第六章 反比例函数 题型归纳综合训练 2025-2026北师大九年级数学上册（含解析）

第六章反比例函数题型归纳
【题型01】 反比例函数的图像和性质
1.反比例函数的图象在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限
2．若反比例函数（）的图象经过点，则k的值是（ ）
A．2 B． C． D．
3．在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
4．某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点，在反比例函数（，）的图象上，轴于点，轴于点，轴于点，连结．若，，，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【题型02】 反比例函数图像的点的坐标特征
6．已知某反比例函数的图象经过点，则它一定也经过点（ ）
A． B． C． D．
7．反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
8．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 .
10．如图，在直角中，，，将绕点顺时针旋转至的位置，点是的中点，且点在反比例函数的图象上，则的值为 ．
【题型03】 反比例函数图像的对称性
11.如图，函数的图象所在坐标系的原点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
12.如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
13．在平面直角坐标系中，点 在双曲线上．点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为 .
14.如图，直线y ＝kx(k＞0)与双曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1＝ ．
15.如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（3a，a）是反比例函数（k＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为 ．
【题型04】 反比例函数解析式的确定
16.已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是( )
A．y= B．y=﹣ C．y= D．y=﹣
17.如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作⊥轴于点，的面积为2，则反比例函数的解析式为( )
A． B． C． D．
18．如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 ．
19．已知点在反比例函数的图象上．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点，，都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由．
20.如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点作轴的平行线，交的图象于点．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)求的面积．
【题型05】 反比例函数系数k的几何意义
21.（2023·湖南湘西·中考真题）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
22．（2024·福建·中考真题）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．3
23.（2024·辽宁丹东·中考真题）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为点C，延长至点B，使，点D是y轴上任意一点，连接，，若的面积是6，则 ．
24.（2024·浙江衢州·中考真题）如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．
25.（2024·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，在函数 的图象上（点的横坐标大于点的横坐标），点的坐示为，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，．
（1）求的值．
（2）若为中点，求四边形的面积．
【题型06】 与反比例函数有关的面积问题
26.如图，在平面直角坐标系中，函数（为大于0的常数，）图象上的两点，满足．的边轴，边轴，若的面积为6，则的面积是 ．
27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、．
(1)求一次函数、反比例函数的表达式；
(2)连接，求的面积．
28.如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)当时，求的面积．
29.如图，直线与反比例函数的图象交于点，，过点A作轴交x轴于点C，在x轴正半轴上取一点D，使，连接，．若的面积是6．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)点P为第一象限内直线上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标．
30.如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，将正比例函数图象向下平移个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足．过点B作轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线与关于直线成轴对称，连接．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求n的值及的面积．
【题型07】 反比例函数与其他学科的结合
31．如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
32．某型号蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，即，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为 （V）．
33．杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为，动力臂为．则动力关于动力臂的函数表达式为 ．
34.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．
(2)当电阻R为时，求此时的电流I．
35．给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压 是气体体积（）的反比例函数，其图象如图所示．
(1)当气球内的气压超过时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式，取3）；
(2)请你利用与的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．
【题型08】 反比例函数的实际应用
36.我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是双曲线的一部分．请根据图中信息解答下列问题：
（1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？
（2）求k的值；
（3）当x=16时，大棚内的温度约为多少度？
37.科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．
(1)求h关于的函数解析式．
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，，求该液体的密度．
38.已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示．
(1)请求出这个反比例函数的解析式；
(2)蓄电池的电压是多少？
(3)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围？
39.密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，．
(1)求密度关于体积V的函数解析式；
(2)若，求二氧化碳密度的变化范围．
40．视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．
探究1 检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足．
探究2 当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围．
素材3 如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同．
探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
【题型09】 反比例函数与几何图形的应用
41.如图，在平面直角坐标系中，正六边形的对称中心在反比例函数的图象上，边在轴上，点在轴上，已知．
(1)判断点是否在该反比例函数的图象上，请说明理由；
(2)求出直线：的解析式，并根据图象直接写出当时，不等式的解集．
42.如图，在平面直角坐标系中，，，反比例函数在第一象限的图象经过点C，，，过点C作直线轴，交y轴于点E．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)若点D是x轴上一点（不与点A重合），的平分线交直线于点F，请直接写出点F的坐标．
43.如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，，两点的坐标分别为，，直线：与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求该反比例函数的解析式及的值；
(2)判断点是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．
44.小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形和菱形，点D，E在x轴上，以点O为圆心，长为半径作，连接．
(1)求k的值；
(2)求扇形的半径及圆心角的度数；
(3)请直接写出图中阴影部分面积之和．
45.【问题背景】
如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A．
【构建联系】
（1）求证：函数的图象必经过点C．
（2）如图2，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为时，求k的值．
【深入探究】
（3）如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围．
【题型10】 反比例函数与一次函数的交点问题
46．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：点与点关于原点对称；点是的中点；在的图象上任取点和点，如果，那么； ．其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
47．已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
48．如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（ ）
A．或 B．且
C．或 D．或
49．已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上(且)，点和点在函数的图象上．当与的积为负数时，t的取值范围是( )
A．或 B．或
C．或 D．或
50．如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图象直接写出不等式的解集；
(3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标．
【题型11】 反比例函数与一次函数的综合
51.通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．
（1）求点对应的指标值；
（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
52.保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2009年1 月的利润为200万元．设2009年1 月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于排污超标，该厂决定从2009年1 月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）．
⑴分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y与x之间对应的函数关系式．
⑵治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2009年1月的水平？
⑶当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？
53.为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
时间x（天） 3 5 6 9 ……
硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 ……
(1)在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(2)在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？
54.如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形是平行四边形，点C在反比例函数的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3．
提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为，，则中点坐标为．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图2，点D是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积；
(3)如图3，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于，两点，点P为的中点，过点作于点N．请直接写出P点坐标和的值．
55.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；(2)求的面积；
(3)若点P是y轴上一动点，连接．当的值最小时，求点P的坐标．
第六章反比例函数题型归纳答案
【题型01】 反比例函数的图像和性质
1.反比例函数的图象在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
【答案】B
【分析】反比例函数中，图象在一，三象限，图象在二、四象限
【解答】∵
∴的图象在第一，三现象
故选择：B
【点评】熟练掌握反比例函数图象的决定因素是解题关键
2．（2023·海南·中考真题）若反比例函数（）的图象经过点，则k的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】把点代入反比例函数解析式即可得到答案．
【解答】解：∵反比例函数（）的图象经过点，
∴，
解得，
故选：B
【点评】此题考查了反比例函数，把点的坐标代入函数解析式准确计算是解题的关键．
3．在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象，根据一次函数与反比例函数的性质，逐项分析判断，即可求解．
【解答】解：∵
当时，一次函数经过第一、二、三象限，
当时，一次函数经过第一、三、四象限
A.一次函数中，则当时，函数图象在第四象限，不合题意，
B.一次函数经过第二、三、四象限，不合题意，
一次函数中，则当时，函数图象在第一象限，故C选项正确，D选项错误，
故选：C．
4．某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据点求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质即可得．
【解答】解：设反比例函数的解析式为，
将点代入得：，
则反比例函数的解析式为，
所以这个函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大，
又点在函数的图象上，且，
，即，
故选：C．
【点评】本题考查了求反比例函数的解析式、反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．
5．如图，点，在反比例函数（，）的图象上，轴于点，轴于点，轴于点，连结．若，，，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】设OD=m，则OC=，设AC=n，根据求得，在Rt△AEF中，运用勾股定理可求出m=，故可得到结论．
【解答】解：如图，
设OD=m，
∵
∴OC=
∵轴于点，轴于点，
∴四边形BEOD是矩形
∴BD=OE=1
∴B(m，1)
设反比例函数解析式为，
∴k=m×1=m
设AC=n
∵轴
∴A（，n）
∴，解得，n=，即AC=
∵AC=AE
∴AE=
在Rt△AEF中，，
由勾股定理得，
解得，（负值舍去）
∴
故选：B
【点评】此题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数的解析式．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
【题型02】 反比例函数图像的点的坐标特征
6．已知某反比例函数的图象经过点，则它一定也经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据反比函数图象上各点的坐标符合对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：设反比例函数解析式为，
反比例函数的图象经过点，
．
、，此点不在函数图象上，故本选项错误；
、，此点在函数图象上，故本选项正确；
、，此点不在函数图象上，故本选项错误；
、，此点不在函数图象上，故本选项错误．
故选：．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中，为定值是解答此题的关键．
7．反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与的大小．
【解答】解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小，
反比例函数的图象上有，两点，
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，；
故选：A．
8．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查反比例函数、解直角三角形、平移的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．如图：过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，先根据点A坐标计算出、k值，再根据平移、平行线的性质证明，进而根据求出，最后代入反比例函数解析式取得点C的坐标，进而确定,，再运用勾股定理求得，进而求得即可解答．
【解答】解：如图，过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，则轴，
∵，
∴，，
∴．
∵在反比例函数的图象上，
∴．
∴将直线向上平移若干个单位长度后得到直线，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，即点C的横坐标为2，
将代入，得，
∴C点的坐标为，
∴,，
∴，
∴,
∴
故选：B．
9．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 .
【答案】0
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
将点和代入，求得和，再相加即可．
【解答】解：∵函数的图象经过点和，
∴有，
∴，
故答案为：0．
10．如图，在直角中，，，将绕点顺时针旋转至的位置，点是的中点，且点在反比例函数的图象上，则的值为 ．
【答案】
【分析】依据题意，在中，，，从而，可得，又结合题意，，进而，故可得点坐标，代入解析式可以得解．
【解答】解：如图，作轴，垂足为．
由题意，在中，，，
．
．
．
又绕点顺时针旋转至的位置，
．
．
又点是的中点，
．
在中，
，
．
，．
又在上，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，旋转的性质，勾股定理等知识，解题时需要熟练掌握并灵活运用是关键．
【题型03】 反比例函数图像的对称性
11.如图，函数的图象所在坐标系的原点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【分析】由函数解析式可知函数关于y轴对称，当x＞0时，图象在一象限，当x＜0时，图象在二象限，即可求解．
【解答】由已知可知函数y关于y轴对称，∴y轴与直线PM重合．当x＞0时，图象在一象限，当x＜0时，图象在二象限，即图象在x轴上方，所以点M是原点．
故选A．
【点评】本题考查了反比例函数的图象及性质；熟练掌握函数的解析式与函数图象的关系是解题的关键．
12.如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，根据反比例函数的中心对称性可得，然后过点A作于E，求出，点D的横坐标为，再根据列式求出，进而可得点D的纵坐标，将点D坐标代入反比例函数解析式即可求出的值．
【解答】解：由题意，设，
∵过原点，
∴，
过点A作于E，
∵是等腰三角形，
∴，
∴，点D的横坐标为，
∵底边轴，轴，
∴，
∴，
∴点D的纵坐标为，
∴，
∴，
解得：，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，中心对称的性质，等腰三角形的性质等知识，设出点B坐标，正确表示出点D的坐标是解题的关键．
13．在平面直角坐标系中，点 在双曲线上．点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为 .
【答案】0.
【分析】由点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线上，可得k1=ab，由点A与点B关于x轴的对称，可得到点B的坐标，进而表示出k2，然后得出答案．
【解答】解：∵点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线上，
∴k1=ab；
又∵点A与点B关于x轴的对称，
∴B（a，-b）
∵点B在双曲线上，
∴k2=-ab；
∴k1+k2=ab+（-ab）=0；
故答案为0．
【点评】考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于x轴对称的点的坐标的特征以及互为相反数的和为0的性质．
14.如图，直线y ＝kx(k＞0)与双曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1＝ ．
【答案】20
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点找出A、B两点坐标的关系，再根据反比例函数图象上点的坐标特点，即可求解．
【解答】解，观察图象得：直线y=kx（k＞0）过原点和一、三象限，且与双曲线交于两点，
∴这两点关于原点对称，
∴x1=-x2，y1=-y2，
又∵点A、点B在双曲线上，
∴x1×y1=4，x2×y2=4，
∴x1×y2=-4，x2×y1=-4，
∴2x1y2-7x2y1=2×（-4）-7×（-4）=20．
故答案为：20
【点评】本题主要考查了正比例函数与反比例函数交点坐标的性质，属于一般性的题目，掌握两交点坐标关于原点对称是解题的关键．
15.如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（3a，a）是反比例函数（k＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为 ．
【答案】
【分析】由反比例函数的对称性可知阴影部分的面积和正好为小正方形面积的，设小正方形的边长为b，图中阴影部分的面积等于9可求出b的值，从而可得出直线AB的表达式，再根据点P（3a，a）在直线AB上可求出a的值，从而得出反比例函数的解析式：
【解答】∵反比例函数的图象关于原点对称，
∴阴影部分的面积和正好为小正方形的面积．
设正方形的边长为b，则b2=9，
解得：b=3．（负值舍去）
∵正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，
∴直线AB的解析式为：x=3．
∵点P（3a，a）在直线AB上，
∴3a=3，
解得：a=1，
∴P（3，1）．
∵点P在反比例函数（k＞0）的图象上，
∴k=3×1=3．
∴此反比例函数的解析式为：．
【点评】本题考查反比例函数图象的对称性及正方形的性质，根据反比例函数的对称性得出小正方形的边长是解题关键．
【题型04】 反比例函数解析式的确定
16.已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是( )
A．y= B．y=﹣ C．y= D．y=﹣
【答案】D
【分析】设解析式y=，代入点(2,-4)求出即可．
【解答】解：设反比例函数解析式为y=，
将(2，-4)代入，得：-4=，
解得：k=-8，
所以这个反比例函数解析式为y=-．
故选：D．
【点评】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，求反比例函数解析式只需要知道其图像上一点的坐标即可．
17.如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作⊥轴于点，的面积为2，则反比例函数的解析式为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对于反比例函数问题，关注的焦点就是反比例函数图象上的点，按照题意，设，根据的面积为2列出关于的方程求解即可得出反比例函数解析式．
【解答】解：∵直线与轴交于点，
∴ （0，），即，
直线与反比例函数的图象交于点，则设，
∵的面积为2，
∴，
∴或（根据图象在第一象限，舍），
，即，
∴反比例函数的解析式为：，
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数综合，求反比例函数解析式的关键是找到反比例函数图象上一点的坐标．
18．如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 ．
【答案】
【分析】设正方形的边长为m，根据，，得到，根据矩形对边相等得到，推出，根据点B，E在同一个反比例函数的图象上，得到，得到，推出．
【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
设正方形的边长为m，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设反比例函数的表达式为，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∴这个反比例函数的表达式是，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，正方形性质，反比例函数性质，k的几何意义．
19．已知点在反比例函数的图象上．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点，，都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，以及函数图象上点的坐标特点，待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．
（1）把点代入可得k的值，进而可得函数的解析式；
（2）根据反比例函数表达式可得函数图象位于第一、三象限，再根据点A、点B和点C的横坐标即可比较大小．
【解答】（1）解：把代入，得，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵，
∴函数图象位于第一、三象限，
∵点，，都在反比例函数的图象上，，
∴，
∴．
20.如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点作轴的平行线，交的图象于点．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)求的面积．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的表达式，坐标与图形，三角形的面积，利用待定系数法求出反比例函数的表达式是解题的关键．
（）利用正比例函数求出点的坐标，再代入反比例函数的表达式即可求解；
（）分别求出的坐标，得到的长度，再根据坐标与图形以及三角形的面积公式计算即可求解；
【解答】（1）解：把代入得，，
∴，
∴，
把代入得，，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：把代入得，，
∴，
∵轴，
∴点的横坐标为，
把代入得，，
∴，
∴，
∴．
【题型05】 反比例函数系数k的几何意义
21.如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解．
【解答】解：延长交轴于点，
∵轴，
∴轴，
∵点A在函数的图象上，
∴，
∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上，
∴，
∴四边形的面积等于；
故选B．
【点评】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键．
22．如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】如图所示，点在上，证明，根据的几何意义即可求解．
【解答】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，点在上，
∵，，
∴．
∴．
∴ ．
∵点在第二象限，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质，反比例函数的的几何意义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
23.如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为点C，延长至点B，使，点D是y轴上任意一点，连接，，若的面积是6，则 ．
【答案】
【分析】连结、，轴，由得到．由得到，则，再根据反比例函数图象所在象限即可得到满足条件的k的值．
【解答】解：如图，连结、，
∵轴，
∴．
∴．
∵，
∵，
∴，
∵图象位于第一象限，则，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，掌握反比例函数的图象与性质并能熟练运用数形结合的思想是解答问题的关键．
24.如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．
【答案】24
【分析】设，则，从而可得、，由正方形的性质可得，由轴，点P在上，可得，由于Q为的中点，轴，可得，则，由于点Q在反比例函数的图象上可得，根据阴影部分为矩形，且长为，宽为a，面积为6，从而可得，即可求解．
【解答】解：设，
∵，
∴，
∴，
∴，
在正方形中，，
∵Q为的中点，
∴，
∴，
∵Q在反比例函数的图象上，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵P在上，
∴P点纵坐标为，
∵P点在反比例函数的图象上，
∴P点横坐标为，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：24．
【点评】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形的面积公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解题的关键．
25.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，在函数 的图象上（点的横坐标大于点的横坐标），点的坐示为，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，．
（1）求的值．
（2）若为中点，求四边形的面积．
【答案】（1）8；（2）10．
【分析】（1）将点的坐标为代入，可得结果；
（2）利用反比例函数的解析式可得点的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果．
【解答】解：（1）将点的坐标为代入，
可得，
的值为8；
（2）的值为8，
函数的解析式为，
为中点，，
，
点的横坐标为4，将代入，
可得，
点的坐标为，
．
【点评】本题主要考查了反比例函数的系数的几何意义，运用数形结合思想是解答此题的关键．
【题型06】 与反比例函数有关的面积问题
26.如图，在平面直角坐标系中，函数（为大于0的常数，）图象上的两点，满足．的边轴，边轴，若的面积为6，则的面积是 ．
【答案】2
【分析】过点作轴于点，轴于点，于点，利用，，得到，结合梯形的面积公式解得，再由三角形面积公式计算，即可解答．
【解答】解：如图，过点作轴于点，轴于点，于点，
故答案为：2．
【点评】本题考查反比例函数中的几何意义，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、．
(1)求一次函数、反比例函数的表达式；
(2)连接，求的面积．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设直线与轴交于点，分割法求出的面积即可．
【解答】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：设直线与轴交于点，
∵，
∴当时，，
∴，
∴的面积．
28.如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)当时，求的面积．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数与反例函数的综合问题，待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式．一次函数与反比例函数的交点问题，两点之间的距离公式等知识，掌握反比例函数的性质以及一次函数的性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求出反比例函数以及一次函数的解析式．
（2）由已知条件求出点C，点B，点D的坐标，过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F，利用两点之间的距离公式分别求出，，的值，最后根据即可求出答案．
【解答】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点，
∴，，
∴，，
∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：．
（2）∵，
∴，
∵轴于点C，交一次函数的图象于点D，
∴点B的横坐标为4．点D的横坐标为4．
∴，
∴，
∴
过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F，
∴，点E的纵坐标为，
∴，
把代入，得，
∴，
∴点，
∴，
∴
29.如图，直线与反比例函数的图象交于点，，过点A作轴交x轴于点C，在x轴正半轴上取一点D，使，连接，．若的面积是6．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)点P为第一象限内直线上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据，可得三角形面积之比，计算出的面积，面积乘2即为，解析式可得；
（2）根据点的坐标求出直线的解析式为，设符合条件的点，利用面积的倍数关系建立方程解出即可．
【解答】（1）解：∵，的面积是6，
∴，
∴，
∵图象在第二象限，
∴，
∴反比例函数解析式为：；
（2）∵点，，在的图象上，
∴，，
∴，，
设直线的解析式为，
，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵轴交x轴于点C，
∴，
∴，
设直线上在第一象限的点，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式．
30.如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，将正比例函数图象向下平移个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足．过点B作轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线与关于直线成轴对称，连接．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求n的值及的面积．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用：
（1）先求出的值，进而求出反比例函数的解析式即可；
（2）根据平移规则，得到平移后的解析式，联立两个解析式，表示出的坐标，过点，作轴的平行线交轴于点,根据，进而求出的值，进而根据对称性得出，勾股定理求得，进而求得的长，即可求解．
【解答】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点，
∴，
∴，
∴；
∴；
（2）∵
∴
∴
∴
∵将正比例函数图象向下平移个单位，
∴平移后的解析式为：，
如图所示，过点，作轴的平行线交轴于点，则，是等腰直角三角形，
∴
∴
∴
设，则
∴，
∴，
∵，，在上
∴
解得：（负值舍去）
∴，
∴的解析式为，
当时，，则，
∴，，则
∵直线与关于直线成轴对称，轴，
∴，和是等腰直角三角形，
∴
∴，
∵和是等腰直角三角形，
∴
∴
【题型07】 反比例函数与其他学科的结合
31．如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意代入数据求得，即可求解．
【解答】解：∵，，，
∴，
∴，函数为反比例函数，
当时，，
即函数图象经过点．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的应用以及函数图象，根据题意求出函数关系式是解题的关键．
32．某型号蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，即，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为 （V）．
【答案】64
【分析】此题主要考查了反比例函数的应用．根据函数图象可用电阻R表示电流I的函数解析式为，其中U为电压，再把代入可得U的值．
【解答】解：设用电阻R表示电流I的函数解析式为，
∵过，
∴（V），
故答案为：64．
33．杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为，动力臂为．则动力关于动力臂的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，根据题意可得，进而即可求解，掌握杠杆原理是解题的关键．
【解答】解：由题意可得，，
∴，即，
故答案为：．
34.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．
(2)当电阻R为时，求此时的电流I．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用：
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求求出当时I的值即可得到答案．
【解答】（1）解：设这个反比例函数的解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴这个反比例函数的解析式为；
（2）解：在中，当时，，
∴此时的电流I为．
35．给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压 是气体体积（）的反比例函数，其图象如图所示．
(1)当气球内的气压超过时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式，取3）；
(2)请你利用与的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．
【答案】(1)气球的半径至少为时，气球不会爆炸；
(2)由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【分析】（1）设函数关系式为，用待定系数法可得，即可得当时，，从而求出；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【解答】（1）设函数关系式为，
根据图象可得：，
，
当时，，
，
解得：，
，
随的增大而减小，
要使气球不会爆炸，，此时，
气球的半径至少为时，气球不会爆炸；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【点评】本题考查反比例函数的应用，涉及立方根等知识，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出反比例函数的解析式．
【题型08】 反比例函数的实际应用
36.我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是双曲线的一部分．请根据图中信息解答下列问题：
（1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？
（2）求k的值；
（3）当x=16时，大棚内的温度约为多少度？
【答案】（1）10小时
（2）k=216
（3）13.5℃
【分析】（1）根据图象直接得出大棚温度18℃的时间为12﹣2=10（小时）.
（2）应用待定系数法求反比例函数解析式即可.
（3）将x=16代入函数解析式求出y的值即可.
【解答】（1）恒温系统在这天保持大棚温度18℃的时间为12﹣2=10小时.
（2）∵点B（12，18）在双曲线上，
∴，∴解得：k=216
（3）由（2），
当x=16时，，
∴当x=16时，大棚内的温度约为13.5℃.
【点评】本题考查反比例函数的实际应用，解题关键在于读懂题意.
37.科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．
(1)求h关于的函数解析式．
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，，求该液体的密度．
【答案】(1)．
(2)该液体的密度为．
【分析】（1）由题意可得，设，把，代入解析式，求解即可；
（2）把代入（1）中的解析式，求解即可．
【解答】（1）解：设h关于的函数解析式为，
把，代入解析式，得．
∴h关于的函数解析式为．
（2）解：把代入，得．
解得：．
答：该液体的密度为．
【点评】此题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活利用反比例函数的性质进行求解．
38.已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示．
(1)请求出这个反比例函数的解析式；
(2)蓄电池的电压是多少？
(3)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先由电流是电阻的反比例函数，可设，将点带入表达式，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式即可得到答案；
（2）根据电压电流电阻即可求解；
（3）将代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．
【解答】（1）解：由题意知电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，设，
由图像可知，过点，则，
这个反比例函数的解析式为；
（2）解：根据题意，电压为定值，即（1）中，
蓄电池的电压是；
（3）解：由（1）知，
如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，则，解得，
如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在范围．
【点评】本题考查反比例函数解实际应用题，读懂题意，正确理解反比例函数模型，并利用函数知识解实际问题是解决本题的关键．
39.密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，．
(1)求密度关于体积V的函数解析式；
(2)若，求二氧化碳密度的变化范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用待定系数法即可完成；
（2）把V=3和V=9代入（1）所求得的解析式中，即可求得密度的变化范围．
【解答】（1）解：∵密度与体积V是反比例函数关系，
∴设，
∵当时，，
∴，
∴，
∴密度关于体积V的函数解析式为：；
（2）解：观察函数图象可知，随V的增大而减小，
当时，，
当时，，
∴当时，
即二氧化碳密度的变化范围是．
【点评】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
40．视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．
探究1 检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足．
探究2 当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围．
素材3 如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同．
探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
【答案】探究检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为；
探究 ；
探究3：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为．
【分析】探究1：由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，由待定系数法可得，将 代入得：；
探究2：由，知在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，故当时，，即可得；
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得，即可解得答案．
【解答】探究
由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，
设，将其中一点代入得：，
解得：，
，将其余各点一一代入验证，都符合关系式；
将 代入得：；
答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为；
探究
，
在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，
当时，，
，
；
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得，
由探究1知，
，
解得，
答：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为．
【点评】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，相似三角形的性质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决．
【题型09】 反比例函数与几何图形的应用
41.如图，在平面直角坐标系中，正六边形的对称中心在反比例函数的图象上，边在轴上，点在轴上，已知．
(1)判断点是否在该反比例函数的图象上，请说明理由；
(2)求出直线：的解析式，并根据图象直接写出当时，不等式的解集．
【答案】(1)点E在该反比例函数的图象上，理由见解析
(2)，
【分析】（1）根据正六边形的性质得出，，则，，得出，，
连接，推出为等边三角形，得出，则反比例函数表达式为把，代入 ，求出，即可解答；
（2）把，代入，求出a和b的值，即可得出直线的解析式，根据图象，找出直线位于双曲线上方时自变量的取值范围即可．
【解答】（1）解：∵六边形为正六边形，，
∴，，
∴，，
∴，，
连接，
∵六边形为正六边形，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴反比例函数表达式为．
∵为等边三角形，
∴点E和点A关于对称，
∴，
把代入得：，
∴点E在该反比例函数的图象上；
（2）解：把，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为：，
∵，，
∴由图可知，当时，．
【点评】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，正六边形的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，正六边形的性质．
42.如图，在平面直角坐标系中，，，反比例函数在第一象限的图象经过点C，，，过点C作直线轴，交y轴于点E．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)若点D是x轴上一点（不与点A重合），的平分线交直线于点F，请直接写出点F的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）作轴于点G，如图，证明四边形是矩形，得到， 推出，证明，得到，得出矩形是正方形，可得，然后由A、B的坐标求出，进而得到点C的坐标为，再代入反比例函数的解析式即可；
（2）根据（1）中结论可得，由，利用两点距离公式求得，再由轴，，的平分线交直线于点，证明，即可分别求出的横纵坐标．
【解答】（1）解：作轴于点G，如图，
图1
∵轴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
设，则，解得：，
∴，
∴点C的坐标为，
代入，得；
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：当在A点右侧时：如图1中图所示，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵轴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点F的坐标是．
，，
当在A点左侧时，如图2：
轴，的平分线交直线于点，
点纵坐标为2，，
，
，
点横坐标为，
，
综上所述：F或．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、矩形和正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，具有一定的综合性，熟练掌握上述知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键．
43.如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，，两点的坐标分别为，，直线：与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求该反比例函数的解析式及的值；
(2)判断点是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)点在该反比例函数的图象上，理由见解答
【分析】（1）因为点在双曲线上，所以代入点坐标即可求出双曲线的函数关系式，又因为点在双曲线上，代入即可求出的值；
（2）先求出点的坐标，判断即可得出结论．
【解答】（1）解：将点代入中，得，
反比例函数的解析式为，
将点代入中，
得；
（2）解：因为四边形是菱形，，，
，，
，
由（1）知双曲线的解析式为；
，
点在双曲线上．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，解题的关键是用表示出点的坐标．
44.小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形和菱形，点D，E在x轴上，以点O为圆心，长为半径作，连接．
(1)求k的值；
(2)求扇形的半径及圆心角的度数；
(3)请直接写出图中阴影部分面积之和．
【答案】(1)
(2)半径为2，圆心角为
(3)
【分析】（1）将代入中即可求解；
（2）利用勾股定理求解边长，再利用三角函数求出的度数，最后结合菱形的性质求解；
（3）先计算出，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合的几何意义可求出，从而问题即可解答．
【解答】（1）解：将代入中，
得，
解得：；
（2）解：过点作的垂线，垂足为，如下图：
，
，
，
半径为2；
，
∴，
，
由菱形的性质知：，
，
扇形的圆心角的度数：；
（3）解：，
，
，
如下图：由菱形知，，
，
，
．
【点评】本题考查了反比例函数及的几何意义，菱形的性质、勾股定理、圆心角，解题的关键是掌握的几何意义．
45.【问题背景】
如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A．
【构建联系】
（1）求证：函数的图象必经过点C．
（2）如图2，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为时，求k的值．
【深入探究】
（3）如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【分析】（1）设，则，用含的代数式表示出，再代入验证即可得解；
（2）先由点B的坐标和k表示出，再由折叠性质得出，如图，过点D作轴，过点B作轴，证出，由比值关系可求出，最后由即可得解；
（3）当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H，求出k的值，当过点A时，根 据A，C关于直线对轴知，必过点C，如图所示，连，，过点D作轴交y轴于点H，求出k的值，进而即可求出k的取值范围．
【解答】（1）设，则，
∵轴，
∴D点的纵坐标为，
∴将代入中得：得，
∴，
∴，
∴，
∴将代入中得出，
∴函数的图象必经过点C；
（2）∵点在直线上，
∴，
∴，
∴A点的横坐标为1，C点的纵坐标为2，
∵函数的图象经过点A，C，
∴，，
∴，
∴，
∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E，
∴，，
∴，
如图，过点D作轴，过点B作轴，
∵轴，
∴H，A，D三点共线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴,
∵，
∴，，
∴，
由图知，，
∴，
∴；
（3）∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E，当点E，A重合，
∴，
∵四边形为矩形，
∴四边形为正方形，，
∴，，，
∵轴，
∴直线为一，三象限的夹角平分线，
∴，
当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H，
∵轴，
∴H，A，D三点共线，
∵以点O为圆心，长为半径作，，
∴，
∴，
∴，，，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当过点A时，根 据A，C关于直线对轴知，必过点C，如图所示，连，，过点D作轴交y轴于点H，
∵,
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∵轴，
∴，
∴，
∴,
∴，
∴，
∴，
∴,
∴当与的边有交点时，k的取值范围为．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，一次函数的性质，反比例函数的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，轴对称的性质，圆的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．
【题型10】 反比例函数与一次函数的交点问题
46．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：点与点关于原点对称；点是的中点；在的图象上任取点和点，如果，那么； ．其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质，根据反比例函数的性质逐项判断即可求解，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【解答】解：∵直线与双曲线交于两点，
∴点与点关于原点对称，故正确；
∵点与点关于原点对称，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∴点是的中点，故正确；
∵，
∴在每一象限内，随的增大而减小，
当在同一象限内时，如果，那么；当不在同一象限内时，如果，那么，故错误；
∵轴，
∴，
∵点与点关于原点对称，
∴，
∵点是的中点，
∴，故正确；
∴正确结论有个，
故选：．
47．已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出，代入反比例函数求解即可
【解答】解：∵反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，
∴，
∴，
∴，
故选：A
48．如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（ ）
A．或 B．且
C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论．
当在原点右侧时，点坐标为，设旋转后的直线的解析式为：，得到，求出；当在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：，，求出，即可得到的取值范围．
【解答】解：当在原点右侧时，点坐标为，
直线绕点逆时针旋转，
所得的直线与直线平行，
设这条直线的解析式为：，
这条直线经过第一、二、四象限，
，
在直线上，
，
，
，
，
；
当在原点左侧时，
设这条直线的解析式为：，
同理：，
，
，
，
，
．
的取值范围是或．
故选：C．
49．已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上(且)，点和点在函数的图象上．当与的积为负数时，t的取值范围是( )
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】D
【分析】将交点的横坐标1代入两个函数，令二者函数值相等，得．令，代入两个函数表达式，并分别将点A、B的坐标和点C、D的坐标代入对应函数，进而分别求出与的表达式，代入解不等式并求出t的取值范围即可．
【解答】解：∵的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，
∴．
令，则，．
将点和点代入，得；
将点和点代入，得．
∴，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
①当时，，
∴不符合要求，应舍去；
②当时，，
∴符合要求；
③当时，，
∴不符合要求，应舍去；
④当时，，
∴符合要求；
⑤当时，，
∴不符合要求，应舍去．
综上，t的取值范围是或．
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解不等式是本题的关键．
50．如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图象直接写出不等式的解集；
(3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)点坐标为
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出点坐标，最后将，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题；
（2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题；
（3）根据与的面积关系，可求出点的纵坐标，据此可解决问题．
【解答】（1）解：将代入得，
∴，
反比例函数的解析式为，
将代入得，，
点的坐标为．
将点和点的坐标代入得，
，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：根据所给函数图象可知，
当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即，
不等式的解集为：或．
（3）解：将代入得，，
点的坐标为，
，
．
将代入得，，
点的坐标为，
，
解得．
∵点在第三象限，
∴，
将代入得，，
点坐标为．
【题型11】 反比例函数与一次函数的综合
51.通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．
（1）求点对应的指标值；
（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
【答案】（1）20；（2）能，见解析
【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将x=45代入，即可得出A对应的指标值
（2）先用待定系数法写出一次函数的解析式，再根据注意力指标都不低于36得出，得出自变量的取值范围，即可得出结论
【解答】解：（1）令反比例函数为，由图可知点在的图象上，
∴，
∴．将x=45代入
将x=45代入得：
点对应的指标值为．
（2）设直线的解析式为，将、代入中，
得，解得．
∴直线的解析式为．
由题得，解得．
∵，
∴张老师经过适当的安排，能使学生在听综合题的讲解时，注意力指标都不低于36.
【点评】本题考查一次函数的解析式、反比例函数的解析式、不等式组的解集、利用函数图像解决实际问题是中考的常考题型。
52.保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2009年1 月的利润为200万元．设2009年1 月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于排污超标，该厂决定从2009年1 月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）．
⑴分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y与x之间对应的函数关系式．
⑵治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2009年1月的水平？
⑶当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？
【答案】（1）当1≤≤5时；＞5时；（2）经过8个月；（3）5个月
【分析】见解析
【解答】⑴①当1≤≤5时，设，把（1，200）代入，
得，即；
②当时，，所以当＞5时，；
⑵当y=200时，20x-60=200，x=13，
所以治污改造工程顺利完工后经过13-5=8个月后，该厂利润达到200万元；
⑶对于，当y=100时，x=2；对于y=20x-60，当y=100时，x=8，所以资金紧张的时间为3、4、5、6、7共5个月
53.为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
时间x（天） 3 5 6 9 ……
硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 ……
(1)在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(2)在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？
【答案】(1)线段AC的函数表达式为：y＝﹣2.5x+12（0≤x＜3）；
(2)y＝（x≥3）；
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由见解析．
【分析】（1）设线段AC的函数表达式为：y=kx+b，把A、C两点坐标代入求出k、b的值即可；
（2）设函数的表达式为：y=，把C点坐标代入，求出k的值即可；
（3）根据（2）所得表达式，求出x=15时，y的值与硫化物浓度允许的最高值比较即可．
【解答】（1）解：由前三天的函数图像是线段，设函数表达式为：y=kx+b
把（0，12）（3，4.5）代入函数关系式，得 ，
解得：k=﹣2.5，b=12
∴当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y=﹣2.5x+12；
（2）解：当x≥3时，设y=，
把（3，4.5）代入函数表达式，得4.5=，
解得k=13.5，
∴当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y= ；
（3）解：能，理由如下：
当x=15时，y==0.9，
因为0.9＜1，
所以该企业所排污水中硫化物的浓度，能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．
【点评】本题考查一次函数和反比例函数，熟练掌握根据坐标确定解析式的一次项系数和常数项是解题关键．
54.如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形是平行四边形，点C在反比例函数的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3．
提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为，，则中点坐标为．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图2，点D是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积；
(3)如图3，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于，两点，点P为的中点，过点作于点N．请直接写出P点坐标和的值．
【答案】(1)
(2)9
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）设，根据平行四边形的性质可得，利用中点坐标公式可得，再把点D代入反比例函数解析式求得，即可求解；
（3）由一次函数平移规律可得直线：，联立方程组得，设、，即，利用中点坐标公式求得点P的横坐标为4，即可得，再利用勾股定理求得，求得直线与x、y轴的交点、，利用勾股定理求得，可得，过点O作，由平行线定理可得，利用锐角三角函数求得，即可求解．
【解答】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点B的纵坐标为3．
∴，
把代入得，，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：设，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵点D是边的中点，
∴，即，
∵点D在反比例函数图象上，
把代入得，，
解得，
∴，
∴；
（3）解：∵将直线向上平移6个单位得到直线：，
∵直线与函数图象交于，两点，
∴联立方程组得，，
即，
设、，
∴，
∵点P为的中点，
∴点P的横坐标为，
把代入得，，
∴，
∴，
把代入得，，
把代入得，，
解得，
∴直线与x、y轴交于点、，
∴，，
∴，
∴，
过点O作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查平行四边形的性质、中点坐标公式、一次函数的平移规律、一次函数与反比例函数的交点问题、锐角三角函数、平行线定理、一次函数与坐标轴的交点问题、勾股定理、一元二次方程的根与系数的关系、用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键．
55.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)若点P是y轴上一动点，连接．当的值最小时，求点P的坐标．
【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数表达式为
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．
（1）依据题意，由在反比例函数上，可得的值，进而求出反比例函数，再将代入求出的坐标，最后利用待定系数法求出一次函数的解析式；
（2）依据题意，设直线交轴于点，交轴于点，由直线为，可得，故 ，再由，进而计算可以得解；
（３）依据题意，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的最小值等于的长，结合)与关于轴对称，故为，又，可得直线为，再令，则，进而可以得解．
【解答】（1）解：由题意，∵在反比例函数上，
∴．
∴反比例函数表达式为．
又在反比例函数上，
∴．
∴．
设一次函数表达式为，
∴，
∴，．
∴一次函数的表达式为．
（2）解：由题意，如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B，
又直线l为，∴，．∴，，
∴ ；
（3）解：由题意，如图，作点M关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则的最小值等于的长．
∵与关于y轴对称，∴为．
又，设的解析式为，
则，解得，∴直线为．
令，则．
∴．