2025-2026学年上海嘉定一中高一上学期数学期中试卷（2025.11）（含答案）

嘉定一中2025-2026学年第一学期高一年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．集合，则 ．
2．当时，求的值 ．
3．已知等式恒成立，则 ．
4．已知，用的代数式表示 ．
5．若，且，则的取值范围是 ．
6．函数的定义域是 ．
7．所有满足的集合的个数为 ．
8．设，则方程的解集为 ．
9．某一处的声强级，是指该处的声强度（单位：）与基准值的比值的常用对数，其单位为贝尔（B）.实际生活中一般用1贝尔的十分之一，即分贝（dB）来作为声强级的单位.公式为：声强级.如果某工厂安静环境中一台机器（声源）单独运转时，发出的噪声声强级为80分贝，那么两台相同的机器一同运转时（声强度为原来的2倍），发出的噪声声强级为 分贝．（精确到0.1分贝）
10．已知为实数，用表示集合的元素个数，若集合，则所有可能的值是 ．
11．已知表示不大于的最大整数，如，则不等式的解集为 ．
12．若三个非零且互不相等的实数满足和，则称构成一组＂有序好数对＂；已知集合，则由中的三个元素组成的所有＂有序好数对＂的个数为 ．
二、选择题（本大题满分18分，题每题4分，题每题5分）
13．设，则＂＂是＂＂的（ ）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要
14．已知，且，则下列不等式恒成立的是（ ）.
A． B． C． D．
15．十七世纪，数学家费马提出猜想：＂对任意正整数，关于的方程没有正整数解＂，经历三百多年，1995年数学家安德鲁 怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，若用反证法证明，第一步是假设猜想不成立，即（ ）.
A．对任意正整数，关于的方程都有正整数解
B．对任意正整数，关于的方程至少存在一组正整数解
C．存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解
D．存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解
16．已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是中所有点构成的图形的面积，则（ ）.
A． B． C． D．
三、解答题：
17．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知集合．
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围．
18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知实数且.
（1）试比较和的大小.
（2）若，求的最小值.
19．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为.轮船的最大速度为15海里／小时.当船速为10海里／小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元.假定运行过程中轮船以速度匀速航行。
（1）求的值及每小时的总费用；
（2）求该轮船航行100海里的总费用（燃料费＋其余航行运作费用）的最小值.
20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
二次函数满足对任意的恒成立．
（1）求证：为定值；
（2）若，求二次函数的表达式；
（3）求的取值范围．
21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知有限集，如果中元素满足，就称为＂和积平衡集＂．
（1）判断集合是否为＂和积平衡集＂；
（2）若是两个不同的正数，且是＂和积平衡集＂，写出以为根的一个一元二次方程（系数可用表示），并证明至少有一个大于2；
（3）若，且，求所有符合条件的＂和积平衡集＂．
嘉定一中2025-2026学年第一学期高一年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．集合，则 ．
【答案】
2．当时，求的值 ．
【答案】0
3．已知等式恒成立，则 ．
【答案】5
4．已知，用的代数式表示 ．
【答案】
5．若，且，则的取值范围是 ．
【答案】
6．函数的定义域是 ．
【答案】且
7．所有满足的集合的个数为 ．
【答案】7
8．设，则方程的解集为 ．
【答案】
9．某一处的声强级，是指该处的声强度（单位：）与基准值的比值的常用对数，其单位为贝尔（B）.实际生活中一般用1贝尔的十分之一，即分贝（dB）来作为声强级的单位.公式为：声强级.如果某工厂安静环境中一台机器（声源）单独运转时，发出的噪声声强级为80分贝，那么两台相同的机器一同运转时（声强度为原来的2倍），发出的噪声声强级为 分贝．（精确到0.1分贝）
【答案】
10．已知为实数，用表示集合的元素个数，若集合，则所有可能的值是 ．
【答案】0或1或2或3
11．已知表示不大于的最大整数，如，则不等式的解集为 ．
【答案】
12．若三个非零且互不相等的实数满足和，则称构成一组＂有序好数对＂；已知集合，则由中的三个元素组成的所有＂有序好数对＂的个数为 ．
【答案】50
【解析】由三个非零且互不相等的实数满足且满足,
可得消去，并整理得，
所以（舍去），，于是有．
在集合中，三个元素组成的所有数对必为整数对，
所以必为2的倍数，且，故这样的数对共50组．
二、选择题（本大题满分18分，题每题4分，题每题5分）
13．设，则＂＂是＂＂的（ ）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要
【答案】B
14．已知，且，则下列不等式恒成立的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
15．十七世纪，数学家费马提出猜想：＂对任意正整数，关于的方程没有正整数解＂，经历三百多年，1995年数学家安德鲁 怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，若用反证法证明，第一步是假设猜想不成立，即（ ）.
A．对任意正整数，关于的方程都有正整数解
B．对任意正整数，关于的方程至少存在一组正整数解
C．存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解
D．存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解
【答案】D
16．已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是中所有点构成的图形的面积，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对任意给定，则，且，可知，
即，
再结合的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域，
如图阴影部分所示，其中，
可知任意两点间距离最大值，
阴影部分面积．
三、解答题：
17．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知集合．
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）等价于，解得，
则；
（2）因为，当时，，解得，满足题意；
当时，因为，所以，解得，
综上所述，实数的取值范围为．
18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知实数且.
（1）试比较和的大小.
（2）若，求的最小值.
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】（1）∵
又.
①当时，，即；
②当时，，即；
③当时，，即．
（2）因为正实数满足，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是；
19．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为.轮船的最大速度为15海里／小时.当船速为10海里／小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元.假定运行过程中轮船以速度匀速航行。
（1）求的值及每小时的总费用；
（2）求该轮船航行100海里的总费用（燃料费＋其余航行运作费用）的最小值.
【答案】（1） （2）2400.
【解析】（1）因为轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，设，
因为船速为10海里／小时，它的燃料费是每小时96元，所以，解得，
则每小时的总费用；
（2）该轮船航行100海里的总费用
，
当且仅当，即时，等号成立，所以总费用的最小值是2400.
20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
二次函数满足对任意的恒成立．
（1）求证：为定值；
（2）若，求二次函数的表达式；
（3）求的取值范围．
【答案】（1）证明见解析 （2） （3）
【解析】（1）对任意的恒成立，则，
所以，为定值．
（2）由（1）知，，
由，得，则，
不等式,
依题意，一元二次不等式恒成立，
则，解得，
此时恒成立，
所以．
（3）由（1）知，，
不等式，
依题意，一元二次不等式恒成立，
则，且方程有相等的实数根，因此，
不等式，
同理，且方程有相等的实数根，因此，
从而，
所以的取值范围是．
21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知有限集，如果中元素满足，就称为＂和积平衡集＂．
（1）判断集合是否为＂和积平衡集＂；
（2）若是两个不同的正数，且是＂和积平衡集＂，写出以为根的一个一元二次方程（系数可用表示），并证明至少有一个大于2；
（3）若，且，求所有符合条件的＂和积平衡集＂．
【答案】（1）是 （2）证明见解析 （3）
【解析】（1）∵，又，
满足∴集合是＂和积平衡集＂；
（2）以为根的一个一元二次方程可为，
∵是两个不同的正数，且是＂和积平衡集＂，∴，
又和为的两个不同的正根，
∴，又，则，
若都小于等于2，则，矛盾，所以至少有一个大于2；
（3）设中的，且，
由，得时明显不满足，
所以，故，
所以，
当时,，所以只能有，
由，得，此时的＂和积平衡集＂为，
当时，
又，即，
即，与矛盾，所以不满足条件，
所以符合条件的＂和积平衡集＂有且只有，此时的＂和积平衡集＂为.