第4章 几何图形初步 课件（共39张PPT）-沪科版（2024）数学七年级上册

(共39张PPT)
沪科版（新教材）数学七年级上册
第4章 几何图形初步
章末复习
知识体系
立体图形
几何图形
多面体、旋转体
基本事实
直线、射线
线段
线段的大小、比较、运算和画法
两点间的距离
角
角的大小、比较、运算和画法
余角和补角
平面图形
本章是初中几何的入门章节，标志着我们的数学学习从“数与代数”转向“形与几何”的重要过渡。通过对立体图形与平面图形的认识、线段与角的相关概念及计算的学习，我们初步建立了空间观念和几何直观能力。本章复习旨在梳理几何图形的知识脉络，夯实图形识别、度量计算等基础能力，培养用几何语言描述图形、用逻辑推理解决问题的思维习惯，为后续几何学习筑牢根基。
一、知识框架总览
几何图形初步的知识体系围绕“图形识别—要素分析—度量计算”展开，从立体到平面、从整体到局部，逻辑层次清晰，具体框架如下：
- 图形分类：立体图形（柱体、锥体、球体等）与平面图形（线段、射线、直线、角、多边形等）及其相互转化
- 基本要素：线段（中点、长短比较）、射线（端点、方向）、直线（无端点、向两方无限延伸）、角（顶点、边、平分线、互余互补）
- 核心计算：线段长度的计算、角度的计算（和差、余角补角、角平分线应用）
- 图形表示：几何图形的符号表示、几何语言的规范表达（文字语言、图形语言、符号语言互化）
二、核心知识点梳理
（一）几何图形的认识与分类
1. 立体图形与平面图形立体图形：各部分不都在同一平面内的图形，常见类型及特征如下：
类型常见图形核心特征柱体正方体、长方体、圆柱有两个互相平行且全等的底面，侧面为平面（棱柱）或曲面（圆柱）锥体圆锥、棱锥有一个底面，侧面为三角形（棱锥）或曲面（圆锥），顶点汇聚于一点球体球由单一曲面围成，任意截面为圆形
2. 平面图形：各部分都在同一平面内的图形，如线段、射线、直线、角、三角形、四边形、圆等。
3. 两者关系：立体图形的展开图是平面图形（如正方体展开图有11种基本形式）；平面图形可通过折叠、旋转等方式形成立体图形（如长方形绕一边旋转形成圆柱）。
4. 几何图形的表示方法立体图形：通常用名称直接表示（如正方体、圆锥），或用顶点字母表示（如三棱锥$S-ABC$）。
5. 平面图形：
线段：用两个端点字母表示（如线段$AB$或线段$BA$）；
6. 射线：用端点和射线上另一点表示（端点在前，如射线$OA$，不可写成射线$AO$）；
7. 直线：用直线上两点表示（如直线$AB$或直线$BA$），或用一个小写字母表示（如直线$l$）；
8. 角：用顶点字母表示（如$\angle A$，需顶点唯一）、用三个字母表示（顶点在中间，如$\angle AOB$），或用数字/希腊字母表示（如$\angle 1$、$\angle \alpha$）。
（二）直线、射线、线段的核心性质与计算
1. 基本性质对比
图形
端点个数
延伸性
长度
核心性质
直线
0个
向两方无限延伸
无法度量
两点确定一条直线（过两点有且只有一条直线）
射线
1个
向一方无限延伸
无法度量
无专门性质，由直线衍生而来
线段
2个
不延伸
可度量
两点之间，线段最短；两点之间线段的长度叫两点间距离
2. 线段的相关计算
- 线段的比较方法：① 度量法（用刻度尺量长度比较）；② 叠合法（将一条线段叠在另一条上，端点对齐比较）。
- 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点。若点$M$是线段$AB$的中点，则$AM = MB = \frac{1}{2}AB$，或$AB = 2AM = 2MB$。
- 计算类型与示例：
已知线段长度求中点相关线段：如线段$AB = 10cm$，点$M$是中点，点$N$是$AM$的中点，求$MN$的长度。解：$AM = \frac{1}{2}AB = 5cm$，$MN = \frac{1}{2}AM = 2.5cm$。
- 已知线段比例求长度：如线段$AB$上有一点$C$，且$AC:CB = 2:3$，$AB = 20cm$，求$AC$和$CB$的长度。解：设$AC = 2x$，$CB = 3x$，则$2x + 3x = 20$，解得$x = 4$，故$AC = 8cm$，$CB = 12cm$。
- 多端点线段计算（分类讨论）：如线段$AB = 12cm$，点$C$在直线$AB$上，且$BC = 4cm$，求$AC$的长度。解：分两种情况——① 点$C$在线段$AB$上，$AC = AB - BC = 8cm$；② 点$C$在线段$AB$的延长线上，$AC = AB + BC = 16cm$，故$AC = 8cm$或$16cm$。
（三）角的核心概念与计算
1. 角的基本概念
- 定义：由两条有公共端点的射线组成的图形（静态定义）；或一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形（动态定义）。公共端点叫角的顶点，两条射线叫角的边。
- 角的度量：度量单位为度（°）、分（′）、秒（″），进制为$1° = 60′$，$1′ = 60″$（六十进制，与时间单位进制相同）。
- 角的分类（按大小）：
角的类型度数范围特殊说明锐角$0° < \alpha < 90°$小于直角的角直角$\alpha = 90°$常用符号“Rt∠”表示钝角$90° < \alpha < 180°$大于直角且小于平角的角平角$\alpha = 180°$两边成一条直线，但不是一条射线周角$\alpha = 360°$两边重合，但不是一条射线
2. 角的相关性质与计算
- 角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。若$OC$是$\angle AOB$的平分线，则$\angle AOC = \angle COB = \frac{1}{2}\angle AOB$，或$\angle AOB = 2\angle AOC = 2\angle COB$。
- 余角与补角：
余角：若两个角的和为$90°$，则这两个角互为余角（如$\angle 1 + \angle 2 = 90°$，则$\angle 1$是$\angle 2$的余角，反之亦然）；
- 补角：若两个角的和为$180°$，则这两个角互为补角（如$\angle 3 + \angle 4 = 180°$，则$\angle 3$是$\angle 4$的补角，反之亦然）；
- 性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。
- 计算类型与示例：
角度单位换算：如将$32.5°$化为度分形式，$0.5°×60 = 30′$，故$32.5° = 32°30′$；将$15°24′36″$化为度，$36″ = 0.6′$，$24.6′ = 0.41°$，故$15°24′36″ = 15.41°$。
- 角平分线应用：如$\angle AOB = 120°$，$OC$平分$\angle AOB$，$OD$平分$\angle AOC$，求$\angle BOD$的度数。解：$\angle AOC = 60°$，$\angle AOD = 30°$，故$\angle BOD = \angle AOB - \angle AOD = 90°$。
- 余角补角计算：如一个角的补角比它的余角的3倍大$10°$，求这个角的度数。解：设这个角为$x°$，则$180 - x = 3(90 - x) + 10$，解得$x = 50$，故这个角为$50°$。
（四）几何图形的折叠与展开
- 立体图形的展开图：
正方体展开图：共11种，分为“1-4-1”型（中间4个正方形，上下各1个，共6种）、“1-3-2”型（中间3个正方形，上1下2，共3种）、“2-2-2”型（上下各2个正方形，共1种）、“3-3”型（上下各3个正方形，共1种），需注意“凹”“田”字形图案不是正方体展开图。
- 圆柱展开图：由两个全等的圆形（底面）和一个长方形（侧面）组成，长方形的长等于底面圆的周长，宽等于圆柱的高。
- 圆锥展开图：由一个圆形（底面）和一个扇形（侧面）组成，扇形的弧长等于底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。
- 折叠问题核心：折叠前后图形的形状、大小不变，对应线段相等，对应角相等（如将一张长方形纸片折叠，折痕为对称轴，重合部分的线段和角都相等）。
三、易错点警示与规避
1. 图形表示错误：混淆射线的表示方法（端点未写在前，如将射线$OA$写成$AO$）；角的表示时顶点不唯一却用单个字母表示（如同一顶点有多个角时写$\angle A$）。
2. 概念理解偏差：认为“平角是一条直线”“周角是一条射线”（忽略角的“两条边”本质）；混淆“两点之间线段最短”与“两点确定一条直线”的应用场景。
3. 计算失误：角度换算时误用十进制（如将$1.5°$算成$1°5′$）；线段计算时忽略“点在线段延长线上”的分类情况（如只考虑点在线段上，漏算延长线情况）。
4. 折叠问题漏解：折叠时未考虑不同的折叠方向（如长方形折叠使两个顶点重合，可能有多种折痕）；未利用“折叠前后对应量相等”的性质建立等量关系。
5. 几何语言不规范：描述图形时缺乏逻辑（如“延长线段$AB$到$C$，使$AB = BC$”表述不清晰，应写“延长线段$AB$到点$C$，使$BC = AB$”）；推理过程中未注明依据（如未说明“因$OC$是角平分线，故$\angle AOC = \angle BOC$”）。
四、巩固练习
本章主要研究有关线段和角的概念、性质、画法与计算.
1. 线段可以看作直线上两点间的部分；射线可以看作直线上一点和它一旁的部分.
思考：（1）说说线段、射线、直线之间的区别与联系；
回顾与思考
直线 射线 线段
区别 图形
表示方法 直线AB或直线BA或直线l 射线OA 线段AB或线段BA或线段a
端点个数 0 1 2
延伸情况 向两方无限延伸 向一方无限延伸 不能延伸
度量情况 不能度量 不能度量 能度量
联系 射线和线段都是直线的一部分；线段向一方无限延长就成为射线，向两方无限延长就成为直线；射线向反方向无限延长就成为直线 思考：（2）与线段和直线有关的基本事实有哪些？
线段的基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短；
直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线.
思考：（3）线段的中点：如图，点C是
线段AB的中点，则AC=_______=_______AB
A
C
B
BC
2. 什么是角的始边和终边？这是从什么角度来认识角这个图形的？
如图，角可以看成是射线OA绕着端点O旋转到OB的位置后形成的图形，射线OA，OB分别叫作这个角的始边和终边.
O
A
B
α
角的度量单位之间的关系：
1°=60′ 1′=60″
思考：（1）角平分线：如图，若OC平
分∠AOB，则∠AOC=________=_____∠AOB；
∠BOC
O
A
C
B
思考：
（2）余角的性质：_________________________；
补角的性质：_________________________.
它们是如何得到的？
同角（或等角）的补角相等
同角（或等角）的余角相等
3. 用尺规作一条线段等于已知线段与作一个角等于已知角都是几何中的基本作图，它们各有哪些主要步骤？用尺规作角与我们以前的画角有什么不同？
作线段的主要步骤:
任取一点为圆心，以已知线段的长度为半径画弧.
作角的主要步骤:
（1）作一条射线，
（2）以任意长为半径，以已知角的顶点和射线
的端点为圆心画弧；
（3）以已知角两边与弧的交点的距离为半径，
以射线与弧的交点为圆心再画弧；
（4）最后连接射线的端点和两条弧的交点.
1. 围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平面的是（ ）
A
巩固提升
A. 长方体
B. 圆柱
C. 球
D. 圆锥
2. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 画出A、B两点间的距离
B. 连接两点之间的直线的长度叫做这两点
之间的距离
C. 线段的大小关系与它们的长度的大小关
系是一致的
D. 若AC＝BC，则点C必定是线段AB的中点
C
3. 如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，
那么这个角的度数是（ ）
50° B. 70°
C. 130° D. 160°
C
4. 如图，已知平面上有A、B、C三点.
（1）请画出图形：
①画直线AC；②画射线BA；③画线段BC.
（2）在（1）的条件下，图中共有_______条射线.
（3）比较大小：AB+AC________BC（填“>”
“<”或“=”），依据是__________________.
6
＞
两点之间线段最短
A
B
C
5. 如图所示，以O点为端点的5条射线OA，OB，OC，OD，OE一共组成_____个角.
【分析】每条射线都能与其它4条射线组成4个角，共能组成4×5=20个角，其中有 是重复的，所以这5条射线能组成10个角.
10
6. 已知线段AB=6，在直线AB上取一点C，恰好使AC= 2BC，D为CB的中点，求线段AD的长.
解: ①当点C在线段AB上时，如图.
因为AC=2BC，设BC=x，则AC= 2x.
因为AB=AC+BC，所以6=2x+x，解得x=2.
所以BC=2，AC= 4.
因为D是CB的中点，所以CD= BC=1，
所以AD=AC+CD=4+1 =5.
②当点C在线段AB的延长线上时，如图.
因为AC=2BC，
AB=AC-BC=6.所以BC=6.
因为D是CB的中点，所以BD= BC=3.
所以AD=AB+BD=6+3=9.
③当点C在线段BA 的延长线上时，不存在AC=2BC，所以此种情况不存在.
综上所述，线段AD的长为5或9.
7. 如图， OM为∠AOB的平分线，ON为∠AOM内的一条射线.
（1）若∠BON = 55°，∠AON = 15°，求∠MON的度数.
（2）小明得出一个关系式：∠MON= （∠BON-∠AON），你认为这个关系式正确吗？请说明理由.
解:（1）因为∠BON=55°，∠AON=15°，
所以∠AOB=∠AON+∠BON=70°.
因为OM平分∠AOB，
所以∠AOM= ∠AOB=35°.
所以∠MON=∠AOM-∠AON
=35°-15°=20°.
（2）正确. 理由如下:
∠MON=∠AOM-∠AON= ∠AOB-∠AON
= (∠AON+∠BON)-∠AON= (∠BON-∠AON).
整合1 几何图形的相关概念
1.下列几何体中，不同类的是( )
B
A. B. C. D.
2.［2025年1月厦门期末］陶瓷器具是我国古代劳动人
民的重要发明之一，是中国人民勤劳与智慧的结晶.如
图所示，将给定的图形绕直线旋转一周得到的几何体
与下列陶瓷花瓶最为类似的是( )
A
A. B. C. D.
3.如图所示的立体图形是由___个平面和___个曲面组成的，
面与面相交形成___条直线和___条曲线.
3
1
4
2
整合2 直线和线段的基本事实
4.如图①，, 两个村庄在一条河
(不计河的宽度)的两侧，现要建
一座码头，使它到, 两个村庄
两点之间线段最短
的距离之和最小.如图②，连接，与交于点，则点 即为
所求的码头的位置，这样做的理由是__________________.
5.［2025·安庆月考］在如图所示的三个现象中，体现了基本
事实“两点确定一条直线”的有( )
C
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
整合3 线段和角的相关计算
6.如图，是线段上一点，，，
是线段的中点，则线段 的长为( )
C
A. B. C. D.
7.如果一个角的补角的余角是 ,那么这个角的度数为
( )
C
A. B. C. D.
8.如图,点在点南偏东 的方向上,
,则点关于点 的方向为
( )
A
A.北偏东 B.北偏东
C.南偏东 D.南偏东
9.如图，钟表上的时间为下午 ，此时时
针与分针之间所成的角是( )
A
A. B. C. D.
10.计算： ________.
11.［2024·芜湖期中］如图，为线段 上的一点，
，，两点分别为， 的中点，若线段
为，则的长为____ .
16
12.(8分)如图，已知平分，
平分， ，
.求：
(1) 的度数；
解：因为， ，
，所以 .
(2) 的度数.
因为平分 ，
所以 .
因为平分 ，
所以 .
所以 .
整合4 尺规作图
13.(8分)如图，已知线段，和 ，利用直尺和圆规作三
角形，使，， .(不写作法，
保留作图痕迹)
解：如图,三角形 即为所求.
整合5 数学思想
14.转化思想 若有15支球队参加校级篮球比赛,比赛采用单循
环制(即每两支球队之间都要进行一场比赛),则15支球队一共
要进行_____场篮球比赛.
105
15.分类讨论思想
(1)已知线段，是直线 上的一
点，,，点是线段 的
中点，则线段 的长为______.
2或6
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