1.3正方形的性质与判定随堂同步练习（含答案）北师大版数学九年级上册

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1.3正方形的性质与判定
一、单选题
1．如图，在菱形中，对角线相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（　　）
A． B． C． D．
2．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的两直角边长分别为，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
3．正方形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直平分
C．四条边相等 D．对角线平分一组对角
4．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形．已知为较长直角边，若，则正方形的面积为（　　）
A． B． C． D．
5．如图所示，在平行四边形中，对角线相交于点O，且，则下列式子不正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，四边形ABCD中，AC、BD交于点O，则根据下列条件能判定它是正方形的是(　　)
A．∠DAB=90°且AD=BC B．AB=BC且AC=BD
C．∠DAB=90°且AC⊥BD D．AC⊥BD且AO=BO=CO=DO
7．下列命题是真命题的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．平行四边形的对角线相等
C．菱形的对角线互相垂直且平分
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
8．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点M在CD的边上，且DM＝1，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为（　　）
A．3 B．2 C．5 D．
9．如图，点E为正方形外一点，且，连接，交于点F．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正方形的边长为，对角线、相交于点，将绕点顺时针旋转得到，交于点连接交于，连接．则下列结论：
①；
②四边形是菱形；
③△BDG的面积是；
④；其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④
11．如图，正方形的边长为9，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接，下列结论中不正确的是（　　）
A．矩形是正方形 B．
C．平分 D．
12．将四个全等的三角形按如图所示的方式围成一个正方形，记的面积为，四边形的面积为.若，，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，正方形中，，P是线段上的动点，，于点E，于点F，则　 　．
14．我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，成为中国古代数学成就的标志之一、如图，若弦图中四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则中间小正方形的面积为　 　．（用含的代数式表示）
15．如图，假设可以随意在两个完全相同的正方形拼成的图案中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是　 　．
16．如图，正方形和正方形的顶点E，F，G，M，N在矩形的边上，已知，，，则矩形的面积为　 　．
17．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN＝AC；③PE2+PF2＝PO2；④△POF∽△BNF；⑤点O在M、N两点的连线上．其中正确的是　 　．
三、解答题
18．如图是正方形纸片ABCD，分别沿AE、AF，折叠后边AB与AD恰好重叠于AG，求∠EAF的大小．
19．如图1是两条直角边长分别为斜边长为c的直角三角形纸片，图2是用四张图1纸片拼成的正方形图案．
（1）用含有的式子表示图2中正方形的边长；
（2）当时，小正方形的面积是多少？
20．如图，在正方形中，是边上的点，的垂直平分线交，与点F，G，．
（1）若正方形边长为4，求的长；
（2）求的值．
21．正方形的边长为4，交于点E．在点A处建立平面直角坐标系如图所示．
（1）如图1，双曲线过点E，求点的坐标和反比例函数的解析式；
（2）如图2，将正方形向右平移个单位长度，是经过点E的双曲线与交于点P，当为等腰三角形时，求m的值．
22．为迎接省旅游发展大会，某市对文化广场进行提质改造，该文化广场为长方形，长为120米，宽为80米，广场中心有一个半径为20米的圆形花坛，花坛外围需重新铺设广场砖．
（1）预估需要广场砖多少平方米正好铺设完成？（π取3）
（2）某施工队承包铺设广场砖的任务，因工期紧张，临时增加工人施工，每天比原计划多铺设，提前8天完成任务，求原计划每天铺设广场砖多少平方米？
23．如图，正方形的边，在坐标轴上，点B的坐标为，点从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向点运动；点从点同时出发，以相同的速度沿轴的正方向运动，规定点到达点时，点也停止运动．连结，过点作的垂线，与过点平行于轴的直线相交于点D．与轴交于点，连结．设点P运动的时间为．
（1）的度数为__________，点的坐标为__________（用t表示）；
（2）当t为何值时，是以为顶点的等腰三角形．
（3）探索周长是否随时间t的变化而变化，若变化，说明理由，若不变，试求这个定值．
24．在中，，，点在射线上与，两点不重合，以为边作正方形，使点与点在直线的异侧，射线与射线相交于点．
（1）若点在线段上，如图．
依题意补全图；
判定与的数量关系与位置关系，并加以证明．
（2）若点在线段的延长线上，且为的中点，连接，，则的长为　 　 ．
参考答案
1．C
2．A
3．A
4．C
5．C
6．D
7．C
8．C
9．B
10．A
11．B
12．D
13．2
14．
15．
16．40
17．①②③⑤
18．45°
19．（1）解：图1中的直角三角形的两条直角边长分别为，，
图2中正方形的边长是.

（2）解：由图可知，小正方形的边长为图1中的直角三角形的斜边，
由勾股定理可知，当，时，，
小正方形的面积等于5．
20．（1）；
（2）的值为．
21．（1），
（2）2或
22．（1）8400
（2）300
23．（1），
（2）或4时，是以为顶点的等腰三角形
（3）周长不随时间t的变化而变化，这个定值为8
24．（1）证明：依题意补全图形，如图所示，
，；
，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
点是延长线上的点，
；
（2）
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