陕西省汉中市部分学校2025-2026学年高三上学期数学第四次月考试卷（含答案）

2026届高三第四次模拟考试
数学试题（卷）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. ， D.
2. 已知复数满足，则的共轭复数为（ ）
A. B.
C. D.
3. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A.75 B.78 C.81 D.84
4. 投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行。如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的。若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中恰有1人投中的概率为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知命题，，若命题是假命题，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知曲线在处的切线过点，则实数（ ）
A. 　　　 B. 　　　　
C. 　　　 D.
7. 已知是边长为2正三角形，为线段上一点（包含端点），则的取值范围为（ ）
A. 　 B. 　
C. 　 D.
8. 已知，，若，则的取值范围是（ ）
A. 　 B. 　
C. 　 D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B. 在区间上单调递增
C. 直线为的图象的一条对称轴
D. 在区间上的值域为
10. 已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，，为抛物线上一个动点，，则（ ）
A. 的坐标为
B. 的最小值为2
C. 若，则过与抛物线相切的直线的方程为
D. 的最小值为3
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，函数有3个零点
B. 当时，若函数有3个零点，，，则
C. 若函数恰有2个零点，则
D. 若存在实数使得函数有3个零点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 设函数为奇函数，当时，，则。
13. 若，则等于。
14. 如图，在中，已知，其内切圆与边相切于点，且，延长到，使，连接，设以，为焦点且经过点的椭圆的离心率为，以，为焦点且经过点的双曲线的离心率为，则的取值范围是。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。
15.（13分）某学校开展了数学竞赛考试，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图，
（1）求图中的值和样本成绩的中位数；
（2）已知学校用分层抽样的方法，从，两组内抽取了7份试卷作为优秀试卷，并从对应的学生中随机选取3人进行采访，设接受采访的学生中成绩在内的有人，求的分布列和数学期望。
16.（15分）在中，角，，的对边分别为，，，且。
（1）求；
（2）若，，求的周长；
（3）若，外接圆的半径为，求数列的前项和。
17.（15分）如图1，已知梯形中，，是边的中点，，，。将沿折起，使点到达点的位置，且，如图2，，分别是，的中点。
（1）求证：平面
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
18. （17分）已知函数，。
（1）若函数在处的切线与直线垂直，求实数的值；
（2）设，当时，
（i）证明：函数存在唯一的极大值点；
（ii）证明：。
19. （17分）已知，，动点满足，动点的轨迹为曲线。
（1）求曲线的方程；
（2）直线上一点，连接与曲线交于点，连接与曲线交于点，
①求的值并证明直线过定点；
②令与轴交于点，用表示（其中表示三角形的面积）
2026届高三数学第四次模拟考试参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B D C B C D A B ACD ACD AB
1.B　2.D　3.C
4.B【详解】设甲、乙、丙投中分别记为事件，，，
由题意得，，
所以
。
5.C【详解】根据题意可知，命题的否定为“，”为真命题；
即不等式对恒成立，所以，解得；
可得的取值范围为。
6.D【详解】由，得，，
又，
曲线在处的切线方程为，
代入，得，解得。
7.A【详解】以中点为坐标原点，，正方向为，轴可建立如图所示平面直角坐标系，
则，，，设，
，，，
则当时，；
当时，；的取值范围为。
8.B【详解】解法1：由题意可知，
设，则函数在上单调递增，又，所以，。
设，则，令得。
当时，；当时，，
因此在单调递减，在单调递增，故，因此，
解法2：由题意可知，
设，则函数在单调递增，又，所以，。
设，则，令得。
当时，；当时，。
因此在单调递减，在单调递增，故。因此。
9.ACD【详解】由函数的部分图象知，，，
解得；因为，所以，A正确；
由五点法作图结合图象可知，解得，
所以；时，不是单调函数，
所以在区间不是单调函数，B不正确；
因为，所以直线为的图象的一条对称轴，C正确；
时，所以，
所以在区间上的值域为，D正确，
10.ACD【详解】对于A，由抛物线性质得的坐标为。故A正确，
对于B，当的斜率不存在时，可得的方程为，联立方程组，
解得，，得到，，则。
得到的最小值不可能为2，故B错误，
对于C，若，设切线方程为（不为0），
联立方程组\begin{cases}y - 2 = k(x - 1) \\ y^{2} = 4x\end{cases}，可得，
此时，解得，则，即，故C正确，
对于D，如图，作出符合题意的图形，作垂直于准线，
由抛物线定义可得，
当且仅当，，三点共线时取等，此时，可得，
则的最小值为3，故D正确.
11.AB
【详解】当时，f(x)=\begin{cases}e^{x}-1, x\leq0\\ -x^{2}+6x - 8, x > 0\end{cases}，
当时，令，解得：，当时，令，解得：，，
故函数有个零点，A正确；
当时，，令，则，
要想有三个零点，，，则，
画出与的图象如右：
不妨设，则，，故，
解得：，
则，B正确；
因为时，，或时，，
当时，不存在零点，
而有两个零点，此时函数恰有个零点，故C错误；
画出与的图象如右：
要想存在实数使得函数有个零点，
则要保证对称轴左侧部分存在，故，D错误.
12. 【详解】由已知为奇函数，
且当时，，则，
所以，
13. 【详解】由题意得．令，
所以．所以．
14. 【详解】如图以的中点为原点直角坐标系，
设、分别是、与圆的切点，由圆的切线性质得，
设，所以，，
在中，，
以、为焦点经过点的双曲线的离心率为，
以、为焦点经过点的椭圆的离心率为，则，
在中，设，所以，，，
由余弦定理可得，
所以，所以，得，
由对勾函数的单调性可得函数在上单调递增，
所以。
15.（1），中位数为75（2）分布列见解析，
【详解】（1）每组小矩形的面积之和为1，
，
成绩落在内的频率为，
成绩落在内的频率为，
中位数落在内，
设中位数为，则，解得，即中位数为75。
（2）由分层抽样可知，成绩在的人数为人，
成绩在的人数为2人，故的可能取值为0，1，2，
且，，
0 1 2
故。
16.（1） （2） （3）
【详解】（1）因为，
所以，即， 所以。
因为，所以。
（2）由，得， 解得（负根已舍去），
所以的周长为
（3）设外接圆的半径为，则，
所以，得， 所以。
17.（1）证明见详解 （2）
【详解】（1）连接，因为，分别是，的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）
因为图1中，，所以图2中，，又因为，
以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，
由题意，，，，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
所以，令，则，，
所以平面的法向量为，
因为，，，面，面，
所以面，所以平面的法向量为，
设平面与平面夹角为，
所以，，
所以平面与平面夹角余弦值为；
18.（1） （2）（i）证明具体见解析（ii）证明具体见解析
【详解】（1），，
在处的切线与直线垂直，，
故，即值为
（2）（i），，
令，由正切函数性质得在上单调递减，
结合零点存在性定理，必定存在作为零点，令 f'(x) \lt 0 ，．
令，，故在单调递增，在单调递减，
函数存在唯一的极大值点
（ii）由前问知当时，，且，
故，
证明即可，令，证即可，
即证，令，则
故在上单调递增，即 故原不等式得证
19．（1） （2）①；直线过定点为；
②当在轴下方时，，
当在轴上方时，
【详解】（1）设，则，
化简可得：
（2）设，，显然直线，的斜率存在且不为，
设直线的方程为：，则，
联立，化简得：，
解得：，
设直线的方程为：，则，
联立，化简得：，
解得：，，
所以，所以，
所以，即
设
联立，化简可得：，
，即
所以，
。
由，可得，
化简可得：，解得：或
当时，表示直线，不满足条件；
所以，即，
所以直线过定点为
② 由①可得，，直线的方程为，，
所以点到直线的距离，
点到直线的距离，
所以，
由于点在直线上：
所以，化简可得：，
由于，则的解为：，
所以，
当在轴下方时，则，
，
当在轴上方时，则，
综上，当在轴下方时，，
当在轴上方时，