3.3.2 抛物线的简单几何性质 闯关练 2025-2026学年高二年级数学选择性必修第一册（人教A版2019）
文档属性
| 名称 | 3.3.2 抛物线的简单几何性质 闯关练 2025-2026学年高二年级数学选择性必修第一册（人教A版2019） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-01 00:00:00 | ||
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文档简介
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3.3.2 抛物线的简单几何性质 闯关练 2025-2026学年高二年级数学选择性必修第一册（人教A版2019）
一、单选题
1．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交拋物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若，则的面积为（ ）
A． B．4 C． D．2
2．抛物线上一点到直线距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
4．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
5．过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．7
6．设抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．设抛物线的焦点为F，点M在y轴上．若线段FM的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为，则点M的坐标可能为（ ）
A． B．
C． D．
8．设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形
9．已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（ ）
A．的准线方程为
B．直线与相切
C．若，则的最小值为
D．若，则的周长的最小值为11
三、填空题
10．一条光线从抛物线的焦点射出，经抛物线上一点反射后，反射光线经过点，若，则抛物线的标准方程为 .
11．过点作抛物线的弦，若弦恰好被点平分，则弦所在直线的方程为 ．
12．顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线所得弦长为，则抛物线方程为 ．
13．在已知抛物线上存在两个不同的点M，N关于直线对称，则实数k的取值范围为 ．
14．已知直线，抛物线C：上一动点P到直线l与到y轴距离之和的最小值为 ，P到直线l距离的最小值为 ．
四、解答题
15．已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若，求|AB|．
16．已知抛物线上的点与焦点的距离为，且点的纵坐标为.
(1)求抛物线的方程和点的坐标；
(2)若直线与抛物线相交于两点，且，证明直线过定点.
17．已知抛物线过点．
（1）求抛物线的方程；
（2）求过点的直线与抛物线交于、两个不同的点(均与点不重合)．设直线、的斜率分别为、，求证：为定值．
18．已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.
19．抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
（1）求C，的方程；
（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 A A A A D D BC AC BCD
1．A
【分析】利用抛物线的定义结合条件可得，，进而可得.
【详解】法一：由题意可知，，则，抛物线的准线方程为直线，
则，，
因为，
所以，所以，所以，
所以，，
所以.
因为，
所以，
解得，所以，点F到AM的距离为，
所以.
法二：因为，
所以，所以，即.
连接FM，又，
所以为等边三角形.
易得，所以.
故选：A.
2．A
【分析】求出与平行且与相切的直线方程，从而与之间的距离即为上一点到直线距离的最小值，利用点到直线距离公式求出即可.
【详解】设直线与相切，
联立与得：，
由，得：，
则直线为，
故与之间的距离即为上一点到直线距离的最小值，
由两平行线间距离公式得：.
故选：A
3．A
【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.
【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
4．A
【详解】设，直线的方程为，联立方程，得，∴，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知
，当且仅当（或）时，取等号.
点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以
.
5．D
【分析】求出直线，然后与抛物线方程联立，结合韦达定理及弦长公式即可求解.
【详解】由题得直线，设，联立得，
令，则，所以，
由，
则，解得．故D正确.
故选：D.
6．D
【分析】求出的直线，再与抛物线方程联立后化简得，再结合韦达定理可求得，从而可得，即可求解.
【详解】易知过点的直线为：，设，，
由得，则，
因为，
则．故D正确.
故选：D.
7．BC
【分析】设，表示出，由抛物线的定义，得到，求出p，把B的坐标代入抛物线方程求出，即可得到M的坐标.
【详解】设，易知，则，如图所示．
设抛物线的准线为l，过B作于点，则，解得．
所以抛物线方程为，且，
又B在抛物线上，所以，因此，解得．
所以点M的坐标为或．
故选：BC
8．AC
【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.
【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，
所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.
B选项：设，
由消去并化简得，
解得，所以，B选项错误.
C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，
因为，
即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.
D选项：直线，即，
到直线的距离为，
所以三角形的面积为，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.
9．BCD
【分析】将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而判断A，联立直线与抛物线方程，消元，由判断B，设点，表示出，根据二次函数的性质判断C，根据抛物线的定义转化求出的周长的最小值，即可判断D.
【详解】解：抛物线：，即，所以焦点坐标为，准线方程为，故A错误；
由，即，解得，所以直线与相切，故B正确；
设点，所以，
所以，故C正确；
如图过点作准线，交于点，，，
所以，
当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确；
故选：BCD
10．
【分析】根据抛物线的性质，可设，，从而可得，，结合，可求出.
【详解】抛物线具有光学性质，即从焦点出发的光经抛物线上一点反射后，反射光线沿平行于抛物线对称轴的方向射出.
设，，则，，
所以，即.
所以抛物线的标准方程为.
故答案为：.
【点睛】本题考查抛物线的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
11．
【分析】只需求出的斜率即可得到直线方程，设出，，利用“点差法”解决.
【详解】显然不垂直于轴，故，设，，则，两式相减得．
∵点是弦的中点，∴，于是，即直线的斜率，
故弦所在直线的方程为，即．
故答案为：
12．或
【分析】设所求抛物线方程为，与直线方程联立，将弦长用表示出来，即可解得，进而得出抛物线方程.
【详解】设所求抛物线方程为，已知直线变形为，
设直线与抛物线交于，
联立消去y得，整理得．
，
由，解得或．
，
解得或，均符合题意.
所以所求抛物线方程为或．
故答案为：或
【点睛】本题主要考查了已知弦长求抛物线标准方程，属于中档题.
13．
【分析】设，，的中点为，由已知可得是线段的垂直平分线，结合点差法将坐标 用表示，再由点在抛物线内，建立的不等量关系，求解即可得出结论.
【详解】设，关于直线对称，
∴，∴，即．
设线段的中点为，则．
∵中点P在内，∴，解得或．
故答案为：.
【点睛】由抛物线的图像易知抛物线上的任意两点连线的中点在抛物线内，若忽略条件“中点在抛物线内部”，则难以求解．
14． 1 /0.75
【分析】将P到y轴距离转化为P到准线的距离减1，再由抛物线的定义转化为，再由点到直线的距离求解即可；先求出平行于直线l且与抛物线相切的直线方程，再由两平行线间的距离求解即可.
【详解】
设抛物线C：上的点P到直线的距离为，到准线的距离为，到y轴的距离为，
由抛物线方程可得：焦点F的坐标为，准线方程为，则，，
因此，因为的最小值是焦点F到直线的距离，即，
所以的最小值为；
设平行于直线l且与抛物线C：相切的直线方程为，
由，得，因为直线与抛物线C：相切，
所以，解得，因此该切线的方程为，
所以两平行线间的距离为，即P到直线l距离的最小值为．
故答案为：1；.
15．（1）；（2）.
【分析】（1）设直线：，，；根据抛物线焦半径公式可得；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于的方程，解方程求得结果；（2）设直线：；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用可得，结合韦达定理可求得；根据弦长公式可求得结果.
【详解】（1）设直线方程为：，，
由抛物线焦半径公式可知：
联立得：
则
，解得：
直线的方程为：，即：
（2）设，则可设直线方程为：
联立得：
则
，
，
则
【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系.
16．(1)抛物线；
(2)证明见解析
【分析】（1）设，结合抛物线焦半径公式可构造方程组求得，由此可得抛物线方程和点坐标；
（2）设，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式；由垂直关系可得，代入韦达定理的结论可整理得到，代入直线方程可得定点坐标.
【详解】（1）设，则，解得：，
抛物线；.
（2）由题意知：直线斜率不为零，可设，，，
由得：，，即；
，；
，，
又，；
则（此时成立），
直线，
当时，，直线恒过定点.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；
④根据直线过定点的求解方法可求得结果.
17．（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）本题可将代入抛物线方程中求出的值，即可得出结果；
（2）本题首先可设、以及直线的方程，然后通过联立直线的方程与抛物线方程即可得出、，最后通过并化简即可得出结果.
【详解】（1）因为抛物线过点，
所以，，抛物线方程为.
（2）设，，直线的方程为，
联立，整理得，
，，，
则
，
故为定值.
【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线方程的求法以及抛物线与直线相交的相关问题的求解，通过联立直线的方程与抛物线方程以及韦达定理得出、的值是解决本题的关键，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.
18．（1）；（2）最大值为.
【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；
（2）设，由平面向量的知识可得，进而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.
【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，
所以该抛物线的方程为；
（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法
设，则，
所以，
由在抛物线上可得，即，
据此整理可得点的轨迹方程为，
所以直线的斜率，
当时，；
当时，，
当时，因为，
此时，当且仅当，即时，等号成立；
当时，；
综上，直线的斜率的最大值为.
[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法
同方法一得到点Q的轨迹方程为．
设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值．联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为．
[方法三]：轨迹方程+换元求最值法
同方法一得点Q的轨迹方程为．
设直线的斜率为k，则．
令，则的对称轴为，所以．故直线斜率的最大值为．
[方法四]：参数+基本不等式法
由题可设．
因为，所以．
于是，所以
则直线的斜率为．
当且仅当，即时等号成立，所以直线斜率的最大值为．
【整体点评】方法一根据向量关系，利用代点法求得Q的轨迹方程，得到直线OQ的斜率关于的表达式，然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；
方法二 同方法一得到点Q的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ的斜率的最大值，为最优解；
方法三同方法一求得Q的轨迹方程，得到直线的斜率k的平方关于的表达式，利用换元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线斜率的最大值；
方法四利用参数法，由题可设，求得x,y关于的参数表达式，得到直线的斜率关于的表达式，结合使用基本不等式，求得直线斜率的最大值.
19．（1）抛物线，方程为；（2）相切，理由见解析
【分析】（1）根据已知抛物线与相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出坐标，由，即可求出；由圆与直线相切，求出半径，即可得出结论；
（2）方法一：先考虑斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若斜率存在，由三点在抛物线上，将直线斜率分别用纵坐标表示，再由与圆相切，得出与的关系，最后求出点到直线的距离，即可得出结论.
【详解】（1）依题意设抛物线，
，
所以抛物线的方程为，
与相切，所以半径为，
所以的方程为；
（2）[方法一]：设
若斜率不存在，则方程为或，
若方程为，根据对称性不妨设，
则过与圆相切的另一条直线方程为，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；
若方程为，根据对称性不妨设
则过与圆相切的直线为，
又，
，此时直线关于轴对称，
所以直线与圆相切；
若直线斜率均存在，
则，
所以直线方程为，
整理得，
同理直线的方程为，
直线的方程为，
与圆相切，
整理得，
与圆相切，同理
所以为方程的两根，
，
到直线的距离为：
，
所以直线与圆相切；
综上若直线与圆相切，则直线与圆相切.
[方法二]【最优解】：设．
当时，同解法1．
当时，直线的方程为，即．
由直线与相切得，化简得，
同理，由直线与相切得．
因为方程同时经过点，所以的直线方程为，点M到直线距离为．
所以直线与相切．
综上所述，若直线与相切，则直线与相切．
【整体点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用的对称性，抽象出与关系，把的关系转化为用表示，法二是利用相切等条件得到的直线方程为，利用点到直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路
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3.3.2 抛物线的简单几何性质 闯关练 2025-2026学年高二年级数学选择性必修第一册（人教A版2019）
一、单选题
1．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交拋物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若，则的面积为（ ）
A． B．4 C． D．2
2．抛物线上一点到直线距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
4．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
5．过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．7
6．设抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．设抛物线的焦点为F，点M在y轴上．若线段FM的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为，则点M的坐标可能为（ ）
A． B．
C． D．
8．设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形
9．已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（ ）
A．的准线方程为
B．直线与相切
C．若，则的最小值为
D．若，则的周长的最小值为11
三、填空题
10．一条光线从抛物线的焦点射出，经抛物线上一点反射后，反射光线经过点，若，则抛物线的标准方程为 .
11．过点作抛物线的弦，若弦恰好被点平分，则弦所在直线的方程为 ．
12．顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线所得弦长为，则抛物线方程为 ．
13．在已知抛物线上存在两个不同的点M，N关于直线对称，则实数k的取值范围为 ．
14．已知直线，抛物线C：上一动点P到直线l与到y轴距离之和的最小值为 ，P到直线l距离的最小值为 ．
四、解答题
15．已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若，求|AB|．
16．已知抛物线上的点与焦点的距离为，且点的纵坐标为.
(1)求抛物线的方程和点的坐标；
(2)若直线与抛物线相交于两点，且，证明直线过定点.
17．已知抛物线过点．
（1）求抛物线的方程；
（2）求过点的直线与抛物线交于、两个不同的点(均与点不重合)．设直线、的斜率分别为、，求证：为定值．
18．已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.
19．抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
（1）求C，的方程；
（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 A A A A D D BC AC BCD
1．A
【分析】利用抛物线的定义结合条件可得，，进而可得.
【详解】法一：由题意可知，，则，抛物线的准线方程为直线，
则，，
因为，
所以，所以，所以，
所以，，
所以.
因为，
所以，
解得，所以，点F到AM的距离为，
所以.
法二：因为，
所以，所以，即.
连接FM，又，
所以为等边三角形.
易得，所以.
故选：A.
2．A
【分析】求出与平行且与相切的直线方程，从而与之间的距离即为上一点到直线距离的最小值，利用点到直线距离公式求出即可.
【详解】设直线与相切，
联立与得：，
由，得：，
则直线为，
故与之间的距离即为上一点到直线距离的最小值，
由两平行线间距离公式得：.
故选：A
3．A
【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.
【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
4．A
【详解】设，直线的方程为，联立方程，得，∴，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知
，当且仅当（或）时，取等号.
点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以
.
5．D
【分析】求出直线，然后与抛物线方程联立，结合韦达定理及弦长公式即可求解.
【详解】由题得直线，设，联立得，
令，则，所以，
由，
则，解得．故D正确.
故选：D.
6．D
【分析】求出的直线，再与抛物线方程联立后化简得，再结合韦达定理可求得，从而可得，即可求解.
【详解】易知过点的直线为：，设，，
由得，则，
因为，
则．故D正确.
故选：D.
7．BC
【分析】设，表示出，由抛物线的定义，得到，求出p，把B的坐标代入抛物线方程求出，即可得到M的坐标.
【详解】设，易知，则，如图所示．
设抛物线的准线为l，过B作于点，则，解得．
所以抛物线方程为，且，
又B在抛物线上，所以，因此，解得．
所以点M的坐标为或．
故选：BC
8．AC
【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.
【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，
所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.
B选项：设，
由消去并化简得，
解得，所以，B选项错误.
C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，
因为，
即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.
D选项：直线，即，
到直线的距离为，
所以三角形的面积为，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.
9．BCD
【分析】将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而判断A，联立直线与抛物线方程，消元，由判断B，设点，表示出，根据二次函数的性质判断C，根据抛物线的定义转化求出的周长的最小值，即可判断D.
【详解】解：抛物线：，即，所以焦点坐标为，准线方程为，故A错误；
由，即，解得，所以直线与相切，故B正确；
设点，所以，
所以，故C正确；
如图过点作准线，交于点，，，
所以，
当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确；
故选：BCD
10．
【分析】根据抛物线的性质，可设，，从而可得，，结合，可求出.
【详解】抛物线具有光学性质，即从焦点出发的光经抛物线上一点反射后，反射光线沿平行于抛物线对称轴的方向射出.
设，，则，，
所以，即.
所以抛物线的标准方程为.
故答案为：.
【点睛】本题考查抛物线的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
11．
【分析】只需求出的斜率即可得到直线方程，设出，，利用“点差法”解决.
【详解】显然不垂直于轴，故，设，，则，两式相减得．
∵点是弦的中点，∴，于是，即直线的斜率，
故弦所在直线的方程为，即．
故答案为：
12．或
【分析】设所求抛物线方程为，与直线方程联立，将弦长用表示出来，即可解得，进而得出抛物线方程.
【详解】设所求抛物线方程为，已知直线变形为，
设直线与抛物线交于，
联立消去y得，整理得．
，
由，解得或．
，
解得或，均符合题意.
所以所求抛物线方程为或．
故答案为：或
【点睛】本题主要考查了已知弦长求抛物线标准方程，属于中档题.
13．
【分析】设，，的中点为，由已知可得是线段的垂直平分线，结合点差法将坐标 用表示，再由点在抛物线内，建立的不等量关系，求解即可得出结论.
【详解】设，关于直线对称，
∴，∴，即．
设线段的中点为，则．
∵中点P在内，∴，解得或．
故答案为：.
【点睛】由抛物线的图像易知抛物线上的任意两点连线的中点在抛物线内，若忽略条件“中点在抛物线内部”，则难以求解．
14． 1 /0.75
【分析】将P到y轴距离转化为P到准线的距离减1，再由抛物线的定义转化为，再由点到直线的距离求解即可；先求出平行于直线l且与抛物线相切的直线方程，再由两平行线间的距离求解即可.
【详解】
设抛物线C：上的点P到直线的距离为，到准线的距离为，到y轴的距离为，
由抛物线方程可得：焦点F的坐标为，准线方程为，则，，
因此，因为的最小值是焦点F到直线的距离，即，
所以的最小值为；
设平行于直线l且与抛物线C：相切的直线方程为，
由，得，因为直线与抛物线C：相切，
所以，解得，因此该切线的方程为，
所以两平行线间的距离为，即P到直线l距离的最小值为．
故答案为：1；.
15．（1）；（2）.
【分析】（1）设直线：，，；根据抛物线焦半径公式可得；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于的方程，解方程求得结果；（2）设直线：；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用可得，结合韦达定理可求得；根据弦长公式可求得结果.
【详解】（1）设直线方程为：，，
由抛物线焦半径公式可知：
联立得：
则
，解得：
直线的方程为：，即：
（2）设，则可设直线方程为：
联立得：
则
，
，
则
【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系.
16．(1)抛物线；
(2)证明见解析
【分析】（1）设，结合抛物线焦半径公式可构造方程组求得，由此可得抛物线方程和点坐标；
（2）设，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式；由垂直关系可得，代入韦达定理的结论可整理得到，代入直线方程可得定点坐标.
【详解】（1）设，则，解得：，
抛物线；.
（2）由题意知：直线斜率不为零，可设，，，
由得：，，即；
，；
，，
又，；
则（此时成立），
直线，
当时，，直线恒过定点.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；
④根据直线过定点的求解方法可求得结果.
17．（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）本题可将代入抛物线方程中求出的值，即可得出结果；
（2）本题首先可设、以及直线的方程，然后通过联立直线的方程与抛物线方程即可得出、，最后通过并化简即可得出结果.
【详解】（1）因为抛物线过点，
所以，，抛物线方程为.
（2）设，，直线的方程为，
联立，整理得，
，，，
则
，
故为定值.
【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线方程的求法以及抛物线与直线相交的相关问题的求解，通过联立直线的方程与抛物线方程以及韦达定理得出、的值是解决本题的关键，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.
18．（1）；（2）最大值为.
【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；
（2）设，由平面向量的知识可得，进而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.
【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，
所以该抛物线的方程为；
（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法
设，则，
所以，
由在抛物线上可得，即，
据此整理可得点的轨迹方程为，
所以直线的斜率，
当时，；
当时，，
当时，因为，
此时，当且仅当，即时，等号成立；
当时，；
综上，直线的斜率的最大值为.
[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法
同方法一得到点Q的轨迹方程为．
设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值．联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为．
[方法三]：轨迹方程+换元求最值法
同方法一得点Q的轨迹方程为．
设直线的斜率为k，则．
令，则的对称轴为，所以．故直线斜率的最大值为．
[方法四]：参数+基本不等式法
由题可设．
因为，所以．
于是，所以
则直线的斜率为．
当且仅当，即时等号成立，所以直线斜率的最大值为．
【整体点评】方法一根据向量关系，利用代点法求得Q的轨迹方程，得到直线OQ的斜率关于的表达式，然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；
方法二 同方法一得到点Q的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ的斜率的最大值，为最优解；
方法三同方法一求得Q的轨迹方程，得到直线的斜率k的平方关于的表达式，利用换元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线斜率的最大值；
方法四利用参数法，由题可设，求得x,y关于的参数表达式，得到直线的斜率关于的表达式，结合使用基本不等式，求得直线斜率的最大值.
19．（1）抛物线，方程为；（2）相切，理由见解析
【分析】（1）根据已知抛物线与相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出坐标，由，即可求出；由圆与直线相切，求出半径，即可得出结论；
（2）方法一：先考虑斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若斜率存在，由三点在抛物线上，将直线斜率分别用纵坐标表示，再由与圆相切，得出与的关系，最后求出点到直线的距离，即可得出结论.
【详解】（1）依题意设抛物线，
，
所以抛物线的方程为，
与相切，所以半径为，
所以的方程为；
（2）[方法一]：设
若斜率不存在，则方程为或，
若方程为，根据对称性不妨设，
则过与圆相切的另一条直线方程为，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；
若方程为，根据对称性不妨设
则过与圆相切的直线为，
又，
，此时直线关于轴对称，
所以直线与圆相切；
若直线斜率均存在，
则，
所以直线方程为，
整理得，
同理直线的方程为，
直线的方程为，
与圆相切，
整理得，
与圆相切，同理
所以为方程的两根，
，
到直线的距离为：
，
所以直线与圆相切；
综上若直线与圆相切，则直线与圆相切.
[方法二]【最优解】：设．
当时，同解法1．
当时，直线的方程为，即．
由直线与相切得，化简得，
同理，由直线与相切得．
因为方程同时经过点，所以的直线方程为，点M到直线距离为．
所以直线与相切．
综上所述，若直线与相切，则直线与相切．
【整体点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用的对称性，抽象出与关系，把的关系转化为用表示，法二是利用相切等条件得到的直线方程为，利用点到直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路
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