九年级数学人教版上册第二十二章《二次函数》单元测试卷（含答案）

第二十二章《二次函数》单元测试卷
一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．下列函数中，一定是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（ ）
x 3.23 3.24 3.25 3.26
0.03 0.09
A． B．
C． D．
3．若点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
4．在同一平面直角坐标系中，函数和函数的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
5．若抛物线向右平移2个单位，所得的抛物线的顶点在第一象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．在一次足球比赛中，小明将在地面上的足球对着球门踢出，足球的飞行高度与飞行时间满足二次函数关系，其函数图象如图所示．若不考虑空气阻力，足球飞出时，足球的飞行高度是，足球从飞出到落地共用，则足球最大的飞行高度是（　　）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大
C．函数的最小值小于 D．当时，
8．如图所示，抛物线的顶点为，与x轴的交点A在点和之间，以下结论：①，②，③；④y有最大值是3，其中正确的有（　　）个．（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在中，，，正方形的边与在同一条直线上，，将沿平移，当点F与点C重合时，停止平移．设点B平移的距离为x，与正方形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（ ）

A． B． C． D．
10．如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线．有以下结论：
①；②；③若，是抛物线上的两点，当时，；④点，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点，使得，则的取值范围为；⑤若方程的两根为，，且，则
其中正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①③⑤ D．①②③⑤
二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．已知抛物线与x轴的一个交点为，则 ．
12．已知二次函数经过，，二次函数经过，，则 ．
13．如图，抛物线经过坐标原点O，顶点，矩形的顶点A，D在抛物线上，B，C在x轴的正半轴上，点A的纵坐标是，则矩形的周长为 ．
14．某企业有效做好常态化防控，有序推进复工复产，扩大内需，经市场调研发现：如果单独投资A种产品，则所获利润（万元）与投资金额x（万元）之间存在一次函数关系：；如果单独投资B种产品，则所获利润（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：，如果企业同时对A、B两种产品共投资20万元，能获得的最大利润 ．
15．如图，中，为中点，是边上的动点，从出发向运动，同时以相同的速度从出发向运动，运动到停止，当为 时，的面积最大．

三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分）
16．如图，抛物线分别经过点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)直接根据图象写出当时，自变量x的取值范围．
17．已知二次函数．
(1)画出这个二次函数的图象；
(2)根据表格图象可知，当时，y的取值范围是______．
18．如图，对称轴为的抛物线与轴相交于、两点，其中点的坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求直线的解析式；
(3)求出 ABC的面积．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．隋朝李春设计建造的赵州石拱桥，距今已有1400多年的历史，其石拱的横截面形状近似抛物线，测得它的跨度为37.4m，拱高（抛物线的最高点C到中点O的距离），为7.2m，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设二次函数的解析式为．
(1)结合计算器提供的信息，求抛物线的解析式．（a值精确到0.01）
(2)当雨季来临时，水位上涨，若水面宽度不大于21m时，要采取紧急措施保护桥梁的安全，当测量员测得点C到水面的距离只有2m时，是否需要采取紧急措施？请说明理由．
20．如图，ABCD是一块边长为8米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG＝2BE，设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．
（1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；
（2）若改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，此时BE的长为　 　米．
（3）当x为何值时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积？并求出最大面积．
21．如图，点A、B在的图象上．已知A、B的横坐标分别为、4，直线与y轴交于点C，连接．
(1)求直线的函数表达式；
(2)求 AOB的面积；
(3)若函数的图象上存在点P，使的面积等于 AOB的面积的一半，则这样的点P共有________个．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22．已知抛物线经过点和点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若该抛物线与y轴交于点C，求的面积；
(3)当自变量x满足时，此函数的最大值为p，最小值为q，求的最小值，并求出对应的m的值．
23．如图，抛物线（b，c为常数）与x轴交于，B两点，与y轴交于点，作直线．若点P在线段上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，分别交抛物线于点E，交x轴于点F．

(1)求该抛物线的表达式；
(2)若，求此时点P的坐标；
(3)连接，若是等腰直角三角形，求点P的坐标．
参考答案
一：选择题
1．
【详解】解：A：是一次函数，不符合题意；
B：是二次函数，符合题意；
C：含有分式，不是二次函数，不符合题意；
D：当时，不是二次函数，不符合题意．
故选：B．
2．
【详解】解：令，
当时，，
当时，，
当时，的图像与轴有一个交点，
方程有一个解的范围是．
故选：C．
3．
【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上，
则图象上的点离对称轴越远则的值越大，
∵，，，
∴，
∴，
故选：．
4．
【详解】解： A、由一次函数的图象可知，，则：，由二次函数的图象可知，，不符合题意；
B、由一次函数的图象可知，，则：，由二次函数的图象可知，，对称轴在轴右侧，当时，抛物线的对称轴为，在轴左侧，不符合题意；
C、由一次函数的图象可知，，则：，由二次函数的图象可知，，不符合题意；
D、由一次函数的图象可知，，则：，由二次函数的图象可知，，当时，抛物线的对称轴为，在轴左侧，符合题意；
故选D．
5．
【详解】解：抛物线向右平移2个单位，所得的抛物线为，
平移后的顶点坐标为，根据题意可得，
解得，
∴的取值范围是．
故选：B．
6．
【详解】解：设关于的函数解析式为，
依题可知：当时，，当时，，
∴，
解得，
∴，
∴顶点坐标的横坐标为：，纵坐标为，
∴该函数的顶点坐标为，
∴足球最大的飞行高度是，
故选：．
7．
【详解】解：由题意可得：方程的两根异号，
∴，
解得，
∴二次项系数，开口向上，故A不符合题意；
∵的对称轴为直线，
∴当时，y随x增大而增大，故B不符合题意；
∵当时，，
∴最小值为，故C不符合题意；
当时，，
∵，
∴此时，故D符合题意；
故选：D
8．
【详解】解：由图易知抛物线与x轴有两个交点，即有两个实数根，因此，故①错误；
由图可知抛物线的对称轴为，因此，所以，故②正确；
由抛物线与x轴的交点A在点和之间，可知抛物线与x轴的另一个交点在点和之间，因此当时，，故③正确；
由抛物线的顶点为，可知y的最大值是3，故④正确；
综上可知，正确的有②③④，共3个，
故选C．
9．
【详解】解：当时，向右平移，此时重合部分是一个等腰直角三角形，重合面积为，这是一个二次函数，图象开口向上，对称轴为轴；
当时，重合部分是一个四边形，面积等于的面积减去右侧小等腰直角三角形的面积，即：，这是一个二次函数，图象开口向下，对称轴为．
综上，选项A的图象符合题意，
故选：A．
10．
【详解】解：由图象可知：，，，
，故正确；
抛物线的对称轴为直线，
，
，
当时，，
，
，故错误；
，是抛物线上的两点，
由抛物线的对称性可知：，
当时，，
故正确；
由题意可知：，到对称轴的距离为，
当抛物线的顶点到轴的距离不小于时，
在轴下方的抛物线上存在点，使得，
即，
，
，
，
，
解得：，故④正确；
∵对称轴为，抛物线过点
∴抛物线与轴的另外一个交点坐标为，
若方程，
即方程的两根为，，
则、为抛物线与直线的两个交点的横坐标，
，
，故错误；
故选：C．
二：填空题
11．
【详解】解：抛物线与轴的一个交点为，
，
，
，
故答案为：．
12．
【详解】解：∵，且在的图象上，
∴，，
∴，
∵二次函数经过，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握其性质并能正确求出二次函数解析式是解决此题的关键．先由题意得出抛物线的解析式为，然后将点A的纵坐标代入解析式得到两点的坐标，进而即可得解．
【详解】解：设抛物线的解析式为，
∵抛物线经过坐标原点O，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∵点A的纵坐标是，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∴矩形的周长，
故答案为： ．
14．14万元
【详解】解：设投资A产品a万元，投资B产品万元，利润为W万元，
则
；
∴当时，能获得的最大利润；
故最大利润为14万元．
故答案为：14万元．
15．4
【详解】解：根据题意，设点运动的距离，则点运动的距离，
，
，
，
，
，
抛物线开口向下，当时，的面积最大，即当时，的面积最大，
故答案为：4．
三、解答题
16．（1）设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
所以抛物线的解析式为，
即；
（2）由图像可得当时，自变量x的取值范围为或．
17．（1）解：列表：
画出二次函数的图象如下：
（2）解：由图象可知：当时，函数在顶点处取得最大值3，在时取得最小值；
∴y的取值范围是．
故答案为：．
18．（1）解：∵抛物线的对称轴为，
∴，
∴，
∴，
又抛物线经过，
∴，
∴，
∴；
（2）解：当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴；
（3）解：对于，
当，则，
解得，，
∴，
∴．
四、解答题
19．（1）解：由已知可得，抛物线顶点，
∵，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，OC=7.2，
∴，
在中，令，
得：，
解得，，
∴，
∵，
故需要采取紧急措施．
20．（1）y＝（8﹣x）（8+2x）＝﹣2x2+8x+64，
故答案为：y＝﹣2x2+8x+64；
（2）根据题意可得：﹣2x2+8x+64＝64，
解得：x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去），
答：BE的长为4米；
故答案为：4；
（3）解析式变形为：y＝﹣2（x﹣2）2+72，
所以当x＝2时，y有最大值，
∴当x为2时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积，最大面积为72平方米．
21．（1）解：把代入，得：，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴；
（2）∵，
∴当时，，
∴，
∴，
∴ AOB的面积；
（3）如图，过的中点作的平行线，与抛物线的交点满足题意，再作该直线关于直线的对称直线，与抛物线的交点也满足题意；
即符合题意的点有4个；
故答案为：4．
五、解答题
22．（1）解：已知抛物线经过点和点,
,
解得：，
该抛物线的解析式为；
（2）解：时，
，
，
；
（3）解：当时，
时，此函数的最大值为，
时，此函数的最小值为，
，
时，的最小值为，
当时，
时，此函数的最大值为，
时，此函数的最小值为，
，
时，的最小值为，
综上所述：
，
时，有最小值为．
23．（1）解：∵抛物线过点，点，
∴，
解得．
∴该抛物线的表达为；
（2）解：由（1）得：抛物线的表达式为．
当时，，解得，，
∴，
设直线的表达式为，
代入和，得．
解得．
∴直线的表达式为，
设点，则，．
∴，．
∵，
∴，
整理，得，解得，（舍去）．
当时，．
∴点P的坐标为；
（3）解：∵，，
∴．
∴．
∵轴，
∴轴．
∴．
由（2）知直线的表达式为，
设点．
如答图1．当时，．
∴，即，解得，（舍去）．
∴此时；
如答图2，当时，过点C作于点H，则有，
∴，解得，（舍去）．
∴此时．
综上，点P的坐标为或．