山东济南市高新区2025—2026学年九年级数学第一学期期中考试试题（含答案）

济南高新区2025至 2026 学年度第一学期九年级数学期中试题
本试题分第 Ⅰ 卷（选择题）和第 Ⅱ 卷（非选择题）两部分．第 Ⅰ 卷共 2 页，满分为 40 分；第 Ⅱ 卷共 4 页，满分为 110 分．本试题共 6 页，满分为 150 分．考试时间为 120 分钟．答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器．
第 Ⅰ 卷（选择题 共 40 分）
注意事项：第 Ⅰ 卷为选择题，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．下列各组线段中，属于成比例线段的一组是（ ）
A．1，2，3，4 B．2，3，4，6 C．1，3，5，7 D．2，4，6，8
2．在反比例函数y= 的图形上的一个点是（ ）
A．(2,2.5) B．( 2.5,2.5) C．( 2.5,2) D．(2,2.5)
3．2025 年 9 月 3 日，中国战略反击体系中的重要组成 —— 东风 - 5C 液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利 80 周年阅兵式，一句 “打击范围覆盖全球” 给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风 - 5C 洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同
4．已知△ABC∽△DEF，且AB=3，DE=6，若△ABC的周长为 20，则△DEF的周长为（ ）
A．5 B．10 C．40 D．80
5．在Rt△ABC中，∠C=90 ，若tanA=，则sinA的值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度BC与瓶高AC之比为黄金比时，可以发出 “sol” 的音符．若AC=12cm，则水面高度BC为（ ）
A．4.6 cm B．6.4 cm C．7.2 cm D．7.4 cm
7．反比例函数y=的图象上 3 个点的坐标分别为( 2,y1)，(2,y2)，(3,y3)，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y18．下列 4×4 的正方形网格中，小正方形的边长均为 1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）
9．如图，在△ABC中，AC=，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC
于点D，交AB于点E，连接DE；以点C为圆心，以BD长为半径画弧，交AC于点F；以点F为圆心，以DE的长为半径画弧，在△ABC内与前一条弧相交于点G；连接CG并延长交AB于点H．若点H恰好为AB的中点，则AB的长为（ ）
A．2 B．2 C． D．
10．如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线y=(x>0)上，若图中S△OBP=2
，则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．6
第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
注意事项：
1. 第 Ⅱ 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
2. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
二、填空题：（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分．）
11．匡衡 “凿壁借光” 借灯光读书的影子属于______投影．（填 “平行” 或 “中心”）
12．若反比例函数y=的图象经过一，三象限，则k的取值范围为______．
13．河堤横断面如图所示，斜坡AB的坡度i=1:，AB=6m，则BC的长是______．
14．2025 年济南市引入了智能交通管理系统，该系统通过实时监控交通流量来优化信号灯的配时．假设某条主干道的交通流量Q（单位：辆 / 小时）与车辆的平均速度v（单位：千米 / 小时）之间的关系可以用反比例函数来描述．已知当车辆的平均速度为 40 千米 / 小时，交通流量Q为 1200 辆/小时．如果交通管理部门希望将交通流量控制在 1000 辆 / 小时以内，车辆的平均速度应至少达到______千米 / 小时．
15．如图，E是正方形ABCD的边CD上一点，连结AE，将△ADE顺时针旋转90 得到△ABF，连结EF，分别交AB，AC于点G，H．若△AFG与△AEC相似，则=______．
三、解答题：（本大题共 10 个小题，共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．（本题满分 7 分）计算： 2sin60 +( 1)2025 ∣ 2∣ (π 3.14)0
17.（本题满分 7 分）（1）由大小相同的小立方块搭成的几何体，请在方格中画出该几何体的三视图．
（2）楼房、旗杆在路灯下的影子如图所示．试确定路灯灯泡的位置P，再作出小树在路灯下的影子．（不写作法，保留作图痕迹）
18．（本题满分 7 分）已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=3，DB=5，AE=2，求AC的长．
19．（本题满分 8 分）在如图的方格纸中，△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形．
（1）在图中标出位似中心P的位置；
（2）以原点O为位似中心，在第三象限画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为 2：1．
（3）已知S△OAB的面积为 2.5，则△OA2B2的面积为______．
20．（本题满分 8 分）如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=，求sinC的值．
21．（本题满分 9 分）如图，AB∥CD，AC与BD交点E，连接BC，若AB=8，AE=4，CD=24．
（1）求AC的长；
（2）求证：△ABE∽△ACB．
22．（本题满分 10 分）某如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管AB=30cm，BE=AB
，试管倾斜角∠ABG为12 ．（sin12 ≈0.208，cos12 ≈0.978，≈1.414．结果保留一位小数）
(1) 求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度；
(2) 实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE=28cm，∠BFD=45 ，求导气管BF的长度．
23．（本题满分 10 分）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时水温上升，加热到100 C，停止加热，水温开始下降，直至水温降至30 C，饮水机自动开始加热，重复上述程序．值日生小明 7 点钟到校后接通饮水机电源，在水温下降的过程中进行了水温检测，记录如下表：
(1) 在下图的平面直角坐标系，画出水温y关于饮水机接通电源时间x的函数图象．
(2) 借助（1）所画的图象，判断从 7：00 开始加热到水温第一次降到30 C为止，水温y和时间x之间存在怎样的函数关系？试求出函数关系并写出自变量x取值范围．
(3) 上午第一节下课时间为 8：25，同学们能不能喝到不超过50 C的水？请通过计算说明．
24．（本题满分 12 分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，OA=2，点B在反比例函数y=(k>0)的图象上，△OBA为等边三角形，延长BO与反比例函数y=的图象在第三象限交于点C，连接CA并延长与反比例函数y=的图象在第一象限交于点D．
（1）求反比例函数的表达式并写出C的坐标；
（2）求点D的坐标及△OAD的面积；
（3）在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
25．（本题满分 12 分）（1）问题引入：如图 1，△ABC，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC．如图 1，将△ADE绕点A旋转任意角度α(0 <α<360 且α≠180 )，仅就图 2 位置，
①求证：△ADB∽△AEC；
②在第一问图 2 中，作直线CE、BD交于点F，∠BFC与∠BAC的数量关系是什么？并说明理由．
（2）如图 3 所示，已知∠BAC=∠DAE=90 ，AB=AC=6，AD=AE，BE=3，∠ABE=45 ，求线段BD的长．
（3）如图 4，在Rt△ABC中，已知∠BAC=90 ，AB=5，AC=12．以BC为斜边作等腰Rt△BCD（点A、D在直线BC同侧），连接AD，求线段AD的长．
答案
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．下列各组线段中，属于成比例线段的一组是（ B ）
A．1，2，3，4 B．2，3，4，6 C．1，3，5，7 D．2，4，6，8
2．在反比例函数y= 的图形上的一个点是（ C ）
A．(2,2.5) B．( 2.5,2.5) C．( 2.5,2) D．(2,2.5)
3．2025 年 9 月 3 日，中国战略反击体系中的重要组成 —— 东风 - 5C 液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利 80 周年阅兵式，一句 “打击范围覆盖全球” 给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风 - 5C 洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ B ）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同
4．已知△ABC∽△DEF，且AB=3，DE=6，若△ABC的周长为 20，则△DEF的周长为（ C ）
A．5 B．10 C．40 D．80
5．在Rt△ABC中，∠C=90 ，若tanA=，则sinA的值是（ D ）
A． B． C． D．
6．如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度BC与瓶高AC之比为黄金比时，可以发出 “sol” 的音符．若AC=12cm，则水面高度BC为（ D ）
A．4.6 cm B．6.4 cm C．7.2 cm D．7.4 cm
7．反比例函数y=的图象上 3 个点的坐标分别为( 2,y1)，(2,y2)，(3,y3)，则y1，y2，y3的大小关系为（ B ）
A．y18．下列 4×4 的正方形网格中，小正方形的边长均为 1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ C ）
9．如图，在△ABC中，AC=，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC
于点D，交AB于点E，连接DE；以点C为圆心，以BD长为半径画弧，交AC于点F；以点F为圆心，以DE的长为半径画弧，在△ABC内与前一条弧相交于点G；连接CG并延长交AB于点H．若点H恰好为AB的中点，则AB的长为（ A ）
A．2 B．2 C． D．
10．如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线y=(x>0)上，若图中S△OBP=2
，则k的值为（ A ）
A．2 B．4 C．3 D．6
第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
注意事项：
1. 第 Ⅱ 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
2. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
二、填空题：（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分．）
11．匡衡 “凿壁借光” 借灯光读书的影子属于__中心____投影．（填 “平行” 或 “中心”）
12．若反比例函数y=的图象经过一，三象限，则k的取值范围为___k＜3___．
13．河堤横断面如图所示，斜坡AB的坡度i=1:，AB=6m，则BC的长是__3m____．
14．2025 年济南市引入了智能交通管理系统，该系统通过实时监控交通流量来优化信号灯的配时．假设某条主干道的交通流量Q（单位：辆 / 小时）与车辆的平均速度v（单位：千米 / 小时）之间的关系可以用反比例函数来描述．已知当车辆的平均速度为 40 千米 / 小时，交通流量Q为 1200 辆/小时．如果交通管理部门希望将交通流量控制在 1000 辆 / 小时以内，车辆的平均速度应至少达到___48___千米 / 小时．
15．如图，E是正方形ABCD的边CD上一点，连结AE，将△ADE顺时针旋转90 得到△ABF，连结EF，分别交AB，AC于点G，H．若△AFG与△AEC相似，则=____2+2__．
三、解答题：（本大题共 10 个小题，共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．（本题满分 7 分）计算： 2sin60 +( 1)2025 ∣ 2∣ (π 3.14)0
=3﹣1﹣2﹣1
=﹣2
17.（本题满分 7 分）（1）由大小相同的小立方块搭成的几何体，请在方格中画出该几何体的三视图．
（2）楼房、旗杆在路灯下的影子如图所示．试确定路灯灯泡的位置P，再作出小树在路灯下的影子．（不写作法，保留作图痕迹）
略
18．（本题满分 7 分）已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=3，DB=5，AE=2，求AC的长．
∵DE∥BC
∴=
∴AC=(3+5)×2÷3=
19．（本题满分 8 分）在如图的方格纸中，△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形．
（1）在图中标出位似中心P的位置；
（2）以原点O为位似中心，在第三象限画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为 2：1．
（3）已知S△OAB的面积为 2.5，则△OA2B2的面积为______．
（1）（1）
（3）10
20．（本题满分 8 分）如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=，求sinC的值．
过点C作AD⊥BC
∵AB=5，tan∠ABC=
∴AD=3,BD=4
∵BC=5
∴CD=5﹣4=1
∴sinc===
21．（本题满分 9 分）如图，AB∥CD，AC与BD交点E，连接BC，若AB=8，AE=4，CD=24．
（1）求AC的长；
（2）求证：△ABE∽△ACB．
(1)∵AB∥CD
∴=
∴=
∴EC=12
∴AC=4+12=16
(2)∵==
∵∠A=∠A
∴△ABE∽△ACB
22．（本题满分 10 分）某如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管AB=30cm，BE=AB
，试管倾斜角∠ABG为12 ．（sin12 ≈0.208，cos12 ≈0.978，≈1.414．结果保留一位小数）
(1) 求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度；
(2) 实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE=28cm，∠BFD=45 ，求导气管BF的长度．
（1）BG=BE·cos12°≈10×0.978≈9.8cm
（2）EG=BE·sin12°≈10×0.208≈2.08cm
GB=BH=DE﹣EG=28﹣2.08=25.92cm
∵∠BFD=45°
∴BF=BH≈36.7cm
23．（本题满分 10 分）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时水温上升，加热到100 C，停止加热，水温开始下降，直至水温降至30 C，饮水机自动开始加热，重复上述程序．值日生小明 7 点钟到校后接通饮水机电源，在水温下降的过程中进行了水温检测，记录如下表：
(1) 在下图的平面直角坐标系，画出水温y关于饮水机接通电源时间x的函数图象．
(2) 借助（1）所画的图象，判断从 7：00 开始加热到水温第一次降到30 C为止，水温y和时间x之间存在怎样的函数关系？试求出函数关系并写出自变量x取值范围．
(3) 上午第一节下课时间为 8：25，同学们能不能喝到不超过50 C的水？请通过计算说明．
（1）略
（2）加热过程为一次函数
解设y与x的关系为y=kx+b
将（0，30）和（5，80）代入y=kx+b
得
解得
∴y=10x+30（0≤x≤7）
降温过程为反比例。
设反比例为y=
将（20，35）代入y=
得k=20×35=700
∴y=（7＜x≤）
（3）y=＜50
24．（本题满分 12 分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，OA=2，点B在反比例函数y=(k>0)的图象上，△OBA为等边三角形，延长BO与反比例函数y=的图象在第三象限交于点C，连接CA并延长与反比例函数y=的图象在第一象限交于点D．
（1）求反比例函数的表达式并写出C的坐标；
（2）求点D的坐标及△OAD的面积；
（3）在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
（1）∵△OAB为等边三角形，且OA=2
∴B（1，）
将B（1，）代入y=
得k=
∴y=
由对称性知道C（﹣1，﹣）
（2）D（2，） △OAD的面积为×2×=
（3）Q（，0）或（3，0）
25．（本题满分 12 分）（1）问题引入：如图 1，△ABC，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC．如图 1，将△ADE绕点A旋转任意角度α(0 <α<360 且α≠180 )，仅就图 2 位置，
①求证：△ADB∽△AEC；
②在第一问图 2 中，作直线CE、BD交于点F，∠BFC与∠BAC的数量关系是什么？并说明理由．
（2）如图 3 所示，已知∠BAC=∠DAE=90 ，AB=AC=6，AD=AE，BE=3，∠ABE=45 ，求线段BD的长．
（3）如图 4，在Rt△ABC中，已知∠BAC=90 ，AB=5，AC=12．以BC为斜边作等腰Rt△BCD（点A、D在直线BC同侧），连接AD，求线段AD的长．
（1）①由旋转知
∠DAB=∠CAE =
∴△ADB∽△AEC
②∵△ADB∽△AEC
∴∠ABD=∠ACE
∴∠BFC=∠BAC
（2）BD=9
（3）AD=