3.2.2 双曲线的简单几何性质 教学设计

《双曲线的简单几何性质》教学设计
一、教学目标
1.结合双曲线的图形掌握双曲线的简单几何性质：对称性、范围、顶点、渐近线、离心率，培养学生直观想象和逻辑推理的数学素养。
2.熟练掌握参数a,b,c,e值的求法。
3、理解离心率对双曲线开口大小的影响，能正确说出其中的规律。
二、教学重点、难点
教学重点：双曲线的离心率的求解。
教学难点：双曲线的离心率对双曲线的刻画，渐近线的含义及离心率与渐近线斜率间的联系。
三、学情分析
前面，学生已经学习了椭圆的定义﹑标准方程及其几何性质，了解了双曲线的定义﹑标准方程，并掌握了研究圆锥曲线几何性质的一般方法，从前面学生课堂上的表现和作业、练习来看，学生对前面所学内容的掌握还可以。因此，本节课的展开应该会达到预期效果。
四、教学过程
1．复习引入
复习： 椭圆的几何性质
范围
对称性 关于坐标轴对称，关于原点中心对称
顶点
离心率 刻画椭圆扁平程度的几何量
这些性质采用填空的形式让学生回答，让学生复习巩固椭圆的简单几何性质，从而激发探究本课题的兴趣。
2． 活动探究，认识性质
（1）焦点在x轴上的双曲线的几何性质
①范围
观察双曲线你能从图中看出它的范围吗？你能用代 数方法解释它的范围吗？
学生看图回答，分别说出x、y的取值范围。
在老师的引导下，尝试用代数方法解释取值范围。
②对称性
观察双曲线你能看出它具有怎样的对称性吗？
学生不难看出，双曲线关于x轴、y轴和原点都对称.
③顶点
观察双曲线你能发现哪些点比较特殊？
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
（2）如图，线段叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫作双曲线的实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫作双曲线的虚半轴长。
（3）实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线。
结合椭圆的性质，让学生类比得出双曲线的相关性质，并结合方程加以验证并说出与椭圆的不同。
④双曲线的渐近线
问题1：通过复习函数的图像，学生认识到渐近线的概念；在希沃画板平台中作两条经过坐标原点且关于轴对称的直线，并将它们绕着原点旋转，从而真实感受到渐近线的存在，并发现双曲线夹在两条渐近线之间。从平面区域范围的认识，结合方程的推导，发现渐近线方程为、；通过希沃画板中双曲线上的点到相应渐近线距离的刻画，直观感受到双曲线上的点“越来越接近于直线”，结合理论推导体会极限思想。
在如何作渐近线的思考下，结合图形的观察，学生发现利用直线、所围成的矩形，可以方便地作出双曲线的渐近线，也为学生双曲线的作图提供了一种规范。
⑤双曲线的离心率
借助椭圆离心率e的大小与椭圆的扁平程度有关这一结论，让学生认识到双曲线从形状上来看有开口大小之分并提出进一步探究方案；在静态图形观察的基础上进行双曲线的动态变化（具体方式可以为不变，将e逐渐增大），从而认识到离心率可以刻画双曲线的张口大小，并得出规律（离心率越大，开口越大）。
进一步类比得出焦点在y轴上的双曲线的几何性质，并完成下表。
3． 应用举例，加深理解
例1．
（1）判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
①双曲线是轴对称图形．(　　)
②双曲线的离心率越大，它的开口越小．( )
③双曲线 的虚轴长为4. (　 )
（2）双曲线的实轴长是（ ）
A. B. C.2 D.4
（3）双曲线的离心率为__________.
（4）求双曲线的焦点坐标，实轴长、虚轴长、离心率。
例2.求适合下列条件的双曲线的标准方程。
(1)顶点在x轴上，焦距为10，离心率是 ；
(2)焦点在y轴上，一条渐近线为，实轴长为12；
通过此例，使学生巩固双曲线的几何性质。
4．归纳总结，认识升华
在学生总结的基础上，将几何性质进行横向比较和纵向联系。一方面让学生认识渐近线斜率与离心率的关系即，从而认识到两者影响双曲线开口大小的共同规律；另一方面，通过几何画板的演示，将离心率对椭圆、双曲线的图形影响的共性和特性揭示出来。
五、课后作业
1.教材练习1、2；
2.新新学案配套检测卷
六、板书设计
1、焦点在x轴上的双曲线的几何性质
双曲线
范围 ，
对称性 关于坐标轴对称，关于原点中心对称
顶点 ，分别为实半轴长、虚半轴长
离心率 越大，双曲线开口越大；越小，双曲线开口越小。
渐近线 方程为
2、等轴双曲线的定义