广东省梅州市兴宁市齐昌中学等联考2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题
1．（2025高二上·兴宁月考）已知全集，，则（ ）
A． B．
C． D．{3}
2．（2025高二上·兴宁月考）若复数，则（ ）
A．13 B． C．5 D．
3．（2025高二上·兴宁月考）若直线的倾斜角的大小为，则实数（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高二上·兴宁月考）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025高二上·兴宁月考）在三棱锥中，若，，，则（ ）
A． B．1 C． D．0
6．（2025高二上·兴宁月考）已知函数的定义域为，且在上单调递减，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高二上·兴宁月考）角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高二上·兴宁月考）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高二上·兴宁月考）已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）．
A． B．
C．是平面的一个法向量 D．
10．（2025高二上·兴宁月考）为了了解苗圃中树苗的生长情况，林业部门从一个苗圃中的10000棵树苗中随机抽取了棵，按照树苗的高度进行了分组，并绘制了如图所示的频率分布直方图，已知高度在内的树苗有10棵，将样本频率当做概率，则以下结论正确的是（ ）
A．，
B．这棵树苗高度的中位数的估计值为114
C．在这10000棵树苗中，高度在100cm以下的约有2000棵
D．若采用按比例分层抽样的方法从这棵树苗中抽取40棵，则高度在内的有5棵
11．（2025高二上·兴宁月考）在棱长为1的正方体中，下列说法正确的有（ ）
A．平面 B．平面
C．点到平面的距离为 D．与平面所成的角为
12．（2025高二上·兴宁月考）直线倾斜角的取值范围是 ．
13．（2025高二上·兴宁月考）直线过定点，则点的坐标为 .
14．（2025高二上·兴宁月考）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 .
15．（2025高二上·兴宁月考）如图，已知棱长为1的正四面体，，分别是，的中点．
（1）用表示向量，并求的模长；
（2）求与所成角的余弦值．
16．（2025高二上·兴宁月考）已知的顶点为、、.
（1）求边所在直线的方程；
（2）求边上的高线所在直线的方程；
（3）求的面积.
17．（2025高二上·兴宁月考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求A；
（2）若的周长为9，面积为，求a.
18．（2025高二上·兴宁月考）如图，在三棱锥中，平面，，点在上，且，点是线段上的动点.
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）当是的中点时，求与平面所成角的正弦值；
（3）求平面与平面夹角的最大值.
19．（2025高二上·兴宁月考）设为实数，已知．
（1）若关于的不等式的解集为，求；
（2）若对任意恒成立，求的取值范围；
（3）若对任意，总存在，使得成立，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：依题意，，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用列举法结合已知条件得出全集U，再利用补集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，
所以．
故答案为：A．
【分析】根据共轭复数的定义和复数的乘法运算法则，从而得出复数.
3．【答案】D
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：将直线方程变形为斜截式，所以直线的斜率，
已知倾斜角为，根据直线倾斜角与斜率的关系，斜率，
则，解得.
故答案为：D.
【分析】本题考查直线倾斜角与斜率的关系，先将直线方程化为斜截式求斜率，再结合倾斜角的正切值等于斜率来计算的值.
4．【答案】C
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】解：由直线的斜率公式，
可得：；，
结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，
则直线l的斜率需满足或.
故答案为：C.
【分析】先利用直线的斜率公式计算出，的值，再结合图形和直线与线段有交点的条件，从而建立不等式得出直线l的斜率的取值范围.
5．【答案】B
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，，，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和空间向量基本定理以及数量积的运算律，从而得出的值.
6．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；图形的对称性
【解析】【解答】解：由函数的定义域为，
得函数的图象关于直线对称，
又因为函数在上单调递减，
所以，不等式，
则，
解得，
所以所求不等式的解集为.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和函数的对称性、单调性，从而得出不等式的解集.
7．【答案】C
【知识点】任意角三角函数的定义；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为角的终边过点，
所以，
则.
故答案为：C.
【分析】由诱导公式可得，再利用三角函数的定义求出的值.
8．【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：因为的定义域为，又因为，
所以是奇函数，
则，
所以在上单调递增，
由0，
可得，
则．
因为在上单调递增，
所以，
解得，
则不等式的解集为．
故答案为：D.
【分析】先根据函数奇偶性的定义得出函数为奇函数，再利用函数单调性判断出函数在上单调递增，再结合奇函数的性质和单调性，从而得出不等式的解集.
9．【答案】B,C,D
【知识点】向量的模；平面的法向量；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：对于A，因为，
所以，故选项A错误；
对于B，因为，
所以，
则，故选项B正确；
对于D，因为，
所以，故选项D正确；
对于C，因为，，，且平面，
所以是平面的一个法向量，故选项C正确.
故答案为：BCD.
【分析】先利用三角形法则求出向量的坐标，再结合向量求模的坐标表示求解，则判断出选项A；先利用三角形法则求出的坐标表示，再根据空间向量数量积的坐标表示，则判断出选项B；根据空间向量数量积的坐标表示判断出选项D；结合，可判断选项C，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】B,C
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；概率的基本性质
【解析】【解答】解：对于A，因为，
解得，
则高度在内树苗的频率为，
所以（棵），故A错误；
对于B，设中位数为，中位数左边和右边的频率分布直方图的面积相等，都为0.5，
则前三个矩形的面积和为，
所以对应的矩形面积为，
因为，
所以中位数在内，
则，
解得，
所以这棵树苗高度的中位数的估计值为114，故B正确；
对于C，因为高度在100cm以下的树苗的频率为，
在这10000棵树苗中，高度在100cm以下的约有（棵），故C正确；
对于D，因为高度在内的树苗的频率为，
若采用按比例分层抽样的方法从这棵树苗中抽取40棵，
则高度在内的有（棵），故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据频率之和为1和各小组的频率等于各小组的矩形的面积，则可判断选项A；根据频率分布直方图求中位数的方法，则可判断B；根据频数等于频率除以样本容量公式，从而计算可判断选项C；根据抽样比的方法可判断选项D，进而找出结论正确的选项.
11．【答案】A,B,C
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以.
对于A，因为，
所以，
则，
又因为平面，平面，
所以平面，故A正确；
对于B，由，
得，
由，
得，，平面，
则平面，故B正确；
对于C，因为是平面的一个法向量，
所以，点D到平面的距离，故C正确，
对于D，因为与平面所成角的正弦值为，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】构建空间直角坐标系，利用向量法和线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，则判断出选项A和选项B；利用数量积得出点D到平面的距离，则判断出选项C；利用数量积和诱导公式得出直线与平面所成角的正弦值，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：由，
所以，直线的斜率为：，
设倾斜角为，则（），
所以，当时，；
当时，，
综上所述，倾斜角的取值范围为：.
故答案为：.
【分析】先求直线的斜率的取值范围，再根据直线的倾斜角和直线斜率的关系，则分情况讨论得出直线倾斜角的取值范围.
13．【答案】
【知识点】恒过定点的直线
【解析】【解答】解：将原式化简为，
可得，
解得，
则直线过定点.
故答案为：.
【分析】将原式化简为，可得，从而得出的值，进而得出定点的坐标.
14．【答案】
【知识点】空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为空间向量，，
所以向量在向量上的投影向量为：
.
故答案为：.
【分析】利用数量积求投影向量的坐标的公式，从而得出向量在向量上的投影向量的坐标.
15．【答案】（1）解：因为，
所以则.
（2）解：设为异面直线与所成的角，
则
，
所以，异面直线与所成的角为.
【知识点】向量的模；数量积表示两个向量的夹角；空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）利用空间向量基本定理表示出向量，再将两边同时平方结合数量积的运算律，从而得出的模长.
（2）利用空间向量基本定理和数量积求向量夹角公式，从而得出异面直线与所成的角的余弦值.
（1），
，所以
（2）设为异面直线与所成的角，
，所以异面直线与所成的角.
16．【答案】（1）解：因为，
所以直线的方程为：，即.
（2）解：因为，
所以边上的高的斜率为，
所以边上的高所在的直线为：，即.
（3）解：如图：作轴于点，轴于点，
则，，
所以
.
【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程；直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）先利用两点求斜率公式求出直线的斜率，再利用点斜式方程得出直线的方程并转化为直线的一般式方程.
（2）根据两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出边上的高的斜率，再根据点斜式方程得出边上的高所在直线的的方程并转化为直线的一般式方程.
（3）利用“割补法”和梯形面积公式、三角形面积公式，从而得出三角形的面积.
（1）因为.
所以直线的方程为：即.
（2）因为，所以边上的高的斜率为：.
所以边上的高所在的直线为：即.
（3）如图：作轴于点，轴于点，则，.
所以.
17．【答案】（1）解：在中，
由和正弦定理，
得，
则，
因此，
因为，
所以，
又因为，
所以.
（2）解：由（1）和已知条件，
得，
解得，
由，得，
由余弦定理，得，
则，
所以.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据已知条件和正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式以及三角形中角的取值范围，从而得出角A的值.
（2）由（1）的结论和三角形面积公式以及余弦定理，从而列式求解得出实数a的值.
（1）在中，由及正弦定理得，
则，
因此，而，则，又，
所以.
（2）由（1）及已知得，解得，
由，得，
由余弦定理得，则，
所以.
18．【答案】（1）解：设．建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
所以，
，
异面直线与所成角的余弦值为．
（2）解：当是的中点时，，
则，
设平面的法向量为，
，
令，，
设与平面所成角为，
则，
与平面所成角的正弦值为．
（3）解：设
当时，平面与平面重合；
当时，设平面的法向量为，
则，
令，则，
当时，设平面的法向量为，则，
令，则可求得平面的一个法向量为，
，
令，
则
，
当且仅当时，即当时，即d昂时取等号，
此时，
平面与平面夹角的最大值为．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；数量积表示两个向量的夹角；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）假设，建立合适的空间直角坐标系，从而求出点的坐标和向量坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出异面直线与所成角的余弦值.
（2）利用中点的性质和两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而求出平面的法向量，再利用数量积和诱导公式得出直线与平面所成角的正弦值.
（3）先求出平面与平面的法向量，再利用数量积求二面角的公式可得其表达式，再结合换元法和基本不等式求最值的方法，从而得出平面与平面夹角的最大值.
（1）设．建立如图所示的空间直角坐标系，
.
，
，
异面直线与所成角的余弦值为．
（2）当是的中点时，，则，
设平面的法向量为，，
令，
设与平面所成角为，则．
与平面所成角的正弦值为．
（3）设，
当时，平面与平面重合，
当时，设平面的法向量为，则，
令，则，
当时，设平面的法向量为，则，
令，则可求得平面的一个法向量为，
，
令，则
，
当且仅当，即，即时，取等号，
此时，
平面与平面夹角的最大值为．
19．【答案】（1）解：由，
得，
由题意知和是方程的解，且，
所以，
解得.
（2）解：当时，，成立；
当时，有，解得，
则的取值范围为．
（3）解：当时，不等式为，成立；
当时，函数的对称轴为，
当时，函数在上单调递增，
在上单调递增，
由题意，得，解得，则；
当时，函数在上单调递减，
在上单调递减，
由题意，得，解得，则，
综上所述，实数的取值范围为.
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题；一元二次方程的根与系数的关系；图形的对称性
【解析】【分析】（1）根据已知条件和一元二次不等式求解方法，从而得出，求解得出a的值.
（2）分和两种情况，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而求解得出实数的取值范围.
（3）利用一次函数的性质、二次函数的性质，从而求出和在的最值，再结合已知条件，从而求解得出实数a的取值范围.
（1）由，得，
由题知和是方程的解，且，
所以，解得.
（2）当时，，成立，
当时，有，解得.
故的取值范围为．
（3）当时，不等式为，成立；
当时，函数的对称轴为，
当时，函数在上单调递增，在上单调递增，
由题有，解得，则；
当时，函数在上单调递减，在上单调递减，
由题有，解得，则；
综上所述，实数的取值范围为.
1 / 1广东省梅州市兴宁市齐昌中学等联考2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题
1．（2025高二上·兴宁月考）已知全集，，则（ ）
A． B．
C． D．{3}
【答案】A
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：依题意，，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用列举法结合已知条件得出全集U，再利用补集的运算法则，从而得出集合.
2．（2025高二上·兴宁月考）若复数，则（ ）
A．13 B． C．5 D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，
所以．
故答案为：A．
【分析】根据共轭复数的定义和复数的乘法运算法则，从而得出复数.
3．（2025高二上·兴宁月考）若直线的倾斜角的大小为，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：将直线方程变形为斜截式，所以直线的斜率，
已知倾斜角为，根据直线倾斜角与斜率的关系，斜率，
则，解得.
故答案为：D.
【分析】本题考查直线倾斜角与斜率的关系，先将直线方程化为斜截式求斜率，再结合倾斜角的正切值等于斜率来计算的值.
4．（2025高二上·兴宁月考）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】解：由直线的斜率公式，
可得：；，
结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，
则直线l的斜率需满足或.
故答案为：C.
【分析】先利用直线的斜率公式计算出，的值，再结合图形和直线与线段有交点的条件，从而建立不等式得出直线l的斜率的取值范围.
5．（2025高二上·兴宁月考）在三棱锥中，若，，，则（ ）
A． B．1 C． D．0
【答案】B
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，，，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和空间向量基本定理以及数量积的运算律，从而得出的值.
6．（2025高二上·兴宁月考）已知函数的定义域为，且在上单调递减，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；图形的对称性
【解析】【解答】解：由函数的定义域为，
得函数的图象关于直线对称，
又因为函数在上单调递减，
所以，不等式，
则，
解得，
所以所求不等式的解集为.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和函数的对称性、单调性，从而得出不等式的解集.
7．（2025高二上·兴宁月考）角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】任意角三角函数的定义；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为角的终边过点，
所以，
则.
故答案为：C.
【分析】由诱导公式可得，再利用三角函数的定义求出的值.
8．（2025高二上·兴宁月考）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：因为的定义域为，又因为，
所以是奇函数，
则，
所以在上单调递增，
由0，
可得，
则．
因为在上单调递增，
所以，
解得，
则不等式的解集为．
故答案为：D.
【分析】先根据函数奇偶性的定义得出函数为奇函数，再利用函数单调性判断出函数在上单调递增，再结合奇函数的性质和单调性，从而得出不等式的解集.
9．（2025高二上·兴宁月考）已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）．
A． B．
C．是平面的一个法向量 D．
【答案】B,C,D
【知识点】向量的模；平面的法向量；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：对于A，因为，
所以，故选项A错误；
对于B，因为，
所以，
则，故选项B正确；
对于D，因为，
所以，故选项D正确；
对于C，因为，，，且平面，
所以是平面的一个法向量，故选项C正确.
故答案为：BCD.
【分析】先利用三角形法则求出向量的坐标，再结合向量求模的坐标表示求解，则判断出选项A；先利用三角形法则求出的坐标表示，再根据空间向量数量积的坐标表示，则判断出选项B；根据空间向量数量积的坐标表示判断出选项D；结合，可判断选项C，从而找出说法正确的选项.
10．（2025高二上·兴宁月考）为了了解苗圃中树苗的生长情况，林业部门从一个苗圃中的10000棵树苗中随机抽取了棵，按照树苗的高度进行了分组，并绘制了如图所示的频率分布直方图，已知高度在内的树苗有10棵，将样本频率当做概率，则以下结论正确的是（ ）
A．，
B．这棵树苗高度的中位数的估计值为114
C．在这10000棵树苗中，高度在100cm以下的约有2000棵
D．若采用按比例分层抽样的方法从这棵树苗中抽取40棵，则高度在内的有5棵
【答案】B,C
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；概率的基本性质
【解析】【解答】解：对于A，因为，
解得，
则高度在内树苗的频率为，
所以（棵），故A错误；
对于B，设中位数为，中位数左边和右边的频率分布直方图的面积相等，都为0.5，
则前三个矩形的面积和为，
所以对应的矩形面积为，
因为，
所以中位数在内，
则，
解得，
所以这棵树苗高度的中位数的估计值为114，故B正确；
对于C，因为高度在100cm以下的树苗的频率为，
在这10000棵树苗中，高度在100cm以下的约有（棵），故C正确；
对于D，因为高度在内的树苗的频率为，
若采用按比例分层抽样的方法从这棵树苗中抽取40棵，
则高度在内的有（棵），故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据频率之和为1和各小组的频率等于各小组的矩形的面积，则可判断选项A；根据频率分布直方图求中位数的方法，则可判断B；根据频数等于频率除以样本容量公式，从而计算可判断选项C；根据抽样比的方法可判断选项D，进而找出结论正确的选项.
11．（2025高二上·兴宁月考）在棱长为1的正方体中，下列说法正确的有（ ）
A．平面 B．平面
C．点到平面的距离为 D．与平面所成的角为
【答案】A,B,C
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以.
对于A，因为，
所以，
则，
又因为平面，平面，
所以平面，故A正确；
对于B，由，
得，
由，
得，，平面，
则平面，故B正确；
对于C，因为是平面的一个法向量，
所以，点D到平面的距离，故C正确，
对于D，因为与平面所成角的正弦值为，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】构建空间直角坐标系，利用向量法和线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，则判断出选项A和选项B；利用数量积得出点D到平面的距离，则判断出选项C；利用数量积和诱导公式得出直线与平面所成角的正弦值，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．（2025高二上·兴宁月考）直线倾斜角的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：由，
所以，直线的斜率为：，
设倾斜角为，则（），
所以，当时，；
当时，，
综上所述，倾斜角的取值范围为：.
故答案为：.
【分析】先求直线的斜率的取值范围，再根据直线的倾斜角和直线斜率的关系，则分情况讨论得出直线倾斜角的取值范围.
13．（2025高二上·兴宁月考）直线过定点，则点的坐标为 .
【答案】
【知识点】恒过定点的直线
【解析】【解答】解：将原式化简为，
可得，
解得，
则直线过定点.
故答案为：.
【分析】将原式化简为，可得，从而得出的值，进而得出定点的坐标.
14．（2025高二上·兴宁月考）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 .
【答案】
【知识点】空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为空间向量，，
所以向量在向量上的投影向量为：
.
故答案为：.
【分析】利用数量积求投影向量的坐标的公式，从而得出向量在向量上的投影向量的坐标.
15．（2025高二上·兴宁月考）如图，已知棱长为1的正四面体，，分别是，的中点．
（1）用表示向量，并求的模长；
（2）求与所成角的余弦值．
【答案】（1）解：因为，
所以则.
（2）解：设为异面直线与所成的角，
则
，
所以，异面直线与所成的角为.
【知识点】向量的模；数量积表示两个向量的夹角；空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）利用空间向量基本定理表示出向量，再将两边同时平方结合数量积的运算律，从而得出的模长.
（2）利用空间向量基本定理和数量积求向量夹角公式，从而得出异面直线与所成的角的余弦值.
（1），
，所以
（2）设为异面直线与所成的角，
，所以异面直线与所成的角.
16．（2025高二上·兴宁月考）已知的顶点为、、.
（1）求边所在直线的方程；
（2）求边上的高线所在直线的方程；
（3）求的面积.
【答案】（1）解：因为，
所以直线的方程为：，即.
（2）解：因为，
所以边上的高的斜率为，
所以边上的高所在的直线为：，即.
（3）解：如图：作轴于点，轴于点，
则，，
所以
.
【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程；直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）先利用两点求斜率公式求出直线的斜率，再利用点斜式方程得出直线的方程并转化为直线的一般式方程.
（2）根据两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出边上的高的斜率，再根据点斜式方程得出边上的高所在直线的的方程并转化为直线的一般式方程.
（3）利用“割补法”和梯形面积公式、三角形面积公式，从而得出三角形的面积.
（1）因为.
所以直线的方程为：即.
（2）因为，所以边上的高的斜率为：.
所以边上的高所在的直线为：即.
（3）如图：作轴于点，轴于点，则，.
所以.
17．（2025高二上·兴宁月考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求A；
（2）若的周长为9，面积为，求a.
【答案】（1）解：在中，
由和正弦定理，
得，
则，
因此，
因为，
所以，
又因为，
所以.
（2）解：由（1）和已知条件，
得，
解得，
由，得，
由余弦定理，得，
则，
所以.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据已知条件和正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式以及三角形中角的取值范围，从而得出角A的值.
（2）由（1）的结论和三角形面积公式以及余弦定理，从而列式求解得出实数a的值.
（1）在中，由及正弦定理得，
则，
因此，而，则，又，
所以.
（2）由（1）及已知得，解得，
由，得，
由余弦定理得，则，
所以.
18．（2025高二上·兴宁月考）如图，在三棱锥中，平面，，点在上，且，点是线段上的动点.
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）当是的中点时，求与平面所成角的正弦值；
（3）求平面与平面夹角的最大值.
【答案】（1）解：设．建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
所以，
，
异面直线与所成角的余弦值为．
（2）解：当是的中点时，，
则，
设平面的法向量为，
，
令，，
设与平面所成角为，
则，
与平面所成角的正弦值为．
（3）解：设
当时，平面与平面重合；
当时，设平面的法向量为，
则，
令，则，
当时，设平面的法向量为，则，
令，则可求得平面的一个法向量为，
，
令，
则
，
当且仅当时，即当时，即d昂时取等号，
此时，
平面与平面夹角的最大值为．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；数量积表示两个向量的夹角；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）假设，建立合适的空间直角坐标系，从而求出点的坐标和向量坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出异面直线与所成角的余弦值.
（2）利用中点的性质和两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而求出平面的法向量，再利用数量积和诱导公式得出直线与平面所成角的正弦值.
（3）先求出平面与平面的法向量，再利用数量积求二面角的公式可得其表达式，再结合换元法和基本不等式求最值的方法，从而得出平面与平面夹角的最大值.
（1）设．建立如图所示的空间直角坐标系，
.
，
，
异面直线与所成角的余弦值为．
（2）当是的中点时，，则，
设平面的法向量为，，
令，
设与平面所成角为，则．
与平面所成角的正弦值为．
（3）设，
当时，平面与平面重合，
当时，设平面的法向量为，则，
令，则，
当时，设平面的法向量为，则，
令，则可求得平面的一个法向量为，
，
令，则
，
当且仅当，即，即时，取等号，
此时，
平面与平面夹角的最大值为．
19．（2025高二上·兴宁月考）设为实数，已知．
（1）若关于的不等式的解集为，求；
（2）若对任意恒成立，求的取值范围；
（3）若对任意，总存在，使得成立，求的取值范围．
【答案】（1）解：由，
得，
由题意知和是方程的解，且，
所以，
解得.
（2）解：当时，，成立；
当时，有，解得，
则的取值范围为．
（3）解：当时，不等式为，成立；
当时，函数的对称轴为，
当时，函数在上单调递增，
在上单调递增，
由题意，得，解得，则；
当时，函数在上单调递减，
在上单调递减，
由题意，得，解得，则，
综上所述，实数的取值范围为.
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题；一元二次方程的根与系数的关系；图形的对称性
【解析】【分析】（1）根据已知条件和一元二次不等式求解方法，从而得出，求解得出a的值.
（2）分和两种情况，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而求解得出实数的取值范围.
（3）利用一次函数的性质、二次函数的性质，从而求出和在的最值，再结合已知条件，从而求解得出实数a的取值范围.
（1）由，得，
由题知和是方程的解，且，
所以，解得.
（2）当时，，成立，
当时，有，解得.
故的取值范围为．
（3）当时，不等式为，成立；
当时，函数的对称轴为，
当时，函数在上单调递增，在上单调递增，
由题有，解得，则；
当时，函数在上单调递减，在上单调递减，
由题有，解得，则；
综上所述，实数的取值范围为.
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