3.1.1方程及方程的解 课件（共25张PPT）-沪科版（2024）数学七年级上册

(共25张PPT)
沪科版（新教材）数学七年级上册
第3章 一次方程与方程组
3.1.1方程及方程的解
今有雉兔同笼 上有三十五头
下有九十四足 问雉兔各几何
你有哪些方法解决这道经典有趣的数学题
一、教学基本信息
1. 授课年级：七年级上册
2. 课时安排：1课时（45分钟）
3. 授课内容：方程、一元一次方程的概念及方程的解与解方程的含义
4. 授课教师：[教师姓名]
二、教学目标
（一）知识与技能
1. 理解方程、一元一次方程的定义，能准确判断一个式子是否为方程、一元一次方程。
2. 明确方程的解与解方程的区别与联系，能检验一个数是否为指定方程的解。
3. 能根据简单的实际问题列出方程，初步感受方程作为刻画现实世界数量关系的数学模型的作用。
（二）过程与方法
1. 通过对比算术法与方程法解决实际问题，经历方程概念的形成过程，培养抽象概括能力。
2. 在检验方程解的过程中，提升推理验证能力，养成严谨的数学思维习惯。
（三）情感态度与价值观
1. 体会方程在解决实际问题中的优越性，激发学习方程的兴趣。
2. 在解决问题的过程中，增强数学应用意识，提升学习自信心与成就感。
三、教学重难点
1. 教学重点：方程、一元一次方程的概念；方程的解的含义及检验方法。
2. 教学难点：从实际问题中提炼等量关系并列出方程；区分方程的解与解方程的概念。
四、教学准备
多媒体课件、实际问题素材、练习题单
五、教学过程
（一）情境导入，引发思考（5分钟）
1. 呈现实际问题：小明去商店买笔，每支钢笔8元，他买了若干支后，付给收银员50元，找回18元，小明买了几支钢笔？
2. 引导学生用算术法解答：(50 - 18) ÷ 8 = 3.75？不对，笔的数量应为整数，此处故意设置小陷阱，引发学生质疑。
3. 调整问题数据：找回14元，算术法解答：(50 - 14) ÷ 8 = 4（支）。再提出问题：若设小明买了x支钢笔，你能列出一个含有x的式子表示这个等量关系吗？
4. 学生尝试列式，教师引导得出：8x + 14 = 50 或 50 - 8x = 14。引出课题：像这样含有未知数的等式，就是我们今天要学习的“方程”。
（二）探究新知，明确概念（12分钟）
1. 方程的概念
展示一组式子，让学生观察分类：
①3 + 2 = 5 ②2x - 1 ③3x + 4 = 10 ④x - 2 = 0 ⑤x + y = 7 ⑥π ≈ 3.14
引导学生思考：哪些式子是等式？哪些等式中含有未知数？
明确概念：含有未知数的等式叫做方程。强调方程的两个要素：一是等式，二是含有未知数。
概念辨析：判断下列式子是否为方程？为什么？
（1）5x + 3 （不是，不是等式） （2）7 - 3 = 4 （不是，不含未知数） （3）4x - 1 = 0 （是，是含未知数的等式）
2. 一元一次方程的概念
在上述方程中，进一步分类：③3x + 4 = 10、④x - 2 = 0、⑤x + y = 7，观察这些方程中未知数的个数和次数。
引导学生总结：③中未知数只有1个，且未知数的次数是1；④中未知数次数是2；⑤中未知数有2个。
明确概念：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1（次），等号两边都是整式的方程，叫做一元一次方程。强调“一元”“一次”“整式”三个关键特征。
概念辨析：判断下列方程是否为一元一次方程？为什么？
（1）2x + 3y = 5 （不是，含两个未知数） （2）x - 5x = 1 （不是，未知数次数是2） （3）(1/2)x - 6 = 0 （是，符合一元一次方程特征） （4）1/x + 2 = 3 （不是，不是整式方程）
3. 方程的解与解方程
回到导入问题的方程8x + 14 = 50，提出问题：x取什么值时，这个方程的左右两边相等？
学生尝试计算，教师引导：当x=4时，左边=8×4 + 14=46？不对；x=4.5时，左边=8×4.5 +14=50，右边=50，此时左右两边相等。
明确概念：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程。
强调区别与联系：方程的解是一个“值”，解方程是一个“过程”。
（三）例题讲解，巩固方法（15分钟）
1. 基础例题：判断与检验
例1：（1）下列方程中，属于一元一次方程的是（ ）
A. 3x + 2y = 7 B. x - 2x = 1 C. (x/3) - 1 = 0 D. 1/x + x = 3
（2）检验x=3和x=-2是否为方程2x + 3 = 9的解。
讲解要点：（1）紧扣一元一次方程的三个特征判断；（2）检验步骤：①将未知数的值代入方程左边和右边；②分别计算左右两边的值；③比较左右两边是否相等，相等则是解，否则不是。
解答过程：
列算式：列出的算式表示解题的计算过程，只能用已知数.对于较复杂的问题，列算式比较困难.
列方程：方程是根据题中的相等关系列出的等式. 既可用已知数，又可用未知数，解决问题比较方便.
从算式到方程是数学的进步！
问题1：在参加2022年北京冬奥会的中国代表队中，自由式滑雪运动员有21人，比花样滑冰运动员的3倍少3人. 参加本届冬奥会的花样滑冰运动员有多少人
设参加冬奥会的花样滑冰运动员有x人，根据题意，得3x-3=21.
问题2：王玲今年12岁，她的爸爸36岁. 再过几年，她爸爸年龄是她年龄的2倍
设再过x年，王玲爸爸的年龄是她年龄的2倍. 这时王玲的年龄是(12+x)岁，她爸爸的年龄是(36+x)岁.
根据题意，得 36+x=2(12+x).
问题3：已知长方形的面积为180m2，其中长比宽多3m，求长方形的宽是多少.
设宽为x m，则长为(x+3)m. 根据题意，得x(x+3)=180.
3x-3=21
36+x=2(12+x)
x(x+3)=180
观察这些式子有什么共同特点
共同点
1.含有未知数；
2.是等式.
方程
定义：含有未知数的等式叫作方程.
判断下列各式是不是方程？
①7-1=6；②3x+y=10；③x-1；④ ；
⑤x>3；⑥x=1；⑦a2-1=0；⑧b2≠-1.
√
√
√
√
1.含有未知数；
2.等式.
练一练
3x-3=21
当x取7时，代入原方程左边，得3x-3=18；
当x取8时，代入原方程左边，得3x-3=21；
当x取9时，代入原方程左边，得3x-3=24.
左边=右边
定义：使方程两边相等的未知数的值叫作方程的解.
求方程的解的过程叫作解方程.
类型 方程的解 解方程
区别 是一个具体的数，是解方程的结果 求方程的解的过程
联系 方程的解是通过解方程求得的 方程的解与解方程的区别及联系：
例1 根据题意，设未知数并列出方程.
（1）已知长方形的周长是16 cm，长比宽多2 cm，则这个长方形的长是多少
（2）把若干本书发给学生. 如果每人发4本，还剩下2本；如果每人发5本，还差5本. 共有多少名学生
解：（1）设这个长方形的长是x cm，则宽是(x-2)cm，根据题意，得2[x+(x-2)]=16.
（2）设共有y名学生，根据题意，得4y+2=5y-5.
【教材P93 例1】
列方程的一般步骤：
（1）审：审清题意，找出相等关系；
（2）设：根据题意，设出未知数；
（3）列：根据相等关系列出方程.
实际问题
方程
设未知数，用含有未知数的等式表示相等关系
随堂练习
1.根据题意，设未知数并列出方程.
（1）小华的年龄是21岁，小华的年龄比小强年龄的2倍小5岁，求小强的年龄；
解：设小强的年龄是x岁.根据题意，得21=2x-5.
（2）某班50名学生集体看电影，买电影票共花费1350元. 电影票有单价25元和单价30元两种. 这两种电影票各买了多少张
解：设单价25元的电影票买了y张，则单价30元的电影票买了(50-y)张. 根据题意，得 25y+30(50-y)=1350.
【教材P93 练习 第1题】
（3）足球比赛的计分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分. 一支球队打了14场比赛，负5场，得19分，那么这支球队胜了多少场
解：设这支球队胜了z场，则平了(9-z)场. 根据题意，得3z+(9-z)=19.
2.下列各数中，哪些是方程x(x+3)=180的解
﹣15，﹣12，12，15.
解：﹣15和12是方程x(x+3)=180的解.
【教材P94 练习 第2题】
3.近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活. 某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每名快递员派送10件，还剩6件；若每名快递员派送12件，还差6件. 快递员有多少名
解：设快递员有x名.
由题意，得每名快递员派送10件，还剩6件，则现有包裹(10x+6)件；
每名快递员派送12件，还差6件，则现有包 裹(12x-6)件，可得方程10x+6=12x-6.
知识点1 方程的概念
1.［2025·杭州月考］下列各式中，属于方程的是( )
C
A. B.
C. D.
2.下列式子：；； ；
； .其中是等式的是_________，
是方程的是________.(填序号)
知识点2 方程的解
3.［2025年1月合肥期末］下列方程中，解为 的是
( )
A
A. B. C. D.
4.下列各方程后面括号内的数不是前面方程的解的是( )
B
A. B.
C. D.
5.［2025年1月淮北期末］已知是方程 的解，
则 ____.
知识点3 根据实际问题列方程
6.“的5倍与2的和等于的 与4的差”，用等式表示为_______
__________.
7.(8分)根据题意，设未知数并列出方程：英语竞赛共20道题，
每道题有4个选项，只有1个正确选项，选对得5分，不选或
错选扣1分，已知小华得了76分，则小华选对了多少道题？
解：设小华选对了道题，则不选或错选 道题，由
题意，得 .
方程
含有未知数的等式叫作方程.
使方程两边相等的未知数的值叫作方程的解.
求方程的解的过程叫作解方程.
根据实际问题列方程.
谢谢观看！