2025-2026学年上海市西中学高一上学期数学期中试卷（2025.11）（含答案）

市西中学2025-2026学年第一学期高一年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．若全集，集合，则 ．
2．若，则 ．
3．著名的哥德巴赫猜想指出：＂任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和＂，用反证法研究该猜想，应假设的内容是 ．
4．如果，则的取值范围是 ．
5．已知实数，命题＂若，则或＂是 命题．（判断真假）
6．已知集合，且，则实数的取值范围是 ．
7．若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为 ．
8．若关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是 ．
9．已知且，则的最小值 ．
10．一般地，把称为区间的＂长度＂．已知关于的不等式有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数的取值范围为 ．
11．已知使得代数式有意义的实数的取值集合为，若对任意的，代数式的值恒为正数，则实数的取值范围是 ．
12．设是均含有2个元素的集合，且，记，则中元素个数的最小值是 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．已知，知表示成分数指数幕，其结果是（ ）.
A． B． C． D．
14．下列说法正确的是（ ）.
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
15．＂学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收＂（明 《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的＂进步率＂都是，那么一年后是；如果每天的＂退步率＂都是，那么一年后是.一年后＂进步者＂是＂退步者＂的倍.照此计算，大约经过（ ）天，＂进步者＂是＂退步者＂的2倍.
（参考数据：.
A．33 B．35 C．37 D．39
16．设为正整数，且．若对任意的，长为、的线段均能构成三角形的三边，则满足条件的共有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-18题每题14分，第19-20题每题16分，第21题18分）
17．已知．
（1）当，求的值；（2）当时，用表示．
18．命题：实数满足（其中），命题：实数满足．
（1）若，且命题均为真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
19．数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括＂新零售＂、＂新制造＂、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等．现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元．为每月生产人形机器人的个数．
（1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本（单位：万元）最低，最低为多少万元？
（2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润（单位：万元）不低于400万元？附：利润售价销量-成本．
20．若设为曼哈顿扩张距离，它由个绝对值之和组成，其中为正整数．
（1）若，求的取值范围；
（2）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（3）是否存在最小值？若存在，求出该最小值及此时的取值范围；若不存在，说明理由．
21．设为正整数且，集合，对于集合中的任意元素和，记.设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，都有，则称集合具有性质．
（1）当时，若，求的值；
（2）已知正整数，集合为的子集．求证：＂集合具有性质＂的充要条件是＂对中任意两个不同的元素都有，且＂；
（3）设为偶数，已知集合具有性质，集合中元素个数的最大值为，求的值及关于的表达式．
市西中学2025-2026学年第一学期高一年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．若全集，集合，则 ．
【答案】
2．若，则 ．
【答案】
3．著名的哥德巴赫猜想指出：＂任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和＂，用反证法研究该猜想，应假设的内容是 ．
【答案】存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.
4．如果，则的取值范围是 ．
【答案】
5．已知实数，命题＂若，则或＂是 命题．（判断真假）
【答案】真
6．已知集合，且，则实数的取值范围是 ．
【答案】
7．若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】
8．若关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
9．已知且，则的最小值 ．
【答案】2
10．一般地，把称为区间的＂长度＂．已知关于的不等式有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数的取值范围为 ．
【答案】
11．已知使得代数式有意义的实数的取值集合为，若对任意的，代数式的值恒为正数，则实数的取值范围是 ．
【答案】或．
给出的函数分子分母都是二次三项式，对应的图象都是开口向上的抛物线，
若分子分母对应的方程是同解方程，则，解得．
此时函数的值为．
若分子分母对应的方程不是同解方程，要保证对于定义域内的任意实数，函数值均为正，
则需要分子分母的判别式均小于0，即，解得．
∴的范围是．
当时，函数化为，函数定义域为，
分母恒大于0，分子的判别式小于0分子恒大于0，函数值恒正．
综上，对于定义域内的任意实数，函数值均为正，则实数的取值范围是或．
故答案为：或．
12．设是均含有2个元素的集合，且，记，则中元素个数的最小值是 ．
【答案】5
【解析】因为
所以元素个数为4，所以中元素个数至少4个，
①假设集合中含有5个元素，可设
，满足题意．
②假设集合中含有4个元素，可设，则，，这与矛盾；
综上所述，集合中元素个数最少为5．故答案为：5．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．已知，知表示成分数指数幕，其结果是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
14．下列说法正确的是（ ）.
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
15．＂学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收＂（明 《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的＂进步率＂都是，那么一年后是；如果每天的＂退步率＂都是，那么一年后是.一年后＂进步者＂是＂退步者＂的倍.照此计算，大约经过（ ）天，＂进步者＂是＂退步者＂的2倍.
（参考数据：.
A．33 B．35 C．37 D．39
【答案】B
【解析】假设经过天，＂进步者＂是＂退步者＂的2倍，
列方程得，解得，
即经过约35天，＂进步者＂是＂退步者＂的2倍．故选：．
16．设为正整数，且．若对任意的，长为、的线段均能构成三角形的三边，则满足条件的共有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-18题每题14分，第19-20题每题16分，第21题18分）
17．已知．
（1）当，求的值；
（2）当时，用表示．
【答案】（1） （2）．
18．命题：实数满足（其中），命题：实数满足．
（1）若，且命题均为真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1） （2）．
19．数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括＂新零售＂、＂新制造＂、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等．现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元．为每月生产人形机器人的个数．
（1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本（单位：万元）最低，最低为多少万元？
（2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润（单位：万元）不低于400万元？附：利润售价销量-成本．
【答案】（1）100台，最低为30万元； （2）不低于70台
20．若设为曼哈顿扩张距离，它由个绝对值之和组成，其中为正整数．
（1）若，求的取值范围；
（2）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（3）是否存在最小值？若存在，求出该最小值及此时的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1）； （2）； （3）最小值为16，此时
21．设为正整数且，集合，对于集合中的任意元素和，记.设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，都有，则称集合具有性质．
（1）当时，若，求的值；
（2）已知正整数，集合为的子集．求证：＂集合具有性质＂的充要条件是＂对中任意两个不同的元素都有，且＂；
（3）设为偶数，已知集合具有性质，集合中元素个数的最大值为，求的值及关于的表达式．
【答案】（1）1,1； （2）见解析； （3）
【解析】（1）因为，
由定义可知：，
（2）证明：①若集合具有性质，任取中不同元素，
令，
有
由的定义可知，对任意正整数，都有0，
所以有
②若对中任意两个不同的元素
都有，（
那么
综上，结论成立．