福建省福宁古五校2026届高三上学期11月期中考试数学试题 （含答案）
文档属性
| 名称 | 福建省福宁古五校2026届高三上学期11月期中考试数学试题 （含答案） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 934.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-04 00:00:00 | ||
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文档简介
福宁古五校教学联合体2025-2026学年高三上学期期中质量监测
数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则复数的虚部为（ ）
A． B．2 C． D．
3．已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．4
4．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．某校兴趣小组想要测量宁德市海慧塔的高度，在塔附近选取了相距60米的，（，与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度为（ ）
A．15米 B．米 C．30米 D．米
6．已知定义在上的函数若方程恰有两个解，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，正方体的棱长为2，则两个三棱锥，的公共部分的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，的定义域均为，为奇函数，为偶函数，，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
二、多选题
9．在中，内角，，所对的边分别为，，，如下判断正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为等腰三角形
C．若，则为锐角三角形
D．若满足条件，的有两个，则的取值范围为
10．若函数既有极大值也有极小值，则（ ）
A． B． C． D．
11．在中，，，是边的中点，是边上的动点（不与，重合），过点作的平行线交于点，将沿折起，点折起后的位置记为点，得到四棱锥，如图所示.下列结论正确的是（ ）
A．不可能为等腰三角形
B．存在点，，使得
C．存在点，，使得平面
D．当四棱锥的体积最大时，
三、填空题
12．已知函数的图像关于点对称，则的值是 .
13．若直线是曲线的切线，则 .
14．设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为 .
四、解答题
15．记内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，的角平分线交于点，且，求的周长.
16．如图，在三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点
(1)求证：平面.
(2)若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为，求三棱锥的体积.
17．已知函数，.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.
18．如图，在三棱锥中，，分别为，的中点，，，，，线段上存在点（不含端点），使得直线与平面所成角的正弦值为.
(1)求证：平面.
(2)求.
(3)若为的中点，点在平面内，且满足平面，求线段长度的最小值.
19．我们把称为区间的长度.若函数是定义在区间上的函数，且存在，使得函数的值域也为，则称区间为的自映射区间.
(1)已知函数且，求的所有区间的长度的自映射区间.
(2)设存在自映射区间.
①求的取值范围；
②求证：，且的长度.
参考答案
1．C
2．B
3．B
4．A
5．C
6．D
7．D
8．B
9．BCD
10．ABC
11．BD
12．
13．
14．（或）
15．(1)
(2)
16．（1）证明：因为，分别是，的中点，
所以.
因为平面，
平面，
所以平面.
（2）如图，连接.
因为是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，
所以点是外接圆的圆心.
因为是等边三角形，是中点，所以外接圆的圆心在上.
又平面平面，所以球的球心即为外接圆的圆心.
因为球的表面积，所以球的半径，
所以，，，
所以
三棱锥的体积为.
17．（1）由，
得，
①若，则，由，得或，
由，得，
则此时在，上单调递增，在上单调递减；
②若，，则此时在上单调递增；
③若，则，由，得或，
由，得，
则此时，在，上单调递增，在上单调递减；
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
（2），
因在有两个零点，则在上有2个零点.
令，，
显然1不是其零点，所以.
令，
则原题等价于函数与直线在上有2个交点.
令，，
则，
由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增.
从而，
当，，当，.
则时，满足题意.
18．（1）证明：因为，分别为，的中点，且，
所以，且.
因为，，，满足，
所以.
因为，，平面，
所以平面.
（2）以为原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，如图所示，
，，，，，，
，，，，
设平面的法向量为，
得，令，得，
所以.
设，，则，
所以.
设直线与平面所成角为，
则，
解得或（舍去），
所以.
（3）设，，
，，，，
因为点在平面内，所以存在，使得，
解得，，
所以，.
设平面的法向量为，，，
得，令，得，，
所以.
因为平面，所以，即，
解得，
所以.
，
当时，取最小值，
所以线段最小值为.
19．（1）因为恒成立，则在上单调递增，
若存在自映射区间，则，，
即方程，即至少有两个不同实数解.
由，，解得，，，，，，
所以的所有区间的长度的自映射区间为，，，，.
（2）①因为，在上单调递增，
若存在自映射区间，则，，
即至少有两个零点，
因为，时，，单调递增；
时，，单调递减；
若要存在两个零点，则，即.
此时，，使得.
因为当时，，即函数单调递减，
所以，又，
所以，则，使得.
所以的取值范围为.
②因为，，所以，
下证：.记，
则，
则在上单调递增，则，即，
即，所以.
所以，所以.
记，则，
时，，单调递减；
时，，单调递增；
所以，即，
则，即，同理.
因为函数的，且对称轴为，
则方程存在两根，且，
又，且，，所以，
则，
数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则复数的虚部为（ ）
A． B．2 C． D．
3．已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．4
4．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．某校兴趣小组想要测量宁德市海慧塔的高度，在塔附近选取了相距60米的，（，与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度为（ ）
A．15米 B．米 C．30米 D．米
6．已知定义在上的函数若方程恰有两个解，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，正方体的棱长为2，则两个三棱锥，的公共部分的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，的定义域均为，为奇函数，为偶函数，，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
二、多选题
9．在中，内角，，所对的边分别为，，，如下判断正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为等腰三角形
C．若，则为锐角三角形
D．若满足条件，的有两个，则的取值范围为
10．若函数既有极大值也有极小值，则（ ）
A． B． C． D．
11．在中，，，是边的中点，是边上的动点（不与，重合），过点作的平行线交于点，将沿折起，点折起后的位置记为点，得到四棱锥，如图所示.下列结论正确的是（ ）
A．不可能为等腰三角形
B．存在点，，使得
C．存在点，，使得平面
D．当四棱锥的体积最大时，
三、填空题
12．已知函数的图像关于点对称，则的值是 .
13．若直线是曲线的切线，则 .
14．设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为 .
四、解答题
15．记内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，的角平分线交于点，且，求的周长.
16．如图，在三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点
(1)求证：平面.
(2)若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为，求三棱锥的体积.
17．已知函数，.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.
18．如图，在三棱锥中，，分别为，的中点，，，，，线段上存在点（不含端点），使得直线与平面所成角的正弦值为.
(1)求证：平面.
(2)求.
(3)若为的中点，点在平面内，且满足平面，求线段长度的最小值.
19．我们把称为区间的长度.若函数是定义在区间上的函数，且存在，使得函数的值域也为，则称区间为的自映射区间.
(1)已知函数且，求的所有区间的长度的自映射区间.
(2)设存在自映射区间.
①求的取值范围；
②求证：，且的长度.
参考答案
1．C
2．B
3．B
4．A
5．C
6．D
7．D
8．B
9．BCD
10．ABC
11．BD
12．
13．
14．（或）
15．(1)
(2)
16．（1）证明：因为，分别是，的中点，
所以.
因为平面，
平面，
所以平面.
（2）如图，连接.
因为是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，
所以点是外接圆的圆心.
因为是等边三角形，是中点，所以外接圆的圆心在上.
又平面平面，所以球的球心即为外接圆的圆心.
因为球的表面积，所以球的半径，
所以，，，
所以
三棱锥的体积为.
17．（1）由，
得，
①若，则，由，得或，
由，得，
则此时在，上单调递增，在上单调递减；
②若，，则此时在上单调递增；
③若，则，由，得或，
由，得，
则此时，在，上单调递增，在上单调递减；
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
（2），
因在有两个零点，则在上有2个零点.
令，，
显然1不是其零点，所以.
令，
则原题等价于函数与直线在上有2个交点.
令，，
则，
由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增.
从而，
当，，当，.
则时，满足题意.
18．（1）证明：因为，分别为，的中点，且，
所以，且.
因为，，，满足，
所以.
因为，，平面，
所以平面.
（2）以为原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，如图所示，
，，，，，，
，，，，
设平面的法向量为，
得，令，得，
所以.
设，，则，
所以.
设直线与平面所成角为，
则，
解得或（舍去），
所以.
（3）设，，
，，，，
因为点在平面内，所以存在，使得，
解得，，
所以，.
设平面的法向量为，，，
得，令，得，，
所以.
因为平面，所以，即，
解得，
所以.
，
当时，取最小值，
所以线段最小值为.
19．（1）因为恒成立，则在上单调递增，
若存在自映射区间，则，，
即方程，即至少有两个不同实数解.
由，，解得，，，，，，
所以的所有区间的长度的自映射区间为，，，，.
（2）①因为，在上单调递增，
若存在自映射区间，则，，
即至少有两个零点，
因为，时，，单调递增；
时，，单调递减；
若要存在两个零点，则，即.
此时，，使得.
因为当时，，即函数单调递减，
所以，又，
所以，则，使得.
所以的取值范围为.
②因为，，所以，
下证：.记，
则，
则在上单调递增，则，即，
即，所以.
所以，所以.
记，则，
时，，单调递减；
时，，单调递增；
所以，即，
则，即，同理.
因为函数的，且对称轴为，
则方程存在两根，且，
又，且，，所以，
则，
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