3.2.1 双曲线及其标准方程 闯关练 2025-2026学年高二年级数学选择性必修第一册（人教A版2019）

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3.2.1 双曲线及其标准方程 闯关练 2025-2026学年
高二年级数学选择性必修第一册（人教A版2019）
一、单选题
1．设，分别是双曲线的左 右焦点，是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
3．已知双曲线的左焦点为，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为，则的最大值为（ ）
A．3 B．1 C． D．
4．相距的两地，听到炮弹爆炸的时间相差．若声速为每秒，则炮弹爆炸点的轨迹可能是（ ）
A．圆 B．双曲线 C．椭圆 D．直线
5．已知双曲线的右焦点为，是双曲线的左支上一点，，则的周长的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
6．双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，从发出的光线射向上的点后，被反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（ ）
A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则或
C．曲线可能是圆 D．若为椭圆，且长轴在轴上，则
8．已知点P是双曲线的右支上一点，为双曲线E的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（ ）
A．点P的横坐标为 B．的周长为
C．大于 D．的内切圆半径为
9．下列命题正确的是（ ）
A．若定点满足，动点满足，则动点的轨迹是双曲线.
B．若定点满足，动点满足，则的轨迹是椭圆.
C．当时，曲线表示椭圆.
D．双曲线与椭圆有相同的焦点.
三、填空题
10．若动点满足，则点的轨迹方程为 .
11．设P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段的中点，则点M的轨迹方程为 ．
12．设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为 ．
13．设是双曲线上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为 ，最小值为 ．
14．椭圆与双曲线有公共点P，则P与椭圆两焦点连线构成三角形的周长为 ，P与双曲线两焦点连线构成三角形面积为 ．
四、解答题
15．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是,双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于；
(2)焦点在轴上，经过点和点．
16．设动圆的半径为，分别求满足下列条件的动圆的圆心的轨迹方程．
（1）与圆内切，且过点；
（2）与圆外切，且与圆内切．
17．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判别△MF1F2的形状．
18．已知的面积为，且，其中O为坐标原点．设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所示，，，当取得最小值时，求此双曲线的标准方程．
19．在平面直角坐标系xOy中，已知动圆M与圆E：和圆F：都外切.
(1)求圆心M的轨迹方程C；
(2)已知点O为原点，点A（8，0），点P是曲线C上任意一点，求的最小值.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 C A C B A C BC ABD BD
1．C
【分析】根据双曲线定义得到，，用余弦定理和面积公式求出答案.
【详解】设，，则由双曲线的定义可得：，所以，故，，又，故，故，所以的面积为.
故选：C.
2．A
【分析】由双曲线方程求出，再根据点在双曲线的两支之间，结合可求得答案
【详解】由，得，则，
所以左焦点为，右焦点，
则由双曲线的定义得，
因为点在双曲线的两支之间，
所以，
所以，当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为9，
故选：A
3．C
【分析】由双曲线定义把转化为到右焦点的距离，然后由平面几何性质得结论．
【详解】设双曲线C的实半轴长为，右焦点为，
所以，
当且仅当M为的延长线与双曲线交点时取等号.
故选：C．
4．B
【分析】由已知可得，根据双曲线的定义可判断出答案．
【详解】由已知条件可得．
根据双曲线的定义可知，点在以为焦点，实轴长为的双曲线上.
故选：B．
5．A
【分析】设双曲线的左焦点为，则，则由题意可得的周长为，当，，三点共线时，最小，从而可得答案
【详解】设双曲线的左焦点为，则．由题可知，，
∴，，，
∴，的周长为．
∵当，，三点共线时，最小，最小值为，
∴的周长的最小值为．
故选：A
6．C
【分析】求出点，进而求出，利用余弦定理即可得出结果.
【详解】设在第一象限，，
，，
故选：C
【点睛】本题考查了双曲线的几何性质和余弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于一般题目.
7．BC
【分析】分别根据选项曲线的类型列出对应的不等式，解不等式判断即可
【详解】若为椭圆，则 ，且 ，故A错误
若为双曲线，则 ， ，故B正确
若为圆，则 ， ，故C正确
若为椭圆，且长轴在轴上，则 ， ，故D错误
故选：BC
8．ABD
【分析】设的内心为，连接，设，利用的面积为20，可求得P点坐标；的周长为，借助P点坐标，可得解；利用，可求得，可研究范围；可求得内切圆半径r.
【详解】设的内心为，连接，
双曲线：中的，，，
不妨设，，，
由的面积为20，可得，即，
由，可得，故A符合题意；
由，且，，
则，
则的周长为，故B符合题意；
可得，，
则，
则，故C不符合题意；
设的内切圆半径为，可得，
可得，解得，故D符合题意．
故选：ABD．
【点睛】本题关键借助P点坐标利用弦长公式求得周长，利用斜率求得夹角，用等积法求得内切圆半径.
9．BD
【分析】根据双曲线的定义可判断A，根据椭圆的定义可判断B，由题可知时曲线为圆可判断C，根据双曲线及椭圆的方程可求其焦点进而判断D.
【详解】对于A，定点满足，动点满足，则动点的轨迹是以为端点的一条射线，故A错误；
对于B，定点满足，动点满足，则的轨迹是以为焦点的椭圆，故B正确；
对于C，当时，曲线，即表示圆，故C错误；
对于D，由双曲线可知其焦点为，由椭圆可知其焦点为，故D正确.
故选：BD.
10．
【分析】结合双曲线的定义求得的轨迹方程.
【详解】设，
由于动点的轨迹方程为，
则，故点到定点与到定点的距离差为6，
则动点的轨迹是以为焦点，以6为实轴长的双曲线的右支，
由于，，则，
故的轨迹的标准方程为：.
故答案为：.
11．
【分析】设，，用的坐标表示的坐标，再代入双曲线方程即可得答案.
【详解】设，，
则，即，
又，则，
整理得，
即点M的轨迹方程为.
故答案为：
12．10
【解析】根据双曲线的定义转换求解即可.
【详解】由双曲线的标准方程得a＝2,由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝4,|BF2|－|BF1|＝4,所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因为|AF1|＋|BF1|＝|AB|,当直线l过点F1,且垂直于x轴时,|AB|最小,所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝
故答案为：10.
【点睛】本题主要考查了双曲线的定义的运用,需要利用定义将题中所给的线段进行转换再分析求解.属于基础题型.
13． 9
【分析】先求得双曲线的两个焦点坐标，可知为已知圆的圆心，判断出取最大时，点在双曲线的左支或右支上，结合双曲线的定义和圆外一点与圆上一点距离的最值性质，即可求得所求最值.
【详解】设双曲线的左、右焦点分别为，，
则点为圆的圆心，点为圆的圆心，
连接，．当点在双曲线的左支上时（如图），
由双曲线的定义，可得，
由圆的几何性质，得，，
所以，即，
此时的最大值为9，最小值为3．
同理可得，当点在双曲线的右支上时，的最大值为，最小值为．
综上，的最大值为9，最小值为．
故答案为：，
14． 24 24
【分析】椭圆的性质和双曲线的性质,分别计算出三点坐标,然后结合三角形求周长及面积即可得出答案.
【详解】
应用椭圆性质,可以得到
联立方程组,
因为椭圆及双曲线线的对称性可以取第一象限点P的坐标为,
所以为直角三角形，所以周长为，
故.
故答案为：24，24.
15．(1)
(2)
【分析】(1)利用双曲线的定义计算即可；
(2)设双曲线的方程，利用待定系数法解方程即可.
【详解】（1）由已知得，即,
∵，∴.
∵焦点在轴上，
∴所求的双曲线的标准方程是;
（2）设双曲线的方程为，
则,
∴双曲线方程为.
16．（1）；（2）．
【分析】（1）利用双曲线的定义即可求解.
（2）利用双曲线的定义即可求解.
【详解】（1）∵圆与圆内切，点在圆外，
∴，，∴，
即动点到两定点，的距离之差为常数，且，
∴点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，
∴点的轨迹方程是．
（2）∵圆与圆外切，且圆与圆内切，
∴，，∴，
∴点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，
∴点的轨迹方程是．
17．（1）； （2）钝角三角形.
【分析】(1)设双曲线方程为，由题得且c=，解方程组即得双曲线的标准方程.(2) 不妨设M点在右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2 ，求得|MF1|＝4，|MF2|＝2，|F1F2|＝2，再利用余弦定理判定△MF1F2为钝角三角形．
【详解】(1)椭圆方程可化为，焦点在x轴上，且c＝，
故设双曲线方程为，
则有解得a2＝3，b2＝2.
所以双曲线的标准方程为.
(2)不妨设M点在右支上，
则有|MF1|－|MF2|＝2 ，
又|MF1|＋|MF2|＝6，
故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，
又|F1F2|＝2，
因此在△MF1F2中，|MF1|边最长，而
cos ∠MF2F1＝ ，
所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2为钝角三角形．
【点睛】（1）本题主要考查双曲线的标准方程的求法，考查双曲线的简单几何性质和余弦定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. (2)求双曲线的方程，一般利用待定系数法，先定位，后定量.
18．
【分析】设双曲线的标准方程为，，由三角形面积得到，进而求出，计算出，由基本不等式求出最小值，求出和Q的坐标，得到方程组，求出，得到双曲线标准方程.
【详解】设双曲线的标准方程为 ()，
，则，
所以，
则．又，
即，解得，
所以|，
当且仅当，即时，取等号，||最小，
这时Q的坐标为或．
因为所以
于是所求双曲线的标准方程为．
19．(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得，即可得的轨迹是以为焦点，的双曲线的右支，即可得出结果.
（2）设，A（8，0）,则,利用二次函数的性质即可求得最小值.
【详解】（1）动圆M与圆E：和圆F：都外切，
设圆半径为，则，,
,
所以的轨迹是以为焦点，的双曲线的右支，
即.
（2）设，A（8，0）,则，
所以，且，
所以，
当时，.
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