沪科版九年级数学下册24.6.1《正多边形与圆》测试卷（含答案解析）

沪科版九年级数学下册24.6.1《正多边形与圆》测试卷
　
一．选择题（共10小题）
1．（2016 曲靖）如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形的个数有（　　）
A．2个
B．4个
C．6个
D．8个
2．（2016 泸州）以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．（2016 南京）已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（　　）
A．1
B．
C．2
D．2
4．（2016 南平）若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（　　）
A．4
B．2
C．2
D．4
5．（2016 天津一模）如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（　　）
A．cm
B．cm
C．cm
D．1cm
6．（2016 山西校级模拟）若正三角形、正方形、正六边形的周长相等，它们的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系成立的是（　　）
A．S1=S2=S3
B．S1＞S2＞S3
C．S1＜S2＜S3
D．S2＞S3＞S1
7．（2016 东平县二模）已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（　　）
A．1：2：
B．2：3：4
C．1：：2
D．1：2：3
8．（2016 湘潭一模）已知正三角形外接圆半径为2，这个正三角形的边长是（　　）
A．2
B．
C．3
D．2
9．（2016 南开区一模）正六边形的边心距与边长之比为（　　）
A．1：2
B．：2
C．：1
D．：2
10．（2016 宜昌模拟）正三角形内切圆与外接圆半径之比为（　　）
A．
B．
C．
D．
　
二．填空题（共4小题）
11．（2016 威海）如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为______．
12．（2016 盐城）
如图，正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆，则B、E两点间的距离为______．
13．（2016 浦东新区二模）正八边形的中心角等于______度．
14．（2016 钦州）如图，∠MON=60°，作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1，边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上，边C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2，以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2，边C2D2所在的直线分别交OM、ON于点A3、F3，再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3，…，依此规律，经第n次作图后，点Bn到ON的距离是______．
　
三．解答题（共6小题）
15．（2016 兰州）如图，已知⊙O，用尺规作⊙O的内接正四边形ABCD．（写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）
16．（2016 山西模拟）作图与证明：
如图，已知⊙O和⊙O上的一点A，请完成下列任务：
（1）作⊙O的内接正六边形ABCDEF；
（2）连接BF，CE，判断四边形BCEF的形状并加以证明．
17．（2016 会昌县一模）（1）解不等式组
（2）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积．
18．（2016 江西模拟）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和是多少？
19．（2015 鞍山一模）如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG=CH，AG交BH于点P．（1）求证：△ABG≌△BCH；
（2）求∠APH的度数．
20．（2015秋 安徽月考）如图，O是半径为R的正六边形的中心．
（1）求O点到正六边形各边距离之和．
（2）若P点是正六边形内异于O点的任意一点，P点到正六边形各边距离之和与O点到正六边形各边距离之和有什么关系？请说明理由．
（3）类比上述探索过程，直接填写结论：
边心距为d的正三边形内任意一点P到各边距离之和等于______．（用含d的代数式表示）
边心距为d的正八边形内任意一点P到各边距离之和等于______．（用含d的代数式表示）
边心距为d的正n边形内任意一点P到各边距离之和等于______．（用含d、n的代数式表示）
　
参考答案与试题解析
　
一．选择题（共10小题）
1．（2016 曲靖）如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形的个数有（　　）
A．2个
B．4个
C．6个
D．8个
【分析】根据正六边形的性质，直接判断即可；
【解答】解：如图，
∵AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，
∴OA=OE=AF=EF，
∴四边形AOEF是平行四边形，
同理：四边形DEFO，四边形ABCO，四边形BCDO，四边形CDEO，四边形FABOD都是平行四边形，共6个，
故选C
【点评】此题是正多边形和圆，主要考查了正六边形的性质，平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定是解本题的关键．注意：数平行四边形个数时，按顺时针或逆时针数．
　
2．（2016 泸州）以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．
【解答】解：如图1，
∵OC=1，
∴OD=1×sin30°=；
如图2，
∵OB=1，
∴OE=1×sin45°=；
如图3，
∵OA=1，
∴OD=1×cos30°=，
则该三角形的三边分别为：、、，
∵（）2+（）2=（）2，
∴该三角形是以、为直角边，为斜边的直角三角形，
∴该三角形的面积是××=，
故选：D．
【点评】本题主要考查多边形与圆，解答此题要明确：多边形的半径、边心距、中心角等概念，根据解直角三角形的知识解答是解题的关键．
　
3．（2016 南京）已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（　　）
A．1
B．
C．2
D．2
【分析】根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图，连接OA、OB，OG；
∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=2，
∴OG=OA sin60°=2×=，
∴边长为2的正六边形的内切圆的半径为．
故选B．
【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的半径与内切圆的半径相混淆而造成错误计算，记住基本概念是解题的关键，属于中考常考题型．
　
4．（2016 南平）若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（　　）
A．4
B．2
C．2
D．4
【分析】根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，即可求解．
【解答】解：正六边形的中心角为360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，
故正六边形的半径等于4，则正六边形的边长是4．
故选：A．
【点评】此题主要考查了正多边形和圆，利用正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形得出是解题关键．
　
5．（2016 天津一模）如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（　　）
A．cm
B．cm
C．cm
D．1cm
【分析】连接AC，作BD⊥AC于D；根据正六边形的特点求出∠ABC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠BAD的度数，由特殊角的三角函数值求出AD的长，进而可求出AC的长．
【解答】解：连接AC，过B作BD⊥AC于D；
∵AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AD=CD；
∵此多边形为正六边形，
∴∠ABC==120°，
∴∠ABD==60°，
∴∠BAD=30°，AD=AB cos30°=2×=，
∴a=2cm．
故选A．
【点评】此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，根据等腰三角形及正六边形的性质求解．
　
6．（2016 山西校级模拟）若正三角形、正方形、正六边形的周长相等，它们的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系成立的是（　　）
A．S1=S2=S3
B．S1＞S2＞S3
C．S1＜S2＜S3
D．S2＞S3＞S1
【分析】根据三角形、正方形、正六边形的周长相等可设出三角形的边长，再求出S1，S2，S3，的值进行比较即可．
【解答】解：设正三角形的边长为a，则正方形的边长为，正六边形的边长为；
∵正三角形的边长为a，
∴其高为，
∴S1=a×=；
S2=（）2=；
∵正六边形的边长为，
∴把正六边形分成六个三角形，其高为，
∴S3=6×××=．
∵S1==，S3==，
＜＜，
∴S1＜S2＜S3．
故选C．
【点评】此题考查的是正三角形、正方形、正六边形面积的求法，属中等难度题目．
　
7．（2016 东平县二模）已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（　　）
A．1：2：
B．2：3：4
C．1：：2
D．1：2：3
【分析】过中心作边的垂线，连接半径，把内切圆半径，外接圆半径和高，中心角之间的计转化为解直角三角形．
【解答】解：图中内切圆半径是OD，外接圆的半径是OC，高是AD，
因而AD=OC+OD；
在直角△OCD中，∠DOC=60°，
则OD：OC=1：2，
因而OD：OC：AD=1：2：3，
所以内切圆半径，外接圆半径和高的比是1：2：3．故选D．
【点评】正多边形的计算，一般是过中心作边的垂线，连接半径，把内切圆半径，外接圆半径和高，中心角之间的计转化为解直角三角形．
　
8．（2016 湘潭一模）已知正三角形外接圆半径为2，这个正三角形的边长是（　　）
A．2
B．
C．3
D．2
【分析】易得正三角形的中心角为120°，那么中心角的一半为60°，利用60°的正弦值可得正三角形边长的一半，乘以2即为正三角形的边长．
【解答】解：如图OA=2，求AB长．
∠AOB=360°÷3=120°
连接OA，OB，作OC⊥AB于点C，
∵OA=OB，
∴AB=2AC，∠AOC=60°，
∴AC=OA×sin60°=cm，
∴AB=2AC=2cm，
故选A．
【点评】考查有关正多边形和圆的相关计算；利用垂径定理和相应的三角函数知识得到AC的值是解决本题
的关键．
　
9．（2016 南开区一模）正六边形的边心距与边长之比为（　　）
A．1：2
B．：2
C．：1
D．：2
【分析】首先根据题意画出图形，然后设六边形的边长是a，由勾股定理即可求得OC的长，继而求得答案．
【解答】解：如图：设正六边形的边长是a，则半径长也是a；
经过正六边形的中心O作边AB的垂线段OC，则AC=AB=a，
于是OC==a，
所以正六边形的边心距与边长之比为：a：a=：2．
故选：D．
【点评】此题考查了正多边形和圆的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
　
10．（2016 宜昌模拟）正三角形内切圆与外接圆半径之比为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】先作出图形，根据等边三角形的性质确定它的内切圆和外接圆的圆心；通过特殊角进行计算，用内切圆半径来表示外接圆半径，最后求出比值即可．
【解答】解：如图，△ABC是等边三角形，AD是高．点O是其外接圆的圆心，由等边三角形的三线合一得点O在AD上，并且点O还是它的内切圆的圆心．
∵AD⊥BC，∠1=∠4=30°，
∴BO=2OD，而OA=OB，
∴OD：OA=1：2．
故选A．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟知等边三角形的性质及三角形内切圆与外接圆的定义是解答此题的关键．
　
二．填空题（共4小题）
11．（2016 威海）如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为　2　．
【分析】连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，先求出圆的半径，在RT△OEM中利用30度角的性质即可解决问题．
【解答】解；连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=4，∠ABC=90°，
∴AC是直径，AC=4，
∴OE=OF=2，∵OM⊥EF，
∴EM=MF，
∵△EFG是等边三角形，
∴∠GEF=60°，
在RT△OME中，∵OE=2，∠OEM=∠GEF=30°，
∴OM=，EM=OM=，
∴EF=2．
故答案为2．
【点评】本题考查正多边形与圆、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
　
12．（2016 盐城）
如图，正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆，则B、E两点间的距离为　8　．
【分析】根据题意可以求得∠BAE的度数，由正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆，可以求得B、E两点间的距离．
【解答】解：连接BE、AE，如右图所示，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF=∠AFE=120°，FA=FE，
∴∠FAE=∠FEA=30°，
∴∠BAE=90°，
∴BE是正六边形ABCDEF的外接圆的直径，
∵正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆，
∴BE=8，
即则B、E两点间的距离为8，
故答案为：8．
【点评】本题考查正多边形和圆，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
　
13．（2016 浦东新区二模）正八边形的中心角等于　45　度．
【分析】根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．
【解答】解：正八边形的中心角等于360°÷8=45°；
故答案为45．
【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．
　
14．（2016 钦州）如图，∠MON=60°，作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1，边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上，边C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2，以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2，边C2D2所在的直线分别交OM、ON于点A3、F3，再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3，…，依此规律，经第n次作图后，点Bn到ON的距离是　3n﹣1 　．
【分析】首先求出B1，B2，B3，B4到ON的距离，条件规律后，利用规律解决问题．
【解答】解：点B1到ON的距离是，
点B2到ON的距离是3，
点B3到ON的距离是9，
点B4到ON的距离是27，
…
点Bn到ON的距离是3n﹣1 ．
【点评】本题考查正多边形与圆、等边三角形的性质、正六边形的性质等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律，学会利用规律解决问题，属于中考常考题型．
　
三．解答题（共6小题）
15．（2016 兰州）如图，已知⊙O，用尺规作⊙O的内接正四边形ABCD．（写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）
【分析】画圆的一条直径AC，作这条直径的中垂线交⊙O于点BD，连结ABCD就是圆内接正四边形ABCD．
【解答】解：如图所示，四边形ABCD即为所求：
【点评】本题考查的是复杂作图和正多边形和圆的知识，掌握中心角相等且都相等90°的四边形是正四边形以及线段垂直平分线的作法是解题的关键．
　
16．（2016 山西模拟）作图与证明：
如图，已知⊙O和⊙O上的一点A，请完成下列任务：
（1）作⊙O的内接正六边形ABCDEF；
（2）连接BF，CE，判断四边形BCEF的形状并加以证明．
【分析】（1）由正六边形ABCDEF的中心角为60°，可得△OAB是等边三角形，继而可得正六边形的边长等于半径，则可画出⊙O的内接正六边形ABCDEF；
（2）首先连接OE，由六边形ABCDEF是正六边形，易得EF=BC，=，则可得BF=CE，证得四边形BCEF是平行四边形，然后由∠EDC=∠DEF=120°，∠DEC=30°，求得∠CEF=90°，则可证得结论．
【解答】解：（1）如图1，首先作直径AD，然后分别以A，D为圆心，OA长为半径画弧，分别交⊙O于点B，F，C，E，连接AB，BC，CD，DE，EF，AF，
则正六边形ABCDEF即为⊙O所求；
（2）四边形BCEF是矩形．
理由：如图2，连接OE，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB=AF=DE=DC，FE=BC，
∴===，
∴=，
∴BF=CE，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∵∠EOD==60°，OE=OD，
∴△EOD是等边三角形，
∴∠OED=∠ODE=60°，
∴∠EDC=∠FED=2∠ODE=120°，
∵DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE=30°，
∴∠CEF=∠DEF﹣∠CED=90°，
∴四边形BCEF是矩形．
【点评】此题考查了正多边形与圆的知识以及平行四边形的性质与判定、矩形的判定等知识．注意根据正六边形的性质作图是关键．
　
17．（2016 会昌县一模）（1）解不等式组
（2）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积．
【分析】（1）分别求出两个不等式的解集，再取它们的公共部分即可；
（2）根据正方形的面积公式求得半径，然后根据圆的面积公式求解即可．
【解答】解：（1）
由x≤3x+2得：x≥﹣1，
由x﹣1＜2﹣2x得：x＜1，
故原不等式的解集为：﹣1≤x＜1；
（2）∵正方形的面积等于4，
∴正方形的边长AB=2，
则半径是2×=，
∴⊙O的面积=π（）2=2π．
故答案是：2π．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法、正多边形的计算、正方形的性质；根据正方形的面积求得半径是解决问题（2）的关键．
　
18．（2016 江西模拟）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和是多少？
【分析】过P作AB的垂线，交AB、DE分别为H、K，连接BD，由正六边形的性质可求出BD的长，而点P到AF与CD的距离之和，P到EF、BC的距离之和均为BD的长，据此得出结论．
【解答】解：过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD，作CG⊥BD于G
∵六边形ABCDEF是正六边形
∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，且P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和均为HK的长，
∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°，
∴∠CBD=∠BDC=30°，
∴BD∥HK，且BD=HK，
∵CG⊥BD，
∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=2×2×=6，
∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18．
【点评】本题主要考查的是正多边形及锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值，根据题意画出图形，利用数形结合思想求解是解答此题的关键．
　
19．（2015 鞍山一模）如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG=CH，AG交BH于点P．（1）求证：△ABG≌△BCH；
（2）求∠APH的度数．
【分析】（1）根据正六边形的性质得到AB=BC，∠ABC=∠C=120°，由三角形全等的判定定理SAS即可证出△ABG≌△BCH；
（2）由△ABG≌△BCH，得到∠BAG=∠HBC，然后根据三角形的内角和和对顶角的性质即可得到结果．
【解答】（1）证明：∵在正六边形ABCDEF中，
AB=BC，∠ABC=∠C=120°，
在△ABG与△BCH中，
∴△ABG≌△BCH；
（2）解：由（1）知：△ABG≌△BCH，
∴∠BAG=∠HBC，
∴∠BPG=∠ABG=120°，
∴∠APH=∠BPG=120°．
【点评】本题考查了正多边形的计算及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地利用正六边形中相等的元素．
　
20．（2015秋 安徽月考）如图，O是半径为R的正六边形的中心．
（1）求O点到正六边形各边距离之和．
（2）若P点是正六边形内异于O点的任意一点，P点到正六边形各边距离之和与O点到正六边形各边距离之和有什么关系？请说明理由．
（3）类比上述探索过程，直接填写结论：
边心距为d的正三边形内任意一点P到各边距离之和等于　3d　．（用含d的代数式表示）
边心距为d的正八边形内任意一点P到各边距离之和等于　8d　．（用含d的代数式表示）
边心距为d的正n边形内任意一点P到各边距离之和等于　nd　．（用含d、n的代数式表示）
【分析】（1）由正六边形的性质得出△AOB是等边三角形，得出AB=OA=R，AM=AB=R，由勾股定理求出OM，即可得出结果；
（2）过点P分别作正六边形的三对平行边的垂线段CD、EF、KL，由正六边形的三对平行边之间的距离相等得出CD=EF=KL，由CD=2OM，得出CD+EF+KL=6OM即可；
（3）同（2）即可得出结果．
【解答】解：（1）由正六边形的性质得：∠AOB=60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=R，AM=AB=R，
∴OM==R，
∴O点到正六边形各边距离之和为6OM=3R；
（2）P点到正六边形各边距离之和与O点到正六边形各边距离之和相等；理由如下：
过点P分别作正六边形的三对平行边的垂线段CD、EF、KL，如图所示：
∵正六边形的三对平行边之间的距离相等，
∴CD=EF=KL，
又∵CD=2OM，
∴CD+EF+KL=6OM=3R，
即P点到正六边形各边距离之和与O点到正六边形各边距离之和相等；
（3）同（2）得：边心距为d的正三边形内任意一点P到各边距离之和等于3d，
边心距为d的正八边形内任意一点P到各边距离之和等于8d，
边心距为d的正n边形内任意一点P到各边距离之和等于nd；
故答案为：3d，8d，nd．
【点评】本题考查了正多边形和圆、正多边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、类比思想的应用；熟练掌握正六边形的性质，由勾股定理求出OM是解决问题的关键；注意类比思想的应用．
　
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