山东济南市市中区2025—2026学年九年级数学第一学期期中考试试题（含答案）

2025 年九年级期中学业质量监测数学试题
（满分150分 时间120分钟）
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。每小题只有一个选项符合题目要求.
1.如图是我们生活中常用的 “空心卷纸”，其主视图为（ ）
2.下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A. a=1，b=3，c=2，d=4 B. a=4，b=6，c=5，d=10
C. a=2，b=4，c=3，d=6 D. a=2，b=4，c=6，d=8
3.如图，在△ABC中，∠ABC=90 ，若AC=5，BC=4，则tanA的值为（ ）
A. B. C. D.
4.一个不透明的盒子里有 “元旦” 主题和 “新年” 主题的贺卡共 20 张，这些贺卡外观完全相同，每次抽卡前先将盒子里贺卡洗匀，任意抽出一张贺卡记下主题后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，抽到 “元旦” 主题贺卡的频率稳定在 25%，那么估计盒子中 “元旦” 主题贺卡有( )
A. 3 张 B. 5 张 C. 10 张 D. 15 张
5.如图所示的三个三角形，相似的是( )
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
6.如图，l1∥l2∥l3，AB=2，DE=3，BC=4，则EF的长为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7.一次函数y=kx k与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致是( )
8.如图，△ABC在边长为 1 个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置。若tanA=，则点C的位置可以在( )
A. 点C1处 B. 点C2处 C. 点C3处 D. 点C4处
9.如图，在□ABCD中，点E是边AD的中点，F是边AB上的点，且AF=2BF，连接CE，DF，CE与DF交于点G. 若EG=2，则GC的长为( )
A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 7
10.若函数y1的图象上存在点P，函数y2的图象上存在点Q，且P，Q关于y轴对称，则称函数y1和y2具有 “对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为 “对偶值”. 下列结论：①函数y1=2x+2与函数y2= x+4
不具有 “对偶关系”；②函数y1=2x+2与函数y2= x+4的 “对偶值” 为 6；③若函数y1=kx 2与函数y2=的 “对偶值” 为 2，则k=2；④若函数y1= 2x+b（ 2≤x≤ ）与函数y2=（x>0）具有 “对偶关系”，则
3≤b≤3. 其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。直接填写答案.
11.在Rt△ABC中，∠C=90 ，sinA=，则∠A=________.
12.如图，某综合与实践小组想要确定某池塘的长度AB，先在池塘的一侧取一个可以直接到达点A，B的点E，经测量得到AE=4.5m，BE=6m. 若在AE，BE的延长线上分别取点C，D，使CE=1.5m，DE=2m，连结CD，测得CD=1.8m，则该池塘的长度AB为________m.
13.在平面直角坐标系中，反比例函数y=的图象如图所示，AB∥y轴，若△ABC的面积为 3，则k的值为________.
14.将正方体的部分展开图按如图方式放置在直角三角形纸片上，点D，E落在斜边AB上，若小正方形的边长为 1，则BC的长为________.
15.如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S矩形OABC=，将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN，点C的对应点C′落在第四象限，过M点的反比例函数y=(k≠0)的图象与线段MN交于点Q，并且MQ=2QN，则点C的坐标为________.
三、解答题：本题共 10 小题，共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分 7 分）计算： 2sin60 +(+1)0 ∣ ∣+() 1
17.（本小题满分 7 分）如图，在△ABC中，D为BC上一点，且∠BAD=∠C，BD=4，BC=9，求AB的长度.
18.（本小题满分 7 分）在△ABC中，已知AB=6，AC=8，sinA=，求△ABC的面积.
19.（本小题满分 8 分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A，B的坐标分别为（-2，-3），（2，-1）.
（1）以原点O为位似中心，在x轴下方画出△OA1B1，使它与△OAB的相似比为 2：1；
（2）在（1）的条件下，①点A的对应点A1的坐标为________，点B的对应点B1的坐标为________；
②△ABC边上任意一点，的对应点D1的坐标为________.
20.（本小题满分 8 分）2025 春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是四种手工艺品的图片：A．潍坊风筝；B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸。把这四张图片分别放在四个相同的不透明袋子里.
（1）小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中 “C．青神竹编” 的概率是________；
（2）为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法求两人恰好选中 “A．潍坊风筝” 和 “D．延安剪纸” 的概率.
21.（本小题满分 9 分）如图，在正方形网格上建立直角坐标系，x轴、y轴都在网格线上，其中 1 格代表 1 个单位长度。反比例函数y1=（k＞0，x＞0）的图象被撕掉了一部分，已知点M，N在格点上.
（1）点M的横坐标为________，点N的横坐标为________；
（2）求k的值；
（3）连接MN，过MN的直线y2=ax+b，直接写出ax+b>的解集.
22.（本小题满分 10 分）如图 1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起。起始位置示意图如图 2，此时测得点A到BC所在直线的距离AC=3m，∠CAB=60 ，停止位置示意图如图 3，此时测得∠CDB=37 ，（点C，A，D在同一直线上，且直线CD与地面平行），图 3 中所有点在同一平面内。定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变.
（1）AB= m，BC= m（结果保留根号）；
（2）求物体上升的高度CE. （结果精确到 0.1m，参考数据：sin37 ≈0.60，cos37 ≈0.80，tan37 ≈0.75
，≈1.73）
23.（本小题满分 10 分）某校后勤处每周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中AB段为渐消毒阶段，BC段为深消毒阶段，且消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）的关系可近似用一次函数y=kx+刻画，CD段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段。请根据图中信息解答下列问题：
（1）k= ，消毒效果最高效力是 ；
（2）当x≥30时，求y与x之间的函数关系式；
（3）若消毒效果持续 28 分钟达到 4 效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？
24.（本小题满分 12 分）直线y=x+b双曲线y=(x>0)交于点A（2，3），与y轴交于点B.
（1）求k，b的值；
（2）如图 1，点C是直线y=x+b第一象限内的一点，过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，交双曲线于点D，当=时，求的值；
（3）如图 2，已知点P是双曲线上一动点，连接OA，OP，若tan∠AOP=，直接写出所有满足条件的点P的坐标，并选一种情况写出解答过程.
25.（本小题满分 12 分）【综合与实践】从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究.
【特例研究】 在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O.
（1）如图 1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，
k的值为________；
（2）如图 2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上，求的值；
【延伸拓展】（3）如图 3，在菱形ABCD中，∠ABC=60 ，对角线AC，BD相交于点O，M是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AMB绕点A逆时针旋转并放缩得到△AEF（点M，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在线段OD上，点F落在射线BC上。若AB=12，E为OD的中点，求CF的长.
答案
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。每小题只有一个选项符合题目要求.
1.如图是我们生活中常用的 “空心卷纸”，其主视图为（ A ）
2.下列各组中的四条线段成比例的是（ C ）
A. a=1，b=3，c=2，d=4 B. a=4，b=6，c=5，d=10
C. a=2，b=4，c=3，d=6 D. a=2，b=4，c=6，d=8
3.如图，在△ABC中，∠ABC=90 ，若AC=5，BC=4，则tanA的值为（ D ）
A. B. C. D.
4.一个不透明的盒子里有 “元旦” 主题和 “新年” 主题的贺卡共 20 张，这些贺卡外观完全相同，每次抽卡前先将盒子里贺卡洗匀，任意抽出一张贺卡记下主题后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，抽到 “元旦” 主题贺卡的频率稳定在 25%，那么估计盒子中 “元旦” 主题贺卡有( B )
A. 3 张 B. 5 张 C. 10 张 D. 15 张
5.如图所示的三个三角形，相似的是( A )
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
6.如图，l1∥l2∥l3，AB=2，DE=3，BC=4，则EF的长为( D )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7.一次函数y=kx k与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致是( C )
8.如图，△ABC在边长为 1 个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置。若tanA=，则点C的位置可以在( D )
A. 点C1处 B. 点C2处 C. 点C3处 D. 点C4处
9.如图，在□ABCD中，点E是边AD的中点，F是边AB上的点，且AF=2BF，连接CE，DF，CE与DF交于点G. 若EG=2，则GC的长为( C )
A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 7
10.若函数y1的图象上存在点P，函数y2的图象上存在点Q，且P，Q关于y轴对称，则称函数y1和y2具有 “对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为 “对偶值”. 下列结论：①函数y1=2x+2与函数y2= x+4
不具有 “对偶关系”；②函数y1=2x+2与函数y2= x+4的 “对偶值” 为 6；③若函数y1=kx 2与函数y2=的 “对偶值” 为 2，则k=2；④若函数y1= 2x+b（ 2≤x≤ ）与函数y2=（x>0）具有 “对偶关系”，则
3≤b≤3. 其中正确结论的个数是( B )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。直接填写答案.
11.在Rt△ABC中，∠C=90 ，sinA=，则∠A=____45°____.
12.如图，某综合与实践小组想要确定某池塘的长度AB，先在池塘的一侧取一个可以直接到达点A，B的点E，经测量得到AE=4.5m，BE=6m. 若在AE，BE的延长线上分别取点C，D，使CE=1.5m，DE=2m，连结CD，测得CD=1.8m，则该池塘的长度AB为___5.4_____m.
13.在平面直角坐标系中，反比例函数y=的图象如图所示，AB∥y轴，若△ABC的面积为 3，则k的值为____﹣6____.
14.将正方体的部分展开图按如图方式放置在直角三角形纸片上，点D，E落在斜边AB上，若小正方形的边长为 1，则BC的长为___7_____.
15.如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S矩形OABC=，将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN，点C的对应点C′落在第四象限，过M点的反比例函数y=(k≠0)的图象与线段MN交于点Q，并且MQ=2QN，则点C的坐标为____（，0）____.
三、解答题：本题共 10 小题，共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分 7 分）计算： 2sin60 +(+1)0 ∣ ∣+() 1
=2﹣+1﹣+2
=3
17.（本小题满分 7 分）如图，在△ABC中，D为BC上一点，且∠BAD=∠C，BD=4，BC=9，求AB的长度.
∵∠BAD=∠C ∠B=∠B
△ABD∽△CBA
∴=
∴AB2=4×9=36
∴AB=6
18.（本小题满分 7 分）在△ABC中，已知AB=6，AC=8，sinA=，求△ABC的面积.
过点B作BD⊥AC
在Rt△ABD中，sinA==
又∵AB=6
∴BD=2
∵AC=8
∴△ABC面积为8×2÷2=8
19.（本小题满分 8 分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A，B的坐标分别为（-2，-3），（2，-1）.
（1）以原点O为位似中心，在x轴下方画出△OA1B1，使它与△OAB的相似比为 2：1；
（2）在（1）的条件下，①点A的对应点A1的坐标为________，点B的对应点B1的坐标为________；
②△ABC边上任意一点，的对应点D1的坐标为________.
（1）略
（2）①A1（﹣4，﹣6） B1（4，﹣2）
②D1（2a，2b）
20.（本小题满分 8 分）2025 春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是四种手工艺品的图片：A．潍坊风筝；B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸。把这四张图片分别放在四个相同的不透明袋子里.
（1）小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中 “C．青神竹编” 的概率是________；
（2）为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法求两人恰好选中 “A．潍坊风筝” 和 “D．延安剪纸” 的概率.
（1）
（2）共有12种可能性，恰好选中A．潍坊风筝” 和 “D．延安剪纸”的可能性是2，则概率P==
21.（本小题满分 9 分）如图，在正方形网格上建立直角坐标系，x轴、y轴都在网格线上，其中 1 格代表 1 个单位长度。反比例函数y1=（k＞0，x＞0）的图象被撕掉了一部分，已知点M，N在格点上.
（1）点M的横坐标为________，点N的横坐标为________；
（2）求k的值；
（3）连接MN，过MN的直线y2=ax+b，直接写出ax+b>的解集.
（1）1 2
（2）设M（1，n），则点N(2，n﹣2)
∵点M和点N都在反比例图象上
∴1×n=2（n﹣2）
解得n=4
∴M（1，4）
∴k=1×4=4
（3）1＜x＜2
22.（本小题满分 10 分）如图 1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起。起始位置示意图如图 2，此时测得点A到BC所在直线的距离AC=3m，∠CAB=60 ，停止位置示意图如图 3，此时测得∠CDB=37 ，（点C，A，D在同一直线上，且直线CD与地面平行），图 3 中所有点在同一平面内。定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变.
（1）AB= m，BC= m（结果保留根号）；
（2）求物体上升的高度CE. （结果精确到 0.1m，参考数据：sin37 ≈0.60，cos37 ≈0.80，tan37 ≈0.75
，≈1.73）
（1）6 3
在Rt△BCD中
∵sin∠CDB=
∴BD=≈5
∵运动过程中绳子总长不变
∴BC+AB=EB+BD
∴EB=3+6﹣5=6﹣2
∴CE=CB﹣EB=3﹣6+2≈2.65≈2.7
23.（本小题满分 10 分）某校后勤处每周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中AB段为渐消毒阶段，BC段为深消毒阶段，且消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）的关系可近似用一次函数y=kx+刻画，CD段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段。请根据图中信息解答下列问题：
（1）k= ，消毒效果最高效力是 ；
（2）当x≥30时，求y与x之间的函数关系式；
（3）若消毒效果持续 28 分钟达到 4 效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？
（1） 6
（2）当x≥30时
设反比例函数表达式为y=
将（30，6）代入y=
k=30×6=180
∴y=
（3）有效
24.（本小题满分 12 分）直线y=x+b双曲线y=(x>0)交于点A（2，3），与y轴交于点B.
（1）求k，b的值；
（2）如图 1，点C是直线y=x+b第一象限内的一点，过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，交双曲线于点D，当=时，求的值；
（3）如图 2，已知点P是双曲线上一动点，连接OA，OP，若tan∠AOP=，直接写出所有满足条件的点P的坐标，并选一种情况写出解答过程.
（1）将A（2，3）代入y=x+b
得3=1+b
解得b=2
将A（2，3）代入y=
解得k=2×3=6
（2）=
（3）P（，3）或（，）
25.（本小题满分 12 分）【综合与实践】从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究.
【特例研究】 在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O.
（1）如图 1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，
k的值为________；
（2）如图 2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上，求的值；
【延伸拓展】（3）如图 3，在菱形ABCD中，∠ABC=60 ，对角线AC，BD相交于点O，M是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AMB绕点A逆时针旋转并放缩得到△AEF（点M，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在线段OD上，点F落在射线BC上。若AB=12，E为OD的中点，求CF的长.
（1）45°
（2）根据题意的△AEF∽△AOB
∴∠EAF=∠OAB =
∴∠FAB=∠EAO =
∴△AFB∽△AEO
∴= ∠OAB=45°，∠AOB=90°
∴=
（3）CF=3