第三章 圆锥曲线的方程--圆锥曲线中的中点弦和弦长万能公式 重点题型梳理 专题练 2025-2026学年高二年级数学选择性必修第一册（人教A版2019）

中小学教育资源及组卷应用平台
第三章 圆锥曲线的方程--圆锥曲线中的中点弦和弦长万能公式 重点题型梳理 专题练 2025-2026学年高二年级数学选择性必修第一册（人教A版2019）
一、椭圆中的中点弦问题
1.若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2． 已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3． 若斜率为1的直线与椭圆交于两点，则弦的中点坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
4． 已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5． 已知椭圆上存在两点关于直线对称，若椭圆离心率为，则的中点坐标为（ ）
A． B． C． D．
6． 过点的直线与椭圆相交于两点，且恰为线段的中点，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
7． 已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，过的直线与椭圆交于两点．若的中点为，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
8． 若椭圆的弦AB的中点则弦长（ ）
A．4 B． C．2 D．
9．已知椭圆，过点的直线l与C交于两点，若的中点坐标为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10． 已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
二、双曲线中的中点弦问题
11． 若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
12． 斜率为1的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点为，则（ ）
A． B． C． D．
13． 已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
14． 已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
15． 已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
16． 已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则双曲线的实轴长为（ ）
A． B． C． D．
17． 已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
18． 已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为.
(1)求的方程；
(2)过点作直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求这条直线的方程.
19． 已知双曲线
(1)求双曲线的虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程；
(2)过点的直线与双曲线交于，两点且点恰好为线段的中点，求直线的方程
20． 已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过点作直线与曲线C相交于P，Q两点，点N能否是线段PQ的中点？若能，求直线PQ的方程；若不能，请说明理由.
三、抛物线中的中点弦问题
21．已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦的中点，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
22． 过抛物线的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
23．已知抛物线（），过其焦点且斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为1，则该抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
24． 已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A， B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
25． 抛物线：与直线交于，两点，且的中点为，则的斜率为 .
26． 已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)直线与相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程.
27． 已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程.
四、弦长问题
28．已知抛物线的焦点到准线的距离是.
(1)求抛物线的方程和准线方程；
(2)若斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求线段的长．
29． 已知抛物线的焦点坐标为．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若斜率为1且过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，求．
30． 已知中心在坐标原点的双曲线的右焦点坐标，且离心率.
(1)求双曲线的标准方程和渐近线方程；
(2)过双曲线右焦点且倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，求.
31． 已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为P，长轴长为4，若为正三角形．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点，斜率为的直线与椭圆相交M，N两点，求的长．
32． 已知动点与平面上两定点，连线的斜率的积为定值，试求：
(1)动点的轨迹的方程；
(2)求直线与（1）中曲线相交所得弦的弦长.
33． 已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)直线与椭圆C交于M，N两点．
①求m的取值范围；
②若，求的值．
34．已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于点，且．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)过点的直线与抛物线交于两点，且，求．
35． 已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中均为常数，动点P的轨迹称为曲线．
(1)判断曲线为何种圆锥曲线？
(2)若曲线为双曲线，试问应满足什么条件？
(3)设曲线C为曲线，斜率为1的直线l过曲线C的右焦点，且与曲线C交于A，B两个不同的点，求．
36． 已知椭圆经过点，且离心率为.
(1)求的方程；
(2)若直线与交于点，，求.
37． 已知椭圆，长轴长为4，离心率为
(1)求椭圆的方程；
(2)过点倾斜角为的直线与椭圆相交于、，求.
综合练
一、单选题
1．已知双曲线与直线相交于两点，若弦的中点的横坐标为1，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线l：与双曲线C：交于A，B两点，点是弦AB的中点，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已加直线与双曲线的渐近线分别交于M，N两点，P为弦MN的中点，若直线OP（O为坐标原点）的方程为，则（ ）
A． B．4 C． D．
4．已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，过点的直线l与双曲线E的左、右两支分别交于点A，B，弦AB的中点为M且.若过原点O与点M的直线的斜率不小于，则双曲线E的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为 .
7．已知双曲线被斜率为1的直线截得的弦的中点为，则该双曲线的离心率为 .
8．已知直线与双曲线交于A，B两点，点是弦的中点，则双曲线C的离心率为 ．
9．已知双曲线的右焦点为，半焦距，点到右准线的距离为，过点作双曲线的两条互相垂直的弦，设的中点分别为.则直线过定点 .
10．已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的两条互相垂直的弦，设的中点分别为.则直线过定点 .
11．已知双曲线，过点的直线与双曲线相交于，两点，为弦中点，则正整数的最小值为 .
三、解答题
12．已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为．
(1)求双曲线的离心率；
(2)若，直线交双曲线于两点，是坐标原点，若是弦的中点，求弦的长．
13．已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，点的坐标为，点P在圆上，线段的垂直平分线交线段于点Q．
(1)求动点Q的轨迹曲线C的方程；
(2)斜率为的直线m交双曲线E于点A，B，若弦的中点M恰好在曲线C上，求点M的坐标；
(3)记双曲线E与曲线C在第一象限的交点为的平分线为n，在曲线C上是否存在不同的点S，T，使得点关于直线n对称？若存在，求出S，T所在直线方程，若不存在，请说明理由．
14．已知双曲线 的实轴长为2，且经过点，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合.
(1)求双曲线和抛物线的方程；
(2)过点作互相垂直的两条直线与，分别与抛物线相交所得弦为，，取弦、的中点分别为、，试探究直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
15．已知椭圆的方程为、分别为椭圆的左、右焦点.双曲线的实轴为椭圆的长轴，的虚轴为椭圆的短轴.过作直线交椭圆于、两点.
(1)已知的周长为，圆的焦距为，求曲线及的方程；
(2)设.已知椭圆的上顶点为是上的一个动点，若是等腰三角形，且是该三角形的腰，求点的坐标;
(3)设.已知直线与轴不垂直，弦的中点为，直线与双曲线交于、两点，求四边形面积的最小值.
答案
一、椭圆中的中点弦问题
1． 圆 的圆心为，而点，
所以
由题意可知，，
则，所以
所以弦所在的直线的方程为，
即.
故选：A.
2． 设点，因点为线段的中点，则（*）
又在椭圆（即）上，则 ①， ② ，
由，可得，
将（*）代入，化简得，即，可知直线的斜率为，
故直线的方程为：，即.
故选：B.
3． 设，则，
两式相减得：（*），
设弦的中点坐标为，则，
因直线的斜率为1，即，
分别代入上式（*），整理得：.
将选项逐一代入检验知，A，D满足，但是，点在椭圆外，不合要求.
故选：A.
4． 设,则且，
故，故,
故，即，
因此，
故选：D
5． 设点、，线段的中点为，则，
由题意，椭圆的离心率为，可得，
因为、关于直线对称，且直线的斜率为，
则，
将点、的坐标代入椭圆方程可得，
上述两个等式作差可得，
可得，
即，即，即，
又因为点在直线上，则，
则有，解得，故线段的中点为.
故选：A.
6． 显然在椭圆内，
当直线的斜率不存在，即直线方程为时，可得，或，，
此时不是线段的中点，
所以直线的斜率存在，设，，
则，两式相减并化简得，
又，，代入得，
解得，
故选：D.
7． 设椭圆方程为，
易知直线的斜率为；
设，则，所以，；
易知，两式相减可得；
即，可得，
又，可得，所以；
即椭圆的方程为.
故选：A
8． 设，，
因为为AB的中点，
所以，，
又A，B两点在椭圆上，
则，，
两式相减，得，
所以，
所以，
所以，
即有直线AB的方程为，
即为，代入椭圆方程，可得，
可得或4，
即有，，
则
故选：D.
9.
由题意得，.
设，则，
∵点在椭圆上，∴，
两式相减得，，即，
∴，∴，
∴C的离心率.
故选：B.
10． 椭圆，由，得点在椭圆内，设，
则，两式相减得，
而，因此，即直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
故选：A
二、双曲线中的中点弦问题
11． 设弦端点，，
由，在双曲线上，
则，
两式做差可得，
即，
又弦被点平分，
则，代入上式可得，
则，
即直线方程为，化简可得，
故选：D.
12.设，
则，
两式相减并化简得，
（负根舍去）.
故选：B
13.由已知直线的方程为，即，
设，
由得，
则即，
则，，
线段的中点是，则，，
整理得，即，
故选：A.
14.解：设、，
若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，
因为线段的中点坐标为，则，
则，两式相减得，
则，
因为，所以，，
所以，，解得，
因此，双曲线的标准方程为.
故选：D.
15.设，因为点在双曲线上，
则，两式相减可得，
整理可得，又线段的中点是，则，
所以，又直线过点，得到，所以，得到，
故选：C.
16.设，则且，
相减可得，
故，
故，
又，故，解得，
故长轴长为，
故选：B
17.设点、，由题意可得，
因为点是的中点，则，
因为，这两个等式作差可得，
所以，，
因此，双曲线的离心率为.
故选：D.
18.（1）由题意知，，
解得，故双曲线的方程为.
（2）①当过点的直线斜率不存在时，若点为的中点，
则点必在轴上，这与矛盾；
②当过点的直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为，
设，因为点为线段的中点，
所以，
因为在双曲线上，所以，
则，
所以，
则所求直线方程为，即.经检验此时直线与双曲线有两个交点，满足题意.
19.（1）将化为标准方程可得，
由方程可得，解得，
故实半轴为，虚半轴为，
所以渐近线方程为，
又，解得，
所以焦点坐标为，离心率.
（2）设，，
因为点为线段的中点，
所以有，，
所以
所以，
又
所以在双曲线内部，所以直线一定与双曲线有两个交点，
所以直线的方程为：，
即：.
20.（1）由题意得，椭圆焦点坐标为.
∵双曲线渐近线方程为，
∴，解得，
∴双曲线C的标准方程为.
（2）假设点N能是线段的中点，设，则，
由得 ，
∴，
∴直线的斜率为，
∴直线的方程为，即，
由得，
∵，∴直线与双曲线无交点，
∴点N不能是线段的中点.
三、抛物线中的中点弦问题
21． 显然直线l不垂直于，设直线l的方程为，
由消去得，，由弦的中点为，
得，此时方程有两个不等实根，
所以直线的方程为，即.
故选：D
22． 设，，则，
两式作差得，，
当时，则中点坐标为焦点，不满足题意；
当时，得．
设线段中点，因为坐标，且过焦点，
所以，
则的斜率，
解得．
故选：A.
23.根据题意，设，所以①，②，
所以，①②得：，即，
因为直线AB的斜率为2，线段AB的中点的纵坐标为1，
所以，所以抛物线，准线方程为.
故选：B
24.由题意动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，
则动点P到定点的距离与它到直线的距离相等，
故动点P的轨迹为以F为焦点的抛物线，其方程为，
设，则，
则，则,
由于线段AB的中点为且在抛物线含焦点的一侧区域内，则直线AB的斜率存在，，
故，
故直线的方程为，即，
故选：D
25.已知的中点为，设，两点坐标分别为，，
则，可得，
即，
即
又，
所以.
故答案为：.
26.（1）由题意知根据已知得到动点到的距离等于到直线的距离，
即动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以轨迹的方程为.
（2）设，则
两式相减得，整理可得.
因为线段的中点坐标为，所以，
所以直线的斜率，
故直线的方程为，即经检验满足题意.
27.（1）抛物线的焦点为，
由题意得，解得，，
所以椭圆的方程为.
（2）直线的斜率存在，设斜率为，
直线的方程为，即，
联立，
消去得：，
设，
因为，即，
所以，解得，
此时满足题意
所以所求直线的方程为.
四、弦长问题
28． （1）焦点到准线的距离是，
抛物线的方程为，即.
准线方程为.
（2）由（1）知焦点，直线的方程为，
由 ，消去得，
则，
29． （1）由题设，则抛物线方程为；
（2）由题设，直线，联立抛物线得，
所以，，则.
30． （1）由题意可得，可得，且焦点在轴上，
所以，
所以双曲线的方程为：；渐近线的方程为：；
（2）过双曲线右焦点且倾斜角为的直线方程为：，
联立双曲线方程可得：，
所以，
则.
31．（1）由题设，又为正三角形，则，
所以，则椭圆C的标准方程为.
（2）由（1）知，，故该直线为，
由，消去可得，故，，
所以．
32.（1）设，，
所以，整理为，；
（2）设直线与曲线的两个交点分别为，，
联立，得，得，，
所以弦长.
33.（1）因为点在椭圆C上，所以．
椭圆C的离心率为，解得．
故椭圆C的标准方程为．
（2）联立得．
①，解得，
所以m的取值范围为．
②因为，所以，解得．
．
34.（1）设点，则，所以．
将代入得，解得，
所以抛物线C的标准方程为；
（2）抛物线的焦点，设直线的方程为，
因为，所以，所以．
联立，得，，
所以，即，
又，所以，解得．
所以．
35.（1）设，由，得，
当时，，即，所以曲线为椭圆.
（2）由，得.
若曲线为双曲线，则，
所以可化为，
所以，则；
故应满足且曲线为双曲线.
（3）由，得曲线的方程为，
则的右焦点坐标为，所以直线的方程为.
联立得.
设，则若，则
则.
36.（1）由椭圆经过点，且离心率为，得，解得，，
所以C的方程为.
（2）设，，由消去得，
则，，
所以.
37.（1）由题意可得，，则，
又，
则，
∴椭圆的方程为.
（2）∵直线l过点倾斜角为
∴直线l的方程为即，
联立，得，
设，
则，
∴
.
综合练
1．A
联立直线与双曲线得，根据已知结合韦达定理得，可得，即得答案.
将直线代入双曲线有，则，
由题设，易知，故，则渐近线为.
故选：A
2．D
利用点差法列式，化简后求得，进而求得双曲线的离心率.
设，，可得，，
两式相减可得，
点是弦AB的中点，且直线l：，
可得，，，
代入可得有，即，
∴，，故双曲线C的离心率为，
经验证此时直线与双曲线有两个交点.
故选：D.
3．B
联立直线与渐近线方程求得坐标，再由中点坐标公式得到坐标，即可求解；

由双曲线方程易得渐近线方程：，联立，
解得：，即
解得：，即
所以点
由题意可知，
解得：
故选：B
4．C
利用点差法，求，即可求双曲线的渐近线方程.
设，，
则，两式相减得，
，即，即，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：C
5．B
方法一：连接，，结合双曲线的定义，再由条件列出不等式，代入计算，即可得到结果；方法二：连接，，可得，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理代入计算，表示出，列出不等式，即可得到结果.
方法一：如图，设双曲线E的半焦距为c，连接，，因为，
所以.设，
由双曲线的定义，得，，
所以，，，
所以，即.
设，则，
所以，解得.
又，所以，
解得，所以，即，所以.
故选：B.
方法二：如图，设双曲线E的半焦距为c，连接，，因为，所以.
设，由双曲线的定义，得，，所以.
设直线l的方程为，，.
由，消去x并整理，得.
，
因为直线l与双曲线E的两支相交，所以，即.
由，得.结合，化简得①.
由，两式相减，得，即②，
②代入①化简，得，
所以，即，所以.
故选：B.
6．
利用点差法可得直线斜率，进而可得直线方程.
设，，则，，
又，两式相减，
得，
即，整理得，
直线的方程为，
化简得，
故答案为：.
7．/
设，由条件可得，，由点差法可求出的值，从而得出离心率.
设，则，，
将两点坐标代入双曲线方程得：，，
将上述两式相减可得： ，
即，可得，
所以，即.
故答案为：.
8．
设，利用点差法结合中点坐标公式和离心率的定义求解即可.
设，可得，两式相减可得，点是弦的中点，且直线，
可得，即有，
即，
故双曲线C的离心率为．
故答案为：.
9．
根据焦点到准线的距离可求得双曲线方程，设，与双曲线方程联立，由韦达定理可表示出点坐标，当时，知为轴；当时，同理可得点坐标，从而求解出直线的方程，进而确定所过定点坐标.
到右准线的距离为，，解得：，
，双曲线；
，由题意可设，，则，
由得：，
与双曲线有两个交点，，则，
；
当时，点与点重合，此时直线为轴；
当时，将上式点坐标中的换成，可得；
①当直线不垂直于轴时，，
则直线，化简得：，
直线过定点；
②当直线垂直于轴时，，解得：，
此时直线也过定点；
综上所述：直线过定点.
故答案为：.
10．
设出直线的方程，点和点的坐标，求出点的坐标，联立求出韦达定理，分和两种情况即可求解.
由题意可设，，
则，由得：，
与双曲线有两个交点，，则，，
当时，点与点重合，此时直线为轴，
当时，将上式点坐标中的换成，可得，
①当直线不垂直于轴时，，
则直线，化简得：，直线过定点，
②当直线垂直于轴时，，解得：，此时直线也过定点.
综上所述：直线过定点.
故答案为：.
11．3
设，过点的直线与双曲线相交于，两点，为弦中点，则此直线一定存在斜率，利用直线的点斜式设出过点的直线的方程，将直线的方程代入双曲线，消去，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系得到，又为弦中点，利用中点坐标公式建立的等式，利用判别式大于0建立的不等式，要求正整数的最小值，则对从1开始取值，代入的不等式中求出正整数的最小值.
设，过点的直线与双曲线相交于，两点，为弦中点，
则此直线一定存在斜率，设过点的直线的方程为，
整理得到，代入双曲线得到，
整理得，
则有，为弦中点，
，，，
又，
，，，
当时，不成立；
当时，不成立；
当时，成立；
正整数的最小值为3.
故答案为：3.
12．(1)
(2)
（1）由双曲线的一条渐近线方程为，
故焦点到渐近线的距离，
所以即，
所以.
（2）因为，所以，
所以双曲线的方程为：，
如图所示：

设点，，因为是弦的中点，
则，
由于，，所以两式相减得，
所以，
即直线的斜率为，
所以直线的方程为，
即．
联立消去并整理，
得，
所以，
且，，
所以.
13．(1)
(2)或．
(3)存在，
（1）根据点到直线距离及椭圆定义计算求出椭圆方程；
（2）应用点差法 计算得出 代入椭圆方程计算得出点的坐标；
（3）先联立双曲线及椭圆再得出的方程分别为，方法一：应用点到直线距离结合点差法证明；方法二：应用角平分线定理计算；方法三应用角的正切的关系计算得出直线；方法四：应用直角三角形内切圆性质求解.
（1）双曲线的渐近线为，
不妨取一条渐近线为，
如，则圆心到直线的距离，
从而解得，
故，
所以，点Q的轨迹C是以为焦点，长轴长为8的椭圆，
因此其标准方程为．
（2）设则且，
两式相减，得，
从而，即，
代入，解得，
故点M的坐标为或．
（3）联立解得，
从而，的方程分别为，
（方法一）设为的平分线n上任意一点，则，
化简得或，
但平分线n与x轴的交点在之间，
检验可知所求角平分线n的方程为．
设的中点为，
则，直线的斜率
因为所以，故，
代入得
但点与点N重合，即在椭圆上，矛盾！
故在曲线C上不存在不同的点S，T，使得点S，T关于直线n对称．
（方法二）设为的平分线n与x轴的交点（如图），
由角平分线定理得，，
即，
（利用E到的距离相等也可），
解得，从而所求角平分线n的方程为．
（以下同方法一）
（方法三）设E为的平分线n与x轴的交点（如图），
易知，，可解得，即，
所以，
从而所求角平分线n的方程为．

（以下同方法一）
（方法四）设为的内心（如图），内切圆半径为r，
则，
可得，即I的坐标为，
从而所求角平分线n的方程为．
（以下同方法一）
14．(1)，
(2)直线过定点
（1）由题可知，则，将点坐标代入的方程：，解得，
所以双曲线方程为：；
右焦点为抛物线的焦点，则，
所以抛物线的方程为：；
（2）由题意可以设，，设，，
将直线方程与抛物线方程联立，
化简得：，则，，
所以，，得点坐标，
同理可得： ，，点坐标，
则，
所以直线的方程为：，
令，得，
所以直线过定点.
15．(1)
(2)点的坐标为
(3)
（1）由椭圆定义得，，
的周长为，故.
，，
.
（2），，故.
若，设，则，解得，
点的坐标为.
若，设，则，解得或（舍），点的坐标为.
综上, 点的坐标为.
（3）由题知：，.
直线不垂直于轴，设直线的方程为，
由得，
，故.
点在直线上，，
直线的方程为，即.
由得，
由得，且.
设点到直线的距离为，则点到直线的距离也为，
直线的方程可化为，.
点在线段的两端，，
点在直线上，
，
四边形的面积为，
.
令，，
在上单调递增，
当时，.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)