第三章 圆锥曲线的方程--圆锥曲线中的焦点弦焦半径 、 定比分点 重点题型梳理 专题练 2025-2026学年高二年级数学选择性必修第一册（人教A版2019）

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圆锥曲线的方程--圆锥曲线中的焦点弦焦半径 、 定比分点 重点题型梳理
专题练 2025-2026学年高二年级数学选择性必修第一册（人教A版2019）
一、椭圆、双曲线、抛物线的通径问题
1．抛物线的通径长为
2．过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的直线与抛物线交于、两点，则 .
3． 已知椭圆 ，过右焦点的直线交 于 两点，则 的最小值为 .
4． 过双曲线的右焦点作与轴垂直的直线，交双曲线于、两点，则（ ）
A． B． C． D．
5． 已知椭圆的焦距为，过椭圆的一个焦点，作垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则 ．
6．（23-24高三上·四川内江·期末）椭圆的焦点为、，点在椭圆上且轴，则到直线的距离为（ ）
A． B．3 C． D．
7．已知，是双曲线的左右焦点，过的直线与曲线的右支交于两点，则的周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知是双曲线：（，）的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则（ ）
A．1 B． C． D．3
9．已知椭圆的焦点为、，直线与椭圆相交于、两点，当三角形为直角三角形时，椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
10．椭圆的左、右焦点分别记为，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点.若弦长|AB|的最小值为3，且的周长为8，则椭圆的焦距等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
二、椭圆中的焦点弦及焦半径问题
11．已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，当取最大值时，三角形面积为（ ）
A． B． C．2 D．4
12．如图，把椭圆，的长轴分成8等份，过每个分点，作x轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，，，，七个点，F是椭圆的一个焦点，则（ ）
A．25 B．26 C．27 D．28
13．已知椭圆：的右焦点为，点，为第一象限内椭圆上的两个点，且，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
14．过椭圆的一个焦点作弦，若，，则的数值为（ ）
A． B． C． D．与弦斜率有关
15．已知椭圆的右焦点为.点为椭圆上不同的两点，且满足.过线段的中点作椭圆右准线的垂线，垂足为.则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
三、双曲线中的焦点弦及焦半径问题
16．已知双曲线的右支上的点，满足，分别是双曲线的左右焦点），则为双曲线的半焦距）的取值范围是（ ）
A．， B．， C．， D．，
17．过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长 ．
18． 已知双曲线：焦距为，左、右焦点分别为，点在上且轴，的面积为，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围是
19．过双曲线的右焦点的直线与双曲线交于两点，若，则 .
20．已知双曲线的左焦点为，过点的直线交双曲线的同一支于两点，若，则 .
四、抛物线中的焦点弦及焦半径问题
已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
22．（24-25高二上·湖北·期末）已知是过抛物线的焦点的弦，若，则中点的横坐标为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
23．（23-24高二上·河北保定·期中）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为的直线在第一象限交C于点A，若点A在l上的投影为点B，且，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
24．过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，如果，则（ ）
A．9 B．6 C．7 D．8
抛物线 （）的准线方程为，过C的焦点作斜率为的直线与 交于，两点，则（ ）
A． B． C． D．
26．设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则（ ）
A． B． C． D．
27．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则线段的中点到准线的距离为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
过抛物线的焦点作斜率为1的弦，点在第一象限，则（ ）
A． B． C． D．
29．设抛物线：的焦点为，过点作斜率为的直线与抛物线交于，两点，若，则（　　）
A． B． C． D．
30． 已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过且与交于两点，若直线的斜率为，则（ ）
A．5 B． C． D．
五、定比分点问题
31．过椭圆内一点的直线与椭圆交于点和，且.点满足，若为坐标原点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
32．已知过原点的直线与双曲线交于两点，点在第一象限且与点关于轴对称，，直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
33．已知点P(0，1)，椭圆 (m>1)上两点A，B满足，则当m= 时，点B横坐标的绝对值最大．
综合练
一、单选题
1．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，且其渐近线方程为，双曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．过椭圆的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于两点，则等于（　　）
A．4 B．2
C．1 D．4
3．设双曲线的左 右焦点分别为,,若双曲线上存在一点,使,且,则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
4．双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为
A． B． C． D．
5．已知椭圆的对称中心为坐标原点，一个焦点为直线与轴的交点，离心率为，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
6．若椭圆的长轴长为6则它的焦距为　　
A．4 B．3 C．2 D．1
7．已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
8．已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是
A．(–1,3) B．(–1,) C．(0,3) D．(0,)
9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．
A． B． C． D．
10．已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=
A． B．3 C． D．4
二、多选题
11．已知椭圆：，关于椭圆下述正确的是（ ）
A．椭圆的长轴长为
B．椭圆的两个焦点分别为和
C．椭圆的离心率等于
D．若过椭圆的焦点且与长轴垂直的直线与椭圆交于，则
三、填空题
12．已知F为双曲线的左焦点，P，Q为双曲线C同一支上的两点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点在线段PQ上，则的周长为 ．
13．设分别为椭圆的左,右焦点，点在椭圆上.若,则点的坐标是 .
14．已知点P是椭圆1上一点，，是椭圆的两个焦点，若＝0，则△P的面积为 ．
15．已知双曲线C：右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若，设，且，则双曲线C离心率的取值范围是 ．
四、解答题
16．设抛物线C：y2 =2px（p>0）的焦点为F，直线l与抛物线C交于不同的两点A、B，线段AB中点M的横坐标为2，且.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线l（斜率存在）经过焦点F，求直线l的方程.
17．已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于和两点，且．
（1）求该抛物线的方程；
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值．
18．已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.
答案
一、椭圆、双曲线、抛物线的通径问题
1 由，所以该抛物线的焦点坐标为，
把代入中，得，
所以抛物线的通径长为，
故答案为：
由题设，抛物线焦点为，即，
令，则，故.
故答案为：4
由已知，，通径长为，
则 的最小值．
故答案为：3.
在双曲线中，，，则，
所以，双曲线的右焦点坐标为，
由题意可知，直线的方程为，联立，解得，
可取、，故.
故选：B.
由题意可知，得，所以，
所以椭圆方程为，
椭圆的右焦点为，当时，，得，
所以.
故答案为：
由，得，
所以，
所以，，
当时，，解得，
因为轴，所以，
所以，
设到直线的距离为，
因为，所以，
解得，
故选：A
由双曲线可知：
的周长为.
当轴时,的周长最小值为
故选：C
设.
过作与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，则，解得：，所以.
由双曲线可得渐近线为.
由对称性可知，到任一渐近线的距离均相等，不妨求到渐近线的距离，
所以.
因为，所以，解得：.
故选：B
将代入椭圆方程的方程得，可得，则，
由对称性可知，当三角形为直角三角形时，则该三角形为等腰直角三角形，
因为为线段的中点，则，可得，即，
等式两边同时除以可得，
因为，解得.
故选：B.
由题意可知，焦距等于2
故选：B．
二、椭圆中的焦点弦及焦半径问题
设点的坐标为，根据椭圆的焦半径公式可得：
则有：
根据椭圆的特点，可知：
可得：当时，取最大值
此时，点在椭圆的短轴上，则有：
故选：B
12． 不妨设P点是椭圆上的任意点则由椭圆的第二定义可得：，
又a=4,b=,，故， ①
∵把椭圆的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，
∴点为椭圆与轴正半轴的交点且与分别关于y轴对称，
∴不妨设且，
∴，由①可得：
，
.
故选：D.
设点，右焦点为，椭圆的离心率为，，
，同理，
如图，过P，Q分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，
因，则，即，，
于是得，又，则，即，
因此得，即，整理得，而，则，
所以椭圆的离心率为.
故选：C
令，设，，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
由，解得，则，所以；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，整理得：，
所以，，
又，，所以，
综上，.
故选：B.
如图所示：过作准线于，准线于点，，，
则，
，
根据均值不等式：，即，
即，当时等号成立，即.
故选：C.
三、双曲线中的焦点弦及焦半径问题
16． 解：由双曲线的第二定义可知，，
右支上的点，满足，
由，解得，
在右支上，可得，可得，即，则，
令，，可得
而在，单调递减，，，，
故选：B
17． 由双曲线，得，，
焦点为，倾斜角，
法一：直线斜率，直线方程为，
联立消得，，
由韦达定理知，
代入弦长公式，
得.
法二：.
故答案为：8.
由题意可知，
代入双曲线方程有，
又的面积为，即，
所以双曲线方程为：，
设，
则，
同理，
因为，则，
故答案为：.
设，因为，所以点必在双曲线右支上，
由焦半径公式，，解得，所以，
从而，双曲线的渐近线的斜率为，因为，
所以点也在双曲线的右支上.如图，由图可知，，
所以.
设，则，由焦半径公式，
，
所以，
从而，即.
故答案为：.
四、抛物线中的焦点弦及焦半径问题
21．
由已知抛物线焦点到准线的距离为，
即，
则抛物线方程为，，
所以直线方程为，即，
设直线与抛物线交点，，
联立直线与抛物线，
得，
则，，
又由抛物线可知，，
所以，
故选：A.
22． 设，由已知，
由焦半径公式可得
所以，所以.
故选：B.
23．
如图，因为，所以，
又因为，所以过点作轴的垂线，垂足为，
则,所以，
因为点在抛物线上，
所以，整理得，，
解得或（舍），
故选:B.
由题意抛物线的准线为，
过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，如果，
所以.
故答案为：D.
抛物线 的准线方程为，焦点的坐标为，
由已知，所以，
故抛物线的方程为，焦点的坐标为，
因为直线的斜率为，过点，所以直线的方程为，
联立，可得，
方程的判别式，
设，则，
又，
故选：D.
作出示意图如图所示：

则抛物线的性质，可得，又，
所以可得的倾斜角为，
则可得，
从而.
故选：C.
直线与轴的交点为，
又经过的焦点，故，可得，
即抛物线：，准线为．
由，
可得，则，
所以，线段中点的横坐标为3，
则线段的中点到准线的距离为．
故选：B
抛物线的焦点为，
直线的方程为，
由，解得，
所以.
故选：D
29 设方程为，
由，
消去得，
则有①，
由得，
即②，
由①②解得
，
故选：A
30．
如图作垂直于准线，垂足为，可知设，
直线的斜率为得，，
则，由勾股定理得：，
即，化简得：，
解得或，
当直线斜率存在时，设为，与抛物线联立消元得：
，设交点，则，
而，
当直线斜率不存在时，，
综上，，
由得，此时.
由得，此时.
故选：D.
五、定比分点问题
31． 设，，
因为，，
化简可得，，
于是，，
整理得，
因为点、在椭圆上，则，
所以，
即，所以点的轨迹是直线，即为原点到直线的距离，
所以，
故选：D.
设，则，
根据可得，
则，
因为，所以，
又，
所以，
故双曲线的离心率.
故选：A.
［方法一］：点差法＋二次函数性质
设，由得
因为A,B在椭圆上,所以 ，即，与相减得：，所以，
，当且仅当时取最等号，即时，点B横坐标的绝对值最大.
故答案为：5．
［方法二］：【通性通法】设线＋韦达定理
由条件知直线的斜率存在，设，直线的方程为，联立得，根据韦达定理得，由知，代入上式解得，所以．此时，又，解得．
［方法三］：直线的参数方程+基本不等式
设直线的参数方程为其中t为参数，为直线的倾斜角，将其代入椭圆方程中化简得，设点A，B对应的参数分别为，则．由韦达定理知，解得，所以，此时，即，代入，解得．
［方法四］：直接硬算求解+二次函数性质
设，因为，所以．
即 ①， ②，
又因为，所以．
不妨设，因此，代入②式可得．化简整理得．
由此可知，当时，上式有最大值16，即点B横坐标的绝对值有最大值2．
所以．
［方法五］：【最优解】仿射变换
如图1，作如下仿射变换，则为一个圆．
根据仿射变换的性质，点B的横坐标的绝对值最大，等价于点的横坐标的绝对值最大，则
．
当时等号成立，根据易得，此时．
［方法六］：中点弦性质的应用
设，由可知，则中点．因为，所以，整理得，由于，则时，，所以．
综合练
1．A
根据抛物线方程得焦点坐标为，可得双曲线C的焦点在x轴上，且．根据以及解得，即可得解.
由题意得抛物线的焦点坐标为，
则双曲线C的焦点在x轴上，且．
∵渐近线方程为，∴，即，
则，则，
故双曲线C的方程为．
故选：A．
2．C
根据椭圆的方程，求得椭圆的右焦点的坐标为，将，代入椭圆的方程，进而求得弦长.
因为椭圆，可得，所以，
所以椭圆的右焦点的坐标为，
将，代入椭圆的方程，求得，所以.
故选：C.
3．C
因为点在双曲线上，且，
所以，
所以，，
因为，所以
即，
整理得，
所以离心率.
故选：C.
4．A
本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．
由．
，
又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，
，故选A．
5．A
根据椭圆的焦点、离心率求椭圆参数，写出椭圆方程即可.
直线与轴的交点为，即．又椭圆的离心率为，
∴，故，则，
∴椭圆的标准方程为．
故选：A
6．A
由题意可得，于，则，即可求出焦距．
椭圆的长轴长为6，则，即，
由于，
则，即，
则它的焦距为，
故选A．
7．D
利用抛物线的定义求解即可.
因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，
所以到准线的距离为，
又到直线的距离为，
所以，故.
故选：D.
8．A
由题意知：双曲线的焦点在轴上，所以，解得，因为方程表示双曲线，所以，解得，所以的取值范围是，故选A．
9．C
首先联立直线方程与椭圆方程，利用，求出范围，再根据三角形面积比得到关于的方程，解出即可.
将直线与椭圆联立，消去可得，
因为直线与椭圆相交于点，则，解得，
设到的距离到距离，易知，
则，，
，解得或（舍去），
故选：C.
10．B
详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，
从而得到，所以直线的倾斜角为或，
根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，
可以得出直线的方程为，
分别与两条渐近线和联立，
求得，
所以，故选B.
点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.
11．ACD
【解析】椭圆方程化为标准方程，求出，然后判断各选项．
由已知椭圆标准方程为，则，∴．
长轴长为，A正确；两焦点为，B错误；离心率为，C正确；
代入椭圆方程得，解得，∴，D正确．
故选：ACD．
12．32
根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之差为定值“解决．求出周长即可．
解：根据题意，双曲线的左焦点，所以点是双曲线的右焦点，虚轴长为：6；
双曲线图象如图：
①
②
而，
①＋②
得：，
∴周长为．
故答案为32．
【点睛】本题考查双曲线的定义，通过对定义的考查，求出周长，属于基础题．
13．
椭圆+y2=1焦点在x轴上，a=，b=1，c=
∴焦点坐标F1（﹣，0）F2（，0），
设A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x1+，y1），=（x2﹣，y2），
∵，，由点A，B在椭圆上， 解得：x1=0，y1=±1，∴点A的坐标是（0，±1，）．
故答案为（0，±1）．
14．20
根据已知求出，根据即得的面积.

因为＝0，所以⊥，
所以△是直角三角形．
由椭圆定义知||＋||＝6，①
又，②
由－②得，
因为，
所以.
故答案为：20.
15．
设双曲线的左焦点为，连接，，，可得四边形为矩形，运用勾股定理和双曲线的定义，结合对勾函数的单调性，计算可得所求范围．
解：设双曲线的左焦点为，连接，，
，可得四边形为矩形，
设，，即有，
且，，
，
，
由，可得，
则，可得，
即有，
则，
即有．
故答案为．
16．(1)
(2)
（1）设出点的坐标，求出线段中点点的横坐标，再利用焦点弦求得p的值，即可求出抛物线C的标准方程；
（2）设出焦点的直线方程，与抛物线联立，利用根和系数的关系求出斜率，即可写出直线方程.
（1）解：由题意得：
设，
则线段中点点的横坐标
，解得
抛物线的标准方程为.
（2）由问题（1）可知抛物线的焦点坐标为
故设直线方程为
联立方程组为
解得
直线l的方程
17．（1）；（2）或．
（1）由题意求得焦点坐标，得到直线方程，和抛物线方程联立，利用弦长公式求得，则抛物线方程可求；
（2）由（1）求出，的坐标结合，求出的坐标，代入抛物线方程求得值．
解：（1）依题意可知抛物线的焦点坐标为，，故直线的方程为，
联立，可得．
，，△，
解得，．
经过抛物线焦点的弦，解得．
抛物线方程为；
（2）由（1）知，，，代入直线，
可求得，，即，，，
，，，，
，，
点在抛物线上，故，
解得：或．
18．（1）；（2）最大值为.
（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；
（2）设，由平面向量的知识可得，进而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.
（1）抛物线的焦点，准线方程为，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，
所以该抛物线的方程为；
（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法
设，则，
所以，
由在抛物线上可得，即，
据此整理可得点的轨迹方程为，
所以直线的斜率，
当时，；
当时，，
当时，因为，
此时，当且仅当，即时，等号成立；
当时，；
综上，直线的斜率的最大值为.
[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法
同方法一得到点Q的轨迹方程为．
设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值．联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为．
[方法三]：轨迹方程+换元求最值法
同方法一得点Q的轨迹方程为．
设直线的斜率为k，则．
令，则的对称轴为，所以．故直线斜率的最大值为．
[方法四]：参数+基本不等式法
由题可设．
因为，所以．
于是，所以
则直线的斜率为．
当且仅当，即时等号成立，所以直线斜率的最大值为．
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