人教版九（上）数学第二十五章 概率初步 单元测试培优卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025九上·新昌期中）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是 ( )
A．水中捞月 B．水落石出 C．水涨船高 D．水到渠成
【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、水落石出，是必然事件，故不符合题意；
B．水中捞月，是不可能事件，故符合题意；
C．水涨船高，是必然事件，故不符合题意；
D．水到渠成，是必然事件，故不符合题意；
故选：B．
【分析】根据“必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件”，逐项判断即可．
2．（2025九上·浙江期中）一个不透明的口袋中装有若干个除颜色外其它都相同的小球，已知口袋中只装有2个白球，且从中摸出一个球恰好是白球的概率为 ，那么口袋中小球的总数为( )
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设口袋中小球共有x个，
根据题意得到
解得x=8，
经检验知x=8是方程的解，
所以口袋中小球共有8个.
故答案为：B .
【分析】设口袋中小球共有x个，根据概率公式得到 ，然后求出x即可.
3．（2025九上·南山月考）学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°，同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏，若小李同学同时转动4盘和B盘，她赢得游戏的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画出树状图
∴共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色的结果有3种
∴小李同学同时转动4盘和B盘，她赢得游戏的概率
故答案为：A
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色的结果，再根据概率公式即可求出答案.
4．（2025九上·鹿城月考）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下表表中频率精确到：
射击次数 20 40 100 200 400 1000
“射中9环以上”的次数 15 33 78 158 321 801
“射中9环以上”的频率
根据频率的稳定性，则这名运动员“射击9环以上”的概率估计值结果保留小数点后一位为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格中的数据可知，随着实验次数的增加，从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近，
∴这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率大约是0.8.
故答案为：C .
【分析】
根据大量的实验结果稳定在0.8左右即可得出结论.
5．（2025九上·杭州月考）书架上有a本经济类书，7本数学书，5本体育类书．现某人随意从架子上抽取一本书，若取到数学书的机会为，则a的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：，
解答：a=9，
经检验：a=9是原方程的解，
∴a=9，
故答案为：D.
【分析】根据概率公式列方程求出a的值，然后检验解答即可.
6．（2024九上·越秀期末）小明随机地在如图所示的圆及其内部区域投针，则针扎到其内接等边三角形(阴影)区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；圆内接正多边形；几何概率
【解析】【解答】解：设扎到阴影区域的正三角形的概率为，圆的半径为，
记圆的圆心为点，过作于，连接、、，
是正三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】设扎到阴影区域的正三角形的概率为，圆的半径为，记圆的圆心为点，过作于，连接、、，根据等边三角形的性质、三角形的外接圆得，进一步得，再根据，可得.
7．（2023九上·惠来期中）下列说法错误的是（ ）
A．了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查
B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
C．一组数据，，，的平均数是3，方差是2，则新数据，，，的平均数是5，方差是4
D．“367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件
【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类；利用频率估计概率；方差
【解析】【解答】解：A、了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查，正确，故此选项不符合题意；
B、随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，正确，故此选项不符合题意；
C、一组数据，，，的平均数是3，方差是2，则新数据，，，的平均数是5，方差是2，原说法错误，故此选项符合题意；
D、“367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件，正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】本题考查统计与概率的概念辨析，逐一分析选项，结合调查方式、频率与概率、平均数与方差的变化规律、事件类型的定义判断.灯泡寿命调查用抽样调查判定A正确；试验次数增加，频率趋近概率判定B正确；根据平均与方差计算公式，方差不变判定C错误；367人至少2人生日同一天是必然事件判定D正确．
8．（2025九上·杭州期末）在一个箱子里放有1个白球和2个红球，他们除颜色外其余都相同．给出下列说法：①从箱子里摸出1个球是黑球，属于不可能事件；②从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件；③从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
【答案】A
【知识点】事件的分类；可能性的大小
【解析】【解答】解：①箱子中不含黑球，只含红球和白球，故从箱子里摸出一个球是黑球是不可能事件，故①正确；
②从箱子里摸出一个球，有两种可能，有可能是白球，也有可能是红球，则从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件，故②正确；
③在一个箱子里放有1个白球和2个红球，红球的个数多于白球的个数，则从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球．故③正确；
综上可知，正确的是①②③，
故答案为：A.
【分析】根据事件的分类逐项判断即可．
9．一项“过关游戏”规定：在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子(六个面上分别刻有1到6个点)抛掷n次，若n次抛掷所出现的向上一面的点数之和大于n2，则算过关；否则，不算过关．能过第二关的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数）抛掷n次，n次抛掷所出现的点数之和大于则算过关；
∴能过第二关的抛掷所出现的点数之和需要大于5，
列表得：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
∵共有36种等可能的结果，能过第二关的有26种情况，
∴能过第二关的概率是：
故选：A．
【分析】将n用2代入，求出能过第二关所出现的点数之和需要大于的值，再列出表格，得出所有可能的结果数和能过第二关的结果数，利用概率公式求解.
10．（2024九上·衡阳期中）如果关于x的分式方程有负数解，且关于y的不等式组无解，则符合条件的所有整数a中正数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式；已知分式方程的解求参数；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：由关于y的不等式组，可整理得，
该不等式组解集无解，
即，
又解得，
而关于x的分式方程有负数解，
且，
且，
，且取的整数，
、、、0、1、3，
符合条件的所有整数a中正数的概率为．
故答案为：A．
【分析】解关于y的不等式组，得结合解集无解，确定，再由分式方程有负数解，得且，再由a为整数，即可确定符合条件的所有整数a的值，再得出正数有几个，再根据概率公式求概率即可．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（2025九上·嵊州期中） 如图，从A地到B地有两条路线可走，从B地到火车站可经钱塘江大桥或复兴大桥或西兴大桥到达，现随机选择一条从A地出发经过B地到达火车站的行走路线，那么恰好选到经过复兴大桥的路线的概率是 .
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：从B地到火车站的路线有3条 ，恰好选到复兴大桥的概率P=.
故答案为： .
【分析】根据从B至火车站有3条路，知其选到复兴大桥的概率.
12．（2024九上·福田月考）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 ．
【答案】
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，
∴他在纸内随机掷点，点落在黑色阴影的概率为，
∴黑色阴影区域的面积是正方形纸片的，
∴黑色阴影区域的面积是，
故答案为：．
【分析求出】点落在黑色阴影的概率为，再利用“阴影部分的面积=总面积×概率”列出算式求解即可.
13．（2025九上·义乌期末）现有、两种帽子和、两款围巾，那么小明同学刚好选中他所喜欢的种帽子和款围巾穿戴的概率是 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：树状图如图．
共有4种等可能的情况，小明好选中她所喜欢的种帽子和款围巾穿戴有一种，
则概率为．
故答案为：．
【分析】
两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
14．看了《田忌赛马》的故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上、中、下三个等级的三匹马记分如下表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢.已知齐王的三匹马出场顺序为 10，8，6.若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为 .
下等马 中等马 上等马
齐 王 6 8 10
田 忌 5 7 9
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，因此当齐王的三匹马出场顺序为10，8，6时，田忌的马按5，9，7的顺序出场，田忌才能赢得比赛.当田忌的三匹马随机出场时，双方马的对阵情况如下表：
齐王的马 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下
田忌的马 上中下 上下中 中上下 中下上 下上中 下中上
由表，可知共有 6种等可能出现的对阵情况，其中只有一种对阵情况田忌能赢得比赛，
∴ P(田忌能赢得比赛)
故答案为： .
【分析】列表得出所有等可能的情况，田忌能赢得比赛的情况有1种，再由概率公式求解即可。
15．（2024·南平模拟）如图是一个正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为 ．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：设正方形的边长为2a，则圆的直径为2a，
故随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为=，
故答案为．
【分析】计算正方形和内切圆面积，根据几何概率解答即可．
三、解答题：本大题共8小题，共75分。
16．（2025九上·德清期中） 如图，有3张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：A哪吒，B敖丙，C太乙真人.将这3张卡片(形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片后记录，放回后搅匀，再随机取出1张卡片.求下列事件发生的概率：
（1）第一次取出的卡片图案为“C太乙真人”的概率为 .
（2）用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“A哪吒”和“B敖丙”的概率.
【答案】（1）
（2）解：
如上树状图，总共有9种结果，其中取出的2张卡片为“A哪吒”和“B敖丙”的结果有2种，
∴取出的2张卡片为“A哪吒”和“B敖丙”的概率=.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算；复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）∵一共有3张卡片，任意取出1张卡片有3种结果，其中取出卡片“C太乙真人”的结果有1种，
∴P（第一次取出卡片“C太乙真人”）=.
故填：.
【分析】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案“C太乙真人”的结果只有1种，利用概率公式计算即可；
（2）列树状图或表格可得出所有等可能的结果数以及取出的2张卡片为“A哪吒”和“B敖丙”的结果数，再利用概率公式可计算即可．
17．（2024九上·白银期末）在一个不透明的箱子中装有形状、大小均一样的小球，其中红色小球有3个，白色小球有1个．
（1）小远从箱子中任意摸出1个小球，则刚好摸出白色小球的概率为________．
（2）小远将前面摸出的1个小球放回箱子，又放入个白色小球，摇晃均匀后任意摸出1个小球，记下颜色，经过大量反复的试验，发现摸到白色小球的概率约为，求的值．
【答案】（1）
（2）解：根据题意，得，
解得，
经检验，是分式方程的解，
．
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：∵红色小球有3个，白色小球有1个，
∴刚好摸出白色小球的概率为，
故答案为：；
【分析】（1）利用概率公式求概率即可；
（2）根据概率公式列出方程，解方程即可求出m的值．
（1）解：∵红色小球有3个，白色小球有1个，
∴刚好摸出白色小球的概率为，
故答案为：；
（2）解：根据题意，得，
解得，
经检验，是分式方程的解，
．
18．（2025九上·余姚月考）一个不透明的布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球．
（1） 从布袋中任意摸出1个球，求摸出是红球的概率；
（2） 从布袋里摸出1个球，记下颜色后不放回，搅匀，再摸出1个球．求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．
【答案】（1）解：从布袋中任意摸出1个球，摸出是红球的概率=3÷4=；
（2）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6，
∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率=6÷12=．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】(1)红球有3个，总数4个，相比即为概率；
(2)根据树状图知共有12种情况，两球颜色不同的结果有6种情况，相比即为不同颜色的概率.
19．（2025九上·金牛期中）2024年11月2日，成都凤凰山体育场见证了历史性的一刻，成都蓉城队以中超联赛第三名的历史最好成绩，锁定了下赛季亚冠联赛的参赛资格，本赛季，蓉城俱乐部便作为全国唯一一家开放整面看台作为公益看台的俱乐部，受邀来到凤凰山公益看台观赛的观众是来自各行各业的上万名市民，其中不乏为成都做出贡献的“城市英雄”，他们的到来让这座城市更有温度；某网络平台随机调查了部分球迷对公益看台的知晓度，调查结果分为“非常了解”“了解”“一般”“不了解”四类，并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
（1）本次调查的球迷共有 人，请补全条形统计图 ；
（2）在扇形统计图中，求“非常了解”对应的圆心角度数；
（3）在“非常了解”里选4人，有，两名男生，，两名女生，若从中随机抽取两人赠送蓉城队徽，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
【答案】（1）1000；
（2）解：，
（3）列表分析如下：
由上表可知，共有12种等可能的结果，其中抽到一男一女的有8种可能结果，
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：(1)400÷40%=1000(人)
故答案为：1000.
【分析】(1)用了解的人数除以所占的比例求出调查人数，根据调查人数求出一般的人数，补全条形图即可；
(2)利用360度乘以“非常了解”所占的比例，求出圆心角的度数即可；
(3)利用列表法求概率即可.
20．（2024九上·盘州期末）“绿电”即绿色电力，是指在其生产过程中，二氧化碳排放量为零或趋近于零，相较于火力发电，对环境冲击影响较低的电力．绿电的主要来源为太阳能、风力、生物质能、地热等．为了解风力发电机每转动一圈的发电量（记为），现对不同功率的风力发电机每转动一圈的发电量进行了随机调查，调查结果全部收回后进行整理，绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图：
每台风力发电机转动一圈发电量频数分布表
发电量千瓦时 频数 频率
4 0.08
8
0.36
14
6 0.12
请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）填空：_▲_，并将频数分布直方图补充完整；
（2）在某次综合与实践活动中，九（1）班学生为了进一步学习绿电的相关知识，收集到太阳能路灯、太阳能光伏板、风力发电、氢能源汽车的图片各一张，将其制成为除内容外都相同的四张卡片，他们将这四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，从中随机抽取两张，请用画树状图或列表的方法，求出抽到的两张卡片正面的图片恰好是太阳能路灯和氢能源汽车的概率．
【答案】（1）解：
补全频数分布直方图如图所示
（2）解：将太阳能路灯、太阳能光伏板、风力发电、氢能源汽车卡片分别记为，列表如下：
则一共有12种等可能结果，其中抽到的两张卡片正面的图片恰好是太阳能路灯和氢能源汽车有两种
（抽到的两张卡片正面的图片恰好是太阳能路灯和氢能源汽车）．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）根据题意可得：频数总和为4÷0.08=50，
∴a=8÷50=0.16，b=50×0.36=18，
补全频数分布直方图如图所示：
故答案为：0.16.
【分析】（1）先利用“”的频数和频率求出频数总和，再求出a、b的值并作出条形统计图即可；
（2）先利用列表法或树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
21．（2024九上·深圳开学考）随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
配送速度和服务质量得分统计表
项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分
平均数 中位数 平均数 方差
甲 m 7
乙 8 8 7
（1）补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数是 ；
（2）表格中的m＝ ； （填“”“=”或“”）；
（3）如果A，B，C三家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，求三家种植户选择同一快递公司的概率．
【答案】（1）
（2）；
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知共有8种可能结果，其中三家种植户选择同一快递公司的有2种结果，
∴三家种植户选择同一快递公司的概率为．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数；方差
【解析】【解答】（1）解：根据频数之和等于样本容量，得甲快递公司在配送速度为9的人数为：（人）
补全频数直方图如下：
根据题意，得．
故答案为：72°；
（2）解：甲公司配送速度得分从小到大排列为：6，6，7，7，7，8，9，9，9，10，一共10个数据，其中第5个与第6个数据分别为7、8，
故中位数，
根据题意，得．
得．
∴，
故答案为：，；
【分析】（1）根据频数之和等于样本容量，可先计算甲快递公司在配送速度为9的人数，再补全频数直方图，扇形统计图周角表示单位1，用360°乘以乙快递公司配送得分7分的百分比即可算出对应的圆心角度数．
（2）中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此分别计算后即可判断得出答案；
（3）先画出树状图，列举出所有可能的结果数，从中挑出A，B，C三家农产品种植户选择同一快递公司的结果数，然后利用概率公式求解．
（1）解：根据频数之和等于样本容量，
得甲快递公司在配送速度为9的人数为：（人）
补全频数直方图如下：
根据题意，得．
（2）解：甲公司配送速度得分从小到大排列为：6，6，7，7，7，8，9，9，9，10．一共10个数据，其中第5个与第6个数据分别为7、8，
故中位数，
故答案为：．
根据题意，得
．
得
．
，
故答案为：．
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知共有8种可能结果，其中三家种植户选择同一快递公司的有2种结果，
∴三家种植户选择同一快递公司的概率为．
22．（2024九上·杭州月考）数学课本中有《格点多边形的面积计算》、《有关正多边形的折纸》、《精彩的分形》等阅读材料．某兴趣小组准备采用抽签的方式确定学习内容，将题目制成外观相同的A，B，C三张卡片．现将这三张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）从三张卡片中随机抽取一张，则抽到《精彩的分形》的概率为 ．
（2）若从三张卡片中随机抽取两张，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中《格点多边形的面积计算》和《有关正多边形的折纸》的概率是多少？
【答案】（1）
（2）解：由题意，画树状图为：
共有6种等可能的结果，其中恰好选中《格点多边形的面积计算》和《有关正多边形的折纸》的结果有2种，
∴恰好选中《格点多边形的面积计算》和《有关正多边形的折纸》的概率是.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）∵共有3张卡片，且每张卡片被抽取的可能性相同，
∴抽到《精彩的分形》的概率为；
故答案为：.
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和《格点多边形的面积计算》和《有关正多边形的折纸》共同被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案.
23．已知甲同学手中藏有三张分别标有数字，，1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有数字1，3，2的卡片，卡片外形相同.现从甲、乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为.
（1）请你用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果.
（2）现制订这样一个游戏规则：若所选出的能使得有两个不相等的实数根，则称甲获胜；否则称乙获胜.请问：这样的游戏规则公平吗 请你用概率的知识解释.
【答案】（1）解：画树状图如下，
由树状图可知：（a，b）所有可能的结果数为：，，，，，，（1，1），（1，3），（1，2）共9种；
（2）解：不公平，理由如下：
∵所选出的a、b能使ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac＞0，即b2-4a＞0，
而当a=，b=1时，b2-4a=-1＜0，
当a=，b=3时，b2-4a=7＞0，
当a=，b=2时，b2-4a=2＞0，
当a=，b=1时，b2-4a=0，
当a=，b=3时，b2-4a=8＞0，
当a=，b=2时，b2-4a=3＞0，
当a=1，b=1时，b2-4a=-3＜0，
当a=1，b=3时，b2-4a=5＞0，
当a=1，b=2时，b2-4a=0，
∴(甲获胜)，P(乙获胜)，
而，所以这样的游戏规则对甲有利，不公平.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】（1）根据题意画出树状图，由树状图可知所有等可能结果；
（2）利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式即可求出甲、乙获胜的概率，再比较概率大小，即可确定这样的游戏规则是否公平.
1 / 1人教版九（上）数学第二十五章 概率初步 单元测试培优卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025九上·新昌期中）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是 ( )
A．水中捞月 B．水落石出 C．水涨船高 D．水到渠成
2．（2025九上·浙江期中）一个不透明的口袋中装有若干个除颜色外其它都相同的小球，已知口袋中只装有2个白球，且从中摸出一个球恰好是白球的概率为 ，那么口袋中小球的总数为( )
A．6 B．8 C．10 D．12
3．（2025九上·南山月考）学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°，同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏，若小李同学同时转动4盘和B盘，她赢得游戏的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025九上·鹿城月考）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下表表中频率精确到：
射击次数 20 40 100 200 400 1000
“射中9环以上”的次数 15 33 78 158 321 801
“射中9环以上”的频率
根据频率的稳定性，则这名运动员“射击9环以上”的概率估计值结果保留小数点后一位为( )
A． B． C． D．
5．（2025九上·杭州月考）书架上有a本经济类书，7本数学书，5本体育类书．现某人随意从架子上抽取一本书，若取到数学书的机会为，则a的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（2024九上·越秀期末）小明随机地在如图所示的圆及其内部区域投针，则针扎到其内接等边三角形(阴影)区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·惠来期中）下列说法错误的是（ ）
A．了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查
B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
C．一组数据，，，的平均数是3，方差是2，则新数据，，，的平均数是5，方差是4
D．“367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件
8．（2025九上·杭州期末）在一个箱子里放有1个白球和2个红球，他们除颜色外其余都相同．给出下列说法：①从箱子里摸出1个球是黑球，属于不可能事件；②从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件；③从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
9．一项“过关游戏”规定：在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子(六个面上分别刻有1到6个点)抛掷n次，若n次抛掷所出现的向上一面的点数之和大于n2，则算过关；否则，不算过关．能过第二关的概率是（ ）．
A． B． C． D．
10．（2024九上·衡阳期中）如果关于x的分式方程有负数解，且关于y的不等式组无解，则符合条件的所有整数a中正数的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（2025九上·嵊州期中） 如图，从A地到B地有两条路线可走，从B地到火车站可经钱塘江大桥或复兴大桥或西兴大桥到达，现随机选择一条从A地出发经过B地到达火车站的行走路线，那么恰好选到经过复兴大桥的路线的概率是 .
12．（2024九上·福田月考）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 ．
13．（2025九上·义乌期末）现有、两种帽子和、两款围巾，那么小明同学刚好选中他所喜欢的种帽子和款围巾穿戴的概率是 ．
14．看了《田忌赛马》的故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上、中、下三个等级的三匹马记分如下表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢.已知齐王的三匹马出场顺序为 10，8，6.若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为 .
下等马 中等马 上等马
齐 王 6 8 10
田 忌 5 7 9
15．（2024·南平模拟）如图是一个正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为 ．
三、解答题：本大题共8小题，共75分。
16．（2025九上·德清期中） 如图，有3张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：A哪吒，B敖丙，C太乙真人.将这3张卡片(形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片后记录，放回后搅匀，再随机取出1张卡片.求下列事件发生的概率：
（1）第一次取出的卡片图案为“C太乙真人”的概率为 .
（2）用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“A哪吒”和“B敖丙”的概率.
17．（2024九上·白银期末）在一个不透明的箱子中装有形状、大小均一样的小球，其中红色小球有3个，白色小球有1个．
（1）小远从箱子中任意摸出1个小球，则刚好摸出白色小球的概率为________．
（2）小远将前面摸出的1个小球放回箱子，又放入个白色小球，摇晃均匀后任意摸出1个小球，记下颜色，经过大量反复的试验，发现摸到白色小球的概率约为，求的值．
18．（2025九上·余姚月考）一个不透明的布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球．
（1） 从布袋中任意摸出1个球，求摸出是红球的概率；
（2） 从布袋里摸出1个球，记下颜色后不放回，搅匀，再摸出1个球．求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．
19．（2025九上·金牛期中）2024年11月2日，成都凤凰山体育场见证了历史性的一刻，成都蓉城队以中超联赛第三名的历史最好成绩，锁定了下赛季亚冠联赛的参赛资格，本赛季，蓉城俱乐部便作为全国唯一一家开放整面看台作为公益看台的俱乐部，受邀来到凤凰山公益看台观赛的观众是来自各行各业的上万名市民，其中不乏为成都做出贡献的“城市英雄”，他们的到来让这座城市更有温度；某网络平台随机调查了部分球迷对公益看台的知晓度，调查结果分为“非常了解”“了解”“一般”“不了解”四类，并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
（1）本次调查的球迷共有 人，请补全条形统计图 ；
（2）在扇形统计图中，求“非常了解”对应的圆心角度数；
（3）在“非常了解”里选4人，有，两名男生，，两名女生，若从中随机抽取两人赠送蓉城队徽，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
20．（2024九上·盘州期末）“绿电”即绿色电力，是指在其生产过程中，二氧化碳排放量为零或趋近于零，相较于火力发电，对环境冲击影响较低的电力．绿电的主要来源为太阳能、风力、生物质能、地热等．为了解风力发电机每转动一圈的发电量（记为），现对不同功率的风力发电机每转动一圈的发电量进行了随机调查，调查结果全部收回后进行整理，绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图：
每台风力发电机转动一圈发电量频数分布表
发电量千瓦时 频数 频率
4 0.08
8
0.36
14
6 0.12
请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）填空：_▲_，并将频数分布直方图补充完整；
（2）在某次综合与实践活动中，九（1）班学生为了进一步学习绿电的相关知识，收集到太阳能路灯、太阳能光伏板、风力发电、氢能源汽车的图片各一张，将其制成为除内容外都相同的四张卡片，他们将这四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，从中随机抽取两张，请用画树状图或列表的方法，求出抽到的两张卡片正面的图片恰好是太阳能路灯和氢能源汽车的概率．
21．（2024九上·深圳开学考）随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
配送速度和服务质量得分统计表
项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分
平均数 中位数 平均数 方差
甲 m 7
乙 8 8 7
（1）补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数是 ；
（2）表格中的m＝ ； （填“”“=”或“”）；
（3）如果A，B，C三家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，求三家种植户选择同一快递公司的概率．
22．（2024九上·杭州月考）数学课本中有《格点多边形的面积计算》、《有关正多边形的折纸》、《精彩的分形》等阅读材料．某兴趣小组准备采用抽签的方式确定学习内容，将题目制成外观相同的A，B，C三张卡片．现将这三张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）从三张卡片中随机抽取一张，则抽到《精彩的分形》的概率为 ．
（2）若从三张卡片中随机抽取两张，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中《格点多边形的面积计算》和《有关正多边形的折纸》的概率是多少？
23．已知甲同学手中藏有三张分别标有数字，，1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有数字1，3，2的卡片，卡片外形相同.现从甲、乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为.
（1）请你用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果.
（2）现制订这样一个游戏规则：若所选出的能使得有两个不相等的实数根，则称甲获胜；否则称乙获胜.请问：这样的游戏规则公平吗 请你用概率的知识解释.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、水落石出，是必然事件，故不符合题意；
B．水中捞月，是不可能事件，故符合题意；
C．水涨船高，是必然事件，故不符合题意；
D．水到渠成，是必然事件，故不符合题意；
故选：B．
【分析】根据“必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件”，逐项判断即可．
2．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设口袋中小球共有x个，
根据题意得到
解得x=8，
经检验知x=8是方程的解，
所以口袋中小球共有8个.
故答案为：B .
【分析】设口袋中小球共有x个，根据概率公式得到 ，然后求出x即可.
3．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画出树状图
∴共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色的结果有3种
∴小李同学同时转动4盘和B盘，她赢得游戏的概率
故答案为：A
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色的结果，再根据概率公式即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格中的数据可知，随着实验次数的增加，从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近，
∴这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率大约是0.8.
故答案为：C .
【分析】
根据大量的实验结果稳定在0.8左右即可得出结论.
5．【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：，
解答：a=9，
经检验：a=9是原方程的解，
∴a=9，
故答案为：D.
【分析】根据概率公式列方程求出a的值，然后检验解答即可.
6．【答案】C
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；圆内接正多边形；几何概率
【解析】【解答】解：设扎到阴影区域的正三角形的概率为，圆的半径为，
记圆的圆心为点，过作于，连接、、，
是正三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】设扎到阴影区域的正三角形的概率为，圆的半径为，记圆的圆心为点，过作于，连接、、，根据等边三角形的性质、三角形的外接圆得，进一步得，再根据，可得.
7．【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类；利用频率估计概率；方差
【解析】【解答】解：A、了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查，正确，故此选项不符合题意；
B、随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，正确，故此选项不符合题意；
C、一组数据，，，的平均数是3，方差是2，则新数据，，，的平均数是5，方差是2，原说法错误，故此选项符合题意；
D、“367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件，正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】本题考查统计与概率的概念辨析，逐一分析选项，结合调查方式、频率与概率、平均数与方差的变化规律、事件类型的定义判断.灯泡寿命调查用抽样调查判定A正确；试验次数增加，频率趋近概率判定B正确；根据平均与方差计算公式，方差不变判定C错误；367人至少2人生日同一天是必然事件判定D正确．
8．【答案】A
【知识点】事件的分类；可能性的大小
【解析】【解答】解：①箱子中不含黑球，只含红球和白球，故从箱子里摸出一个球是黑球是不可能事件，故①正确；
②从箱子里摸出一个球，有两种可能，有可能是白球，也有可能是红球，则从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件，故②正确；
③在一个箱子里放有1个白球和2个红球，红球的个数多于白球的个数，则从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球．故③正确；
综上可知，正确的是①②③，
故答案为：A.
【分析】根据事件的分类逐项判断即可．
9．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数）抛掷n次，n次抛掷所出现的点数之和大于则算过关；
∴能过第二关的抛掷所出现的点数之和需要大于5，
列表得：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
∵共有36种等可能的结果，能过第二关的有26种情况，
∴能过第二关的概率是：
故选：A．
【分析】将n用2代入，求出能过第二关所出现的点数之和需要大于的值，再列出表格，得出所有可能的结果数和能过第二关的结果数，利用概率公式求解.
10．【答案】A
【知识点】概率公式；已知分式方程的解求参数；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：由关于y的不等式组，可整理得，
该不等式组解集无解，
即，
又解得，
而关于x的分式方程有负数解，
且，
且，
，且取的整数，
、、、0、1、3，
符合条件的所有整数a中正数的概率为．
故答案为：A．
【分析】解关于y的不等式组，得结合解集无解，确定，再由分式方程有负数解，得且，再由a为整数，即可确定符合条件的所有整数a的值，再得出正数有几个，再根据概率公式求概率即可．
11．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：从B地到火车站的路线有3条 ，恰好选到复兴大桥的概率P=.
故答案为： .
【分析】根据从B至火车站有3条路，知其选到复兴大桥的概率.
12．【答案】
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，
∴他在纸内随机掷点，点落在黑色阴影的概率为，
∴黑色阴影区域的面积是正方形纸片的，
∴黑色阴影区域的面积是，
故答案为：．
【分析求出】点落在黑色阴影的概率为，再利用“阴影部分的面积=总面积×概率”列出算式求解即可.
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：树状图如图．
共有4种等可能的情况，小明好选中她所喜欢的种帽子和款围巾穿戴有一种，
则概率为．
故答案为：．
【分析】
两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，因此当齐王的三匹马出场顺序为10，8，6时，田忌的马按5，9，7的顺序出场，田忌才能赢得比赛.当田忌的三匹马随机出场时，双方马的对阵情况如下表：
齐王的马 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下
田忌的马 上中下 上下中 中上下 中下上 下上中 下中上
由表，可知共有 6种等可能出现的对阵情况，其中只有一种对阵情况田忌能赢得比赛，
∴ P(田忌能赢得比赛)
故答案为： .
【分析】列表得出所有等可能的情况，田忌能赢得比赛的情况有1种，再由概率公式求解即可。
15．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：设正方形的边长为2a，则圆的直径为2a，
故随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为=，
故答案为．
【分析】计算正方形和内切圆面积，根据几何概率解答即可．
16．【答案】（1）
（2）解：
如上树状图，总共有9种结果，其中取出的2张卡片为“A哪吒”和“B敖丙”的结果有2种，
∴取出的2张卡片为“A哪吒”和“B敖丙”的概率=.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算；复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）∵一共有3张卡片，任意取出1张卡片有3种结果，其中取出卡片“C太乙真人”的结果有1种，
∴P（第一次取出卡片“C太乙真人”）=.
故填：.
【分析】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案“C太乙真人”的结果只有1种，利用概率公式计算即可；
（2）列树状图或表格可得出所有等可能的结果数以及取出的2张卡片为“A哪吒”和“B敖丙”的结果数，再利用概率公式可计算即可．
17．【答案】（1）
（2）解：根据题意，得，
解得，
经检验，是分式方程的解，
．
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：∵红色小球有3个，白色小球有1个，
∴刚好摸出白色小球的概率为，
故答案为：；
【分析】（1）利用概率公式求概率即可；
（2）根据概率公式列出方程，解方程即可求出m的值．
（1）解：∵红色小球有3个，白色小球有1个，
∴刚好摸出白色小球的概率为，
故答案为：；
（2）解：根据题意，得，
解得，
经检验，是分式方程的解，
．
18．【答案】（1）解：从布袋中任意摸出1个球，摸出是红球的概率=3÷4=；
（2）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6，
∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率=6÷12=．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】(1)红球有3个，总数4个，相比即为概率；
(2)根据树状图知共有12种情况，两球颜色不同的结果有6种情况，相比即为不同颜色的概率.
19．【答案】（1）1000；
（2）解：，
（3）列表分析如下：
由上表可知，共有12种等可能的结果，其中抽到一男一女的有8种可能结果，
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：(1)400÷40%=1000(人)
故答案为：1000.
【分析】(1)用了解的人数除以所占的比例求出调查人数，根据调查人数求出一般的人数，补全条形图即可；
(2)利用360度乘以“非常了解”所占的比例，求出圆心角的度数即可；
(3)利用列表法求概率即可.
20．【答案】（1）解：
补全频数分布直方图如图所示
（2）解：将太阳能路灯、太阳能光伏板、风力发电、氢能源汽车卡片分别记为，列表如下：
则一共有12种等可能结果，其中抽到的两张卡片正面的图片恰好是太阳能路灯和氢能源汽车有两种
（抽到的两张卡片正面的图片恰好是太阳能路灯和氢能源汽车）．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）根据题意可得：频数总和为4÷0.08=50，
∴a=8÷50=0.16，b=50×0.36=18，
补全频数分布直方图如图所示：
故答案为：0.16.
【分析】（1）先利用“”的频数和频率求出频数总和，再求出a、b的值并作出条形统计图即可；
（2）先利用列表法或树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
21．【答案】（1）
（2）；
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知共有8种可能结果，其中三家种植户选择同一快递公司的有2种结果，
∴三家种植户选择同一快递公司的概率为．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数；方差
【解析】【解答】（1）解：根据频数之和等于样本容量，得甲快递公司在配送速度为9的人数为：（人）
补全频数直方图如下：
根据题意，得．
故答案为：72°；
（2）解：甲公司配送速度得分从小到大排列为：6，6，7，7，7，8，9，9，9，10，一共10个数据，其中第5个与第6个数据分别为7、8，
故中位数，
根据题意，得．
得．
∴，
故答案为：，；
【分析】（1）根据频数之和等于样本容量，可先计算甲快递公司在配送速度为9的人数，再补全频数直方图，扇形统计图周角表示单位1，用360°乘以乙快递公司配送得分7分的百分比即可算出对应的圆心角度数．
（2）中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此分别计算后即可判断得出答案；
（3）先画出树状图，列举出所有可能的结果数，从中挑出A，B，C三家农产品种植户选择同一快递公司的结果数，然后利用概率公式求解．
（1）解：根据频数之和等于样本容量，
得甲快递公司在配送速度为9的人数为：（人）
补全频数直方图如下：
根据题意，得．
（2）解：甲公司配送速度得分从小到大排列为：6，6，7，7，7，8，9，9，9，10．一共10个数据，其中第5个与第6个数据分别为7、8，
故中位数，
故答案为：．
根据题意，得
．
得
．
，
故答案为：．
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知共有8种可能结果，其中三家种植户选择同一快递公司的有2种结果，
∴三家种植户选择同一快递公司的概率为．
22．【答案】（1）
（2）解：由题意，画树状图为：
共有6种等可能的结果，其中恰好选中《格点多边形的面积计算》和《有关正多边形的折纸》的结果有2种，
∴恰好选中《格点多边形的面积计算》和《有关正多边形的折纸》的概率是.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）∵共有3张卡片，且每张卡片被抽取的可能性相同，
∴抽到《精彩的分形》的概率为；
故答案为：.
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和《格点多边形的面积计算》和《有关正多边形的折纸》共同被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案.
23．【答案】（1）解：画树状图如下，
由树状图可知：（a，b）所有可能的结果数为：，，，，，，（1，1），（1，3），（1，2）共9种；
（2）解：不公平，理由如下：
∵所选出的a、b能使ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac＞0，即b2-4a＞0，
而当a=，b=1时，b2-4a=-1＜0，
当a=，b=3时，b2-4a=7＞0，
当a=，b=2时，b2-4a=2＞0，
当a=，b=1时，b2-4a=0，
当a=，b=3时，b2-4a=8＞0，
当a=，b=2时，b2-4a=3＞0，
当a=1，b=1时，b2-4a=-3＜0，
当a=1，b=3时，b2-4a=5＞0，
当a=1，b=2时，b2-4a=0，
∴(甲获胜)，P(乙获胜)，
而，所以这样的游戏规则对甲有利，不公平.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】（1）根据题意画出树状图，由树状图可知所有等可能结果；
（2）利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式即可求出甲、乙获胜的概率，再比较概率大小，即可确定这样的游戏规则是否公平.
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