沪科版九年级数学下册24.2.3圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 沪科版九年级数学下册24.2.3圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 343.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-10-04 22:45:46 | ||
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文档简介
沪科版九年级数学下册24.2.3
《圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系》
测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2016 兰州）如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A=50°，则∠BOC=（ ）
A．40°
B．45°
C．50°
D．60°
2．（2016 济宁）如图，在⊙O中，=，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．40°
B．30°
C．20°
D．15°
3．（2016 台湾）如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若=150°，∠A=65°，∠D=60°，则的度数为何？（ ）
A．25
B．40
C．50
D．55
4．（2016 舟山）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（ ）
A．120°
B．135°
C．150°
D．165°
5．（2016 泰山区模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为（ ）度．
A．30
B．45
C．50
D．60
6．（2016 宝山区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=26°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（ ）
A．26°
B．64°
C．52°
D．128°
7．（2015 巴中模拟）圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：4：6，则∠D的度数为（ ）
A．60
B．80
C．100
D．120
8．（2015 鄄城县三模）如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应54°，则∠BCD的度数为（ ）
A．27°
B．54°
C．63°
D．36°
9．（2015 茂名模拟）如图，已知OA，OB均为⊙O上一点，若∠AOB=80°，则∠ACB=（ ）
A．80°
B．70°
C．60°
D．40°
10．（2015 杭州模拟）已知AB是⊙O的直径，弧AC的度数是30°．如果⊙O的直径为4，那么AC2等于（ ）
A．
B．
C．
D．2
二．填空题（共4小题）
11．（2015 太仓市模拟）如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若AB=CD，∠APO=65°，则∠APC=______
度．
12．（2015秋 营口校级期中）一条弦把圆分成1：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是______．
13．（2015秋 连云港期中）如图，在⊙O中，=，若∠AOB=40°，则∠COD=______°．
14．（2016 烟台）如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为10cm，则圆柱上M，N两点间的距离是______cm．
三．解答题（共6小题）
15．（2016 厦门校级模拟）如图，∠AOB=90°，CD是的三等分点，连接AB分别交OC，OD于点E，F．
求证：AE=BF=CD．
16．（2015 东西湖区校级模拟）如图，M为⊙O上一点，弧MA=弧MB，MD⊥OA于D，ME⊥OB于E，求证：MD=ME．
17．（2015 武汉模拟）如图，AD=CB，求证：AB=CD．
18．（2015 杭州模拟）如图，⊙O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED．
（1）求证：AB=CD；
（2）若∠BED=60°，EO=2，求DE﹣AE的值．
19．（2015秋 官渡区期末）如图，在⊙O中，=，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．
20．（2015秋 道外区期末）如图，在⊙O中，D、E分别是半径OA、OB的中点，C是⊙O上一点，CD=CE．
（1）求证：=；
（2）若∠AOB=120°，CD=2，求半径OA的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2016 兰州）如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A=50°，则∠BOC=（ ）
A．40°
B．45°
C．50°
D．60°
【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠AOB，根据垂径定理求出AD=BD，根据等腰三角形性质得出∠BOC=∠AOB，代入求出即可．
【解答】解：∵∠A=50°，OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=50°，
∴∠AOB=180°﹣50°﹣50°=80°，
∵点C是的中点，
∴∠BOC=∠AOB=40°，
故选A．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，等腰三角形的性质的应用，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么其余两对也相等．
2．（2016 济宁）如图，在⊙O中，=，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．40°
B．30°
C．20°
D．15°
【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC=∠AOB=40°，再由圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：连接CO，如图：
∵在⊙O中，=，
∴∠AOC=∠AOB，
∵∠AOB=40°，
∴∠AOC=40°，
∴∠ADC=∠AOC=20°，
故选C．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理；熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
3．（2016 台湾）如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若=150°，∠A=65°，∠D=60°，则的度数为何？（ ）
A．25
B．40
C．50
D．55
【分析】连接OB，OC，由半径相等得到三角形OAB，三角形OBC，三角形OCD都为等腰三角形，根据∠A=65°，∠D=60°，求出∠1与∠2的度数，根据的度数确定出∠AOD度数，进而求出∠3的度数，即可确定出的度数．
【解答】解：连接OB、OC，
∵OA=OB=OC=OD，
∴△OAB、△OBC、△OCD，皆为等腰三角形，
∵∠A=65°，∠D=60°，
∴∠1=180°﹣2∠A=180°﹣2×65°=50°，∠2=180°﹣2∠D=180°﹣2×60°=60°，
∵=150°，
∴∠AOD=150°，
∴∠3=∠AOD﹣∠1﹣∠2=150°﹣50°﹣60°=40°，
则=40°．
故选B
【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，弄清圆心角、弧、弦的关系是解本题的关键．
4．（2016 舟山）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（ ）
A．120°
B．135°
C．150°
D．165°
【分析】直接利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出∠BOD=30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．
【解答】解：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，
由题意可得：EO=BO，AB∥DC，
可得∠EBO=30°，
故∠BOD=30°，
则∠BOC=150°，
故的度数是150°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及弧度与圆心角的关系，正确得出∠BOD的度数是解题关键．
5．（2016 泰山区模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为（ ）度．
A．30
B．45
C．50
D．60
【分析】根据已知条件“过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D、，∠ABC=30°”、及直角三角形OBE的两个锐角互余求得∠BOE=60°；然后根据同弧BD所对的圆周角∠DCB是所对的圆心角∠DOB的一半，求得∠DCB的度数．
【解答】解：∵OD⊥BC，∠ABC=30°，
∴在直角三角形OBE中，
∠BOE=60°（直角三角形的两个锐角互余）；
又∵∠DCB=∠DOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠DCB=30°；
故选A．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系．解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．
6．（2016 宝山区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=26°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（ ）
A．26°
B．64°
C．52°
D．128°
【分析】先利用互余计算出∠B=64°，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到∠CDB=∠B=64°，则根据三角形内角和定理可计算出∠BCD，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．
【解答】解：∵∠C=90°，∠A=26°，
∴∠B=64°，
∵CB=CD，
∴∠CDB=∠B=64°，
∴∠BCD=180°﹣64°﹣64°=52°，
∴的度数为52°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
7．（2015 巴中模拟）圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：4：6，则∠D的度数为（ ）
A．60
B．80
C．100
D．120
【分析】根据圆内接四边形的对角互补和四边形的内角和为360度进行分析求解．
【解答】解：∵内接四边形的对角互补，
∴∠A：∠B：∠C：∠D=3：4：6：5
设∠A的度数为3x，则∠B，∠C，∠D的度数分别为4x，6x，5x
∴3x+4x+6x+5x=360°
∴x=20°
∴∠D=100°
故选C．
【点评】本题考查圆内接四边形的对角互补和四边形的内角和为360°的理解及运用．
8．（2015 鄄城县三模）如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应54°，则∠BCD的度数为（ ）
A．27°
B．54°
C．63°
D．36°
【分析】先根据圆周角定理得到∠ACD=∠AOD=27°，然后利用互余求解．
【解答】解：∵一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，
∴点A、B、C、D都在以AB为直径的圆上，
∵点D对应54°，即∠AOD=54°，
∴∠ACD=AOD=27°，
∴∠BCD=90°﹣∠ACD=63°．
故选C．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了圆周角定理．
9．（2015 茂名模拟）如图，已知OA，OB均为⊙O上一点，若∠AOB=80°，则∠ACB=（ ）
A．80°
B．70°
C．60°
D．40°
【分析】由同弧所对的圆心角和圆周角的关系可得，∠AOB=2∠ACB，则结果即可得出．
【解答】解：由题意得，∠ACB=∠AOB=×80°=40°．
故选D．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，重点是圆周角定理的应用．
10．（2015 杭州模拟）已知AB是⊙O的直径，弧AC的度数是30°．如果⊙O的直径为4，那么AC2等于（ ）
A．
B．
C．
D．2
【分析】如图，连接OC．过点C作CD⊥OA于点D．根据圆心角、弧、弦间的关系知∠COD=30°．在直角△COD中，利用勾股定理、30度角所对的直角边是斜边的一半求得线段OD的长度，易求线段AD的长度．所以在直角△ACB中，利用射影定理来求AC2的值．
【解答】解：如图，连接OC．过点C作CD⊥OA于点D．
∵⊙O的直径为4，
∴AB=4，
∴OA=OC=2．
∵弧AC的度数是30°，
∴∠COD=30°，
∴CD=1，
∴OD==，
则AD=2﹣，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°．
∴AC2=AD AB=（2﹣）×4=8﹣4．
故选C．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦间的关系，勾股定理以及含30度角的直角三角形．注意，射影定理是在直角三角形中应用．
二．填空题（共4小题）
11．（2015 太仓市模拟）如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若AB=CD，∠APO=65°，则∠APC= 50
度．
【分析】连接OA、OD，证明△APC≌△DPB和△AOP≌△DOP，求出∠APD的度数，根据邻补角的性质得到答案．
【解答】解：连接OA、OD，
∵AB=CD，
∴=，
∴=，
∴AC=BD，
在△APC和△DPB中，
，
∴△APC≌△DPB，
∴PA=PD，
在△AOP和△DOP中，
，
∴△AOP≌△DOP，
∴∠APO=∠DPO=65°，
∴∠APD=130°，
∴∠APC=50°．
故答案为：50°．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系和全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、灵活运用相关的性质和判定定理是解题的关键．
12．（2015秋 营口校级期中）一条弦把圆分成1：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是 30°或150° ．
【分析】根据题意画出图形，得出两种情况，求出两段弧的度数，即可求出答案．
【解答】解：
连接OA、OB，
∵一条弦AB把圆分成1：5两部分，如图，
∴弧AC′B的度数是×360°=60°，弧ACB的度数是360°﹣60°=300°，
∴∠AOB=60°，
∴∠ACB=∠AOB=30°，
∴∠AC′B=180°﹣30°=150°，
故答案为：30°或150°．
【点评】本题考查了圆周角定理的应用，注意：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
13．（2015秋 连云港期中）如图，在⊙O中，=，若∠AOB=40°，则∠COD= 40 °．
【分析】先根据在⊙O中，=，可得出=，再由∠AOB=40°即可得出结论．
【解答】解：∵在⊙O中，=，
∴=，
∵∠AOB=40°，
∴∠COD=∠AOB=40°．
故答案为：40．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，即在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
14．（2016 烟台）如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为10cm，则圆柱上M，N两点间的距离是 5 cm．
【分析】根据题意得到MN=BC，当正方形纸片卷成一个圆柱时，EF卷成一个圆，线段卷成圆上一段弧，该段弧所对的圆心角为×360°，要求圆柱上M，N两点间的距离即求弦MN的长．
【解答】解：根据题意得：EF=AD=BC，MN=2EM=EF，
把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，则线段EF形成一直径为10cm的圆，线段EF为圆上的一段弧．
所对的圆心角为：×360°=120°，
所以圆柱上M，N两点间的距离为：2×5×sin60°=5cm．
故答案为：5．
【点评】此题实质考查了圆上弦的计算，需要先找出圆心角再根据弦长公式计算，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．
三．解答题（共6小题）
15．（2016 厦门校级模拟）如图，∠AOB=90°，CD是的三等分点，连接AB分别交OC，OD于点E，F．
求证：AE=BF=CD．
【分析】连接AC，BD，根据∠AOB=90°得出∠AOC的度数，由等腰三角形的性质求出∠OFE的度数．根据SAS定理得出△ACO≌△DCO，故可得出∠ACO=∠OCD，根据等角对等边可得出AC=AE，同理可得BF=BD，由此可得出结论．
【解答】证明：连接AC，BD，
∵在⊙O中，半径OA⊥OB，C、D为弧AB的三等分点，
∴∠AOC=∠AOB=×90°=30°．
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠AOC=∠BOD=30°，
∴∠OEF=∠OAB+∠AOC=45°+30°=75°，同理∠OFE=75°，
∵C，D是的三等分点，
∴AC=CD=BD，
在△ACO与△DCO中，
，
∴△ACO≌△DCO（SAS），
∴∠ACO=∠OCD．
∵∠OEF=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，∠OCD==75°，
∴∠OEF=∠OCD，
∴CD∥AB，
∴∠AEC=∠OCD，
∴∠ACO=∠AEC．
∴AC=AE，
同理，BF=BD．
又∵AC=CD=BD
∴AE=BF=CD．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．
16．（2015 东西湖区校级模拟）如图，M为⊙O上一点，弧MA=弧MB，MD⊥OA于D，ME⊥OB于E，求证：MD=ME．
【分析】连接MO，根据等弧对等弦，则∠MOD=∠MOE，再由角平分线的性质，得出MD=ME．
【解答】证明：连接MO（1分）
∵
∴∠MOD=∠MOE（4分）
又∵MD⊥OA于D，ME⊥OB于E
∴MD=ME（7分）
【点评】本题考查了等弧对等弦，以及角平分线的性质．
17．（2015 武汉模拟）如图，AD=CB，求证：AB=CD．
【分析】同弧所对的圆周角相等，可得出△ADE和△CBE中两组对应角相等，已知两组对应角的夹边相等，可证得△ADE≌△CBE，得AE=CE，DE=BE，从而证得AB=CD．
【解答】证明：∵同弧所对对圆周角相等，
∴∠A=∠C，∠D=∠B．
在△ADE和△CBE中，
，
∴△ADE≌△CBE（ASA）．
∴AE=CE，DE=BE，
∴AE+BE=CE+DE，即AB=CD．
【点评】本题主要考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识的应用能力．
18．（2015 杭州模拟）如图，⊙O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED．
（1）求证：AB=CD；
（2）若∠BED=60°，EO=2，求DE﹣AE的值．
【分析】（1）过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，由角平分线的性质，可得OM=ON，然后由弦心距相等可得弦相等，即AB=CD；
（2）由（1）知，OM=ON，AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，先由垂径定理可得DN=CN=AM=BM，然后由HL可证Rt△EON≌Rt△EOM，进而可得NE=ME，从而得到AE=CE，然后将DE﹣AE转化为：DE﹣AE=DE﹣CE=DN+NE﹣CE=CN+NE﹣CE=2NE，然后在Rt△EON中，由∠NEO=30°，OE=2，求出NE即可．
【解答】解：（1）过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，如图1，
∵OE平分∠BED，且OM⊥AB，ON⊥CD，
∴OM=ON，
∴AB=CD；
（2）如图2所示，
由（1）知，OM=ON，AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，
∴DN=CN=AM=BM，
在Rt△EON与Rt△EOM中，
∵，
∴Rt△EON≌Rt△EOM（HL），
∴NE=ME，
∴CD﹣DN﹣NE=AB﹣BM﹣ME，
即AE=CE，
∴DE﹣AE=DE﹣CE=DN+NE﹣CE=CN+NE﹣CE=2NE，
∵∠BED=60°，OE平分∠BED，
∴∠NEO=BED=30°，
∴ON=OE=1，
在Rt△EON中，由勾股定理得：
NE==，
∴DE﹣AE=2NE=2．
【点评】此题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，及勾股定理和角平分线的性质，解题的关键是：作弦心距，由弦心距相等得到弦相等．
19．（2015秋 官渡区期末）如图，在⊙O中，=，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．
【分析】根据弧相等，则对应的弦相等从而证明AB=AC，则△ABC易证是等边三角形，然后根据同圆中弦相等，则对应的圆心角相等即可证得．
【解答】证明：∵=，
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
∵∠ACB=60°
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=CA
∴∠AOB=∠BOC=∠COA．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及等边三角形的判定，正确理解圆心角、弧、弦的关系是关键．
20．（2015秋 道外区期末）如图，在⊙O中，D、E分别是半径OA、OB的中点，C是⊙O上一点，CD=CE．
（1）求证：=；
（2）若∠AOB=120°，CD=2，求半径OA的长．
【分析】（1）连接OC，由SSS证明△OCD≌△OCE，得出对应角相等∠COD=∠COE，由圆心角，弧，弦的关系即可得出结论；
（2）连接AC，证明△AOC是等边三角形，得出CD⊥OA，由三角函数求出OC，即可得出OA．
【解答】解：（1）证明：连接OC，如图1所示：
∵D、E分别是半径OA、OB的中点，OA=OB，
∴OD=OE，
在△OCD和△OCE中，
，
∴△OCD≌△OCE（SSS），
∴∠COD=∠COE，
∴=；
（2）连接AC，如图2所示：
∵∠AOB=120°，
∴∠COD=∠COE=60°，
∵OC=OA，
∴△AOC是等边三角形，
∵D是OA的中点，
∴CD⊥OA，
∴OC===4，
∴OA=4．
【点评】本题考查的是圆心角，弧，弦的关系、全等三角形的判定与性质、三角函数；证明三角形全等和等边三角形是解决问题的关键．
《圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系》
测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2016 兰州）如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A=50°，则∠BOC=（ ）
A．40°
B．45°
C．50°
D．60°
2．（2016 济宁）如图，在⊙O中，=，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．40°
B．30°
C．20°
D．15°
3．（2016 台湾）如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若=150°，∠A=65°，∠D=60°，则的度数为何？（ ）
A．25
B．40
C．50
D．55
4．（2016 舟山）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（ ）
A．120°
B．135°
C．150°
D．165°
5．（2016 泰山区模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为（ ）度．
A．30
B．45
C．50
D．60
6．（2016 宝山区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=26°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（ ）
A．26°
B．64°
C．52°
D．128°
7．（2015 巴中模拟）圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：4：6，则∠D的度数为（ ）
A．60
B．80
C．100
D．120
8．（2015 鄄城县三模）如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应54°，则∠BCD的度数为（ ）
A．27°
B．54°
C．63°
D．36°
9．（2015 茂名模拟）如图，已知OA，OB均为⊙O上一点，若∠AOB=80°，则∠ACB=（ ）
A．80°
B．70°
C．60°
D．40°
10．（2015 杭州模拟）已知AB是⊙O的直径，弧AC的度数是30°．如果⊙O的直径为4，那么AC2等于（ ）
A．
B．
C．
D．2
二．填空题（共4小题）
11．（2015 太仓市模拟）如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若AB=CD，∠APO=65°，则∠APC=______
度．
12．（2015秋 营口校级期中）一条弦把圆分成1：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是______．
13．（2015秋 连云港期中）如图，在⊙O中，=，若∠AOB=40°，则∠COD=______°．
14．（2016 烟台）如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为10cm，则圆柱上M，N两点间的距离是______cm．
三．解答题（共6小题）
15．（2016 厦门校级模拟）如图，∠AOB=90°，CD是的三等分点，连接AB分别交OC，OD于点E，F．
求证：AE=BF=CD．
16．（2015 东西湖区校级模拟）如图，M为⊙O上一点，弧MA=弧MB，MD⊥OA于D，ME⊥OB于E，求证：MD=ME．
17．（2015 武汉模拟）如图，AD=CB，求证：AB=CD．
18．（2015 杭州模拟）如图，⊙O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED．
（1）求证：AB=CD；
（2）若∠BED=60°，EO=2，求DE﹣AE的值．
19．（2015秋 官渡区期末）如图，在⊙O中，=，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．
20．（2015秋 道外区期末）如图，在⊙O中，D、E分别是半径OA、OB的中点，C是⊙O上一点，CD=CE．
（1）求证：=；
（2）若∠AOB=120°，CD=2，求半径OA的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2016 兰州）如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A=50°，则∠BOC=（ ）
A．40°
B．45°
C．50°
D．60°
【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠AOB，根据垂径定理求出AD=BD，根据等腰三角形性质得出∠BOC=∠AOB，代入求出即可．
【解答】解：∵∠A=50°，OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=50°，
∴∠AOB=180°﹣50°﹣50°=80°，
∵点C是的中点，
∴∠BOC=∠AOB=40°，
故选A．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，等腰三角形的性质的应用，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么其余两对也相等．
2．（2016 济宁）如图，在⊙O中，=，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．40°
B．30°
C．20°
D．15°
【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC=∠AOB=40°，再由圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：连接CO，如图：
∵在⊙O中，=，
∴∠AOC=∠AOB，
∵∠AOB=40°，
∴∠AOC=40°，
∴∠ADC=∠AOC=20°，
故选C．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理；熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
3．（2016 台湾）如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若=150°，∠A=65°，∠D=60°，则的度数为何？（ ）
A．25
B．40
C．50
D．55
【分析】连接OB，OC，由半径相等得到三角形OAB，三角形OBC，三角形OCD都为等腰三角形，根据∠A=65°，∠D=60°，求出∠1与∠2的度数，根据的度数确定出∠AOD度数，进而求出∠3的度数，即可确定出的度数．
【解答】解：连接OB、OC，
∵OA=OB=OC=OD，
∴△OAB、△OBC、△OCD，皆为等腰三角形，
∵∠A=65°，∠D=60°，
∴∠1=180°﹣2∠A=180°﹣2×65°=50°，∠2=180°﹣2∠D=180°﹣2×60°=60°，
∵=150°，
∴∠AOD=150°，
∴∠3=∠AOD﹣∠1﹣∠2=150°﹣50°﹣60°=40°，
则=40°．
故选B
【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，弄清圆心角、弧、弦的关系是解本题的关键．
4．（2016 舟山）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（ ）
A．120°
B．135°
C．150°
D．165°
【分析】直接利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出∠BOD=30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．
【解答】解：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，
由题意可得：EO=BO，AB∥DC，
可得∠EBO=30°，
故∠BOD=30°，
则∠BOC=150°，
故的度数是150°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及弧度与圆心角的关系，正确得出∠BOD的度数是解题关键．
5．（2016 泰山区模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为（ ）度．
A．30
B．45
C．50
D．60
【分析】根据已知条件“过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D、，∠ABC=30°”、及直角三角形OBE的两个锐角互余求得∠BOE=60°；然后根据同弧BD所对的圆周角∠DCB是所对的圆心角∠DOB的一半，求得∠DCB的度数．
【解答】解：∵OD⊥BC，∠ABC=30°，
∴在直角三角形OBE中，
∠BOE=60°（直角三角形的两个锐角互余）；
又∵∠DCB=∠DOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠DCB=30°；
故选A．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系．解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．
6．（2016 宝山区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=26°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（ ）
A．26°
B．64°
C．52°
D．128°
【分析】先利用互余计算出∠B=64°，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到∠CDB=∠B=64°，则根据三角形内角和定理可计算出∠BCD，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．
【解答】解：∵∠C=90°，∠A=26°，
∴∠B=64°，
∵CB=CD，
∴∠CDB=∠B=64°，
∴∠BCD=180°﹣64°﹣64°=52°，
∴的度数为52°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
7．（2015 巴中模拟）圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：4：6，则∠D的度数为（ ）
A．60
B．80
C．100
D．120
【分析】根据圆内接四边形的对角互补和四边形的内角和为360度进行分析求解．
【解答】解：∵内接四边形的对角互补，
∴∠A：∠B：∠C：∠D=3：4：6：5
设∠A的度数为3x，则∠B，∠C，∠D的度数分别为4x，6x，5x
∴3x+4x+6x+5x=360°
∴x=20°
∴∠D=100°
故选C．
【点评】本题考查圆内接四边形的对角互补和四边形的内角和为360°的理解及运用．
8．（2015 鄄城县三模）如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应54°，则∠BCD的度数为（ ）
A．27°
B．54°
C．63°
D．36°
【分析】先根据圆周角定理得到∠ACD=∠AOD=27°，然后利用互余求解．
【解答】解：∵一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，
∴点A、B、C、D都在以AB为直径的圆上，
∵点D对应54°，即∠AOD=54°，
∴∠ACD=AOD=27°，
∴∠BCD=90°﹣∠ACD=63°．
故选C．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了圆周角定理．
9．（2015 茂名模拟）如图，已知OA，OB均为⊙O上一点，若∠AOB=80°，则∠ACB=（ ）
A．80°
B．70°
C．60°
D．40°
【分析】由同弧所对的圆心角和圆周角的关系可得，∠AOB=2∠ACB，则结果即可得出．
【解答】解：由题意得，∠ACB=∠AOB=×80°=40°．
故选D．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，重点是圆周角定理的应用．
10．（2015 杭州模拟）已知AB是⊙O的直径，弧AC的度数是30°．如果⊙O的直径为4，那么AC2等于（ ）
A．
B．
C．
D．2
【分析】如图，连接OC．过点C作CD⊥OA于点D．根据圆心角、弧、弦间的关系知∠COD=30°．在直角△COD中，利用勾股定理、30度角所对的直角边是斜边的一半求得线段OD的长度，易求线段AD的长度．所以在直角△ACB中，利用射影定理来求AC2的值．
【解答】解：如图，连接OC．过点C作CD⊥OA于点D．
∵⊙O的直径为4，
∴AB=4，
∴OA=OC=2．
∵弧AC的度数是30°，
∴∠COD=30°，
∴CD=1，
∴OD==，
则AD=2﹣，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°．
∴AC2=AD AB=（2﹣）×4=8﹣4．
故选C．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦间的关系，勾股定理以及含30度角的直角三角形．注意，射影定理是在直角三角形中应用．
二．填空题（共4小题）
11．（2015 太仓市模拟）如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若AB=CD，∠APO=65°，则∠APC= 50
度．
【分析】连接OA、OD，证明△APC≌△DPB和△AOP≌△DOP，求出∠APD的度数，根据邻补角的性质得到答案．
【解答】解：连接OA、OD，
∵AB=CD，
∴=，
∴=，
∴AC=BD，
在△APC和△DPB中，
，
∴△APC≌△DPB，
∴PA=PD，
在△AOP和△DOP中，
，
∴△AOP≌△DOP，
∴∠APO=∠DPO=65°，
∴∠APD=130°，
∴∠APC=50°．
故答案为：50°．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系和全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、灵活运用相关的性质和判定定理是解题的关键．
12．（2015秋 营口校级期中）一条弦把圆分成1：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是 30°或150° ．
【分析】根据题意画出图形，得出两种情况，求出两段弧的度数，即可求出答案．
【解答】解：
连接OA、OB，
∵一条弦AB把圆分成1：5两部分，如图，
∴弧AC′B的度数是×360°=60°，弧ACB的度数是360°﹣60°=300°，
∴∠AOB=60°，
∴∠ACB=∠AOB=30°，
∴∠AC′B=180°﹣30°=150°，
故答案为：30°或150°．
【点评】本题考查了圆周角定理的应用，注意：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
13．（2015秋 连云港期中）如图，在⊙O中，=，若∠AOB=40°，则∠COD= 40 °．
【分析】先根据在⊙O中，=，可得出=，再由∠AOB=40°即可得出结论．
【解答】解：∵在⊙O中，=，
∴=，
∵∠AOB=40°，
∴∠COD=∠AOB=40°．
故答案为：40．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，即在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
14．（2016 烟台）如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为10cm，则圆柱上M，N两点间的距离是 5 cm．
【分析】根据题意得到MN=BC，当正方形纸片卷成一个圆柱时，EF卷成一个圆，线段卷成圆上一段弧，该段弧所对的圆心角为×360°，要求圆柱上M，N两点间的距离即求弦MN的长．
【解答】解：根据题意得：EF=AD=BC，MN=2EM=EF，
把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，则线段EF形成一直径为10cm的圆，线段EF为圆上的一段弧．
所对的圆心角为：×360°=120°，
所以圆柱上M，N两点间的距离为：2×5×sin60°=5cm．
故答案为：5．
【点评】此题实质考查了圆上弦的计算，需要先找出圆心角再根据弦长公式计算，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．
三．解答题（共6小题）
15．（2016 厦门校级模拟）如图，∠AOB=90°，CD是的三等分点，连接AB分别交OC，OD于点E，F．
求证：AE=BF=CD．
【分析】连接AC，BD，根据∠AOB=90°得出∠AOC的度数，由等腰三角形的性质求出∠OFE的度数．根据SAS定理得出△ACO≌△DCO，故可得出∠ACO=∠OCD，根据等角对等边可得出AC=AE，同理可得BF=BD，由此可得出结论．
【解答】证明：连接AC，BD，
∵在⊙O中，半径OA⊥OB，C、D为弧AB的三等分点，
∴∠AOC=∠AOB=×90°=30°．
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠AOC=∠BOD=30°，
∴∠OEF=∠OAB+∠AOC=45°+30°=75°，同理∠OFE=75°，
∵C，D是的三等分点，
∴AC=CD=BD，
在△ACO与△DCO中，
，
∴△ACO≌△DCO（SAS），
∴∠ACO=∠OCD．
∵∠OEF=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，∠OCD==75°，
∴∠OEF=∠OCD，
∴CD∥AB，
∴∠AEC=∠OCD，
∴∠ACO=∠AEC．
∴AC=AE，
同理，BF=BD．
又∵AC=CD=BD
∴AE=BF=CD．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．
16．（2015 东西湖区校级模拟）如图，M为⊙O上一点，弧MA=弧MB，MD⊥OA于D，ME⊥OB于E，求证：MD=ME．
【分析】连接MO，根据等弧对等弦，则∠MOD=∠MOE，再由角平分线的性质，得出MD=ME．
【解答】证明：连接MO（1分）
∵
∴∠MOD=∠MOE（4分）
又∵MD⊥OA于D，ME⊥OB于E
∴MD=ME（7分）
【点评】本题考查了等弧对等弦，以及角平分线的性质．
17．（2015 武汉模拟）如图，AD=CB，求证：AB=CD．
【分析】同弧所对的圆周角相等，可得出△ADE和△CBE中两组对应角相等，已知两组对应角的夹边相等，可证得△ADE≌△CBE，得AE=CE，DE=BE，从而证得AB=CD．
【解答】证明：∵同弧所对对圆周角相等，
∴∠A=∠C，∠D=∠B．
在△ADE和△CBE中，
，
∴△ADE≌△CBE（ASA）．
∴AE=CE，DE=BE，
∴AE+BE=CE+DE，即AB=CD．
【点评】本题主要考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识的应用能力．
18．（2015 杭州模拟）如图，⊙O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED．
（1）求证：AB=CD；
（2）若∠BED=60°，EO=2，求DE﹣AE的值．
【分析】（1）过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，由角平分线的性质，可得OM=ON，然后由弦心距相等可得弦相等，即AB=CD；
（2）由（1）知，OM=ON，AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，先由垂径定理可得DN=CN=AM=BM，然后由HL可证Rt△EON≌Rt△EOM，进而可得NE=ME，从而得到AE=CE，然后将DE﹣AE转化为：DE﹣AE=DE﹣CE=DN+NE﹣CE=CN+NE﹣CE=2NE，然后在Rt△EON中，由∠NEO=30°，OE=2，求出NE即可．
【解答】解：（1）过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，如图1，
∵OE平分∠BED，且OM⊥AB，ON⊥CD，
∴OM=ON，
∴AB=CD；
（2）如图2所示，
由（1）知，OM=ON，AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，
∴DN=CN=AM=BM，
在Rt△EON与Rt△EOM中，
∵，
∴Rt△EON≌Rt△EOM（HL），
∴NE=ME，
∴CD﹣DN﹣NE=AB﹣BM﹣ME，
即AE=CE，
∴DE﹣AE=DE﹣CE=DN+NE﹣CE=CN+NE﹣CE=2NE，
∵∠BED=60°，OE平分∠BED，
∴∠NEO=BED=30°，
∴ON=OE=1，
在Rt△EON中，由勾股定理得：
NE==，
∴DE﹣AE=2NE=2．
【点评】此题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，及勾股定理和角平分线的性质，解题的关键是：作弦心距，由弦心距相等得到弦相等．
19．（2015秋 官渡区期末）如图，在⊙O中，=，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．
【分析】根据弧相等，则对应的弦相等从而证明AB=AC，则△ABC易证是等边三角形，然后根据同圆中弦相等，则对应的圆心角相等即可证得．
【解答】证明：∵=，
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
∵∠ACB=60°
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=CA
∴∠AOB=∠BOC=∠COA．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及等边三角形的判定，正确理解圆心角、弧、弦的关系是关键．
20．（2015秋 道外区期末）如图，在⊙O中，D、E分别是半径OA、OB的中点，C是⊙O上一点，CD=CE．
（1）求证：=；
（2）若∠AOB=120°，CD=2，求半径OA的长．
【分析】（1）连接OC，由SSS证明△OCD≌△OCE，得出对应角相等∠COD=∠COE，由圆心角，弧，弦的关系即可得出结论；
（2）连接AC，证明△AOC是等边三角形，得出CD⊥OA，由三角函数求出OC，即可得出OA．
【解答】解：（1）证明：连接OC，如图1所示：
∵D、E分别是半径OA、OB的中点，OA=OB，
∴OD=OE，
在△OCD和△OCE中，
，
∴△OCD≌△OCE（SSS），
∴∠COD=∠COE，
∴=；
（2）连接AC，如图2所示：
∵∠AOB=120°，
∴∠COD=∠COE=60°，
∵OC=OA，
∴△AOC是等边三角形，
∵D是OA的中点，
∴CD⊥OA，
∴OC===4，
∴OA=4．
【点评】本题考查的是圆心角，弧，弦的关系、全等三角形的判定与性质、三角函数；证明三角形全等和等边三角形是解决问题的关键．