第三章 圆锥曲线的方程--圆锥曲线中的离心率计算 重点题型梳理 专题练 2025-2026学年高二年级数学选择性必修第一册（人教A版2019）
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| 名称 | 第三章 圆锥曲线的方程--圆锥曲线中的离心率计算 重点题型梳理 专题练 2025-2026学年高二年级数学选择性必修第一册（人教A版2019） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 4.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-01 00:00:00 | ||
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文档简介
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圆锥曲线的方程--圆锥曲线中的离心率计算 重点题型梳理
专题练 2025-2026学年高二年级数学选择性必修第一册（人教A版2019）
一、椭圆、双曲线中的定义法或公式法求离心率
1．已知是椭圆的两个焦点，焦距为6.若为椭圆上一点，且的周长为16，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知椭圆的两个焦点分别为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于
A．或 B．或 C． D．
4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，在上，且，，则的离心率为 .
5．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知是双曲线与椭圆的左 右公共焦点，是在第一象限内的公共点，若，则的离心率是（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的左，右焦点分别为，第一象限内的点在上，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
8．已知椭圆的一个短轴端点与两个焦点构成的三角形的内切圆半径为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，椭圆的两个焦点分别为，以线段为边作等边三角形，若该椭圆恰好平分的另两边则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．设椭圆的左、右焦点分别为，，过作直线交于，两点，若的周长为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，直线交M于另一点B，的内切圆与相切于点C，若，则椭圆M的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、利用“公式3”求焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率
13．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P为C上一点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
14．已知是，双曲线：（，）的左、右焦点，是右支上一点，且是的直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．或
C． D．或
15．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
16．已知椭圆的左右焦点分别是、，焦距为，若直线与椭圆交于点，且满足，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
17．设，是椭圆的两个焦点.若在上存在一点，使，且，则的离心率为 .
18．设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的点，，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
19．是椭圆的两个焦点，是椭圆上异于顶点的一点，且是等腰直角三角形，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
20．已知为椭圆的焦点，M为椭圆上一点，垂直于x轴，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
21．已知椭圆的左、右焦点分别为，过作轴垂线交椭圆于，若，则该椭圆的离心率是 .
22．已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，若直线与椭圆交于点，满足，则离心率是（ ）
A． B． C． D．
23．已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
24．设是等腰三角形，，则以，为焦点，且过点的双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
三、利用“公式5”求椭圆、双曲线离心率
25．已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
26．已知斜率为的直线l经过双曲线的右焦点F，交双曲线C的右支于A，B两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
27．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点，若，则C的离心率为( )
A． B． C．2 D．
28．已知椭圆C：的离心率为，过左焦点F作一条斜率为的直线，与椭圆交于A，B两点，满足，则实数k的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
29．已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是 ．
30．过椭圆的左焦点F作直线交椭圆于两点，若，且直线倾斜角为，则椭圆的离心率 .
31．已知双曲线（，）的右焦点为，点，是双曲线上关于原点对称的两点，点在第一象限，且以为直径的圆经过点，直线交双曲线于另一点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
32．已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则
A．1 B． C． D．2
四、斜率乘积求离心率
33．过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
34．过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
35．是椭圆上一点，M，N分别是椭圆E的左、右顶点，直线的斜率之积，则椭圆的离心率为 ．
36．已知曲线与y轴交于A，B两点，P是曲线C上异于A，B的点，若直线AP，BP斜率之积等于，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
37．已知是椭圆上的一动点，且与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
38．已知双曲线C：的离心率为，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，则直线PA、PB的斜率之积等于 ．
39．已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
40．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积、已知椭圆：的面积为，两个焦点分别为，，点为椭圆的上顶点，直线与椭圆交于两点，若的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
41．已知椭圆，过原点斜率不为0的直线交E于A，B两点，过A作x轴的垂线，垂足为M，直线交椭圆E于另一点D，记直线，的斜率分别为，，若，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
42．已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若为线段中点且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A． B．3 C． D．
43．已知椭圆的离心率为，点为其长轴两端点，点为椭圆上异于的一点，则直线和的斜率之积等于 ．
44．过双曲线内一点斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被M平分，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
45．已知、分别是椭圆 的左右顶点，是椭圆上异于、的任意一点，直线与斜率之积 ，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
五、余弦定理求离心率
46．已知是椭圆的左右焦点，上两点满足：，，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
47．已知椭圆的两个焦点为，，，点为上一点，若，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
48．已知是双曲线的焦点，点是双曲线上的动点，若，，则双曲线的离心率为 .
49．设双曲线E：的左、右焦点分别为、，点P是双曲线E上的一点，若，，则双曲线E的离心率为 ．
50．已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，P为第一象限内一点，且满足，，线段与双曲线C交于点Q，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
51．已知椭圆的左，右焦点分别为，点在上，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
52．已知双曲线的左，右焦点分别为，点为在第一象限上的一点.若为等腰三角形，且，则的离心率为（ ）
A．或 B．2或 C．2或 D．或
53．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
54．已知、分别为椭圆C的左、右焦点，过的直线与C交于A、B两点，，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
55．如图所示，已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上， ，则的离心率为 .
六、构造齐次方程求离心率
56．已知椭圆的左焦点和下顶点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
57．已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
58．已知双曲线的左右焦点分别为，，点A在C上，点B在y轴上，若，，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
59．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，右顶点为A，上顶点为B，P为线段AB上一点，直线与直线交于点Q，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
60．已知椭圆的两个焦点为，设过点组平行于的直线交于点Q．若，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
61．已知双曲线的左、右焦点分别为为的左支上一点，与的一条渐近线平行.若，则的离心率为（ ）
A．2 B． C．3 D．
62．椭圆的左，右焦点分别为、，右顶点为A，点P为第一象限内椭圆上一点，满足，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
63．已知F是双曲线的左焦点，P为圆上一点，直线PF的倾斜角为，直线PF 交双曲线的两条渐近线于M，N，且P恰为MN的中点，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
64．已知双曲线C:的一条渐近线l与椭圆E:交于A，B两点，若（是椭圆的两个焦点），则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
65．已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
66．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
综合练
一、单选题
1．已知斜率为1的直线与椭圆相交于A、B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则椭圆C的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
2．已知双曲线的一个焦点到的一条渐近线的距离为， 则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
4．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知双曲线与直线交于A、B两点，点P为C右支上一动点，记直线PA、PB的斜率分别为，曲线C的左、右焦点分别为．若，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．双曲线C的渐近线方程为
C．若，则的面积为
D．曲线的离心率为
7．已知双曲线的左、右焦点分别是，过的直线与双曲线的右支交于两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率是（ ）
A．2 B． C． D．
8．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
二、多选题
9．已知双曲线过点且渐近线为，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点，为双曲线的右焦点，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的方程是
C．的最小值为2 D．直线与有两个公共点
10．椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，若方程所表示的直线恒过定点M，点Q在以点M为圆心，C的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为 B．的最大值为4
C．的面积可能为2 D．的最小值为
11．双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出．如图，一个光学装置由有公共焦点的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则与的离心率之比为 ．
13．以双曲线的右焦点为圆心，为半径的圆与的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率为 ．
14．已知双曲线 的右顶点为， 若以点为圆心， 以 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于 两点， 点 为坐标原点， 且 ， 则双曲线的离心率为 ．
15．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为 .
16．已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为 .
17．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆上一点，满足 (O为坐标原点)．若，则椭圆的离心率为 ．
18．已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
四、解答题
19．安庆市体育馆的屋盖网壳由两个大小不同的双层椭球壳相贯而成，其屋盖网壳长轴总尺寸约97米，短轴总尺寸约77米，短轴长与长轴长的平方比接近黄金比0.618．我们把短轴长与长轴长的平方比为的椭圆称为黄金椭圆．现有一黄金椭圆其中A，F分别为其左顶点和右焦点，B为上顶点．
(1)求黄金椭圆C的离心率；
(2)某同学在研究黄金椭圆的性质时猜测可能为直角三角形，试判断该同学的猜测是否正确，并说明理由．
20．已知双曲线的渐近线为，抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且，抛物线交双曲线的两条渐近线于O，A，B三点．
(1)求双曲线的离心率；
(2)求的面积．
答案
一、椭圆、双曲线中的定义法或公式法求离心率
1． 根据题意，焦距，.根据椭圆定义，周长为，解得.
则离心率为.
故选：C
设椭圆的两个焦点为，，点，
则，，
，所以椭圆的离心率为.
故选：C.
试题分析：设，则依题有，当该圆锥曲线为椭圆时，椭圆的离心率；当该圆锥曲线为双曲线时，双曲线的离心率为；综上可知，选A.
考点：1.椭圆的定义；2.双曲线的定义.
由，可得在双曲线的右支上，因为，，
所以，所以，
所以.
故双曲线的离心率为.
故答案为：.
因为，，依题意，由椭圆及双曲线的定义得：
，，
由，
解得，而，所以双曲线的离心率．
故选：A．
由知，
所以，
∵，∴，∴，
∵，∴的离心率是.
故选：A.
由题意得，故，，
由题意结合双曲线定义知，故.
故选：B
由题设，焦点三角形的周长为，面积为，又其内切圆半径为，
所以.
故选：A
如图，与椭圆交于点，连结，
由题意可知，的边长为，点是的中点，
所以，，
，所以.
故选：B
如下图所示，设，则，，
所以，得，
由椭圆定义可得，，，
所以，
所以为等腰直角三角形，得，，
故该椭圆的离心率为.
故选：D.
依题意及椭圆的定义可知，
则，又，所以，
则离心率.
故选：D.
由题意，如图，P，D是内切圆与的切点，
因为左、右焦点分别为，上顶点为A，椭圆参数关系，
由，结合对称性、圆的切线性质，
令，且，
所以，
所以，可得，故，
故选：D．
二、利用“公式3”求焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率
13． 点椭圆上的点，
，且
在 中，
即 ，整理得：
即
故选：D
14． 当时，，，所以，
当时，，，，，所以．
故选：B．
如图
依题意，，，，
则，，
由椭圆定义可得，，
所以离心率.
故选：D.
因为经过左焦点，且斜率为，故，
为三角形内角，所以，所以，则，
设，则，
由椭圆的定义可知：，即，解得：，
所以，，
由勾股定理得：，
故，
解得：，故椭圆离心率.
故选：B
由已知可得三角形是等腰直角三角形，且，，
由椭圆的定义可得，，又，
在△中，由勾股定理可得：，即，
，
故答案为：.
因为P是C上的点，且，，
所以，，
又，
故，解得.
故选：D
因为是等腰直角三角形，且是椭圆上异于顶点的一点，
角或角为直角，不妨令角为直角，此时，
代入椭圆方程不妨设焦点在轴上，
解得，
又三角形为等腰直角三角形，得，
故得，即，
即，解得，
由，可得，故选D．
由已知，得，则,
又在椭圆中通径的长度为，，
故,
即,
解得
故选：C
由题意可知：，
又因为，即，可得，
所以该椭圆的离心率是.
故答案为：.
由椭圆焦距为，故，故直线经过点，
若点在轴上方，有，即，
又，则，
此时，不符，故舍去；
若点在轴下方，有，即，
又，则，
则，
故
.
故选：C.
由题意，，
，
，
由正弦定理得，又，
所以，，又，
可得，所以椭圆的离心率.
故选：B.
双曲线的焦点为，，则，
是等腰三角形，，
，，
由正弦定理即，解得，
双曲线过点，由双曲线的定义可得，
解得离心率，
故选：B.
三、利用“公式5”求椭圆、双曲线离心率
25． 设双曲线的右准线为，
过、分别作于，于，于，
如图所示：
因为直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为，
∴，，
由双曲线的第二定义得：，
又∵，
∴，
∴
故选：B
26． 设，，直线l的方程为，其中，
联立得．
∴，，
由，得，即，
∴，即，
∴，整理得，
∴离心率．
故选：C．
设，则，
过A、B作双曲线右准线的垂线，垂足分别为D、C，过B作AD的垂线，垂足为E.
根据双曲线的第二定义可得，，
，
由直线的斜率为，可得在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，
∴，，
.
故选：A.
因为离心率，所以，设直线方程为：，则与椭圆联立得：，设，不妨令，由可得：，其中①，②，将代入①②可得：，，从而，解得：，因为，所以.
故选：B
过且斜率为的直线，渐近线，
联立，得，由，得
而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率.
故答案为：．
作出准线与轴交点为，过准线的垂线，垂足分别为，
过作，垂足为，
设，因为，则，
又因为的倾斜角为，所以，则，
又由椭圆的第二定义，可得，
所以，解得，故椭圆的离心率为.
故答案为：.
如图，设双曲线的左焦点为，，连接，，，
则，，，，
依题意，，由双曲线的对称性知四边形为矩形，
在中，由，得，
化简得，即，，在中，由，
得，化简得，所以双曲线的离心率.
故选：A
因为，所以，从而，则椭圆方程为．依题意可得直线方程为，联立可得
设坐标分别为，则
因为，所以，从而有 ①
再由可得，根据椭圆第二定义可得，即 ②
由①②可得，所以，则，解得．因为，所以，故选B
四、斜率乘积求离心率
33． 不妨设过双曲线的焦点且斜率不为0的直线为，令
由，整理得
则，
则，由，可得
则有，即，则双曲线的离心率
故选：D
34． 设,
因为为线段的中点，所以，
则，两式相减可得：，
整理得，即，
所以，所以.
故选：D.
依题意，
，
.
故答案为：
依题意，，设点，则有，即，
由直线AP，BP斜率之积等于，得，即，
显然曲线是焦点在轴上的椭圆，，
所以C的离心率为.
故选：A
椭圆长轴的两顶点为，
设，则由题设可得即，
故，故即，故，
故选：B
因为双曲线C：
所以，设且即
，所以
故答案为：
设,则且，
故，故,
故，即，
因此，
故选：D
解：由题意可得，所以，
直线与椭圆交于两点，设，则，且①，又，
所以的斜率之积为②，
由①②可得：，即，结合，可得：，所以，则椭圆的离心率为.
故选：A.
设，则，
所以，
又，
所以，
又点在上，所以，
所以，
即，由，
故选:D．
由题意，设，则，
两式相减得，而，
，
所以.
故选：B.
由题意知若，则不妨取，
设，则，则，
则，
由于椭圆的离心率为，
即，即，
故；
若，则不妨取，
设，则，则，
则，
由于椭圆的离心率为，
即，即，
故，
故答案为：或
设，由题意可得，且，
又因为，所以，
即有，所以，所以，
所以，所以，所以.
故选：C.
设点，则，且，可得，
易知、，
所以，
所以，可得，
故.
故选：D.
五、余弦定理求离心率
46． 由可知，设，则，,,
则由余弦定理可得
化简可得，故，（舍去），
又,
所以，化简可得，故，
故选：D
47． 且，则，
因，，则在中利用余弦定理可得，
，解得，
又，则.
故选：C
设，又，，
中，由余弦定理有，
即，解得，
则，，
由双曲线定义，
解得．∴双曲线的离心率．
故答案为：．
由双曲线定义知，
又，所以，
又，由余弦定理得
，
解得，故离心率为
故答案为：
由题意，，且，
在中，由余弦定理得，
同理在中由余弦定理得，
所以，可得，所以离心率为，
故选：C．
由，可得在同一条直线上，
设，则，
由椭圆的定义，
则
因为，则即，解得，
所以
在中，，
在中，，
则，化简得，即,解得：.
故选：B.
在第一象限，，又为等腰三角形，
当时，，
又，则；
当时，，
又，
解得或（舍去），则；
故的离心率为或2.
故选：B
由题意知延长 则必过点 ，
，
设，
则，，
由双曲线的定义可得
，，
由可得，
在中，由余弦定理
可得，
在中，由余弦定理
可得
解得：，
则，
故选：D
设，则，由椭圆的定义，得，
由，得，即，
整理得，解得，则，即点在轴上，
如图，在直角中，，
在中，，化简得，
所以椭圆的离心率.
故选：D
设，依题意，，因点在轴上，则，，
又因则，化简得，在中，，故,
在中由余弦定理，,即，
解得：，即，则离心率为.
故答案为：.
六、构造齐次方程求离心率
56．
设为的中点，设两点坐标为，，
则，两式作差化简可得：
即，得，所以，
由恰好为的重心，则
即可得：，
解得：
所以，则，平方后得，
即，
解得：或，由条件，所以.
故选：D
57． 椭圆，左焦点，下顶点，
设，，
的中点为，，．
，．
由，，
两式相减得，
可化为，
得，即，两边平方得，
化为：，解得，
又，解得．
故选：A．
线方程可得e的方程，解之即可求解.
如图，，设，
则,
由，得，
解得，又在双曲线上，
所以，即，整理得，
即，由解得.
故选：C
由，得为的中点，又坐标原点为的中点，则，
于是轴，，则，
因此，即，
整理得，则，而，所以.
故选：A
由题意，，，
过点组平行于的直线方程为，
联立，可得，
则，，由，可得，
即，即，
即，
整理得，
两边同时除以，可得，
又，可得，则．
故选：C．
因为与的一条渐近线平行，根据双曲线的对称性，不妨设，
又因为，所以，
注意到，
所以，即，
整理得，因为，
所以，解得.
故选：C.
先过作x轴的垂线，垂足为，
因为，所以，
又因为，所以，
所以，所以，
所以，又因为，所以，
所以，因为点P在椭圆上，所以，
所以，所以，化简得，
所以，所以，
因为，所以.
故选：D.
由题意双曲线左焦点为，已知圆的圆心为，半径为c，直线的斜率为，
则直线方程为，
由，得，即点P的坐标为，
双曲线渐近线方程为，设点，点，
则①，，
由，得，
由，得，
代入①得，解得，
所以双曲线C的离心率
故选：
易知双曲线C的渐近线方程为，不妨设l的方程为.
如图，由，，可得，
代入椭圆方程，得，又，
故，解得（舍去），所以.
故选：A.
设，，，，，，
又，，解得，，
此时，，，，解得，
又点在上，，，，
又，即，解得，，
即.
故选：
如图：
设，则，，.
因为，所以.
又，所以.
所以，，.
又.
所以.
所以.
所以.
故选：D
综合练
1．B
这是中点弦问题，注意斜率与椭圆a,b之间的关系.
如图：
依题意，假设斜率为1的直线方程为：，联立方程：
，解得：，代入得，
故P点坐标为，由题意，OP的斜率为，
即，化简得：，，，；
故选：B.
2．C
由题意可求出，两边平方得结合，代入即可得出答案.
因为的一个焦点到的一条渐近线的距离为，
不妨取渐近线方程为，即，
所以，，
两边平方得.又，所以，
化简得，所以.
故选：C.
3．C
先求出双曲线的渐近线方程，可得，再根据即可求解.
∵双曲线的渐近线方程为，
∴由双曲线两条渐近线的夹角为，可得.
∴双曲线的离心率为.
故选：C.
4．A
根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选：A
5．A
根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
由，得，因此，而，所以.
故选：A
6．D
设，由题可得，可得双曲线方程，进而判断ACD，然后利用双曲线的定义及三角形的面积公式可判断C.
由，可得，
设，则，即，
∴，设，
则，，所以，即，
又，，
所以，
∴，即，故A错误；
所以双曲线，，
双曲线C的渐近线方程为，离心率为，故B错误，D正确；
若，则，
所以，的面积为1，故C错误.
故选：D.
7．D
根据双曲线定义及正三角形，可得，利用双曲线定义可求解，从而求出离心率.
由题知双曲线的实半轴长，虚半轴长为，设双曲线的焦距为.
如图，直线与双曲线右支相交于两点，设，则，
由为等边三角形，得，可得，
又由双曲线的性质知，故，
所以，.
所以，所以，；
故选：D.
8．A
设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.
设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
9．AB
设双曲线的方程为，由双曲线过点求出，判断B；再由离心率公式判断A；联立直线和双曲线方程判断D.
设双曲线的方程为，由双曲线过点可得，即双曲线的方程是，故B正确；
可化为，则，，故A正确；
由题意可得，当直线与渐近线垂直时，取最小值，且最小值，故C错误；
由，解得，即直线与只有一个交点，故D错误；
故选：AB
10．ABD
A：根据椭圆方程可直接求得，，，和离心率；B：由椭圆的定义可得，结合不等式代入运算；C：点P位于椭圆的上、下顶点时，的面积取得最大，计算判断；D：利用椭圆定义和圆的性质转化处理．
对于选项A，由椭圆C的方程知，，，所以离心率，故选项A正确；
对于选项B，由椭圆的定义可得，所以，即的最大值为4，故选项B正确；
对于选项C，当点P位于椭圆的上、下顶点时，的面积取得最大值，故选项C错误；
对于选项D，易知，则圆，所以，故选项D正确，
故选：ABD．
11．AC
依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.
[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，
所以，因为，所以在双曲线的左支，
，， ，设，由即，则，
选A
情况二
若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，
所以，， ，设，
由，即，则，
所以，即，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点都在左支,，
，
则，
特值双曲线，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点在左右两支，在右支，，
，
则，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，
因为，且，所以在双曲线的右支，
又，，，
设，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以双曲线的离心率
若均在左支上，
同理有，其中为钝角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故选：AC.
12．/0.75
根据椭圆和双曲线定义用长半轴长和实半轴长表示出撤掉装置前后的路程，然后由已知可解.
记椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，
由椭圆和双曲线的定义有：，得，即，
又由椭圆定义知，，
因为，所以，即
所以.
故答案为：
13．
由题意可得，化简整理得到，进而可求出结果.
因为双曲线的一个焦点到其一条渐近线为，
所有由题意可得，
即，
则，
所以离心率,
故答案为：.
14．
首先取的中点，连接．则，根据已知条件得到，从而得到，再求离心率即可.
如图所示：
取的中点，连接．则．
由知，，
又因为点到渐近线的距离，
所以，即，
又，代入化简得，即，
解得或（舍去），故．
故答案为：
15．2
通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可.
双曲线 的一条渐近线不妨设为: ,，
圆 的圆心 , 半径为2，
双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 ，
可得圆心到直线的距离为，等式两边同时平方即有 ，
可得 ， 即 .
故答案为：2.
16．2
根据双曲线的几何性质可知，，，即可根据斜率列出等式求解即可．
联立，解得，所以.
依题可得，，，即，变形得，,
因此，双曲线的离心率为.
故答案为：．
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题．
17．/
由可得，再结合椭圆的性质可得为直角三角形，由题意设，则，由勾股定理可得，再结合椭圆的定义可求出离心率
因为，
所以，所以，
因为，
所以，
所以为直角三角形，即，
所以
设，则，
所以，得，
因为则，
所以，所以，即离心率为，
故答案为：
18．/
方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解.
方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解；
方法一：
依题意，设，则，
在中，，则，故或（舍去），
所以，，则，
故，
所以在中，，整理得，
故.
方法二:
依题意，得，令，
因为，所以，则，
又，所以，则，
又点在上，则，整理得，则，
所以，即，
整理得，则，解得或，
又，所以或（舍去），故.
故答案为：.
19．(1)
(2)正确，理由见解析
(1)根据题目中黄金椭圆的定义，再根据离心率的计算公式可求得椭圆的离心率.(2)通过计算的值，可以判断出三角形的形状.
（1）由题意，设椭圆C的焦距为2c，则，
又，得，即，
，所以．
（2）正确．理由如下；
设椭圆中心为O，由
所以，即，
所以是直角三角形．
20．(1)
(2)48
（1）结合抛物线的定义，列出方程，求得的值，即可得到本题答案；
（2）联立渐近线方程和抛物线方程，求得点和点的坐标，即可得到本题答案.
（1）由题意．双曲线的渐近线为，所以，
所以双曲线的离心率．
（2）抛物线的准线方程为，所以，解得，所以的方程为，焦点为，不妨设A在左侧，B在右侧，
联立得，所以，直线的方程为，
所以点F到直线的距离为8，所以的面积为．
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圆锥曲线的方程--圆锥曲线中的离心率计算 重点题型梳理
专题练 2025-2026学年高二年级数学选择性必修第一册（人教A版2019）
一、椭圆、双曲线中的定义法或公式法求离心率
1．已知是椭圆的两个焦点，焦距为6.若为椭圆上一点，且的周长为16，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知椭圆的两个焦点分别为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于
A．或 B．或 C． D．
4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，在上，且，，则的离心率为 .
5．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知是双曲线与椭圆的左 右公共焦点，是在第一象限内的公共点，若，则的离心率是（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的左，右焦点分别为，第一象限内的点在上，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
8．已知椭圆的一个短轴端点与两个焦点构成的三角形的内切圆半径为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，椭圆的两个焦点分别为，以线段为边作等边三角形，若该椭圆恰好平分的另两边则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．设椭圆的左、右焦点分别为，，过作直线交于，两点，若的周长为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，直线交M于另一点B，的内切圆与相切于点C，若，则椭圆M的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、利用“公式3”求焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率
13．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P为C上一点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
14．已知是，双曲线：（，）的左、右焦点，是右支上一点，且是的直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．或
C． D．或
15．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
16．已知椭圆的左右焦点分别是、，焦距为，若直线与椭圆交于点，且满足，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
17．设，是椭圆的两个焦点.若在上存在一点，使，且，则的离心率为 .
18．设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的点，，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
19．是椭圆的两个焦点，是椭圆上异于顶点的一点，且是等腰直角三角形，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
20．已知为椭圆的焦点，M为椭圆上一点，垂直于x轴，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
21．已知椭圆的左、右焦点分别为，过作轴垂线交椭圆于，若，则该椭圆的离心率是 .
22．已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，若直线与椭圆交于点，满足，则离心率是（ ）
A． B． C． D．
23．已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
24．设是等腰三角形，，则以，为焦点，且过点的双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
三、利用“公式5”求椭圆、双曲线离心率
25．已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
26．已知斜率为的直线l经过双曲线的右焦点F，交双曲线C的右支于A，B两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
27．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点，若，则C的离心率为( )
A． B． C．2 D．
28．已知椭圆C：的离心率为，过左焦点F作一条斜率为的直线，与椭圆交于A，B两点，满足，则实数k的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
29．已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是 ．
30．过椭圆的左焦点F作直线交椭圆于两点，若，且直线倾斜角为，则椭圆的离心率 .
31．已知双曲线（，）的右焦点为，点，是双曲线上关于原点对称的两点，点在第一象限，且以为直径的圆经过点，直线交双曲线于另一点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
32．已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则
A．1 B． C． D．2
四、斜率乘积求离心率
33．过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
34．过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
35．是椭圆上一点，M，N分别是椭圆E的左、右顶点，直线的斜率之积，则椭圆的离心率为 ．
36．已知曲线与y轴交于A，B两点，P是曲线C上异于A，B的点，若直线AP，BP斜率之积等于，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
37．已知是椭圆上的一动点，且与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
38．已知双曲线C：的离心率为，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，则直线PA、PB的斜率之积等于 ．
39．已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
40．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积、已知椭圆：的面积为，两个焦点分别为，，点为椭圆的上顶点，直线与椭圆交于两点，若的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
41．已知椭圆，过原点斜率不为0的直线交E于A，B两点，过A作x轴的垂线，垂足为M，直线交椭圆E于另一点D，记直线，的斜率分别为，，若，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
42．已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若为线段中点且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A． B．3 C． D．
43．已知椭圆的离心率为，点为其长轴两端点，点为椭圆上异于的一点，则直线和的斜率之积等于 ．
44．过双曲线内一点斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被M平分，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
45．已知、分别是椭圆 的左右顶点，是椭圆上异于、的任意一点，直线与斜率之积 ，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
五、余弦定理求离心率
46．已知是椭圆的左右焦点，上两点满足：，，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
47．已知椭圆的两个焦点为，，，点为上一点，若，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
48．已知是双曲线的焦点，点是双曲线上的动点，若，，则双曲线的离心率为 .
49．设双曲线E：的左、右焦点分别为、，点P是双曲线E上的一点，若，，则双曲线E的离心率为 ．
50．已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，P为第一象限内一点，且满足，，线段与双曲线C交于点Q，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
51．已知椭圆的左，右焦点分别为，点在上，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
52．已知双曲线的左，右焦点分别为，点为在第一象限上的一点.若为等腰三角形，且，则的离心率为（ ）
A．或 B．2或 C．2或 D．或
53．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
54．已知、分别为椭圆C的左、右焦点，过的直线与C交于A、B两点，，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
55．如图所示，已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上， ，则的离心率为 .
六、构造齐次方程求离心率
56．已知椭圆的左焦点和下顶点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
57．已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
58．已知双曲线的左右焦点分别为，，点A在C上，点B在y轴上，若，，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
59．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，右顶点为A，上顶点为B，P为线段AB上一点，直线与直线交于点Q，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
60．已知椭圆的两个焦点为，设过点组平行于的直线交于点Q．若，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
61．已知双曲线的左、右焦点分别为为的左支上一点，与的一条渐近线平行.若，则的离心率为（ ）
A．2 B． C．3 D．
62．椭圆的左，右焦点分别为、，右顶点为A，点P为第一象限内椭圆上一点，满足，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
63．已知F是双曲线的左焦点，P为圆上一点，直线PF的倾斜角为，直线PF 交双曲线的两条渐近线于M，N，且P恰为MN的中点，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
64．已知双曲线C:的一条渐近线l与椭圆E:交于A，B两点，若（是椭圆的两个焦点），则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
65．已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
66．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
综合练
一、单选题
1．已知斜率为1的直线与椭圆相交于A、B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则椭圆C的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
2．已知双曲线的一个焦点到的一条渐近线的距离为， 则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
4．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知双曲线与直线交于A、B两点，点P为C右支上一动点，记直线PA、PB的斜率分别为，曲线C的左、右焦点分别为．若，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．双曲线C的渐近线方程为
C．若，则的面积为
D．曲线的离心率为
7．已知双曲线的左、右焦点分别是，过的直线与双曲线的右支交于两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率是（ ）
A．2 B． C． D．
8．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
二、多选题
9．已知双曲线过点且渐近线为，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点，为双曲线的右焦点，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的方程是
C．的最小值为2 D．直线与有两个公共点
10．椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，若方程所表示的直线恒过定点M，点Q在以点M为圆心，C的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为 B．的最大值为4
C．的面积可能为2 D．的最小值为
11．双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出．如图，一个光学装置由有公共焦点的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则与的离心率之比为 ．
13．以双曲线的右焦点为圆心，为半径的圆与的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率为 ．
14．已知双曲线 的右顶点为， 若以点为圆心， 以 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于 两点， 点 为坐标原点， 且 ， 则双曲线的离心率为 ．
15．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为 .
16．已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为 .
17．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆上一点，满足 (O为坐标原点)．若，则椭圆的离心率为 ．
18．已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
四、解答题
19．安庆市体育馆的屋盖网壳由两个大小不同的双层椭球壳相贯而成，其屋盖网壳长轴总尺寸约97米，短轴总尺寸约77米，短轴长与长轴长的平方比接近黄金比0.618．我们把短轴长与长轴长的平方比为的椭圆称为黄金椭圆．现有一黄金椭圆其中A，F分别为其左顶点和右焦点，B为上顶点．
(1)求黄金椭圆C的离心率；
(2)某同学在研究黄金椭圆的性质时猜测可能为直角三角形，试判断该同学的猜测是否正确，并说明理由．
20．已知双曲线的渐近线为，抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且，抛物线交双曲线的两条渐近线于O，A，B三点．
(1)求双曲线的离心率；
(2)求的面积．
答案
一、椭圆、双曲线中的定义法或公式法求离心率
1． 根据题意，焦距，.根据椭圆定义，周长为，解得.
则离心率为.
故选：C
设椭圆的两个焦点为，，点，
则，，
，所以椭圆的离心率为.
故选：C.
试题分析：设，则依题有，当该圆锥曲线为椭圆时，椭圆的离心率；当该圆锥曲线为双曲线时，双曲线的离心率为；综上可知，选A.
考点：1.椭圆的定义；2.双曲线的定义.
由，可得在双曲线的右支上，因为，，
所以，所以，
所以.
故双曲线的离心率为.
故答案为：.
因为，，依题意，由椭圆及双曲线的定义得：
，，
由，
解得，而，所以双曲线的离心率．
故选：A．
由知，
所以，
∵，∴，∴，
∵，∴的离心率是.
故选：A.
由题意得，故，，
由题意结合双曲线定义知，故.
故选：B
由题设，焦点三角形的周长为，面积为，又其内切圆半径为，
所以.
故选：A
如图，与椭圆交于点，连结，
由题意可知，的边长为，点是的中点，
所以，，
，所以.
故选：B
如下图所示，设，则，，
所以，得，
由椭圆定义可得，，，
所以，
所以为等腰直角三角形，得，，
故该椭圆的离心率为.
故选：D.
依题意及椭圆的定义可知，
则，又，所以，
则离心率.
故选：D.
由题意，如图，P，D是内切圆与的切点，
因为左、右焦点分别为，上顶点为A，椭圆参数关系，
由，结合对称性、圆的切线性质，
令，且，
所以，
所以，可得，故，
故选：D．
二、利用“公式3”求焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率
13． 点椭圆上的点，
，且
在 中，
即 ，整理得：
即
故选：D
14． 当时，，，所以，
当时，，，，，所以．
故选：B．
如图
依题意，，，，
则，，
由椭圆定义可得，，
所以离心率.
故选：D.
因为经过左焦点，且斜率为，故，
为三角形内角，所以，所以，则，
设，则，
由椭圆的定义可知：，即，解得：，
所以，，
由勾股定理得：，
故，
解得：，故椭圆离心率.
故选：B
由已知可得三角形是等腰直角三角形，且，，
由椭圆的定义可得，，又，
在△中，由勾股定理可得：，即，
，
故答案为：.
因为P是C上的点，且，，
所以，，
又，
故，解得.
故选：D
因为是等腰直角三角形，且是椭圆上异于顶点的一点，
角或角为直角，不妨令角为直角，此时，
代入椭圆方程不妨设焦点在轴上，
解得，
又三角形为等腰直角三角形，得，
故得，即，
即，解得，
由，可得，故选D．
由已知，得，则,
又在椭圆中通径的长度为，，
故,
即,
解得
故选：C
由题意可知：，
又因为，即，可得，
所以该椭圆的离心率是.
故答案为：.
由椭圆焦距为，故，故直线经过点，
若点在轴上方，有，即，
又，则，
此时，不符，故舍去；
若点在轴下方，有，即，
又，则，
则，
故
.
故选：C.
由题意，，
，
，
由正弦定理得，又，
所以，，又，
可得，所以椭圆的离心率.
故选：B.
双曲线的焦点为，，则，
是等腰三角形，，
，，
由正弦定理即，解得，
双曲线过点，由双曲线的定义可得，
解得离心率，
故选：B.
三、利用“公式5”求椭圆、双曲线离心率
25． 设双曲线的右准线为，
过、分别作于，于，于，
如图所示：
因为直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为，
∴，，
由双曲线的第二定义得：，
又∵，
∴，
∴
故选：B
26． 设，，直线l的方程为，其中，
联立得．
∴，，
由，得，即，
∴，即，
∴，整理得，
∴离心率．
故选：C．
设，则，
过A、B作双曲线右准线的垂线，垂足分别为D、C，过B作AD的垂线，垂足为E.
根据双曲线的第二定义可得，，
，
由直线的斜率为，可得在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，
∴，，
.
故选：A.
因为离心率，所以，设直线方程为：，则与椭圆联立得：，设，不妨令，由可得：，其中①，②，将代入①②可得：，，从而，解得：，因为，所以.
故选：B
过且斜率为的直线，渐近线，
联立，得，由，得
而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率.
故答案为：．
作出准线与轴交点为，过准线的垂线，垂足分别为，
过作，垂足为，
设，因为，则，
又因为的倾斜角为，所以，则，
又由椭圆的第二定义，可得，
所以，解得，故椭圆的离心率为.
故答案为：.
如图，设双曲线的左焦点为，，连接，，，
则，，，，
依题意，，由双曲线的对称性知四边形为矩形，
在中，由，得，
化简得，即，，在中，由，
得，化简得，所以双曲线的离心率.
故选：A
因为，所以，从而，则椭圆方程为．依题意可得直线方程为，联立可得
设坐标分别为，则
因为，所以，从而有 ①
再由可得，根据椭圆第二定义可得，即 ②
由①②可得，所以，则，解得．因为，所以，故选B
四、斜率乘积求离心率
33． 不妨设过双曲线的焦点且斜率不为0的直线为，令
由，整理得
则，
则，由，可得
则有，即，则双曲线的离心率
故选：D
34． 设,
因为为线段的中点，所以，
则，两式相减可得：，
整理得，即，
所以，所以.
故选：D.
依题意，
，
.
故答案为：
依题意，，设点，则有，即，
由直线AP，BP斜率之积等于，得，即，
显然曲线是焦点在轴上的椭圆，，
所以C的离心率为.
故选：A
椭圆长轴的两顶点为，
设，则由题设可得即，
故，故即，故，
故选：B
因为双曲线C：
所以，设且即
，所以
故答案为：
设,则且，
故，故,
故，即，
因此，
故选：D
解：由题意可得，所以，
直线与椭圆交于两点，设，则，且①，又，
所以的斜率之积为②，
由①②可得：，即，结合，可得：，所以，则椭圆的离心率为.
故选：A.
设，则，
所以，
又，
所以，
又点在上，所以，
所以，
即，由，
故选:D．
由题意，设，则，
两式相减得，而，
，
所以.
故选：B.
由题意知若，则不妨取，
设，则，则，
则，
由于椭圆的离心率为，
即，即，
故；
若，则不妨取，
设，则，则，
则，
由于椭圆的离心率为，
即，即，
故，
故答案为：或
设，由题意可得，且，
又因为，所以，
即有，所以，所以，
所以，所以，所以.
故选：C.
设点，则，且，可得，
易知、，
所以，
所以，可得，
故.
故选：D.
五、余弦定理求离心率
46． 由可知，设，则，,,
则由余弦定理可得
化简可得，故，（舍去），
又,
所以，化简可得，故，
故选：D
47． 且，则，
因，，则在中利用余弦定理可得，
，解得，
又，则.
故选：C
设，又，，
中，由余弦定理有，
即，解得，
则，，
由双曲线定义，
解得．∴双曲线的离心率．
故答案为：．
由双曲线定义知，
又，所以，
又，由余弦定理得
，
解得，故离心率为
故答案为：
由题意，，且，
在中，由余弦定理得，
同理在中由余弦定理得，
所以，可得，所以离心率为，
故选：C．
由，可得在同一条直线上，
设，则，
由椭圆的定义，
则
因为，则即，解得，
所以
在中，，
在中，，
则，化简得，即,解得：.
故选：B.
在第一象限，，又为等腰三角形，
当时，，
又，则；
当时，，
又，
解得或（舍去），则；
故的离心率为或2.
故选：B
由题意知延长 则必过点 ，
，
设，
则，，
由双曲线的定义可得
，，
由可得，
在中，由余弦定理
可得，
在中，由余弦定理
可得
解得：，
则，
故选：D
设，则，由椭圆的定义，得，
由，得，即，
整理得，解得，则，即点在轴上，
如图，在直角中，，
在中，，化简得，
所以椭圆的离心率.
故选：D
设，依题意，，因点在轴上，则，，
又因则，化简得，在中，，故,
在中由余弦定理，,即，
解得：，即，则离心率为.
故答案为：.
六、构造齐次方程求离心率
56．
设为的中点，设两点坐标为，，
则，两式作差化简可得：
即，得，所以，
由恰好为的重心，则
即可得：，
解得：
所以，则，平方后得，
即，
解得：或，由条件，所以.
故选：D
57． 椭圆，左焦点，下顶点，
设，，
的中点为，，．
，．
由，，
两式相减得，
可化为，
得，即，两边平方得，
化为：，解得，
又，解得．
故选：A．
线方程可得e的方程，解之即可求解.
如图，，设，
则,
由，得，
解得，又在双曲线上，
所以，即，整理得，
即，由解得.
故选：C
由，得为的中点，又坐标原点为的中点，则，
于是轴，，则，
因此，即，
整理得，则，而，所以.
故选：A
由题意，，，
过点组平行于的直线方程为，
联立，可得，
则，，由，可得，
即，即，
即，
整理得，
两边同时除以，可得，
又，可得，则．
故选：C．
因为与的一条渐近线平行，根据双曲线的对称性，不妨设，
又因为，所以，
注意到，
所以，即，
整理得，因为，
所以，解得.
故选：C.
先过作x轴的垂线，垂足为，
因为，所以，
又因为，所以，
所以，所以，
所以，又因为，所以，
所以，因为点P在椭圆上，所以，
所以，所以，化简得，
所以，所以，
因为，所以.
故选：D.
由题意双曲线左焦点为，已知圆的圆心为，半径为c，直线的斜率为，
则直线方程为，
由，得，即点P的坐标为，
双曲线渐近线方程为，设点，点，
则①，，
由，得，
由，得，
代入①得，解得，
所以双曲线C的离心率
故选：
易知双曲线C的渐近线方程为，不妨设l的方程为.
如图，由，，可得，
代入椭圆方程，得，又，
故，解得（舍去），所以.
故选：A.
设，，，，，，
又，，解得，，
此时，，，，解得，
又点在上，，，，
又，即，解得，，
即.
故选：
如图：
设，则，，.
因为，所以.
又，所以.
所以，，.
又.
所以.
所以.
所以.
故选：D
综合练
1．B
这是中点弦问题，注意斜率与椭圆a,b之间的关系.
如图：
依题意，假设斜率为1的直线方程为：，联立方程：
，解得：，代入得，
故P点坐标为，由题意，OP的斜率为，
即，化简得：，，，；
故选：B.
2．C
由题意可求出，两边平方得结合，代入即可得出答案.
因为的一个焦点到的一条渐近线的距离为，
不妨取渐近线方程为，即，
所以，，
两边平方得.又，所以，
化简得，所以.
故选：C.
3．C
先求出双曲线的渐近线方程，可得，再根据即可求解.
∵双曲线的渐近线方程为，
∴由双曲线两条渐近线的夹角为，可得.
∴双曲线的离心率为.
故选：C.
4．A
根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选：A
5．A
根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
由，得，因此，而，所以.
故选：A
6．D
设，由题可得，可得双曲线方程，进而判断ACD，然后利用双曲线的定义及三角形的面积公式可判断C.
由，可得，
设，则，即，
∴，设，
则，，所以，即，
又，，
所以，
∴，即，故A错误；
所以双曲线，，
双曲线C的渐近线方程为，离心率为，故B错误，D正确；
若，则，
所以，的面积为1，故C错误.
故选：D.
7．D
根据双曲线定义及正三角形，可得，利用双曲线定义可求解，从而求出离心率.
由题知双曲线的实半轴长，虚半轴长为，设双曲线的焦距为.
如图，直线与双曲线右支相交于两点，设，则，
由为等边三角形，得，可得，
又由双曲线的性质知，故，
所以，.
所以，所以，；
故选：D.
8．A
设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.
设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
9．AB
设双曲线的方程为，由双曲线过点求出，判断B；再由离心率公式判断A；联立直线和双曲线方程判断D.
设双曲线的方程为，由双曲线过点可得，即双曲线的方程是，故B正确；
可化为，则，，故A正确；
由题意可得，当直线与渐近线垂直时，取最小值，且最小值，故C错误；
由，解得，即直线与只有一个交点，故D错误；
故选：AB
10．ABD
A：根据椭圆方程可直接求得，，，和离心率；B：由椭圆的定义可得，结合不等式代入运算；C：点P位于椭圆的上、下顶点时，的面积取得最大，计算判断；D：利用椭圆定义和圆的性质转化处理．
对于选项A，由椭圆C的方程知，，，所以离心率，故选项A正确；
对于选项B，由椭圆的定义可得，所以，即的最大值为4，故选项B正确；
对于选项C，当点P位于椭圆的上、下顶点时，的面积取得最大值，故选项C错误；
对于选项D，易知，则圆，所以，故选项D正确，
故选：ABD．
11．AC
依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.
[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，
所以，因为，所以在双曲线的左支，
，， ，设，由即，则，
选A
情况二
若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，
所以，， ，设，
由，即，则，
所以，即，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点都在左支,，
，
则，
特值双曲线，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点在左右两支，在右支，，
，
则，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，
因为，且，所以在双曲线的右支，
又，，，
设，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以双曲线的离心率
若均在左支上，
同理有，其中为钝角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故选：AC.
12．/0.75
根据椭圆和双曲线定义用长半轴长和实半轴长表示出撤掉装置前后的路程，然后由已知可解.
记椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，
由椭圆和双曲线的定义有：，得，即，
又由椭圆定义知，，
因为，所以，即
所以.
故答案为：
13．
由题意可得，化简整理得到，进而可求出结果.
因为双曲线的一个焦点到其一条渐近线为，
所有由题意可得，
即，
则，
所以离心率,
故答案为：.
14．
首先取的中点，连接．则，根据已知条件得到，从而得到，再求离心率即可.
如图所示：
取的中点，连接．则．
由知，，
又因为点到渐近线的距离，
所以，即，
又，代入化简得，即，
解得或（舍去），故．
故答案为：
15．2
通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可.
双曲线 的一条渐近线不妨设为: ,，
圆 的圆心 , 半径为2，
双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 ，
可得圆心到直线的距离为，等式两边同时平方即有 ，
可得 ， 即 .
故答案为：2.
16．2
根据双曲线的几何性质可知，，，即可根据斜率列出等式求解即可．
联立，解得，所以.
依题可得，，，即，变形得，,
因此，双曲线的离心率为.
故答案为：．
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题．
17．/
由可得，再结合椭圆的性质可得为直角三角形，由题意设，则，由勾股定理可得，再结合椭圆的定义可求出离心率
因为，
所以，所以，
因为，
所以，
所以为直角三角形，即，
所以
设，则，
所以，得，
因为则，
所以，所以，即离心率为，
故答案为：
18．/
方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解.
方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解；
方法一：
依题意，设，则，
在中，，则，故或（舍去），
所以，，则，
故，
所以在中，，整理得，
故.
方法二:
依题意，得，令，
因为，所以，则，
又，所以，则，
又点在上，则，整理得，则，
所以，即，
整理得，则，解得或，
又，所以或（舍去），故.
故答案为：.
19．(1)
(2)正确，理由见解析
(1)根据题目中黄金椭圆的定义，再根据离心率的计算公式可求得椭圆的离心率.(2)通过计算的值，可以判断出三角形的形状.
（1）由题意，设椭圆C的焦距为2c，则，
又，得，即，
，所以．
（2）正确．理由如下；
设椭圆中心为O，由
所以，即，
所以是直角三角形．
20．(1)
(2)48
（1）结合抛物线的定义，列出方程，求得的值，即可得到本题答案；
（2）联立渐近线方程和抛物线方程，求得点和点的坐标，即可得到本题答案.
（1）由题意．双曲线的渐近线为，所以，
所以双曲线的离心率．
（2）抛物线的准线方程为，所以，解得，所以的方程为，焦点为，不妨设A在左侧，B在右侧，
联立得，所以，直线的方程为，
所以点F到直线的距离为8，所以的面积为．
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