人教版九（上）数学第二十五章 概率初步 单元测试基础卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025九上·余杭月考）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．把实心铁球放入水中，铁球会沉入水底
B．测量三角形的三个内角，其和等于360°
C．随机抽取九年级（1）班10名学生测量视力，该班的小明同学参加视力测量
D．对九年级（1）班的每一名学生测量视力，该班的小明同学参加视力测量
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A.实心铁球在水中一定会沉入水底，是必然事件，A错误；
B.三角形的三个内角和一定是180°，是必然事件，B错误；
C.随机在班级中抽取10名同学，有可能抽到小明，也有可能没抽到，因此小明同学参加视力测试为随机事件，C正确；
D.对班上每一名同学测量视力，则小明一定参加视力测量，是必然事件，D错误。
故选：C
【分析】事件分为三种：必然事件、随机事件和不可能事件，根据各自的定义去判断每个选项就能选出答案。
2．（2025九上·杭州月考）某同学抛掷一枚硬币，连续抛掷3次，都是反面朝上，则该同学抛掷第4次出现正面朝上的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次，前3次的结果都是反面朝上，他第4次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为：，
故答案为：C．
【分析】每次抛掷硬币都是一个独立事件，前一次抛掷的结果不会影响下一次抛掷的结果，对于一个质地均匀的硬币，每次抛掷正面朝上的概率为，据此可得答案.
3．（2025九上·德清期中）在一个不透明的口袋中，装有5个白球、4个红球和1个黄球，它们除颜色外其余都相同，则摸到红球的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：口袋中球的总数为5+4+1=10（个），红球有4个，
∴P（摸到红球）.
故选：B.
【分析】本题考查随机事件A发生的概率公式：P（A）=.此题摸一个球，因为有4个红球，所以摸到红球的结果可能是红1，红2，红3，红4，共有4种结果，再求出可能出现的结果总数，代入公式计算即可.
4．（2025九上·坪山月考）某数学兴趣小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是6
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”
D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：由图象可得，事件发生的概率约为0.16
A：掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意；
B：掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是6的概率为，符合题意；
C：在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率为，不符合题意；
D：袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率为，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据图象可得事件发生的概率约为0.16，再逐项计算各选项事件发生的概率即可求出答案.
5．（2025九上·鄞州期中）下列事件是必然事件的是（ ）
A．抛一枚骰子朝上数字是3
B．打开电视正在播放广告
C．400名学生中至少有两人生日同一天
D．早晨太阳从西边升起
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A.抛一枚骰子朝上的数字是3，这是随机事件，故A不符合题意；
B.打开电视正在播放广告，这是随机事件，故B不符合题意；
C.400名学生中至少有两人生日同一天，这是必然事件，故C符合题意；
D.早晨太阳从西边升起，这是不可能事件，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，根据事件的分类逐项判断即可.
6．用甲、乙两个可自由转动的转盘(如图)做“配紫色”游戏：分别转动甲、乙两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色，即可配成紫色(若指针指在分界线上，则重转)，则配成紫色的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
乙甲 红 蓝
红 (红，红) (蓝，红)
蓝 (红，蓝) (蓝，蓝)
蓝 (红，蓝) (蓝，蓝)
由表可知，共有6种等可能的结果，其中能配成紫色的结果有3种，
∴ P(配成紫色
故答案为：C .
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出能配成紫色的情况数，即可求出所求的概率.
7．（2025九上·金华月考）如图，在直径BC为的圆内有一个圆心角为的扇形ABC．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算；几何概率
【解析】【解答】解：过点A作. 于点D，
∵BC是直径，
是等腰直角三角形，
，
∴该粒米落在扇形内的概率为
故答案为：D .
【分析】如图所示，过点A作 于点D，证明出 C是等腰直角三角形，求出 然后得到 然后分别求出，和 ，然后根据概率公式求解即可.
8．（2025九上·兰州期末）在一个不透明的口袋中，放置2个黄球，1个白球，1个红球和个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了蓝球出现的频率(如图所示)，则的值最可能是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】解分式方程；利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵通过大量重复试验后发现，蓝球出现的频率稳定于0.6，
∴，
解得：（经检验是原方程的解）．
故答案为：C．
【分析】用频率估计概率可得出，解方程即可。
9．（2022九上·西安月考）在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从华山、华阳古镇，太白山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设表示华山、表示华阳古镇、表示太白山，列表如下：
共有9种情况，他们两家去同一景点旅游共有3中情况，
∴；
故答案为：B.
【分析】设A表示华山、B表示华阳古镇、C表示太白山，列出表格，找出总情况数以及他们两家去同一景点旅游的情况数，然后根据概率公式进行计算.
10．小明将第一次掷出的骰子朝上的数字记为x，第二次掷出的骰子朝上的数字记为y(x与y分别取1，2，3，4，5，6中的一个数字)，则小明进行一次操作所获取的点 P(x，y)能落在二次函数 图象上的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：小明进行一次操作所获取的点 P(x，y)的可能结果可以列成表格如下：
第一次 第二次 1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1) (5，1) (6，1)
2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2) (5，2) (6，2)
3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3) (5，3) (6，3)
4 (1，4) (2，4) (3，4) (4，4) (5，4) (6，4)
5 (1，5) (2，5) (3，5) (4，5) (5，5) (6，5)
6 (1，6) (2，6) (3，6) (4，6) (5，6) (6，6)
由表，可知共有36种等可能的结果，其中小明进行一次操作所获取的点P(x，y)能落在二次函数 4x图象上的结果有3种.∴小明进行一次操作所获取的点 P(x，y)能落在二次函数 图象上的概率为
故答案为：B .
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与点P(x，y)能落在二次函数 x图象上的情况，再利用概率公式求得答案.
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（2025九上·普陀期中）从甲、乙、丙三人中任选一人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是 ．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵从甲、乙、丙三人中任选一人，总共有3种等可能结果，而甲被选中的结果有1种，
∴ 甲被选中的概率是.
故答案为： .
【分析】根据概率公式进行计算即可.
12．（2024九上·浙江期中）2024年7月26日—8月11日，第三十三届夏季奥运会在巴黎如期举行，比赛期间任意打开一台电视的某一频道，正在播放跳水比赛，这个事件是 事件．
【答案】随机
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】任意选择电视的某一频道，正在播放跳水比赛，这个事件可能发生，也可能不发生，
这个事件是随机事件．
故答案是：不确定（或随机）．
【分析】根据不可能事件是指一定不发生的事件．随机事件是指可能发生也可能不发生的事件，必然事件是指一定发生的事件判断即可.
13．（2025九上·杭州月考）如图，转动转盘一次，当转盘停止后（指针落在线上重转），指针停留的区域中的数字为偶数的概率是 ．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：占圆，2与3占，
把数字为1的扇形可以平分成2部分，
转动转盘一次共有4种等可能的结果，分别是1，1，2，3；
当转盘停止后，指针指向的数字为偶数的概率是：．
故答案为：．
【分析】由1占圆，2与3占，可得把数字为1的扇形可以平分成2部分，即可得转动转盘一次共有4种等可能的结果，分别是1，1，2，3；然后由概率公式即可求得．
14．（2023九上·慈溪期末）某批青稞种子在相同条件下发芽试验结果如下表：
每次试验粒数 50 100 300 400 600 1000
发芽频数 47 96 284 380 571 948
估计这批青稞发芽的概率是 .（结果保留到0.01）
【答案】0.95
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：观察表格得到这批青稞发芽的频率稳定在 0.95附近，
则这批青稞发芽的概率的估计值是0.95.
故答案为：0.95.
【分析】观察表格得到这批青稞发芽的频率稳定在0.95附近，然后根据频率估计概率的知识进行解答.
15．（2023九上·青羊月考）有三张正面分别标有数字，，的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为，则使关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数的概率为 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；几何概率；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
列表法表示所有情况：
则的值可以是-1，-2，-1，2，，
∵关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数
∴＜x＜5
∴的值是2
∴使关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数的概率为 .
【分析】本题考查一元二次方程组的特殊解和概率的计算。 解决有关概率问题，需要熟练掌握列表法和树状图法，另外有时也会直接用公式法，利用频率估计概率要学会灵活运用。 一般在一次试验中有两个因素时，用列表法较为简单直观；当一次试验中有两个或两个以上因素时常用树状图法.
三、解答题：本大题共8小题，共75分。
16．（2024九上·花溪期中）一个不透明的口袋中放有只有颜色不同的10个球，其中有5个白球、3个黑球、2个红球，以下事件哪些是随机事件？哪些是必然事件？哪些是不可能事件？
（1）从口袋中任取1个球是黑球；
（2）从口袋中任取5个球，全是白球；
（3）从口袋中任取6个球，没有白球；
（4）从口袋中任取9个球，白、黑、红三种颜色的球都有；
（5）从口袋中任取1个球，该球是黄色的．
【答案】解：袋中有5个白球、3个黑球、2个红球，
（1）从口袋中任取1个球是黑球，是随机事件；
（2）从口袋中任取5个球，全是白球，是随机事件；
（3）从口袋中任取6个球，没有白球，是不可能事件；
（4）从口袋中任取9个球，白、黑、红三种颜色的球都有，是必然事件；
（5）从口袋中任取1个球，该球是黄色的，是不可能事件．
【知识点】事件的分类
【解析】【分析】利用随机事件的定义及特征（随机事件是那些在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件）、必然事件的定义及特征（必然事件是指在一定的条件下，某些事件在每次试验中必然会发生）、不可能事件的定义及特征（在一定条件下不可能发生的事件称为不可能事件）逐项分析判断即可.
17．如图，转盘被分成面积相等的6个区域，自由转动转盘，估计转盘停止转动后，下列事件发生的概率：
（1）指针落在2号区域；
（2）指针落在3号区域．
【答案】（1）解：指针落在2号区域的概率为：；
（2）解：指针落在3号区域的概率为：
【知识点】几何概率
【解析】【分析】（1）转盘被分成面积相等的6个区域，其中2号区域只有1个，然后利用概率公式计算即可；
（2）转盘被分成面积相等的6个区域，其中2号区域只有3个，然后利用概率公式计算即可.
18．（2025九上·拱墅月考） 某数学小组在数学节对“你最认可的‘在杭州横空出世的新兴事物’”进行调查，随机调查了m人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
（1）根据图中信息求出m= ，n= ．；
（2）请你帮助他们将这两个统计图补全；
（3）已知A、B两位同学都选了“deepseek”，C同学选了“人形机器人”，D同学选了“3D仿真游戏”，从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学选的事物一样的概率．
【答案】（1）100；35
（2）解：选 “deepseek” 的人数为：
补全条形统计图如下：
（3）解：列表格如下：
A B C D
A AB AC AD
B BA BC BD
C CA CB CD
D DA DB DC
由表格得，总共有 12 种等可能的结果，其中两位同学选的事物一样有 2 种等可能的结果，两位同学选的事物一样的概率为：.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列举法求概率
【解析】【解答】解：(1)10÷10%=100（人）
40÷100×100%=40%
1-40%-10%-15%=35%
故答案为：100；35
【分析】(1)结合两个统计图中“3D仿真游戏”这一项的信息即可求m，然后用40除以m可知选择“deepseek”这一项所占百分比，用1减去其他三项的百分比即可算出n；
(2)根据（1）可知样本容量为100，减去其他三项就是选择“脱机接口”的人数，从而可以补全条形统计图，由（1）可知选择“deepseek”这一项的人数占比为40%，而选择“人形机器人”这一项的人数占比35%，故可补全扇形统计图；
(3)根据题意列出表格，再用符合题意的结果数除以总结果数就是两位同学选择相同事物的概率。
19．（2025九上·滨江月考）一个不透明的箱子里装有蓝、白两种颜色的球共4个，它们除颜色外其余都相同.小明将球搅匀后从箱子里随机摸出1个球，记下颜色后，再将它放回，不断重复实验.多次试验的结果记录在表格：
摸球次数 100 400 600 700 1000 1300 1500
摸到白球的频率 0.702 0.724 0.731 0.746 0.749 0.751 0.750
（1）当摸球次数足够多时，摸到白球的频率将会稳定于 （结果精确到0.01）左右，从箱子中随机摸一个球，估计摸到蓝球的概率是 ；
（2）从该箱子里随机摸出1个球，放回，再摸出1个球，求摸到两个球中1个是蓝球、1个是白球的概率.
【答案】（1）0.75；0.25
（2）解：由(1)得摸到白球的概率率为0.75，
∴可估计口袋中自球有4×0.75=3(个)，蓝球的个数有1个；
将第一个口袋中3个白球分别记为A1，A2，A3，蓝球记为B，
列表如下：
A1 A2 A3 B
A1 A1，A1 A1，A2 A1，A3 A1，B
A2 A2，A1 A2，A2 A2，A3 A2，B
A3 A3，A1 A3，A2 A3，A3 A3，B
B B，A1 B，A2 B，A3 B，B
共有16种等可能的结果，其中摸到1个蓝球、1个白球的情况有6种，
∴摸到1个蓝球、1个白球的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：(1)当摸球次数很大时，摸到自球的频率将会接近0.75；
1-0.75=0.25；
故答案为：0.75，0.25.
【分析】(1)根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.75，根据利用频率估计概率，可估计摸到蓝球的概率为1-0.75=0.25；
(3)先利用列表法展示所有16种等可能的结果数，再找出两个球颜色相同所占结果数，然后根据概率公式求解.
20．（2023九上·诸暨月考）某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同．
（1）甲选择“校园安全”主题的概率为 ；
（2）请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率．
【答案】（1）
（2）解：设交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全分别为A、B、C、D，
画树状图为：
共有16种等可能的结果，
其中甲和乙选择不同主题的结果有12种，
则甲和乙选择不同主题的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）甲选择“校园安全”主题的概率为：
故答案为：.
【分析】（1）根据概率计算公式，计算即可；
（2）设交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全分别为A、B、C、D，用树状图画出所有情况，再根据题意找到符合题意的所有情况，最后根据概率计算公式，计算即可；
21．（2025九上·嵊州期中） 在一只不透明的口袋中，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复. 如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601
摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601
（1） 上表中的 ， ；
（2） “摸到白球”的概率的估计值是 （精确到0.1）；
（3） 如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其他颜色的球？
【答案】（1）0.59；116
（2）0.6
（3）解：袋中球的总数为12÷0.6=20个，其它小球个数为20-12=8个
【知识点】频数与频率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：(1)a=，b= ；
故答案为：0.59；116.
(2)观察表格数据知，随着摸球次数增加，摸到白球的频率在0.6附近波动，故其概率的估计值为0.6.
故答案为：0.6.
【分析】(1)根据频率公式分别将数据代入，即可得a、b的值；
(2)根据数据的变化趋势可知概率的估计值为0.6；
(3)利用摸到白球的概率可得球的总数，减去白球可得其它球的个数.
22．（2025九上·嵊州期中） 有3张大小、形状完全相同的卡片，分别画有圆、矩形、一个锐角为的直角三角形.从中任意抽取一张，记下图形的名称后放回、搅匀，再任意抽取一张.
（1）用树状图或列表法表示两次抽取卡片所有可能出现的结果.
（2）求两次抽取的卡片上的图形都是轴对称图形的概率.
【答案】（1）解：树状图如下，共有9种，
（2）解：圆和矩形都是轴对称图形，两次卡片上都是轴对称图形的情况有4种，故概率P=
【知识点】用列表法或树状图法求概率；复合事件概率的计算
【解析】【分析】(1)用树状图知两次卡片共有9种情况；
(2)根据圆和矩形都是轴对称图形知两次抽到轴对称图形的情况有4种，即可得概率.
23．（2025九上·杭州月考）有三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别写上、、，把它们的背面朝上洗匀后，小丽先从中抽取一张，然后小明从余下的卡片中再抽取一张．
（1）直接写出小丽取出的卡片恰好是的概率；
（2）小刚为他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积是有理数，则小丽获胜；否则小明获胜．你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由．
【答案】（1）解：小丽取出的卡片恰好是的概率为
（2）解：这个游戏不公平，对小明有利，理由如下：
小丽和小明抽取卡片的所有可能列表如下：
小丽 小明 数字之积
∴共有6种等可能结果，其中积是有理数的有2种，不是有理数的有4种，
∴小丽获胜的概率，小明获胜的概率，
∵，
∴这个游戏不公平，对小明有利．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性；概率公式
【解析】【解答】（1）解：∵小丽从正面分别写上、、的三种卡片中随机抽取一张，共有3种等可能的结果数，而能抽到的只有1种等可能的结果数，
∴小丽取出的卡片恰好是的概率为．
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）采用列表法列举出所有等可能的结果数，由表可知共有6种等可能结果，其中积是有理数的有2种，不是有理数的有4种，然后根据概率公式分别求得小丽获胜的概率和小明获胜的概率，比较大小，判断公平性即可．
（1）解：小丽取出的卡片恰好是的概率为．
（2）解：小丽和小明抽取卡片的所有可能列表如下：
小丽 小明 数字之积
∴共有6种等可能结果，其中积是有理数的有2种，不是有理数的有4种，
∴小丽获胜的概率，小明获胜的概率，
∵，
∴这个游戏不公平，对小明有利．
1 / 1人教版九（上）数学第二十五章 概率初步 单元测试基础卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025九上·余杭月考）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．把实心铁球放入水中，铁球会沉入水底
B．测量三角形的三个内角，其和等于360°
C．随机抽取九年级（1）班10名学生测量视力，该班的小明同学参加视力测量
D．对九年级（1）班的每一名学生测量视力，该班的小明同学参加视力测量
2．（2025九上·杭州月考）某同学抛掷一枚硬币，连续抛掷3次，都是反面朝上，则该同学抛掷第4次出现正面朝上的概率是（ ）
A． B． C． D．1
3．（2025九上·德清期中）在一个不透明的口袋中，装有5个白球、4个红球和1个黄球，它们除颜色外其余都相同，则摸到红球的概率为( )
A． B． C． D．
4．（2025九上·坪山月考）某数学兴趣小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是6
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”
D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球
5．（2025九上·鄞州期中）下列事件是必然事件的是（ ）
A．抛一枚骰子朝上数字是3
B．打开电视正在播放广告
C．400名学生中至少有两人生日同一天
D．早晨太阳从西边升起
6．用甲、乙两个可自由转动的转盘(如图)做“配紫色”游戏：分别转动甲、乙两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色，即可配成紫色(若指针指在分界线上，则重转)，则配成紫色的概率为( )
A． B． C． D．
7．（2025九上·金华月考）如图，在直径BC为的圆内有一个圆心角为的扇形ABC．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025九上·兰州期末）在一个不透明的口袋中，放置2个黄球，1个白球，1个红球和个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了蓝球出现的频率(如图所示)，则的值最可能是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
9．（2022九上·西安月考）在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从华山、华阳古镇，太白山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．小明将第一次掷出的骰子朝上的数字记为x，第二次掷出的骰子朝上的数字记为y(x与y分别取1，2，3，4，5，6中的一个数字)，则小明进行一次操作所获取的点 P(x，y)能落在二次函数 图象上的概率为( )
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（2025九上·普陀期中）从甲、乙、丙三人中任选一人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是 ．
12．（2024九上·浙江期中）2024年7月26日—8月11日，第三十三届夏季奥运会在巴黎如期举行，比赛期间任意打开一台电视的某一频道，正在播放跳水比赛，这个事件是 事件．
13．（2025九上·杭州月考）如图，转动转盘一次，当转盘停止后（指针落在线上重转），指针停留的区域中的数字为偶数的概率是 ．
14．（2023九上·慈溪期末）某批青稞种子在相同条件下发芽试验结果如下表：
每次试验粒数 50 100 300 400 600 1000
发芽频数 47 96 284 380 571 948
估计这批青稞发芽的概率是 .（结果保留到0.01）
15．（2023九上·青羊月考）有三张正面分别标有数字，，的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为，则使关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数的概率为 ．
三、解答题：本大题共8小题，共75分。
16．（2024九上·花溪期中）一个不透明的口袋中放有只有颜色不同的10个球，其中有5个白球、3个黑球、2个红球，以下事件哪些是随机事件？哪些是必然事件？哪些是不可能事件？
（1）从口袋中任取1个球是黑球；
（2）从口袋中任取5个球，全是白球；
（3）从口袋中任取6个球，没有白球；
（4）从口袋中任取9个球，白、黑、红三种颜色的球都有；
（5）从口袋中任取1个球，该球是黄色的．
17．如图，转盘被分成面积相等的6个区域，自由转动转盘，估计转盘停止转动后，下列事件发生的概率：
（1）指针落在2号区域；
（2）指针落在3号区域．
18．（2025九上·拱墅月考） 某数学小组在数学节对“你最认可的‘在杭州横空出世的新兴事物’”进行调查，随机调查了m人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
（1）根据图中信息求出m= ，n= ．；
（2）请你帮助他们将这两个统计图补全；
（3）已知A、B两位同学都选了“deepseek”，C同学选了“人形机器人”，D同学选了“3D仿真游戏”，从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学选的事物一样的概率．
19．（2025九上·滨江月考）一个不透明的箱子里装有蓝、白两种颜色的球共4个，它们除颜色外其余都相同.小明将球搅匀后从箱子里随机摸出1个球，记下颜色后，再将它放回，不断重复实验.多次试验的结果记录在表格：
摸球次数 100 400 600 700 1000 1300 1500
摸到白球的频率 0.702 0.724 0.731 0.746 0.749 0.751 0.750
（1）当摸球次数足够多时，摸到白球的频率将会稳定于 （结果精确到0.01）左右，从箱子中随机摸一个球，估计摸到蓝球的概率是 ；
（2）从该箱子里随机摸出1个球，放回，再摸出1个球，求摸到两个球中1个是蓝球、1个是白球的概率.
20．（2023九上·诸暨月考）某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同．
（1）甲选择“校园安全”主题的概率为 ；
（2）请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率．
21．（2025九上·嵊州期中） 在一只不透明的口袋中，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复. 如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601
摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601
（1） 上表中的 ， ；
（2） “摸到白球”的概率的估计值是 （精确到0.1）；
（3） 如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其他颜色的球？
22．（2025九上·嵊州期中） 有3张大小、形状完全相同的卡片，分别画有圆、矩形、一个锐角为的直角三角形.从中任意抽取一张，记下图形的名称后放回、搅匀，再任意抽取一张.
（1）用树状图或列表法表示两次抽取卡片所有可能出现的结果.
（2）求两次抽取的卡片上的图形都是轴对称图形的概率.
23．（2025九上·杭州月考）有三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别写上、、，把它们的背面朝上洗匀后，小丽先从中抽取一张，然后小明从余下的卡片中再抽取一张．
（1）直接写出小丽取出的卡片恰好是的概率；
（2）小刚为他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积是有理数，则小丽获胜；否则小明获胜．你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A.实心铁球在水中一定会沉入水底，是必然事件，A错误；
B.三角形的三个内角和一定是180°，是必然事件，B错误；
C.随机在班级中抽取10名同学，有可能抽到小明，也有可能没抽到，因此小明同学参加视力测试为随机事件，C正确；
D.对班上每一名同学测量视力，则小明一定参加视力测量，是必然事件，D错误。
故选：C
【分析】事件分为三种：必然事件、随机事件和不可能事件，根据各自的定义去判断每个选项就能选出答案。
2．【答案】C
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次，前3次的结果都是反面朝上，他第4次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为：，
故答案为：C．
【分析】每次抛掷硬币都是一个独立事件，前一次抛掷的结果不会影响下一次抛掷的结果，对于一个质地均匀的硬币，每次抛掷正面朝上的概率为，据此可得答案.
3．【答案】B
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：口袋中球的总数为5+4+1=10（个），红球有4个，
∴P（摸到红球）.
故选：B.
【分析】本题考查随机事件A发生的概率公式：P（A）=.此题摸一个球，因为有4个红球，所以摸到红球的结果可能是红1，红2，红3，红4，共有4种结果，再求出可能出现的结果总数，代入公式计算即可.
4．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：由图象可得，事件发生的概率约为0.16
A：掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意；
B：掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是6的概率为，符合题意；
C：在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率为，不符合题意；
D：袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率为，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据图象可得事件发生的概率约为0.16，再逐项计算各选项事件发生的概率即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A.抛一枚骰子朝上的数字是3，这是随机事件，故A不符合题意；
B.打开电视正在播放广告，这是随机事件，故B不符合题意；
C.400名学生中至少有两人生日同一天，这是必然事件，故C符合题意；
D.早晨太阳从西边升起，这是不可能事件，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，根据事件的分类逐项判断即可.
6．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
乙甲 红 蓝
红 (红，红) (蓝，红)
蓝 (红，蓝) (蓝，蓝)
蓝 (红，蓝) (蓝，蓝)
由表可知，共有6种等可能的结果，其中能配成紫色的结果有3种，
∴ P(配成紫色
故答案为：C .
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出能配成紫色的情况数，即可求出所求的概率.
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算；几何概率
【解析】【解答】解：过点A作. 于点D，
∵BC是直径，
是等腰直角三角形，
，
∴该粒米落在扇形内的概率为
故答案为：D .
【分析】如图所示，过点A作 于点D，证明出 C是等腰直角三角形，求出 然后得到 然后分别求出，和 ，然后根据概率公式求解即可.
8．【答案】C
【知识点】解分式方程；利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵通过大量重复试验后发现，蓝球出现的频率稳定于0.6，
∴，
解得：（经检验是原方程的解）．
故答案为：C．
【分析】用频率估计概率可得出，解方程即可。
9．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设表示华山、表示华阳古镇、表示太白山，列表如下：
共有9种情况，他们两家去同一景点旅游共有3中情况，
∴；
故答案为：B.
【分析】设A表示华山、B表示华阳古镇、C表示太白山，列出表格，找出总情况数以及他们两家去同一景点旅游的情况数，然后根据概率公式进行计算.
10．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：小明进行一次操作所获取的点 P(x，y)的可能结果可以列成表格如下：
第一次 第二次 1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1) (5，1) (6，1)
2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2) (5，2) (6，2)
3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3) (5，3) (6，3)
4 (1，4) (2，4) (3，4) (4，4) (5，4) (6，4)
5 (1，5) (2，5) (3，5) (4，5) (5，5) (6，5)
6 (1，6) (2，6) (3，6) (4，6) (5，6) (6，6)
由表，可知共有36种等可能的结果，其中小明进行一次操作所获取的点P(x，y)能落在二次函数 4x图象上的结果有3种.∴小明进行一次操作所获取的点 P(x，y)能落在二次函数 图象上的概率为
故答案为：B .
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与点P(x，y)能落在二次函数 x图象上的情况，再利用概率公式求得答案.
11．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵从甲、乙、丙三人中任选一人，总共有3种等可能结果，而甲被选中的结果有1种，
∴ 甲被选中的概率是.
故答案为： .
【分析】根据概率公式进行计算即可.
12．【答案】随机
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】任意选择电视的某一频道，正在播放跳水比赛，这个事件可能发生，也可能不发生，
这个事件是随机事件．
故答案是：不确定（或随机）．
【分析】根据不可能事件是指一定不发生的事件．随机事件是指可能发生也可能不发生的事件，必然事件是指一定发生的事件判断即可.
13．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：占圆，2与3占，
把数字为1的扇形可以平分成2部分，
转动转盘一次共有4种等可能的结果，分别是1，1，2，3；
当转盘停止后，指针指向的数字为偶数的概率是：．
故答案为：．
【分析】由1占圆，2与3占，可得把数字为1的扇形可以平分成2部分，即可得转动转盘一次共有4种等可能的结果，分别是1，1，2，3；然后由概率公式即可求得．
14．【答案】0.95
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：观察表格得到这批青稞发芽的频率稳定在 0.95附近，
则这批青稞发芽的概率的估计值是0.95.
故答案为：0.95.
【分析】观察表格得到这批青稞发芽的频率稳定在0.95附近，然后根据频率估计概率的知识进行解答.
15．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；几何概率；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
列表法表示所有情况：
则的值可以是-1，-2，-1，2，，
∵关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数
∴＜x＜5
∴的值是2
∴使关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数的概率为 .
【分析】本题考查一元二次方程组的特殊解和概率的计算。 解决有关概率问题，需要熟练掌握列表法和树状图法，另外有时也会直接用公式法，利用频率估计概率要学会灵活运用。 一般在一次试验中有两个因素时，用列表法较为简单直观；当一次试验中有两个或两个以上因素时常用树状图法.
16．【答案】解：袋中有5个白球、3个黑球、2个红球，
（1）从口袋中任取1个球是黑球，是随机事件；
（2）从口袋中任取5个球，全是白球，是随机事件；
（3）从口袋中任取6个球，没有白球，是不可能事件；
（4）从口袋中任取9个球，白、黑、红三种颜色的球都有，是必然事件；
（5）从口袋中任取1个球，该球是黄色的，是不可能事件．
【知识点】事件的分类
【解析】【分析】利用随机事件的定义及特征（随机事件是那些在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件）、必然事件的定义及特征（必然事件是指在一定的条件下，某些事件在每次试验中必然会发生）、不可能事件的定义及特征（在一定条件下不可能发生的事件称为不可能事件）逐项分析判断即可.
17．【答案】（1）解：指针落在2号区域的概率为：；
（2）解：指针落在3号区域的概率为：
【知识点】几何概率
【解析】【分析】（1）转盘被分成面积相等的6个区域，其中2号区域只有1个，然后利用概率公式计算即可；
（2）转盘被分成面积相等的6个区域，其中2号区域只有3个，然后利用概率公式计算即可.
18．【答案】（1）100；35
（2）解：选 “deepseek” 的人数为：
补全条形统计图如下：
（3）解：列表格如下：
A B C D
A AB AC AD
B BA BC BD
C CA CB CD
D DA DB DC
由表格得，总共有 12 种等可能的结果，其中两位同学选的事物一样有 2 种等可能的结果，两位同学选的事物一样的概率为：.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列举法求概率
【解析】【解答】解：(1)10÷10%=100（人）
40÷100×100%=40%
1-40%-10%-15%=35%
故答案为：100；35
【分析】(1)结合两个统计图中“3D仿真游戏”这一项的信息即可求m，然后用40除以m可知选择“deepseek”这一项所占百分比，用1减去其他三项的百分比即可算出n；
(2)根据（1）可知样本容量为100，减去其他三项就是选择“脱机接口”的人数，从而可以补全条形统计图，由（1）可知选择“deepseek”这一项的人数占比为40%，而选择“人形机器人”这一项的人数占比35%，故可补全扇形统计图；
(3)根据题意列出表格，再用符合题意的结果数除以总结果数就是两位同学选择相同事物的概率。
19．【答案】（1）0.75；0.25
（2）解：由(1)得摸到白球的概率率为0.75，
∴可估计口袋中自球有4×0.75=3(个)，蓝球的个数有1个；
将第一个口袋中3个白球分别记为A1，A2，A3，蓝球记为B，
列表如下：
A1 A2 A3 B
A1 A1，A1 A1，A2 A1，A3 A1，B
A2 A2，A1 A2，A2 A2，A3 A2，B
A3 A3，A1 A3，A2 A3，A3 A3，B
B B，A1 B，A2 B，A3 B，B
共有16种等可能的结果，其中摸到1个蓝球、1个白球的情况有6种，
∴摸到1个蓝球、1个白球的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：(1)当摸球次数很大时，摸到自球的频率将会接近0.75；
1-0.75=0.25；
故答案为：0.75，0.25.
【分析】(1)根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.75，根据利用频率估计概率，可估计摸到蓝球的概率为1-0.75=0.25；
(3)先利用列表法展示所有16种等可能的结果数，再找出两个球颜色相同所占结果数，然后根据概率公式求解.
20．【答案】（1）
（2）解：设交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全分别为A、B、C、D，
画树状图为：
共有16种等可能的结果，
其中甲和乙选择不同主题的结果有12种，
则甲和乙选择不同主题的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）甲选择“校园安全”主题的概率为：
故答案为：.
【分析】（1）根据概率计算公式，计算即可；
（2）设交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全分别为A、B、C、D，用树状图画出所有情况，再根据题意找到符合题意的所有情况，最后根据概率计算公式，计算即可；
21．【答案】（1）0.59；116
（2）0.6
（3）解：袋中球的总数为12÷0.6=20个，其它小球个数为20-12=8个
【知识点】频数与频率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：(1)a=，b= ；
故答案为：0.59；116.
(2)观察表格数据知，随着摸球次数增加，摸到白球的频率在0.6附近波动，故其概率的估计值为0.6.
故答案为：0.6.
【分析】(1)根据频率公式分别将数据代入，即可得a、b的值；
(2)根据数据的变化趋势可知概率的估计值为0.6；
(3)利用摸到白球的概率可得球的总数，减去白球可得其它球的个数.
22．【答案】（1）解：树状图如下，共有9种，
（2）解：圆和矩形都是轴对称图形，两次卡片上都是轴对称图形的情况有4种，故概率P=
【知识点】用列表法或树状图法求概率；复合事件概率的计算
【解析】【分析】(1)用树状图知两次卡片共有9种情况；
(2)根据圆和矩形都是轴对称图形知两次抽到轴对称图形的情况有4种，即可得概率.
23．【答案】（1）解：小丽取出的卡片恰好是的概率为
（2）解：这个游戏不公平，对小明有利，理由如下：
小丽和小明抽取卡片的所有可能列表如下：
小丽 小明 数字之积
∴共有6种等可能结果，其中积是有理数的有2种，不是有理数的有4种，
∴小丽获胜的概率，小明获胜的概率，
∵，
∴这个游戏不公平，对小明有利．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性；概率公式
【解析】【解答】（1）解：∵小丽从正面分别写上、、的三种卡片中随机抽取一张，共有3种等可能的结果数，而能抽到的只有1种等可能的结果数，
∴小丽取出的卡片恰好是的概率为．
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）采用列表法列举出所有等可能的结果数，由表可知共有6种等可能结果，其中积是有理数的有2种，不是有理数的有4种，然后根据概率公式分别求得小丽获胜的概率和小明获胜的概率，比较大小，判断公平性即可．
（1）解：小丽取出的卡片恰好是的概率为．
（2）解：小丽和小明抽取卡片的所有可能列表如下：
小丽 小明 数字之积
∴共有6种等可能结果，其中积是有理数的有2种，不是有理数的有4种，
∴小丽获胜的概率，小明获胜的概率，
∵，
∴这个游戏不公平，对小明有利．
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