第三章 圆锥曲线的方程 章末能力综合试题 2025-2026学年高二年级数学选择性必修第一册（人教A版2019）
文档属性
| 名称 | 第三章 圆锥曲线的方程 章末能力综合试题 2025-2026学年高二年级数学选择性必修第一册（人教A版2019） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-01 00:00:00 | ||
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文档简介
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圆锥曲线的方程 章末能力综合试题 2025-2026学年
高二年级数学选择性必修第一册（人教A版2019）
一、单选题
1．已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
3．已知为双曲线的左焦点，为其右支上一点，点，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．
A． B． C． D．
5．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
6．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A． B．
C．2 D．
7．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
8．数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在点P处变轨进入以F为一焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月球飞行，最后在点Q处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ上绕月球飞行．设圆形轨道Ⅰ的半径为，圆形轨道Ⅲ的半径为，则下列结论中正确的是（ ）
A．轨道Ⅱ的焦距为
B．轨道Ⅱ的长轴长为
C．若不变，r越大，轨道Ⅱ的短轴长越小
D．若不变，越大，轨道Ⅱ的离心率越大
10．已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
11．已知双曲线的左 右焦点分别为、，过点的直线与双曲线的左 右两支分别交于、两点，下列命题正确的有（ ）
A．当点为线段的中点时，直线的斜率为
B．若，则
C．
D．若直线的斜率为，且，则
三、填空题
12．已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 .
13．已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 ．
14．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ．
四、解答题
15．椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆C经过点且长轴长为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦长|AB|．
16．已知双曲线C与双曲线有相同的渐近线，且经过点，
(1)求双曲线C的标准方程
(2)已知直线与曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数m的值．
17．若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)不过原点O的直线与椭圆E交于A、B两点，求面积的最大值以及此时直线l的方程．
18．已知抛物线，为坐标原点，焦点在直线上．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点作动直线与抛物线交于，两点，直线，分别与圆交于点，两点（异于点），设直线，斜率分别为，．
①求证：为定值；
②求证：直线恒过定点．
19．已知椭圆，定义椭圆上的点的“伴随点”为.
(1)求椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程；
(2)如果椭圆上的点的“伴随点”为，对于椭圆上的任意点及它的“伴随点”，求的取值范围；
(3)当，时，直线交椭圆于两点，若点的“伴随点”分别是，且以为直径的圆经过坐标原点，求的面积.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B C B A A A ABD ACD
题号 11
答案 BCD
1．B
【分析】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.
【详解】解：因为离心率，解得，，
分别为C的左右顶点，则，
B为上顶点，所以.
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为.
故选：B.
2．D
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，
所以到准线的距离为，
又到直线的距离为，
所以，故.
故选：D.
3．B
【分析】设双曲线的右焦点为，由双曲线方程可求出，b，c的值，利用双曲线的定义以及三点共线即可求出的周长的最小值．
【详解】设双曲线的右焦点为，由双曲线的方程可得：，则，
所以，且，所以，
的周长为，
当且仅当M，P，A三点共线时取等号，
则周长的最小值为．
故选：B．
4．C
【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用，求出范围，再根据三角形面积比得到关于的方程，解出即可.
【详解】将直线与椭圆联立，消去可得，
因为直线与椭圆相交于点，则，解得，
设到的距离到距离，易知，
则，，
，解得或（舍去），
故选：C.
5．B
【分析】因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
6．A
【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．
【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
为圆心．
，又点在圆上，
，即．
，故选A．
【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
7．A
【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.
【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
8．A
【分析】根据题意O、A、P、B四点在以OP为直径的圆上，可设点P坐标为，从而得出四点所在圆的方程为，利用两圆方程之差求得切点A、B所在直线方程，进而求得M、N两点坐标即可解决本题.
【详解】依题意有OAPB四点共圆，设点P坐标为，则该圆的方程为：，
将两圆方程：与相减，得切点所在直线方程为
，解得，因为，所以
故选：A
9．ABD
【分析】设椭圆方程，根据椭圆的性质得到，判断选项A，B；由判断选项C；由判断选项D.
【详解】解：设椭圆方程，
由椭圆的性质知，，，
则，，故选A，B正确；
，，所以，
若不变，越大，越大，即轨道Ⅱ的短轴长越大，故C的错误；
，
若不变，越大，则越小，越大，即轨道Ⅱ的离心率越大，故D正确．
故选：ABD．
10．ACD
【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.
【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
11．BCD
【分析】对于A选项，设，代入双曲线，用点差法即可判断；对于B选项，设，表示出和，得出，再结合即可得出结论；对于C选项，设，其中，由双曲线方程，得出，利用两点之间距离公式，分别表示出和，通过做差即可得出结论；对于D选项，根据双曲线的定义，得出，再证出点与点关于直线对称，则，即可得出结论．
【详解】选项A：
设，代入双曲线得，
，两式相减得，
，
∵点为线段的中点，
∴，，
即，，
∴，
，故A错误；
选项B：
设，
，，
，
，
又 ，
，故B正确；
选项C：
设，其中，
则，即，
，
，
，
，
，
，故C正确；
选项D：
，，
，，
，
∵直线的斜率为即，且过点，
∴直线的方程为：，
又∵，，
，
即，
又∵点到直线的距离：，
点到直线的距离：，
即，
∴点与点关于直线对称，
，
，故D正确；
故选：BCD．
【点睛】结论点睛：本题涉及到双曲线中的有关结论：
（1）若点是双曲线上一条弦的中点，则直线的斜率；
（2）若双曲线上有两点、，且位于不同两支，则．
12．
【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.
【详解】抛物线： ()的焦点,
∵P为上一点，与轴垂直，
所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,
不妨设,
因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，
因为，所以,
，
所以的准线方程为
故答案为：.
【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.
13．
【分析】根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解.
【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点，
且，所以四边形为矩形，
设，则，
所以，
，即四边形面积等于.
故答案为：.
14．
【解析】作出图形，设双曲线的右焦点为，根据双曲线的定义可得，可得出，利用、、三点共线时取得最小值即可得解.
【详解】对于双曲线，则，，，如下图所示：
设双曲线的右焦点为，则，
由双曲线的定义可得，则，
所以，，
当且仅当、、三点共线时，等号成立.
因此，的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：利用双曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法：
（1）求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题；
（2）圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的长轴长及所经过点直接求出，得出椭圆C的标准方程.
（2）直线l与椭圆方程联立，得出韦达定理，根据弦长公式得出结果.
【详解】（1）由题意设椭圆C的方程为，
因为椭圆经过点且长轴长为，
所以，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）由已知设直线l的方程为，设，.
将直线代入，
得，
所以，，
.
16．(1)
(2)
【分析】（1）据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点，计算，即可得出答案．
（2）联立直线与双曲线的方程，得关于的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出的中点坐标，代入圆的方程，计算即可得出答案．
【详解】（1）设双曲线的方程为，
代入，，得，解得，
所以双曲线的方程为．
（2）由，得，
设，，，，
则中点坐标为，，
由韦达定理可得，
所以，
所以中点坐标为，
因为点在圆上，
所以，解得．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
17．(1)
(2)面积的最大值为，此时直线的方程为
【分析】(1)根据抛物线和双曲线的性质结合椭圆的的关系求解；
(2)利用韦达定理求出弦长，再利用点到直线距离公式为三角形的高即可求解.
【详解】（1）抛物线的焦点为，所以，
因为双曲线的焦点坐标为，
所以则，
所以椭圆E的方程为.
（2）设，
联立可得，
因为直线与椭圆E交于A、B两点，
所以解得，
由韦达定理可得，
由弦长公式可得，
点到直线的距离为，
所以
当且仅当即时取得等号，
所以面积的最大值为，此时直线的方程为.
18．(1)
(2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）先求出抛物线的焦点坐标，进而得到，可得，从而求解；
（2）①设直线方程为，，，联立方程组，结合韦达定理可得，结合可得，进而求证；
②设直线方程为，，，联立方程组，结合韦达定理可得，，再结合即可得证.
【详解】（1）易知直线与x轴交于，
即焦点坐标为，
所以，，
则抛物线方程为．
（2）①设直线方程为，，，
联立方程组，得，
所以，又，
所以，即，
则．
②设直线方程为，，
联立方程组，得，
所以，，
．
整理得，，所以直线过定点．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据“伴随点”的定义，结合点在椭圆上求解即可；
（2）根据题意，结合（1）得，进而得，再根据数量积的坐标表示，结合二次函数求解即可；
（3）设，，则，，进而根据得，再联立椭圆和直线的方程并结合韦达定理得，最后求弦长与点到直线的距离并求面积即可.
【详解】（1）解：设.
所以，根据“伴随点”的定义，有，则，
又因为，
所以，即.
所以，椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程为.
（2）解：由（1）知，椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程为，
因为椭圆上的点的“伴随点”为，
所以，根据“伴随点”的定义与（1）中结论，有，解得，
因为点在椭圆上，所以，
所以，，且，
所以.
因为，，所以，
所以的取值范围是.
（3）解：由题意，得椭圆的方程为.
设，，则，.
联立椭圆和直线的方程，得
所以.
由题意，得，
所以，.①
因为为直径的圆经过坐标原点，
所以，即，
所以.②
将①代入②，化简，得.
所以，，
所以.
又因为点到直线的距离，
所以.
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圆锥曲线的方程 章末能力综合试题 2025-2026学年
高二年级数学选择性必修第一册（人教A版2019）
一、单选题
1．已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
3．已知为双曲线的左焦点，为其右支上一点，点，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．
A． B． C． D．
5．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
6．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A． B．
C．2 D．
7．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
8．数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在点P处变轨进入以F为一焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月球飞行，最后在点Q处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ上绕月球飞行．设圆形轨道Ⅰ的半径为，圆形轨道Ⅲ的半径为，则下列结论中正确的是（ ）
A．轨道Ⅱ的焦距为
B．轨道Ⅱ的长轴长为
C．若不变，r越大，轨道Ⅱ的短轴长越小
D．若不变，越大，轨道Ⅱ的离心率越大
10．已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
11．已知双曲线的左 右焦点分别为、，过点的直线与双曲线的左 右两支分别交于、两点，下列命题正确的有（ ）
A．当点为线段的中点时，直线的斜率为
B．若，则
C．
D．若直线的斜率为，且，则
三、填空题
12．已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 .
13．已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 ．
14．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ．
四、解答题
15．椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆C经过点且长轴长为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦长|AB|．
16．已知双曲线C与双曲线有相同的渐近线，且经过点，
(1)求双曲线C的标准方程
(2)已知直线与曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数m的值．
17．若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)不过原点O的直线与椭圆E交于A、B两点，求面积的最大值以及此时直线l的方程．
18．已知抛物线，为坐标原点，焦点在直线上．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点作动直线与抛物线交于，两点，直线，分别与圆交于点，两点（异于点），设直线，斜率分别为，．
①求证：为定值；
②求证：直线恒过定点．
19．已知椭圆，定义椭圆上的点的“伴随点”为.
(1)求椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程；
(2)如果椭圆上的点的“伴随点”为，对于椭圆上的任意点及它的“伴随点”，求的取值范围；
(3)当，时，直线交椭圆于两点，若点的“伴随点”分别是，且以为直径的圆经过坐标原点，求的面积.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B C B A A A ABD ACD
题号 11
答案 BCD
1．B
【分析】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.
【详解】解：因为离心率，解得，，
分别为C的左右顶点，则，
B为上顶点，所以.
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为.
故选：B.
2．D
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，
所以到准线的距离为，
又到直线的距离为，
所以，故.
故选：D.
3．B
【分析】设双曲线的右焦点为，由双曲线方程可求出，b，c的值，利用双曲线的定义以及三点共线即可求出的周长的最小值．
【详解】设双曲线的右焦点为，由双曲线的方程可得：，则，
所以，且，所以，
的周长为，
当且仅当M，P，A三点共线时取等号，
则周长的最小值为．
故选：B．
4．C
【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用，求出范围，再根据三角形面积比得到关于的方程，解出即可.
【详解】将直线与椭圆联立，消去可得，
因为直线与椭圆相交于点，则，解得，
设到的距离到距离，易知，
则，，
，解得或（舍去），
故选：C.
5．B
【分析】因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
6．A
【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．
【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
为圆心．
，又点在圆上，
，即．
，故选A．
【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
7．A
【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.
【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
8．A
【分析】根据题意O、A、P、B四点在以OP为直径的圆上，可设点P坐标为，从而得出四点所在圆的方程为，利用两圆方程之差求得切点A、B所在直线方程，进而求得M、N两点坐标即可解决本题.
【详解】依题意有OAPB四点共圆，设点P坐标为，则该圆的方程为：，
将两圆方程：与相减，得切点所在直线方程为
，解得，因为，所以
故选：A
9．ABD
【分析】设椭圆方程，根据椭圆的性质得到，判断选项A，B；由判断选项C；由判断选项D.
【详解】解：设椭圆方程，
由椭圆的性质知，，，
则，，故选A，B正确；
，，所以，
若不变，越大，越大，即轨道Ⅱ的短轴长越大，故C的错误；
，
若不变，越大，则越小，越大，即轨道Ⅱ的离心率越大，故D正确．
故选：ABD．
10．ACD
【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.
【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
11．BCD
【分析】对于A选项，设，代入双曲线，用点差法即可判断；对于B选项，设，表示出和，得出，再结合即可得出结论；对于C选项，设，其中，由双曲线方程，得出，利用两点之间距离公式，分别表示出和，通过做差即可得出结论；对于D选项，根据双曲线的定义，得出，再证出点与点关于直线对称，则，即可得出结论．
【详解】选项A：
设，代入双曲线得，
，两式相减得，
，
∵点为线段的中点，
∴，，
即，，
∴，
，故A错误；
选项B：
设，
，，
，
，
又 ，
，故B正确；
选项C：
设，其中，
则，即，
，
，
，
，
，
，故C正确；
选项D：
，，
，，
，
∵直线的斜率为即，且过点，
∴直线的方程为：，
又∵，，
，
即，
又∵点到直线的距离：，
点到直线的距离：，
即，
∴点与点关于直线对称，
，
，故D正确；
故选：BCD．
【点睛】结论点睛：本题涉及到双曲线中的有关结论：
（1）若点是双曲线上一条弦的中点，则直线的斜率；
（2）若双曲线上有两点、，且位于不同两支，则．
12．
【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.
【详解】抛物线： ()的焦点,
∵P为上一点，与轴垂直，
所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,
不妨设,
因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，
因为，所以,
，
所以的准线方程为
故答案为：.
【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.
13．
【分析】根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解.
【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点，
且，所以四边形为矩形，
设，则，
所以，
，即四边形面积等于.
故答案为：.
14．
【解析】作出图形，设双曲线的右焦点为，根据双曲线的定义可得，可得出，利用、、三点共线时取得最小值即可得解.
【详解】对于双曲线，则，，，如下图所示：
设双曲线的右焦点为，则，
由双曲线的定义可得，则，
所以，，
当且仅当、、三点共线时，等号成立.
因此，的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：利用双曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法：
（1）求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题；
（2）圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的长轴长及所经过点直接求出，得出椭圆C的标准方程.
（2）直线l与椭圆方程联立，得出韦达定理，根据弦长公式得出结果.
【详解】（1）由题意设椭圆C的方程为，
因为椭圆经过点且长轴长为，
所以，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）由已知设直线l的方程为，设，.
将直线代入，
得，
所以，，
.
16．(1)
(2)
【分析】（1）据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点，计算，即可得出答案．
（2）联立直线与双曲线的方程，得关于的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出的中点坐标，代入圆的方程，计算即可得出答案．
【详解】（1）设双曲线的方程为，
代入，，得，解得，
所以双曲线的方程为．
（2）由，得，
设，，，，
则中点坐标为，，
由韦达定理可得，
所以，
所以中点坐标为，
因为点在圆上，
所以，解得．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
17．(1)
(2)面积的最大值为，此时直线的方程为
【分析】(1)根据抛物线和双曲线的性质结合椭圆的的关系求解；
(2)利用韦达定理求出弦长，再利用点到直线距离公式为三角形的高即可求解.
【详解】（1）抛物线的焦点为，所以，
因为双曲线的焦点坐标为，
所以则，
所以椭圆E的方程为.
（2）设，
联立可得，
因为直线与椭圆E交于A、B两点，
所以解得，
由韦达定理可得，
由弦长公式可得，
点到直线的距离为，
所以
当且仅当即时取得等号，
所以面积的最大值为，此时直线的方程为.
18．(1)
(2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）先求出抛物线的焦点坐标，进而得到，可得，从而求解；
（2）①设直线方程为，，，联立方程组，结合韦达定理可得，结合可得，进而求证；
②设直线方程为，，，联立方程组，结合韦达定理可得，，再结合即可得证.
【详解】（1）易知直线与x轴交于，
即焦点坐标为，
所以，，
则抛物线方程为．
（2）①设直线方程为，，，
联立方程组，得，
所以，又，
所以，即，
则．
②设直线方程为，，
联立方程组，得，
所以，，
．
整理得，，所以直线过定点．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据“伴随点”的定义，结合点在椭圆上求解即可；
（2）根据题意，结合（1）得，进而得，再根据数量积的坐标表示，结合二次函数求解即可；
（3）设，，则，，进而根据得，再联立椭圆和直线的方程并结合韦达定理得，最后求弦长与点到直线的距离并求面积即可.
【详解】（1）解：设.
所以，根据“伴随点”的定义，有，则，
又因为，
所以，即.
所以，椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程为.
（2）解：由（1）知，椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程为，
因为椭圆上的点的“伴随点”为，
所以，根据“伴随点”的定义与（1）中结论，有，解得，
因为点在椭圆上，所以，
所以，，且，
所以.
因为，，所以，
所以的取值范围是.
（3）解：由题意，得椭圆的方程为.
设，，则，.
联立椭圆和直线的方程，得
所以.
由题意，得，
所以，.①
因为为直径的圆经过坐标原点，
所以，即，
所以.②
将①代入②，化简，得.
所以，，
所以.
又因为点到直线的距离，
所以.
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