河南省濮阳市第一高级中学2025-2026学年度高二上学期第二次月考数学试题（含答案）

濮阳市一高高二年级（2024级）上学期第二次质量检测
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 经过点且与直线垂直的直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
2. 在空间四边形中，、分别是、的中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
3. 椭圆的焦距为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知圆与圆恰有三条公切线，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知点，，直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A.
B.
C. 或
D. 或
7. 自点发出的光线经过轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，则满足条件的反射光线所在直线的斜率之积为（ ）
A. 　　 B. 　　
C. 　　 D.
8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，离心率为。过点且垂直于的直线与交于，两点，，则（ ）
A.7　　 B.6　　 C.5　　 D.4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 已知平面过点，其法向量，则下列点在平面内的是（ ）
A. 　　 B. 　　
C. 　　 D.
10. 已知椭圆的两个焦点分别为，，是上任意一点，则（ ）
A. 的离心率为　　
B. 的最小值为3
C. 的周长为12　　
D. 的最大值为16
11. 下列说法中错误的有（ ）
A. 若三条直线，，不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为，。
B. 若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为。
C. 若圆上恰有2个点到直线的距离等于1，则的取值范围是。
D. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则四边形面积最小值为。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 两平行直线与之间的距离为________.
13. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是_____.
14. 如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点，分别在正方形对角线和上移动，且．则线段的长的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知的顶点坐标是，，，为的中点.
（1）求中线的方程；（用一般式表示）
（2）求经过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.（用一般式表示）
16.（本小题满分15分）
如图所示，长方体的底面是正方形，，，分别为，，的中点，.
（1）证明：平面.
（2）求二面角的余弦值.
17.（本小题满分15分）
已知动点到定点的距离与它到定点的距离之比为。
（1）求动点的轨迹；
（2）若圆与轨迹相交于，两点，线段的长。
18.（本小题满分17分）
已知椭圆，，且的离心率为。
（1）求的标准方程；
（2）若，直线交椭圆于，两点，且的面积为，求的值。
19.（本小题满分17分）
若集合表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是中的一条直线，则称该圆为集合的包络圆。
（1）若圆是集合的包络圆。
（ⅰ）求，满足的关系式；
（ⅱ）若，求的取值范围；
（2）若集合，的包络圆为，是上任意一点，
判断轴上是否存在定点，，使得，若存在，求出点，的坐标；若不存在，
请说明理由。
濮阳市一高高二年级（2024级）上学期第二次质量检测
数学试题参考答案
一、单项选择题
1. 答案：D
解析：设与直线垂直的直线方程为，将点代入，可得，解得，可得所求直线方程为，故选：D.
2. 答案：C
解析：由题意易知是的中位线，即，
所以.故选：C
3. 答案：B
解析：由可得，则椭圆的长半轴长为，短半轴长为，
则其焦距为.故选：B.
4. 答案：A
解析：的标准形式为.
所以，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，
所以，解得.故选：A.
5. 答案：B
解析：依题意，得，.
因此在上得投影长为，，
所以点到直线的距离为. 故选：B.
6. 答案：C
解析：由可得：，由可得
所以直线：过定点，作出图象如图所示：
，，
若直线与线段相交，则或，
所以实数的取值范围是或，故选：C
7. 答案：D
解析：因为关于轴的对称点为，题中反射光线与圆相切，即为过点的圆的切线，切线斜率显然存在，设切线方程为，即，圆标准方程为，即圆心为，半径为，则，
化简得，所以。故选：D。
8. 答案：A
解析：如图，连接，，。因为，即，，
因，则为正三角形。
又，则直线为线段的垂直平分线，
故 ，，且，
故直线的方程为，代入椭圆的方程
，得。
设，，则，，
则，
解得，则，
.故选：A.
二、多项选择题
9. 答案：BC
解析：
对A：设，则，因为，所以点不在平面内，故A错误；
对B：设，则，因为，所以在平面内，，故B正确；
对C：设，则，因为，所以点在平面内，故C正确；
对D：设，则，因为，所以点不在平面内，故D错误. 故选：BC
10. 答案：ACD
解析：椭圆即为，故，，，
对于A，，故A正确；
对于B，的最小值为，故C错误
对于C，的周长为，故C正确；
对于D，，当且仅当时等号成立，
故D正确，故选：ACD.
11. 答案：AD
解析：对于A，当直线，平行时，解得；当直线，
平行时，解得；显然直线，交于点，当点在
直线时，，实数的取值集合为，，，故A错误；
对于B，当直线的斜率不存在时，不满足要求，当斜率存在时，设直线方程为
，沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，
得到，即，故，解得，则该直线的
斜率为，故B正确；
对于C，圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，
要使圆上恰有2个点到直线的距离等于1，则，解
得，故C正确；
对于D，圆的圆心为，半径，设四边形的面积为，
根据对称性可知，，因为，
所以当最小时，最小，也最小；
当垂直于直线时，最小，
即，此时，，故D错误.
故选：AD
三、填空题
12. 答案：
解析：由两直线与平行可知，解得，
直线，即，所以两直线之间的距离.
13. 答案：
解析：空间向量，，则向量在向量上的投影向量为：
，。故答案为：
14. 答案：
解析：因为四边形正方形，故，而平面平面，
平面平面，平面，故平面，
而平面，故。设，则，其中，
由题设可得：
；
，故，
当且仅当即时等号成立，故。故答案为：
四、解答题
15. 解析：
（1）因为，，所以中点，2分
故的方程是，即；5分
（2）由直线在坐标轴上截距相等，
若直线过原点，设直线方程为，代入，可得，
所以直线方程为，即；8分
若直线不过原点，设直线方程为，代入，可得，
所以直线方程为，即。12分
综上，经过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或。
13分（没有写成一般式，扣一分）
16. 解析：
（1）设，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，。
设平面的法向量为，
则即
令，则。
又，，
所以，所以，
又因为平面，所以平面。
（2）易知为平面的一个法向量，且。
，。
由图可知：二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为。
（注意：本题第一问8分，第二问7分；第一问方法较多，请根据做答情况合理判分）
17. 解析：
（1）设，由题意得：，
化简得：。
所以轨迹是以为圆心，为半径的圆。
（2）圆与圆的方程联立，得到方程组，
②-①，得，即为直线的方程.……………………………………10分
圆心到直线的距离， ………………………………12分
又圆的半径为，
∴由勾股定理，得，故.……………15分
18. 解析：
（1）由题意得：，，即.……………………………………………2分
则， …………………………………………………………………………4分
所以的标准方程为：.…………………………………………………5分
（2）由题意设，，
联立，
消去得， ………………………………………………………………7分
则， ，， ………9分
可得， ………………12分
设直线与轴的交点为，且，则，
故.………………………………………14分
解得.…………………………………………………………………………………17分
19. 解析：
（1）（ⅰ）因为圆：是集合的包络圆，
所以圆心到直线的距离为2，
所以 4分
（ⅱ）由及，可得圆与直线有公共点，
所以.
所以t的取值范围是[-5,5] 10分
）设，由题意可知：
点到直线的距离是与无关的定值，
所以为无关的定值.
所以，故，此时.
所以圆C：x2+(y+6)2=72 14分
设，则即.
假设轴上存在点、，使得，
即，
即恒成立.
所以M(0,2)，N(0,3)或M(0,-14)，N(0,-15) 17分