m处以大小为4 m/s2的加速度做匀加速运动，问：乙车经多少时间能追上甲车？
乙车追上甲车就是两车在某一时刻到达同一位置，可直接根据两车位移关系列方程求解。
解析：
解得：t1＝10 s，t2＝－4 s(舍)
乙车经10 s能追上甲车．
设经时间t乙车追上甲车．在这段时间内甲、乙两车位移分别为
x甲＝v甲t
????乙=????乙????+????????????????????
?
追上时的位移条件为x乙＝x甲＋x0
即20t＋80＝8t＋2t2
整理得：t2－6t－40＝0
【例题6】两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度均为v0，若前车突然以恒定加速度刹车，在它刚停车时，后车以前车的加速度开始刹车，已知前车在刹车过程中所行的距离为S，若要保证两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时应保持的距离至少为( )
A. S. B.2S C.3S D.4S
两车初速度相同，刹车时加速度相同，时间关系也明确，应借助图像分析求解。
t1
B
D
v0
A
C
t2
图中ΔAOC 面积为前车刹车后的位移
梯形ABDO面积为前车刹车后后车的位移
ACDB面积为后车多走的位移，也就是为使两车不撞,至少应保持的距离。
????????=?????????????=????????
?
解析：
S
B
【例题7】在水平轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件。
要使两车不相撞，即根据两车到达同一位置的位移关系所列出的方程t无解。
????????????+????????×(?????????)????????=????+????????????????????
?
A车:
解析：
????????=????????+(?????????)????
?
B车:
????????=????????????????????
?
????????=????????
?
两车位移关系:
????=????????+????????
?
????????=????????????+????????×(?????????)????????
?
3a??????????????????????????+????????=????
?
Δ=（??????????????）?????????×????????×?????????
????0<6????????
?
4. 甲乙两车在一平直道路上同向运动，其v-t图像如图所示，图中ΔOPQ和ΔOQT的面积分别为s1和s2（s2>s1）初始时，甲车在乙车前方s0处。则（ ）
A．若s0=s1+s2，两车不会相遇
B．若s0C．若s0=s1，两车相遇1次
D．若s0=s2，两车相遇1次
t
v
Q
P
O
T
甲
乙
ABC
解析：由图可知甲的加速度a1比乙a2大，在达到速度相等的时间T内两车相对位移为s1。若s0=s1+s2，速度相等时甲比乙位移多s1s1），两车速度相等时还没有追上，并且甲车快、更追不上，D错。
1、如图所示，甲、乙、丙三物体从同一地点沿同一方向做直线运动，在t1时刻，三物体比较( )
①v甲＝v乙＝v丙 ②x甲>x乙>x丙 ③a丙>a乙>a甲
④甲丙之间距离最大 ⑤甲、乙、丙相遇
A.只有①②③正确
B.只有①②③④正确
C.只有②③④正确
D.全正确
B
小试牛刀
2、一步行者以6.0 m/s的速度跑去追赶被红灯阻停的公共汽车，在跑到距汽车25 m处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，则(　　)
A.人能追上公共汽车，追赶过程中人跑了36 m
B.人不能追上公共汽车，人、车最近距离为7 m
C.人能追上公共汽车，追上车前人共跑了43 m
D.人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离越来越远
B
小试牛刀
3、t＝0时，甲乙两汽车从相距70 km的两地开始相向行驶，它们的v－t图象如图所示．忽略汽车掉头所需时间．下列对汽车运动状况的描述正确的是 ( )
A.在第1小时末，乙车改变运动方向
B.在第2小时末，甲乙两车相距10 km
C.在前4小时内，乙车运动加速度的大小总比甲车的大
D.在第4小时末，甲乙两车相遇
解析：速度图像在t 轴下的均为反方向运动，故2h末乙车改变运动方向，A错；2h末从图像围成的面积可知乙车运动位移为30km,甲车位移为30km，相向运动，此时两车相距为70km-30km-30km=10km，B对；从图像的斜率看，斜率大加速度大，故乙车加速度在4h内一直比甲车加速度大，C对；4h内，甲车运动位移120km，乙车运动位移30m，两车原来相距70km，故此时两车还相距20km，D错。
B C
小试牛刀
4、如图所示，直线MN表示一条平直公路，甲、乙两辆汽车原来停在A、B两处，A、B间的距离85m，现甲车先开始向右做匀加速直线运动，加速度a1＝2.5 m/s2，甲车运动6.0s时，乙车立即开始向右做匀加速直线运动，加速度a2＝5.0 m/s2，求：
(1)两辆汽车再经过多长时间相遇；
(2)两辆汽车相遇处距A处的距离。
解：⑴甲车运动6．0 s的位移为x0：
????0=12????1????02=45????
?
甲车尚未追上乙车，设此后经时间t与乙车相遇，则有
12????1????+????02=12????2????2+85
?
解得t1＝4 s，t2＝8 s
由于t1、t2都有意义，分析可知t1＝4 s时，甲车追上乙车；t2＝8 s时，乙车追上甲车再次相遇。
小试牛刀
4、如图所示，直线MN表示一条平直公路，甲、乙两辆汽车原来停在A、B两处，A、B间的距离85m，现甲车先开始向右做匀加速直线运动，加速度a1＝2.5 m/s2，甲车运动6.0s时，乙车立即开始向右做匀加速直线运动，加速度a2＝5.0 m/s2，求：
(1)两辆汽车再经过多长时间相遇；
(2)两辆汽车相遇处距A处的距离。
⑵第一次相遇地点距A处的距离x1
????1=12????1????1+????02=125????
?
第二次相遇地点距A处的距离x2
????2=12????1????2+????02=245????
?
小试牛刀
5.甲、乙两物体相距s，同时同向沿同一直线运动，乙在前面做初速度为零、加速度为a1的匀加速直线运动，甲在后做初速度为v0、加速度为a2的匀加速直线运动，则( )
A．若a1＝a2，则两物体可能相遇一次
B．若a1>a2，则两物体可能相遇两次
C．若a1D．若a1>a2，则两物体可能相遇一次，也可能不相遇
ABD
小试牛刀
解法:图象法
用速度——时间图象来进行分析.先作出两物体的速度——时间图象，根据加速度大小关系可能有三种情况，如图所示.
当a1=a2时，如图(a)所示，在相等时间内甲的位移总是比乙的位移大，所以，总有一个时刻t1,甲与乙的位移差正好等于s，也就是一定能相遇一次;
当a1>a2时，如(c)图所示，先是甲比乙快，后又乙比甲快，图中阴影部分“面积”表示甲的位移比乙的位移多出部分的最大值，如果图中阴影部分“面积” 小于s，就不可能相遇;如果阴影部分“面积”等于s,就会相遇一次，即在图中时刻t2 相遇;如果阴影部分“面积”大于s,就可能相遇两次，即图中时刻t1和t3,一次是甲赶上忆，另一次是乙反超甲;
当a16、一小汽车从静止开始以3m/s2的加速度行驶，恰有一自行车以6m/s的速度从车边匀速驶过．求：
(1)小汽车从开动到追上自行车之前经过多长时间两者相距最远？此时距离是多少？
(2)小汽车什么时候追上自行车，此时小汽车的速度是多少？
x汽
x自
△x
方法一：公式法
当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的距离最大。设经时间t两车之间的距离最大。则
x汽
x自
△x
那么，汽车经过多少时间能追上自行车?此时汽车的速度是多大?汽车运动的位移又是多大？
方法二：图象法
解：画出自行车和汽车的速度-时间图线，自行车的位移x自等于其图线与时间轴围成的矩形的面积，而汽车的位移x汽则等于其图线与时间轴围成的三角形的面积。两车之间的距离则等于图中矩形的面积与三角形面积的差，不难看出，当t=t0时矩形与三角形的面积之差最大。
v/ms-1
自行车
汽车
t/s
o
6
t0
V-t图像的斜率表示物体的加速度
当t=2s时两车的距离最大
动态分析随着时间的推移,矩形面积(自行车的位移)与三角形面积(汽车的位移)的差的变化规律
α
方法三：二次函数极值法
设经过时间t汽车和自行车之间的距离Δx，则
x汽
x自
△x
那么，汽车经过多少时间能追上自行车?此时汽车的速度是多大?汽车运动的位移又是多大？
方法四：相对运动法
选自行车为参照物，则从开始运动到两车相距最远这段过程中，以汽车相对 的运动方向为正方向，汽车相对此参照物的各个物理量的分别为：v0=-6m/s，a=3m/s2，vt=0
对汽车由公式
问：xm=-6m中负号表示什么意思？
以自行车为参照物,公式中的各个量都应是相对于自行车的物理量.注意物理量的正负号.
表示汽车相对于自行车是向后运动的,其相对于自行车的位移为向后6m.