2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级上学期期末仿真模拟试卷（一）[范围：九年级全册]
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024九上·大东期末）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025九上·普陀期中）下列事件是必然事件的是（ ）
A．明天早上会下雨
B．任意一个三角形，它的内角和等于180°
C．掷一枚硬币，正面朝上
D．一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等
3．（2025九上·北京月考）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
4．（2025九上·德清期中） 如图，在⊙O中， AB是⊙O的直径， CD 是弦， 且AB⊥CD于点E，CD=4， OE=1.5， 则⊙O的半径是( )
A．2.5 B．2.25 C．2.4 D．3
5．（2025九上·德清期中）已知⊙O的半径r=3， OP=2， 则点P与⊙O 的位置关系是( )
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O外
C．点 P在⊙O上 D．无法确定
6．（2025九上·普陀期中）将二次函数 y = x2 - 6x + 5 通过配方法化为顶点式 y = a(x-h)2 + k 的形式，结果是（ ）
A．y = (x - 3)2 + 4 B．y = (x - 6)2 - 3
C．y = (x - 6)2 + 5 D．y = (x - 3)2 - 4
7．（2025九上·普陀期中）如图，四边形ABCD内接于圆O， 如果它的一个外角∠DCE=64°， 那么∠BOD=（ ）
A．128° B．100° C．120° D．132°
8．（2024九上·河北期末）如图，四边形的顶点，，都在上，，，，则的弧长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025九上·惠阳期末）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024九上·苍溪期末）如图，在中，，，，的半径为1，点P是边上的动点，过点即P作的一条切线（点Q为切点），则切线长的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．4
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（2024九上·济南期末）写出一个三视图形状都一样的几何体： ．
12．（2025九上·浙江期中）某兴趣小组进行抛硬币实验，20次中有8次是正面朝上，若再抛一次，正面朝上的概率为 .
13．（2025九上·普陀期中）nbsp；.如图，正五边形ABCDE的边长为4，以顶点A为圆心，AB长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 ．
14．（2025九上·利州月考）在体育课上，小颖站在操场上的O点练习掷实心球，发现若不考虑空气阻力，实心球的飞行路线是一条抛物线．如上图，已知实心球出手时的高度为1.6米，当飞行到与点O的水平距离为3米时达到最大高度2.5米，则小颖这次实心球训练的成绩为 米（即的长度）．
15．（2024九上·北京市期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点P是以抛物线的顶点C为圆心，2为半径的圆上的动点，点Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ．
三、解答题：本大题共8小题，共75分。
16．（2025九上·慈溪月考）计算：
（1） ；
（2） .
17．（2025九上·龙岗期中）为了缅怀科学家，九年级某班要召开一次“科学强国”主题活动，李老师做了编号为A，B，C，D的四张卡片（如图，除编号和内容外，其余均相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为A的概率为 ；
（2）小聪从4张卡片中随机抽取1张不放回，小明再从余下的3张卡片中随机抽取1张，然后根据抽取的卡片讲述相关科学家为国家乃至全世界做出卓越贡献的事迹，请用画树状图或列表的方法，求小聪、小明两人中恰好有一人讲述物理学家杨振宁事迹的概率．
18．（2024九上·北京市期中）如图，学校搭建一款拱门示意图，其中拱门最下端米，点C为的中点，点D为拱门最高点，圆心O在线段上，米，求拱门所在圆的半径．
19．（2023九上·南海期末）如图，在一条马路l上有路灯（灯泡在点A处）和小树，某天早上，路灯的影子顶部刚好落在点C处．
（1）画出小树在这天早上太阳光下的影子和晚上在路灯下的影子；
（2）若以上点E恰为的中点，小树高，求路灯的高度．
20．（2025九上·北京月考）如图，是的直径，点C在上，连接，．作交于点D，交于点E．
（1）求证：；
（2）过点D作的切线交的延长线于点F，若，．求的长．
21．（2025九上·临澧期末）图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，．
（1）如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）；
（2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，）
22．（2024九上·武汉期中）如图，是的内接三角形，点D是弧的中点，连接，，．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，若，，求．
23．（2025九上·天河月考）已知抛物线过点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线上与点A关于y轴对称的点B的坐标是 ；的面积是 ；
（3）点C在抛物线上，且满足，求点C的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由三视图可知，该几何体由上下两部分组成，上面是一个圆锥，下面是一个圆柱．
故答案为：D．
【分析】先根据三视图，想像出上、下两部分的几何体，再作出判断．
2．【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A。明天早上会下雨是随机事件，不符合题意；
B.任意一个三角形，它的内角和为180°是必然事件，符合题意；
C.掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意；
D.一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等，是不可能事件，不符合题意.
故答案为：B .
【分析】根据必然事件、随机事件和不可能事件的定义，逐一判断即可.
3．【答案】C
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：360°÷72°=5
∴这个多边形是正五边形
故答案为：C
【分析】根据正多边形性质即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC.
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE=.
在Rt△OCE中，OE=1.5，CE=2，
由勾股定理得OC2=.
故选：A.
【分析】根据垂径定理，可得CE=，求出CD，再结合半径、弦心距构成直角三角形，用勾股定理求解.
5．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径r=3，点P到圆心O的距离OP=2，2<3，
∴点P在⊙O内.
故选：A.
【分析】判断点与圆的位置是比较“点到圆心的距离”d与“半径”r：d>r 点在圆外，d=r 点在圆上，d6．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：y= x2-6x+5= x2-6x+9-4=(x-3)2-4.
故答案为：D .
【分析】根据配方法对表达式的进行配方，即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ ∠DCE=64°，
∴∠BOD=180°-∠DCE=180°-64°=112°，
∴∠BAO=180°-∠BOD=64°，
∴ ∠BOD=2∠BAO=128°.
故答案为：A .
【分析】根据邻补角的定义可得∠BOD的度数，再根据圆内四边形对角互补可得∠BAO的度数，最后根据圆周角定理即可得出答案.
8．【答案】A
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠BAD=140°，
∴∠ABC=40°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=40°，
∴∠BAC=180°-80°=100°，
∴的长=，
故答案为：A．
【分析】根据平行线的性质先求出∠ABC，再由等腰三角形的性质及三角形内角和求出∠BAC，最后利用弧长公式计算即可．
9．【答案】B
【知识点】点的坐标；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：四边形为圆的内接四边形，
，
，
，
为的直径，
点为的中点，
在中，，，
，
，
，，
点为的中点，
，
故选：B．
【分析】根据圆内接四边形性质可得∠ABO，根据圆周角定理的推论可得AB为的直径，根据含30°角的直角三角形性质可得OB，根据勾股定理可得OA，再根据点的坐标即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OQ，
∵PQ且圆O于点Q，
∴∠OQP=90°，
∵PQ=，
∵OQ为定值1，
∴当OP最小时，PQ的值最小，
∴当OP⊥AB时，OP最小，此时，
∵在中，，，，
∴tan60°=，
∴OB=2，
∴AB=，
∴，
∴OP=3，
∴PQ==.
故答案为：A。
【分析】连接OQ，根据切线的性质可得∠OQP=90°，从而根据勾股定理可得PQ=，根据圆的半径OQ为定值，可得出当当OP最小时，PQ的值最小，然后根据垂线段最短即可得出op的最小值，进一步求得此时PQ的长度，也就是PQ的最小值。
11．【答案】球（答案不唯一）
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：球的三视图都是圆，则符合题意的几何体可以是球，
故答案为：球（答案不唯一）
【分析】根据简单几何体的三视图结合题意即可求解。
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：抛一枚硬币，正面朝上与反面朝上出现的可能性相同，
其概率是这个事件本身属性，与抛掷次数无关，故再抛一次，正面朝上的概率为
故答案为：
【分析】根据抛硬币正面朝上，反面朝上出现的可能性进行判断.
13．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵ 五边形ABCDE为正五边形，
∴∠A=180°-（360°÷5）=108°，
∴ 图中阴影部分的面积为.
故答案为： .
【分析】根据正五边形的性质求出∠A的度数，再根据扇形的面积公式即可求得答案.
14．【答案】8
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：根据题意可知点A的坐标为，顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
将代入得，
解得：，
∴抛物线解析式为，
令得，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴的长度为8米，
即小颖这次实心球训练的成绩为8米，
故答案为：8．
【分析】根据题意可知点A的坐标为，顶点坐标为，设抛物线解析式为，根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得抛物线解析式为，再根据x轴上点的坐标特征将y=0代入解析式即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；圆的相关概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，设的延长线交于E，如图所示：
对于抛物线，当时，，当时，，或，
∴点，点，点，
∴，
∵点Q是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴当为最大时，为最大，
根据点与圆的位置关系可知：点A到上各点的距离中，为最大，
∴当点P与点E重合时，为最大，最大值为，
在中，由勾股定理得：，
∵的半径为2，
∴，
∴，
∴的最大值为．
故答案为：．
【分析】连接，设的延长线交于E，根据坐标轴上点的坐标特征可得点，点，点，根据两点间距离可得，再根据三角形中位线定理可得，当为最大时，为最大，根据点与圆的位置关系可知：点A到上各点的距离中，为最大，当点P与点E重合时，为最大，最大值为，根据勾股定理可得AC，根据边之间的关系可得AE，即可求出答案.
16．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；绝对值的概念与意义；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】(1)先分别化简二次根式、计算特殊角的三角函数值、进行乘方运算、处理绝对值，再将化简后的结果进行加减运算；
(2)先分别化简二次根式、计算特殊角的三角函数值、进行乘方运算、处理绝对值，再将化简后的结果进行加减运算。
17．【答案】（1）
（2）列表如下：
A B C D
A (A，B) (A，C) (A，D)
B (B，A) (B，C) (B，D)
C (C，A) (C，B) (C，D)
D (D，A) (D，B) (D，C)
共有12种等可能的结果，其中满足要求的有6种，
∴小聪、小明两人中恰好有一人讲述杨振宁事迹的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）P（ 抽到卡片编号为A ）=；
故答案为：；
（2）首先利用列表法进行分析，得出共有12种等可能的结果，其中满足要求的有6种，进而根据概率计算公式即可得出小聪、小明两人中恰好有一人讲述杨振宁事迹的概率为．
18．【答案】解：如图，连接，
∵过圆心，C为的中点，米，
∴米，
设拱门所在圆的半径为x米，则米，米，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即：拱门所在圆的半径为米．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连接，根据垂径定理可得米，设拱门所在圆的半径为x米，则米，米，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
19．【答案】（1）解：如图，、就是所求作的线段．
（2）解：，
，
，
，
，
∴
∴AB=4.
故路灯的高度为．
【知识点】平行投影；中心投影；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)连接，根据太阳光线是平行光线，可过点D作与直线交于点E，连接并延长交直线交于点F，点E、F即为所求的点；
（2）首先根据，可得出，再根据，可得出，进而得出，进而即可得出AB的高度。
（1）解：如图，、就是所求作的线段．
（2）解：设AB长为，
，
，
，
，
，即，
解得，
故路灯的高度为．
20．【答案】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，
∵是的切线，
∴，
又，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∵，，
∴．
【知识点】平行线的判定；垂径定理；圆周角定理；切线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得，再根据直线平行判定定理可得，则，再根据垂径定理即可求出答案.
（2）根据切线性质可得，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，再根据垂径定理可得，再根据勾股定理建立方程，解方程可得OE，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
21．【答案】（1）解：作于点G（图1），
∵O为的中点，，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
在中，
∴
∴支点O到小竹竿的距离．
（2）解：记交于点H（图2），
∵，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
在中，
，
在中，
m
∴点A上升的高度为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点O作于点G，根据垂径定理可得到，再根据题意可得到，从而可得，进而可得，然后根据线段的中点定义可得OA=4米，从而直角三角形AOG中利用角的直角三角形的性质进行计算即可；
（2）设交于点H，由题意推出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可.
（1）解：作于点G（图1），
∵O为的中点，，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
在中，
∴
∴支点O到小竹竿的距离．
（2）解：记交于点H（图2），
∵，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
在中，
，
在中，
m
∴点A上升的高度为．
22．【答案】（1）解：∵点D是的中点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（2）解：连接并延长交于点E，连接，，交于点F，如图所示：
∵，，
∴垂直平分，
∴，
又∵点D是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，
设，则，
在中，，
解得：，
∴，
设，
在和中，
，
∴，
解得：
在中，，
∴．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据点D是的中点，得出，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得出，求出，最后根据圆内接四边形的性质求出结果即可解答；
（2）连接并延长交于点E，连接，交于点F，证明垂直平分，证明，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，设，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出，最后根据等腰三角形性质求出结果即可解答．
（1）解：∵点D是的中点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（2）解：连接并延长交于点E，连接，，交于点F，如图所示：
∵，，
∴垂直平分，
∴，
又∵点D是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，
设，则，
在中，，
解得：，
∴，
设，
在和中，
，
∴，
解得：
在中，，
∴．
23．【答案】（1）解：抛物线过点，
，
解得：，
该抛物线的解析式为；
（2），
（3）解：设点到的距离为，
则，
，
，
解得：，
分两种情况讨论：
①当点在下面时，
点的纵坐标为：，
此时，，
解得：，，
点的坐标为或；
②当点在的上面时，
点的纵坐标为：，
此时，，
解得：，，
点的坐标为或；
综上所述，点的坐标为或或或．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】（2）解：，
点关于轴的对称点的坐标为，
，
，
故答案为：，；
【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据抛物线对称性质可得点的坐标为，根据两点间距离可得AB，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）设点到的距离为，根据三角形面积建立方程，解方程可得h=4，分情况讨论：①当点在下面时，②当点在的上面时，求出点C的纵坐标，再将纵坐标代入解析式，解方程即可求出答案.
（1）解：抛物线过点，
，
解得：，
该抛物线的解析式为；
（2）解：，
点关于轴的对称点的坐标为，
，
，
故答案为：，；
（3）解：设点到的距离为，
则，
，
，
解得：，
分两种情况讨论：
①当点在下面时，
点的纵坐标为：，
此时，，
解得：，，
点的坐标为或；
②当点在的上面时，
点的纵坐标为：，
此时，，
解得：，，
点的坐标为或；
综上所述，点的坐标为或或或．
1 / 12025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级上学期期末仿真模拟试卷（一）[范围：九年级全册]
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024九上·大东期末）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由三视图可知，该几何体由上下两部分组成，上面是一个圆锥，下面是一个圆柱．
故答案为：D．
【分析】先根据三视图，想像出上、下两部分的几何体，再作出判断．
2．（2025九上·普陀期中）下列事件是必然事件的是（ ）
A．明天早上会下雨
B．任意一个三角形，它的内角和等于180°
C．掷一枚硬币，正面朝上
D．一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等
【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A。明天早上会下雨是随机事件，不符合题意；
B.任意一个三角形，它的内角和为180°是必然事件，符合题意；
C.掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意；
D.一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等，是不可能事件，不符合题意.
故答案为：B .
【分析】根据必然事件、随机事件和不可能事件的定义，逐一判断即可.
3．（2025九上·北京月考）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】C
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：360°÷72°=5
∴这个多边形是正五边形
故答案为：C
【分析】根据正多边形性质即可求出答案.
4．（2025九上·德清期中） 如图，在⊙O中， AB是⊙O的直径， CD 是弦， 且AB⊥CD于点E，CD=4， OE=1.5， 则⊙O的半径是( )
A．2.5 B．2.25 C．2.4 D．3
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC.
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE=.
在Rt△OCE中，OE=1.5，CE=2，
由勾股定理得OC2=.
故选：A.
【分析】根据垂径定理，可得CE=，求出CD，再结合半径、弦心距构成直角三角形，用勾股定理求解.
5．（2025九上·德清期中）已知⊙O的半径r=3， OP=2， 则点P与⊙O 的位置关系是( )
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O外
C．点 P在⊙O上 D．无法确定
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径r=3，点P到圆心O的距离OP=2，2<3，
∴点P在⊙O内.
故选：A.
【分析】判断点与圆的位置是比较“点到圆心的距离”d与“半径”r：d>r 点在圆外，d=r 点在圆上，d6．（2025九上·普陀期中）将二次函数 y = x2 - 6x + 5 通过配方法化为顶点式 y = a(x-h)2 + k 的形式，结果是（ ）
A．y = (x - 3)2 + 4 B．y = (x - 6)2 - 3
C．y = (x - 6)2 + 5 D．y = (x - 3)2 - 4
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：y= x2-6x+5= x2-6x+9-4=(x-3)2-4.
故答案为：D .
【分析】根据配方法对表达式的进行配方，即可得出答案.
7．（2025九上·普陀期中）如图，四边形ABCD内接于圆O， 如果它的一个外角∠DCE=64°， 那么∠BOD=（ ）
A．128° B．100° C．120° D．132°
【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ ∠DCE=64°，
∴∠BOD=180°-∠DCE=180°-64°=112°，
∴∠BAO=180°-∠BOD=64°，
∴ ∠BOD=2∠BAO=128°.
故答案为：A .
【分析】根据邻补角的定义可得∠BOD的度数，再根据圆内四边形对角互补可得∠BAO的度数，最后根据圆周角定理即可得出答案.
8．（2024九上·河北期末）如图，四边形的顶点，，都在上，，，，则的弧长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠BAD=140°，
∴∠ABC=40°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=40°，
∴∠BAC=180°-80°=100°，
∴的长=，
故答案为：A．
【分析】根据平行线的性质先求出∠ABC，再由等腰三角形的性质及三角形内角和求出∠BAC，最后利用弧长公式计算即可．
9．（2025九上·惠阳期末）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：四边形为圆的内接四边形，
，
，
，
为的直径，
点为的中点，
在中，，，
，
，
，，
点为的中点，
，
故选：B．
【分析】根据圆内接四边形性质可得∠ABO，根据圆周角定理的推论可得AB为的直径，根据含30°角的直角三角形性质可得OB，根据勾股定理可得OA，再根据点的坐标即可求出答案.
10．（2024九上·苍溪期末）如图，在中，，，，的半径为1，点P是边上的动点，过点即P作的一条切线（点Q为切点），则切线长的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OQ，
∵PQ且圆O于点Q，
∴∠OQP=90°，
∵PQ=，
∵OQ为定值1，
∴当OP最小时，PQ的值最小，
∴当OP⊥AB时，OP最小，此时，
∵在中，，，，
∴tan60°=，
∴OB=2，
∴AB=，
∴，
∴OP=3，
∴PQ==.
故答案为：A。
【分析】连接OQ，根据切线的性质可得∠OQP=90°，从而根据勾股定理可得PQ=，根据圆的半径OQ为定值，可得出当当OP最小时，PQ的值最小，然后根据垂线段最短即可得出op的最小值，进一步求得此时PQ的长度，也就是PQ的最小值。
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（2024九上·济南期末）写出一个三视图形状都一样的几何体： ．
【答案】球（答案不唯一）
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：球的三视图都是圆，则符合题意的几何体可以是球，
故答案为：球（答案不唯一）
【分析】根据简单几何体的三视图结合题意即可求解。
12．（2025九上·浙江期中）某兴趣小组进行抛硬币实验，20次中有8次是正面朝上，若再抛一次，正面朝上的概率为 .
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：抛一枚硬币，正面朝上与反面朝上出现的可能性相同，
其概率是这个事件本身属性，与抛掷次数无关，故再抛一次，正面朝上的概率为
故答案为：
【分析】根据抛硬币正面朝上，反面朝上出现的可能性进行判断.
13．（2025九上·普陀期中）nbsp；.如图，正五边形ABCDE的边长为4，以顶点A为圆心，AB长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵ 五边形ABCDE为正五边形，
∴∠A=180°-（360°÷5）=108°，
∴ 图中阴影部分的面积为.
故答案为： .
【分析】根据正五边形的性质求出∠A的度数，再根据扇形的面积公式即可求得答案.
14．（2025九上·利州月考）在体育课上，小颖站在操场上的O点练习掷实心球，发现若不考虑空气阻力，实心球的飞行路线是一条抛物线．如上图，已知实心球出手时的高度为1.6米，当飞行到与点O的水平距离为3米时达到最大高度2.5米，则小颖这次实心球训练的成绩为 米（即的长度）．
【答案】8
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：根据题意可知点A的坐标为，顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
将代入得，
解得：，
∴抛物线解析式为，
令得，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴的长度为8米，
即小颖这次实心球训练的成绩为8米，
故答案为：8．
【分析】根据题意可知点A的坐标为，顶点坐标为，设抛物线解析式为，根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得抛物线解析式为，再根据x轴上点的坐标特征将y=0代入解析式即可求出答案.
15．（2024九上·北京市期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点P是以抛物线的顶点C为圆心，2为半径的圆上的动点，点Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；圆的相关概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，设的延长线交于E，如图所示：
对于抛物线，当时，，当时，，或，
∴点，点，点，
∴，
∵点Q是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴当为最大时，为最大，
根据点与圆的位置关系可知：点A到上各点的距离中，为最大，
∴当点P与点E重合时，为最大，最大值为，
在中，由勾股定理得：，
∵的半径为2，
∴，
∴，
∴的最大值为．
故答案为：．
【分析】连接，设的延长线交于E，根据坐标轴上点的坐标特征可得点，点，点，根据两点间距离可得，再根据三角形中位线定理可得，当为最大时，为最大，根据点与圆的位置关系可知：点A到上各点的距离中，为最大，当点P与点E重合时，为最大，最大值为，根据勾股定理可得AC，根据边之间的关系可得AE，即可求出答案.
三、解答题：本大题共8小题，共75分。
16．（2025九上·慈溪月考）计算：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；绝对值的概念与意义；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】(1)先分别化简二次根式、计算特殊角的三角函数值、进行乘方运算、处理绝对值，再将化简后的结果进行加减运算；
(2)先分别化简二次根式、计算特殊角的三角函数值、进行乘方运算、处理绝对值，再将化简后的结果进行加减运算。
17．（2025九上·龙岗期中）为了缅怀科学家，九年级某班要召开一次“科学强国”主题活动，李老师做了编号为A，B，C，D的四张卡片（如图，除编号和内容外，其余均相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为A的概率为 ；
（2）小聪从4张卡片中随机抽取1张不放回，小明再从余下的3张卡片中随机抽取1张，然后根据抽取的卡片讲述相关科学家为国家乃至全世界做出卓越贡献的事迹，请用画树状图或列表的方法，求小聪、小明两人中恰好有一人讲述物理学家杨振宁事迹的概率．
【答案】（1）
（2）列表如下：
A B C D
A (A，B) (A，C) (A，D)
B (B，A) (B，C) (B，D)
C (C，A) (C，B) (C，D)
D (D，A) (D，B) (D，C)
共有12种等可能的结果，其中满足要求的有6种，
∴小聪、小明两人中恰好有一人讲述杨振宁事迹的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）P（ 抽到卡片编号为A ）=；
故答案为：；
（2）首先利用列表法进行分析，得出共有12种等可能的结果，其中满足要求的有6种，进而根据概率计算公式即可得出小聪、小明两人中恰好有一人讲述杨振宁事迹的概率为．
18．（2024九上·北京市期中）如图，学校搭建一款拱门示意图，其中拱门最下端米，点C为的中点，点D为拱门最高点，圆心O在线段上，米，求拱门所在圆的半径．
【答案】解：如图，连接，
∵过圆心，C为的中点，米，
∴米，
设拱门所在圆的半径为x米，则米，米，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即：拱门所在圆的半径为米．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连接，根据垂径定理可得米，设拱门所在圆的半径为x米，则米，米，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
19．（2023九上·南海期末）如图，在一条马路l上有路灯（灯泡在点A处）和小树，某天早上，路灯的影子顶部刚好落在点C处．
（1）画出小树在这天早上太阳光下的影子和晚上在路灯下的影子；
（2）若以上点E恰为的中点，小树高，求路灯的高度．
【答案】（1）解：如图，、就是所求作的线段．
（2）解：，
，
，
，
，
∴
∴AB=4.
故路灯的高度为．
【知识点】平行投影；中心投影；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)连接，根据太阳光线是平行光线，可过点D作与直线交于点E，连接并延长交直线交于点F，点E、F即为所求的点；
（2）首先根据，可得出，再根据，可得出，进而得出，进而即可得出AB的高度。
（1）解：如图，、就是所求作的线段．
（2）解：设AB长为，
，
，
，
，
，即，
解得，
故路灯的高度为．
20．（2025九上·北京月考）如图，是的直径，点C在上，连接，．作交于点D，交于点E．
（1）求证：；
（2）过点D作的切线交的延长线于点F，若，．求的长．
【答案】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，
∵是的切线，
∴，
又，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∵，，
∴．
【知识点】平行线的判定；垂径定理；圆周角定理；切线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得，再根据直线平行判定定理可得，则，再根据垂径定理即可求出答案.
（2）根据切线性质可得，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，再根据垂径定理可得，再根据勾股定理建立方程，解方程可得OE，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
21．（2025九上·临澧期末）图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，．
（1）如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）；
（2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，）
【答案】（1）解：作于点G（图1），
∵O为的中点，，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
在中，
∴
∴支点O到小竹竿的距离．
（2）解：记交于点H（图2），
∵，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
在中，
，
在中，
m
∴点A上升的高度为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点O作于点G，根据垂径定理可得到，再根据题意可得到，从而可得，进而可得，然后根据线段的中点定义可得OA=4米，从而直角三角形AOG中利用角的直角三角形的性质进行计算即可；
（2）设交于点H，由题意推出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可.
（1）解：作于点G（图1），
∵O为的中点，，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
在中，
∴
∴支点O到小竹竿的距离．
（2）解：记交于点H（图2），
∵，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
在中，
，
在中，
m
∴点A上升的高度为．
22．（2024九上·武汉期中）如图，是的内接三角形，点D是弧的中点，连接，，．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，若，，求．
【答案】（1）解：∵点D是的中点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（2）解：连接并延长交于点E，连接，，交于点F，如图所示：
∵，，
∴垂直平分，
∴，
又∵点D是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，
设，则，
在中，，
解得：，
∴，
设，
在和中，
，
∴，
解得：
在中，，
∴．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据点D是的中点，得出，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得出，求出，最后根据圆内接四边形的性质求出结果即可解答；
（2）连接并延长交于点E，连接，交于点F，证明垂直平分，证明，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，设，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出，最后根据等腰三角形性质求出结果即可解答．
（1）解：∵点D是的中点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（2）解：连接并延长交于点E，连接，，交于点F，如图所示：
∵，，
∴垂直平分，
∴，
又∵点D是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，
设，则，
在中，，
解得：，
∴，
设，
在和中，
，
∴，
解得：
在中，，
∴．
23．（2025九上·天河月考）已知抛物线过点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线上与点A关于y轴对称的点B的坐标是 ；的面积是 ；
（3）点C在抛物线上，且满足，求点C的坐标．
【答案】（1）解：抛物线过点，
，
解得：，
该抛物线的解析式为；
（2），
（3）解：设点到的距离为，
则，
，
，
解得：，
分两种情况讨论：
①当点在下面时，
点的纵坐标为：，
此时，，
解得：，，
点的坐标为或；
②当点在的上面时，
点的纵坐标为：，
此时，，
解得：，，
点的坐标为或；
综上所述，点的坐标为或或或．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】（2）解：，
点关于轴的对称点的坐标为，
，
，
故答案为：，；
【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据抛物线对称性质可得点的坐标为，根据两点间距离可得AB，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）设点到的距离为，根据三角形面积建立方程，解方程可得h=4，分情况讨论：①当点在下面时，②当点在的上面时，求出点C的纵坐标，再将纵坐标代入解析式，解方程即可求出答案.
（1）解：抛物线过点，
，
解得：，
该抛物线的解析式为；
（2）解：，
点关于轴的对称点的坐标为，
，
，
故答案为：，；
（3）解：设点到的距离为，
则，
，
，
解得：，
分两种情况讨论：
①当点在下面时，
点的纵坐标为：，
此时，，
解得：，，
点的坐标为或；
②当点在的上面时，
点的纵坐标为：，
此时，，
解得：，，
点的坐标为或；
综上所述，点的坐标为或或或．
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