3.2.2 双曲线的简单几何性质 闯关练 2025-2026学年高二年级数学选择性必修第一册（人教A版2019）
文档属性
| 名称 | 3.2.2 双曲线的简单几何性质 闯关练 2025-2026学年高二年级数学选择性必修第一册（人教A版2019） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-01 00:00:00 | ||
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文档简介
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3.2.2 双曲线的简单几何性质 闯关练 2025-2026学年
高二年级数学选择性必修第一册（人教A版2019）
一、单选题
1．中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
2．已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．设，是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则的离心率为
A． B． C． D．
4．若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截
得的弦长为2，则的离心率为
A．2 B． C． D．
5．设双曲线C:的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为
A．2 B． C． D．4
6．已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，，若点P是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是
A． B． C． D．
二、多选题
7．（多选）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．的最小值为
8．双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点．若双曲线C的方程为，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．当n过时，光由所经过的路程为13
C．射线n所在直线的斜率为k，则
D．若，直线PT与C相切，则
9．双曲线的标准方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．该曲线两顶点的距离为
B．该曲线与双曲线有相同的渐近线
C．该曲线上的点到右焦点的距离的最小值为1
D．该曲线与直线：，有且仅有一个公共点
三、填空题
10．记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ．
11．已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为 ．
12．设 分别是双曲线(，)的左 右焦点，点在双曲线右支上且满足，双曲线的渐近线方程为，则 .
13．已知双曲线中心在原点O且一个焦点为，直线与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 ，此时△的面积为 ．
14．已知双曲线C的方程为，过原点O的直线l与双曲线C相交于A、B两点，点F为双曲线C的左焦点，且，则的面积为 ．
四、解答题
15．已知双曲线，，是其两个焦点，点M在双曲线上.
(1)若，求的面积；
(2)若，则面积是多少？
(3)观察以上计算结果，你能看出随的变化，的面积将怎样变化吗？试证明你的结论.
16．已知双曲线的方程为．
（1）求以为中点的双曲线的弦所在直线的方程．
（2）过点能否作直线l，使直线l与所给双曲线交于，两点，且点B是弦的中点？如果直线l存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.
17．已知双曲线过点，且离心率
(1)求该双曲线的标准方程：
(2)如果，为双曲线上的动点，直线与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值.
18．已知双曲线：（，）实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．
19．P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：(a＞0，b＞0)上一点，M，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率；
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求λ的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 A D C A B B BD CD CD
1．A
【分析】先求出焦点坐标，再根据等轴双曲线求出实半轴长，从而可求题设中的方程.
【详解】设双曲线方程为：，半焦距为.
在直线中，令，得，
∴等轴双曲线的一个焦点坐标为，∴，∴，
故选：A．
2．D
【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案.
【详解】如图，
因为，不妨设渐近线方程为，即，
所以，
所以.
设,则，所以，所以.
因为,所以，所以，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，解得，
所以双曲线的方程为
故选：D
3．C
【分析】利用双曲线的定义求出，，，然后利用最小内角为结合余弦定理，求出双曲线的离心率．
【详解】解：因为、是双曲线的两个焦点，是双曲线上一点，且满足，
不妨设是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知
所以，，，
,,为△最小边,
△的最小内角，根据余弦定理，
，
即，
，
所以．
故选C．
【点睛】本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．属于基础题.
4．A
【详解】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为，
即，整理可得，双曲线的离心率．故选A．
点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
5．B
【分析】由双曲线的渐近线互相垂直可得渐近线为，故；根据定点到渐近线的距离为1可得，于是得到焦点坐标，最后根据点到直线的距离公式可得所求．
【详解】∵双曲线的两条渐近线互相垂直，
∴渐近线方程为，
∴．
∵顶点到一条渐近线的距离为1，
∴，
∴，
∴双曲线的方程为，焦点坐标为，
∴双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为．
【点睛】本题考查有关双曲线的基本运算问题，解题的关键是分清双曲线中的各个量的含义及其关系，然后再根据题目的要求求解．
6．B
【分析】先根据椭圆和双曲线的定义得到，再根据椭圆和双曲线的离心率得到，即得，再换元结合函数（3＜t＜4）的单调性求出的取值范围.
【详解】设，，由椭圆的定义可得，
由双曲线的定可得，
解得，，
由，可得，
即，
由，，可得，
由，可得，
可得，即，
则，
可设，则，
由于函数在递增，所以．
故选B．
【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的范围，考查换元法和构造函数法，考查运算能力，属于中档题．
7．BD
【分析】由椭圆与双曲线的几何性质可判断A，B项，由，得，可判断C项，D项利用C项的结论及基本不等式求解即可．
【详解】由题意可得，故A错误．
可设是第一象限的点，，，
由椭圆及双曲线的定义可得，
解得．
因为，所以在中，
由余弦定理可得，
化为．又，
则，故B正确．
由，可得，即有，即，故C错误．
，
当且仅当时，取等号，即的最小值为，故D正确．
故选：BD．
【点睛】结论点睛：椭圆和双曲线有共同的焦点，分别是的离心率，若点是它们的公共点，，则与的关系式为．
8．CD
【分析】对于A：判断出，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于B：利用双曲线的定义直接求得；对于C：先求出双曲线的渐近线方程，由P在双曲线右支上，即可得到n所在直线的斜率的范围；对于D：设直线PT的方程为.利用相切解得，进而求出.即可求出.
【详解】对于A：若，则.
因为P在双曲线右支上，所以.由勾股定理得：
二者联立解得：.故A错误；
对于B：光由所经过的路程为.
故B错误；
对于C：双曲线的方程为.设左、右顶点分别为A、B.如图示：
当与同向共线时，的方向为，此时k=0，最小.
因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为.即.
故C正确.
对于D：设直线PT的方程为.
，消去y可得：.
其中，即，解得
代入，有，解得：x=9.
由P在双曲线右支上，即，解得：（舍去），所以.
所以.
故D正确
故选：CD
9．CD
【分析】根据双曲线的方程，确定双曲线的几何性质，求出顶点坐标得距离判断A，求出双曲线的渐近线方程判断B，由双曲线上点到焦点距离的最小值的结论判断C，根据渐近线的性质判断D．
【详解】由已知双曲线中，则，顶点为和，距离为2，A错；
该双曲线的渐近线方程是，而双曲线的渐近线方程是，不相同，B错；
该双曲线上的点到焦点的距离的最小值为，C正确；
直线与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线有且只有一个公共点，D正确，
故选：CD．
10．2（满足皆可）
【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值.
【详解】解：，所以C的渐近线方程为,
结合渐近线的特点，只需，即，
可满足条件“直线与C无公共点”
所以，
又因为，所以，
故答案为：2（满足皆可）
11．4
【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出的关系，再结合双曲线中对应关系，联立求解，再由关系式求得，即可求解.
【详解】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距.
故答案为：4.
【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.
12．
【解析】设双曲线的半焦距为，求得双曲线的渐近线方程可得，，的关系，求出的三条边，运用余弦定理可求值．
【详解】设双曲线的半焦距为，
由双曲线的渐近线方程，可得，
则，
在中，，，
由余弦定理可得
．
故答案为：．
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是看到双曲线的焦半径，要马上联想到双曲线的定义解题.这是圆锥曲线的一个解题技巧，要注意熟练运用.
13． /
【分析】由题设有双曲线为且，联立直线方程，应用韦达定理及相交弦中点横坐标求参数a、b，即可得双曲线的方程，进而应用弦长公式求，点线距离公式求O到的距离，即可求△的面积.
【详解】由题设，设双曲线为且，
联立直线与双曲线并整理得：，
所以，
综上，可得，则双曲线为，
由上知：，则，故，
而O到的距离为，所以△的面积.
故答案为：，.
14．9
【分析】由双曲线的对称性可得四边形AFB为矩形，结合双曲线定义及勾股定理可得的面积.
【详解】
设为双曲线的右焦点，连接，，
由对称性可知：四边形AFB为矩形，
设
则，
∴
∴
∴
故答案为9
【点睛】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查解直角三角形，以及化简运算能力，属于基础题．
15．(1)9；
(2)；
(3)随的增大，的面积将减小；证明见解析
【分析】（1）（2）（3）利用双曲线定义、余弦定理及三角形面积公式求出面积，再结合正切函数的单调性即可求解.
【详解】（1）
易知，由双曲线定义得，平方得，
又，可得，故，，
故；
（2）
由（1）知，又，
可得，
即，故，，
故；
（3）随的增大，的面积将减小；证明如下：
由（1）知，，设，
则，
故，，
故，
因为，是增函数且恒大于0，
故随着的增大而减小.
16．（1）；（2）不存在，理由见解析.
【分析】（1）设以为中点的弦的两端点为，，利用点差法能求为中点的双曲线的弦所在的直线方程.
（2）假设直线l存在，由已知条件利用点差法求出直线l的方程为，联立方程组，根据判别式可知直线l是否存在.
【详解】（1）因为点在双曲线内，
所以过点A不与渐近线平行的直线一定与双曲线有两个交点．
设以为中点的弦的两端点为，，
则有，．
根据双曲线的对称性知．由点，在双曲线上，得
，，
两式相减得，
所以，所以，
即以为中点的弦所在直线的斜率，
故所求中点弦所在直线的方程为，即．
（2）假定直线l存在，采用（1）的方法求出直线l的方程为，
即．由，消去y得，
，无实根，
因此直线l与双曲线无交点，故满足条件的直线l不存在．
【点睛】本题主要考查了直线方程的求法，主要涉及点差法，属于中档题.
17．(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）根据双曲线的离心率及双曲线过点可得方程；
（2）设点与点的坐标，根据直线与直线的斜率互为相反数，可得直线的斜率.
【详解】（1）由题意，解得，，
故双曲线方程为
（2）设点，，
设直线的方程为，
代入双曲线方程，得，
，，，
同理，
.
18．(1)
(2)在定直线方程上
【分析】（1）联立直线方程与双曲线方程，可得点，进而根据三角形面积公式即可求出的值；（2）分直线斜率 和不存在两种情况讨论，求出两直线交点，代入化简即可求解.
【详解】（1）设直线的方程为，联立，得，
又，，代入上式得，即，
∴，解得，∴，，∴双曲线的方程为．
（2）当直线点的斜率不存在时，，，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得的，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立得，∴，，
∴直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，两边平方得，
又，满足，
∴
，
∴，∴，或，（舍去）
综上，在定直线上，且定直线方程为．
19．（1）；（2）λ＝0或λ＝－4.
【分析】(1) 由点在双曲线上，，利用化简得到答案.
(2)联立方程根据韦达定理得到，设代入数据化简得到，得到答案.
【详解】解：(1)由点在双曲线上，有.
由题意有，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，.
(2)联立得.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①
设，即.
又C为双曲线上一点，即，有.
化简得.②
又在双曲线上，所以.
由①式又有，
②式可化为，解得λ＝0或λ＝－4.
【点睛】本题考查了双曲线的离心率，参数的值，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.
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3.2.2 双曲线的简单几何性质 闯关练 2025-2026学年
高二年级数学选择性必修第一册（人教A版2019）
一、单选题
1．中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
2．已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．设，是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则的离心率为
A． B． C． D．
4．若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截
得的弦长为2，则的离心率为
A．2 B． C． D．
5．设双曲线C:的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为
A．2 B． C． D．4
6．已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，，若点P是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是
A． B． C． D．
二、多选题
7．（多选）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．的最小值为
8．双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点．若双曲线C的方程为，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．当n过时，光由所经过的路程为13
C．射线n所在直线的斜率为k，则
D．若，直线PT与C相切，则
9．双曲线的标准方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．该曲线两顶点的距离为
B．该曲线与双曲线有相同的渐近线
C．该曲线上的点到右焦点的距离的最小值为1
D．该曲线与直线：，有且仅有一个公共点
三、填空题
10．记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ．
11．已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为 ．
12．设 分别是双曲线(，)的左 右焦点，点在双曲线右支上且满足，双曲线的渐近线方程为，则 .
13．已知双曲线中心在原点O且一个焦点为，直线与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 ，此时△的面积为 ．
14．已知双曲线C的方程为，过原点O的直线l与双曲线C相交于A、B两点，点F为双曲线C的左焦点，且，则的面积为 ．
四、解答题
15．已知双曲线，，是其两个焦点，点M在双曲线上.
(1)若，求的面积；
(2)若，则面积是多少？
(3)观察以上计算结果，你能看出随的变化，的面积将怎样变化吗？试证明你的结论.
16．已知双曲线的方程为．
（1）求以为中点的双曲线的弦所在直线的方程．
（2）过点能否作直线l，使直线l与所给双曲线交于，两点，且点B是弦的中点？如果直线l存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.
17．已知双曲线过点，且离心率
(1)求该双曲线的标准方程：
(2)如果，为双曲线上的动点，直线与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值.
18．已知双曲线：（，）实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．
19．P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：(a＞0，b＞0)上一点，M，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率；
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求λ的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 A D C A B B BD CD CD
1．A
【分析】先求出焦点坐标，再根据等轴双曲线求出实半轴长，从而可求题设中的方程.
【详解】设双曲线方程为：，半焦距为.
在直线中，令，得，
∴等轴双曲线的一个焦点坐标为，∴，∴，
故选：A．
2．D
【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案.
【详解】如图，
因为，不妨设渐近线方程为，即，
所以，
所以.
设,则，所以，所以.
因为,所以，所以，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，解得，
所以双曲线的方程为
故选：D
3．C
【分析】利用双曲线的定义求出，，，然后利用最小内角为结合余弦定理，求出双曲线的离心率．
【详解】解：因为、是双曲线的两个焦点，是双曲线上一点，且满足，
不妨设是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知
所以，，，
,,为△最小边,
△的最小内角，根据余弦定理，
，
即，
，
所以．
故选C．
【点睛】本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．属于基础题.
4．A
【详解】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为，
即，整理可得，双曲线的离心率．故选A．
点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
5．B
【分析】由双曲线的渐近线互相垂直可得渐近线为，故；根据定点到渐近线的距离为1可得，于是得到焦点坐标，最后根据点到直线的距离公式可得所求．
【详解】∵双曲线的两条渐近线互相垂直，
∴渐近线方程为，
∴．
∵顶点到一条渐近线的距离为1，
∴，
∴，
∴双曲线的方程为，焦点坐标为，
∴双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为．
【点睛】本题考查有关双曲线的基本运算问题，解题的关键是分清双曲线中的各个量的含义及其关系，然后再根据题目的要求求解．
6．B
【分析】先根据椭圆和双曲线的定义得到，再根据椭圆和双曲线的离心率得到，即得，再换元结合函数（3＜t＜4）的单调性求出的取值范围.
【详解】设，，由椭圆的定义可得，
由双曲线的定可得，
解得，，
由，可得，
即，
由，，可得，
由，可得，
可得，即，
则，
可设，则，
由于函数在递增，所以．
故选B．
【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的范围，考查换元法和构造函数法，考查运算能力，属于中档题．
7．BD
【分析】由椭圆与双曲线的几何性质可判断A，B项，由，得，可判断C项，D项利用C项的结论及基本不等式求解即可．
【详解】由题意可得，故A错误．
可设是第一象限的点，，，
由椭圆及双曲线的定义可得，
解得．
因为，所以在中，
由余弦定理可得，
化为．又，
则，故B正确．
由，可得，即有，即，故C错误．
，
当且仅当时，取等号，即的最小值为，故D正确．
故选：BD．
【点睛】结论点睛：椭圆和双曲线有共同的焦点，分别是的离心率，若点是它们的公共点，，则与的关系式为．
8．CD
【分析】对于A：判断出，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于B：利用双曲线的定义直接求得；对于C：先求出双曲线的渐近线方程，由P在双曲线右支上，即可得到n所在直线的斜率的范围；对于D：设直线PT的方程为.利用相切解得，进而求出.即可求出.
【详解】对于A：若，则.
因为P在双曲线右支上，所以.由勾股定理得：
二者联立解得：.故A错误；
对于B：光由所经过的路程为.
故B错误；
对于C：双曲线的方程为.设左、右顶点分别为A、B.如图示：
当与同向共线时，的方向为，此时k=0，最小.
因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为.即.
故C正确.
对于D：设直线PT的方程为.
，消去y可得：.
其中，即，解得
代入，有，解得：x=9.
由P在双曲线右支上，即，解得：（舍去），所以.
所以.
故D正确
故选：CD
9．CD
【分析】根据双曲线的方程，确定双曲线的几何性质，求出顶点坐标得距离判断A，求出双曲线的渐近线方程判断B，由双曲线上点到焦点距离的最小值的结论判断C，根据渐近线的性质判断D．
【详解】由已知双曲线中，则，顶点为和，距离为2，A错；
该双曲线的渐近线方程是，而双曲线的渐近线方程是，不相同，B错；
该双曲线上的点到焦点的距离的最小值为，C正确；
直线与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线有且只有一个公共点，D正确，
故选：CD．
10．2（满足皆可）
【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值.
【详解】解：，所以C的渐近线方程为,
结合渐近线的特点，只需，即，
可满足条件“直线与C无公共点”
所以，
又因为，所以，
故答案为：2（满足皆可）
11．4
【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出的关系，再结合双曲线中对应关系，联立求解，再由关系式求得，即可求解.
【详解】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距.
故答案为：4.
【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.
12．
【解析】设双曲线的半焦距为，求得双曲线的渐近线方程可得，，的关系，求出的三条边，运用余弦定理可求值．
【详解】设双曲线的半焦距为，
由双曲线的渐近线方程，可得，
则，
在中，，，
由余弦定理可得
．
故答案为：．
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是看到双曲线的焦半径，要马上联想到双曲线的定义解题.这是圆锥曲线的一个解题技巧，要注意熟练运用.
13． /
【分析】由题设有双曲线为且，联立直线方程，应用韦达定理及相交弦中点横坐标求参数a、b，即可得双曲线的方程，进而应用弦长公式求，点线距离公式求O到的距离，即可求△的面积.
【详解】由题设，设双曲线为且，
联立直线与双曲线并整理得：，
所以，
综上，可得，则双曲线为，
由上知：，则，故，
而O到的距离为，所以△的面积.
故答案为：，.
14．9
【分析】由双曲线的对称性可得四边形AFB为矩形，结合双曲线定义及勾股定理可得的面积.
【详解】
设为双曲线的右焦点，连接，，
由对称性可知：四边形AFB为矩形，
设
则，
∴
∴
∴
故答案为9
【点睛】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查解直角三角形，以及化简运算能力，属于基础题．
15．(1)9；
(2)；
(3)随的增大，的面积将减小；证明见解析
【分析】（1）（2）（3）利用双曲线定义、余弦定理及三角形面积公式求出面积，再结合正切函数的单调性即可求解.
【详解】（1）
易知，由双曲线定义得，平方得，
又，可得，故，，
故；
（2）
由（1）知，又，
可得，
即，故，，
故；
（3）随的增大，的面积将减小；证明如下：
由（1）知，，设，
则，
故，，
故，
因为，是增函数且恒大于0，
故随着的增大而减小.
16．（1）；（2）不存在，理由见解析.
【分析】（1）设以为中点的弦的两端点为，，利用点差法能求为中点的双曲线的弦所在的直线方程.
（2）假设直线l存在，由已知条件利用点差法求出直线l的方程为，联立方程组，根据判别式可知直线l是否存在.
【详解】（1）因为点在双曲线内，
所以过点A不与渐近线平行的直线一定与双曲线有两个交点．
设以为中点的弦的两端点为，，
则有，．
根据双曲线的对称性知．由点，在双曲线上，得
，，
两式相减得，
所以，所以，
即以为中点的弦所在直线的斜率，
故所求中点弦所在直线的方程为，即．
（2）假定直线l存在，采用（1）的方法求出直线l的方程为，
即．由，消去y得，
，无实根，
因此直线l与双曲线无交点，故满足条件的直线l不存在．
【点睛】本题主要考查了直线方程的求法，主要涉及点差法，属于中档题.
17．(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）根据双曲线的离心率及双曲线过点可得方程；
（2）设点与点的坐标，根据直线与直线的斜率互为相反数，可得直线的斜率.
【详解】（1）由题意，解得，，
故双曲线方程为
（2）设点，，
设直线的方程为，
代入双曲线方程，得，
，，，
同理，
.
18．(1)
(2)在定直线方程上
【分析】（1）联立直线方程与双曲线方程，可得点，进而根据三角形面积公式即可求出的值；（2）分直线斜率 和不存在两种情况讨论，求出两直线交点，代入化简即可求解.
【详解】（1）设直线的方程为，联立，得，
又，，代入上式得，即，
∴，解得，∴，，∴双曲线的方程为．
（2）当直线点的斜率不存在时，，，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得的，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立得，∴，，
∴直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，两边平方得，
又，满足，
∴
，
∴，∴，或，（舍去）
综上，在定直线上，且定直线方程为．
19．（1）；（2）λ＝0或λ＝－4.
【分析】(1) 由点在双曲线上，，利用化简得到答案.
(2)联立方程根据韦达定理得到，设代入数据化简得到，得到答案.
【详解】解：(1)由点在双曲线上，有.
由题意有，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，.
(2)联立得.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①
设，即.
又C为双曲线上一点，即，有.
化简得.②
又在双曲线上，所以.
由①式又有，
②式可化为，解得λ＝0或λ＝－4.
【点睛】本题考查了双曲线的离心率，参数的值，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.
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