北师大版九年级数学下册2.5二次函数与一元二次方程 同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级数学下册2.5二次函数与一元二次方程 同步练习（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 105.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-02 00:00:00 | ||
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文档简介
北师大版九年级下 2.5 二次函数与一元二次方程 同步练习
一．选择题（共10小题）
1．抛物线y=x2-2x+3与x轴的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．函数y=x2-x+1的图象与x轴的交点的情况是（ ）
A．有两个交点 B．有一个交点 C．没有交点 D．无法判断
3．若二次函数y=a（x+1）2+k的图象与x轴交于A（-3，0），B两点，则点B的坐标是（ ）
A．（1，0） B．（2，0） C．（-1，0） D．（3，0）
4．二次函数与一元二次方程有着紧密的联系，一元二次方程问题有时可以转化为二次函数问题．请你根据这句话所提供的思想方法解决如下问题：若s,t（s＜t）是关于x的方程1+（x-m）（x-n）=0的两根，且m＜n,则m,n,s,t的大小关系是（ ）
A．s＜m＜n＜t B．m＜s＜n＜t C．m＜s＜t＜n D．s＜m＜t＜n
5．已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于两点（1，0），（3，0），则x为（ ）时，y＞0．
A．1＜x＜3 B．x＞3或x＜1 C．x≥3或x≤1 D．x＞3
6．若二次函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m为（ ）
A．m=0 B．m=-1 C．m=1 D．m=0或m=1
7．已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1，则a+c的值为（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线，与x轴交于点A，点A的坐标为（-2，0），则2a+c的值为（ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
9．抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（-4，0）两点，下列五个结论：
①一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1=2，x2=-4；
②若点C（-4，y1），D（π-1，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；
③对于任意实数t,总有at2+bt≤a-b；
④3b＞-2c；
⑤对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c=p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个．
其中正确的结论是（ ）
A．①③⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．①③④
10．如图，抛物线y=-x2+2x+2交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．
①一元二次方程-x2+2x+2-3=0有两个相等的实数根；
②若点M（-2，y1），N（1，y2），P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；
③将该抛物线先向左平移1个单位，再沿x轴翻折，得到的抛物线表达式是y=x2-3；
④在y轴上找一点D，使△ABD的面积为1，则D点坐标为（0，4）．
以上四个结论中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共5小题）
11．已知二次函数y=ax2-2ax-4a（α＞0）图象与y轴交于点A，点C在二次函数的图象上．且AC∥x轴以AC为斜边向上作等腰直角三角形ABC．当等腰直角三角形ABC的边与x轴有两个公共点时a的取值范围是 ______．
12．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式y＞0的解集是______．
13．如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=3交于A，B两点，则方程ax2+bx+c=3的解为 ______．
14．（1）已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点为A（x1，0）、B（x2，0）．若x1+x2=4，+=10，则抛物线对应的函数表达式为 ______．
（2）已知一元二次方程7x2-（k+13）x-k+2=0的两个实数根x1、x2满足0＜x1＜1，1＜x2＜2，则k的取值范围是 ______．
15．如图，抛物线y=-x2+x+6交x轴于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，点D是线段AC的中点，点P是线段AB上一个动点，△APD沿DP折叠得△A'PD，则线段A'B的最小值是 ______．
三．解答题（共5小题）
16．已知抛物线y=ax2+bx经过点（2，0），（-1，6）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求它与x轴的两个交点及顶点坐标．
17．已知二次函数y=（x+1）2-4．
（1）该二次函数的顶点坐标为 ______；
（2）该函数的图象与x轴的交点坐标为 ______；
（3）用五点法画函数图象：
x … …
y … …
（4）将该抛物线绕其顶点旋转180°后所得抛物线的表达式为 ______．
18．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于O、A两点，顶点坐标B（2，-2），直线l：y=mx+n与抛物线交于点A，B．
（1）分别求出抛物线的解析式和直线l的解析式；
（2）根据图象，直接写出ax2+bx+c＜mx+n的解集．
19．综合与探究：如图二次函数y1=-x2+bx+c与直线y2=mx+n交于A、C两点，已知：A（-3，0）、C（0，3），二次函数的图象与x轴的另一个交点为点B，点D在直线上方的抛物线上运动，过点D作y轴的平行线交于点E．
（1）求直线与抛物线的解析式；
（2）设四边形ADCB的面积为S，求S的最大值及此时点D的坐标．
20．如图，抛物线y=x2+bx+c分别与x轴交于点A和点B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，点C（0，-4），且OB=OC，点P（m,0）为线段OA上（不含端点）的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，连接AC，与PQ交于点M．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当点M分线段PQ的比为1：2时，求m的值．
北师大版九年级下2.5二次函数与一元二次方程同步练习
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、A 2、C 3、A 4、C 5、B 6、C 7、D 8、B 9、D 10、C
二．填空题（共5小题）
11、0＜a＜； 12、-1＜x＜5； 13、x1=-2，x2=3； 14、y=-x2+4x-3；-2＜k＜； 15、5-；
三．解答题（共5小题）
16、解：（1）∵抛物线y=ax2+bx经过点（2，0），（-1，6），
∴，
解得a=2，b=-4，
∴该抛物线的解析式：y=2x2-4x；
（2）令y=0，
∴2x2-4x=0，
解得x=0或x=2，
∴它与x轴的两个交点（0，0）和（2，0），
∵y=2x2-4x
=2（x-1）2-2，
∴顶点坐标（1，-2）；
∴它与x轴的两个交点（0，0）和（2，0），顶点坐标（1，-2）．
17、解：（1）∵y=（x+1）2-4，
∴二次函数的顶点坐标为（-1，-4），
故答案为：（-1，-4）；
（2）令y=0，则（x+1）2-4=0，
解得x1=-3，x2=1，
∴二次函数与x轴的交点坐标为（-3，0），（1，0），
故答案为：（-3，0），（1，0）；
（3）令x=0，则y=-3，
故抛物线和y轴的交点为（0，-3），
根据函数的对称性，当x=-2时，y=-3，
列表：
将表格数据描点连线画出如下函数图象：
（4）旋转后只是抛物线开口向下了，即a=-1，
故抛物线的表达式为y=-（x+1）2-4，
故答案为：y=-（x+1）2-4．
18、解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为B（2，-2），
∴y=a（x-2）2-2，
∵y=a（x-2）2-2过原点O（0，0），
∴0=a（0-2）2-2，
解得，
∴，即，
令y=0，则，
解得x=0或x=4，
∴A（4，0），
∵直线l：y=mx+n与抛物线交于点A（4，0），B（2，-2），
∴
解得，
∴直线l：y=x-4；
（2）不等式ax2+bx+c＜mx+n表示的是二次函数y=ax2+bx+c的图象位于一次函数y=mx+n的图象的下方，
∵直线l：y=mx+n与抛物线交于点A（4，0），B（2，-2），
∴由函数图象得：2＜x＜4，
即不等式ax2+bx+c＜mx+n的解集为2＜x＜4．
19、解：（1）将A，C两点坐标代入二次函数解析式得，
，
解得，
所以抛物线的解析式为．
将A，C两点坐标代入一次函数解析式得，
，
解得，
所以直线的解析式为y2=x+3．
（2）连接AD，CD和BC，
将y=0代入二次函数解析式得，
-x2-2x+3=0，
解得x1=-3，x2=1，
所以点B坐标为（1，0）．
所以AB=1-（-3）=4，
则．
令D点坐标为（a,-a2-2a+3），
因为DE∥y轴，
所以点E的横坐标为a,
将x=a代入y=x+3得，
y=a+3，
所以点E的坐标为（a,a+3），
则DE=-a2-2a+3-（a+3）=-a2-3a.
所以，
，
则S△ADC=S△ADE+S△CDE=．
所以S=，
则当a=时，
S有最大值为：=．
且-a2-2a+3==，
故点D的坐标为（）．
20、解：（1）∵C（0，-4），
∴OC=4，
∵OB=OC，
∴OB=1，
∴B（-1，0），
将B（-1，0），C（0，-4），代入y=x2+bx+c得：b=-3，c=-4，
∴抛物线的函数解析式为y=x2-3x-4；
（2）令y=0，则有x2-3x-4=0，
解得：x1=-1，x2=4，
∴B（-1，0），A（4，0），
∴直线AC的解析式为：y=x-4，
∵P（m,0），
∴M（m,m-4），Q（m,m2-3m-4），
∴PM=-（m-4），PQ=-（m2-3m-4），
当点M分线段PQ的比为1：2时，分两种情况：
①当PM：MQ=1：2时，则PM：PQ=1：3，即，
解得：m1=2，m2=4（与A点重合，舍去），
②当PM：MQ=2：1时，则PM：PQ=2：3，即，
解得：m1=，m2=4（与A点重合，舍去），
故当点M分线段PQ的比例为1：2时，m的值为2或．
一．选择题（共10小题）
1．抛物线y=x2-2x+3与x轴的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．函数y=x2-x+1的图象与x轴的交点的情况是（ ）
A．有两个交点 B．有一个交点 C．没有交点 D．无法判断
3．若二次函数y=a（x+1）2+k的图象与x轴交于A（-3，0），B两点，则点B的坐标是（ ）
A．（1，0） B．（2，0） C．（-1，0） D．（3，0）
4．二次函数与一元二次方程有着紧密的联系，一元二次方程问题有时可以转化为二次函数问题．请你根据这句话所提供的思想方法解决如下问题：若s,t（s＜t）是关于x的方程1+（x-m）（x-n）=0的两根，且m＜n,则m,n,s,t的大小关系是（ ）
A．s＜m＜n＜t B．m＜s＜n＜t C．m＜s＜t＜n D．s＜m＜t＜n
5．已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于两点（1，0），（3，0），则x为（ ）时，y＞0．
A．1＜x＜3 B．x＞3或x＜1 C．x≥3或x≤1 D．x＞3
6．若二次函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m为（ ）
A．m=0 B．m=-1 C．m=1 D．m=0或m=1
7．已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1，则a+c的值为（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线，与x轴交于点A，点A的坐标为（-2，0），则2a+c的值为（ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
9．抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（-4，0）两点，下列五个结论：
①一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1=2，x2=-4；
②若点C（-4，y1），D（π-1，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；
③对于任意实数t,总有at2+bt≤a-b；
④3b＞-2c；
⑤对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c=p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个．
其中正确的结论是（ ）
A．①③⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．①③④
10．如图，抛物线y=-x2+2x+2交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．
①一元二次方程-x2+2x+2-3=0有两个相等的实数根；
②若点M（-2，y1），N（1，y2），P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；
③将该抛物线先向左平移1个单位，再沿x轴翻折，得到的抛物线表达式是y=x2-3；
④在y轴上找一点D，使△ABD的面积为1，则D点坐标为（0，4）．
以上四个结论中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共5小题）
11．已知二次函数y=ax2-2ax-4a（α＞0）图象与y轴交于点A，点C在二次函数的图象上．且AC∥x轴以AC为斜边向上作等腰直角三角形ABC．当等腰直角三角形ABC的边与x轴有两个公共点时a的取值范围是 ______．
12．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式y＞0的解集是______．
13．如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=3交于A，B两点，则方程ax2+bx+c=3的解为 ______．
14．（1）已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点为A（x1，0）、B（x2，0）．若x1+x2=4，+=10，则抛物线对应的函数表达式为 ______．
（2）已知一元二次方程7x2-（k+13）x-k+2=0的两个实数根x1、x2满足0＜x1＜1，1＜x2＜2，则k的取值范围是 ______．
15．如图，抛物线y=-x2+x+6交x轴于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，点D是线段AC的中点，点P是线段AB上一个动点，△APD沿DP折叠得△A'PD，则线段A'B的最小值是 ______．
三．解答题（共5小题）
16．已知抛物线y=ax2+bx经过点（2，0），（-1，6）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求它与x轴的两个交点及顶点坐标．
17．已知二次函数y=（x+1）2-4．
（1）该二次函数的顶点坐标为 ______；
（2）该函数的图象与x轴的交点坐标为 ______；
（3）用五点法画函数图象：
x … …
y … …
（4）将该抛物线绕其顶点旋转180°后所得抛物线的表达式为 ______．
18．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于O、A两点，顶点坐标B（2，-2），直线l：y=mx+n与抛物线交于点A，B．
（1）分别求出抛物线的解析式和直线l的解析式；
（2）根据图象，直接写出ax2+bx+c＜mx+n的解集．
19．综合与探究：如图二次函数y1=-x2+bx+c与直线y2=mx+n交于A、C两点，已知：A（-3，0）、C（0，3），二次函数的图象与x轴的另一个交点为点B，点D在直线上方的抛物线上运动，过点D作y轴的平行线交于点E．
（1）求直线与抛物线的解析式；
（2）设四边形ADCB的面积为S，求S的最大值及此时点D的坐标．
20．如图，抛物线y=x2+bx+c分别与x轴交于点A和点B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，点C（0，-4），且OB=OC，点P（m,0）为线段OA上（不含端点）的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，连接AC，与PQ交于点M．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当点M分线段PQ的比为1：2时，求m的值．
北师大版九年级下2.5二次函数与一元二次方程同步练习
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、A 2、C 3、A 4、C 5、B 6、C 7、D 8、B 9、D 10、C
二．填空题（共5小题）
11、0＜a＜； 12、-1＜x＜5； 13、x1=-2，x2=3； 14、y=-x2+4x-3；-2＜k＜； 15、5-；
三．解答题（共5小题）
16、解：（1）∵抛物线y=ax2+bx经过点（2，0），（-1，6），
∴，
解得a=2，b=-4，
∴该抛物线的解析式：y=2x2-4x；
（2）令y=0，
∴2x2-4x=0，
解得x=0或x=2，
∴它与x轴的两个交点（0，0）和（2，0），
∵y=2x2-4x
=2（x-1）2-2，
∴顶点坐标（1，-2）；
∴它与x轴的两个交点（0，0）和（2，0），顶点坐标（1，-2）．
17、解：（1）∵y=（x+1）2-4，
∴二次函数的顶点坐标为（-1，-4），
故答案为：（-1，-4）；
（2）令y=0，则（x+1）2-4=0，
解得x1=-3，x2=1，
∴二次函数与x轴的交点坐标为（-3，0），（1，0），
故答案为：（-3，0），（1，0）；
（3）令x=0，则y=-3，
故抛物线和y轴的交点为（0，-3），
根据函数的对称性，当x=-2时，y=-3，
列表：
将表格数据描点连线画出如下函数图象：
（4）旋转后只是抛物线开口向下了，即a=-1，
故抛物线的表达式为y=-（x+1）2-4，
故答案为：y=-（x+1）2-4．
18、解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为B（2，-2），
∴y=a（x-2）2-2，
∵y=a（x-2）2-2过原点O（0，0），
∴0=a（0-2）2-2，
解得，
∴，即，
令y=0，则，
解得x=0或x=4，
∴A（4，0），
∵直线l：y=mx+n与抛物线交于点A（4，0），B（2，-2），
∴
解得，
∴直线l：y=x-4；
（2）不等式ax2+bx+c＜mx+n表示的是二次函数y=ax2+bx+c的图象位于一次函数y=mx+n的图象的下方，
∵直线l：y=mx+n与抛物线交于点A（4，0），B（2，-2），
∴由函数图象得：2＜x＜4，
即不等式ax2+bx+c＜mx+n的解集为2＜x＜4．
19、解：（1）将A，C两点坐标代入二次函数解析式得，
，
解得，
所以抛物线的解析式为．
将A，C两点坐标代入一次函数解析式得，
，
解得，
所以直线的解析式为y2=x+3．
（2）连接AD，CD和BC，
将y=0代入二次函数解析式得，
-x2-2x+3=0，
解得x1=-3，x2=1，
所以点B坐标为（1，0）．
所以AB=1-（-3）=4，
则．
令D点坐标为（a,-a2-2a+3），
因为DE∥y轴，
所以点E的横坐标为a,
将x=a代入y=x+3得，
y=a+3，
所以点E的坐标为（a,a+3），
则DE=-a2-2a+3-（a+3）=-a2-3a.
所以，
，
则S△ADC=S△ADE+S△CDE=．
所以S=，
则当a=时，
S有最大值为：=．
且-a2-2a+3==，
故点D的坐标为（）．
20、解：（1）∵C（0，-4），
∴OC=4，
∵OB=OC，
∴OB=1，
∴B（-1，0），
将B（-1，0），C（0，-4），代入y=x2+bx+c得：b=-3，c=-4，
∴抛物线的函数解析式为y=x2-3x-4；
（2）令y=0，则有x2-3x-4=0，
解得：x1=-1，x2=4，
∴B（-1，0），A（4，0），
∴直线AC的解析式为：y=x-4，
∵P（m,0），
∴M（m,m-4），Q（m,m2-3m-4），
∴PM=-（m-4），PQ=-（m2-3m-4），
当点M分线段PQ的比为1：2时，分两种情况：
①当PM：MQ=1：2时，则PM：PQ=1：3，即，
解得：m1=2，m2=4（与A点重合，舍去），
②当PM：MQ=2：1时，则PM：PQ=2：3，即，
解得：m1=，m2=4（与A点重合，舍去），
故当点M分线段PQ的比例为1：2时，m的值为2或．